15.4 等边三角形中的几何综合（压轴题专项讲练）（教师版）-沪科版(2024)八上

专题15.4等边三角形中的几何综合思维方法思维方法正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。知识点总结知识点总结一、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形．2．等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°．3．等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．典例分析典例分析【典例1】△ABC为等边三角形，在△ABC外作射线AP，D为射线AP上一点，连接CD，在平面内有一点（1）如图1，连接BD，若点E恰好在BD上，且∠DCE=60（2）如图2，连接ED，若∠DCE=120∘，且DE恰好过BC边的中点（3）如图3，若∠CAP=40∘，∠DCE=120∘，连接BE，当线段BE的长度最小时，在射线BE上取一点F，在边【思路点拨】（1）本题考查了三角形全等和等边三角形的性质，找到全等的条件是解题的关键．根据CE=CD，∠DCE=60∘，可知△DCE为等边三角形，利用公共角，证得∠1=∠3，再证△ADC≌△BEC（2）本题考查了三角形全等和等边三角形的性质，通过“截长补短法”构造三角形全等是解题的关键．要证DM=EM+AD，由于三边不在一条直线上，因此考虑“截长补短法”把线段进行转化．在ED上取点N，使得MN=EM，连接NC、BN、AN，证明（3）本题考查了动点问题，解题的关键是首先证明点E的运动轨迹，找到何时线段BE最短，然后构造三角形，确定何时AF+AG的值最小．以BC为边向下作等边三角形△BCM，连接ME，证明△ACD≌△MCE，得到∠CME=40°，即得当点D在射线AP上运动时，点E的运动轨迹是在直线ME上，且满足∠CME=40°，由此得到当BE⊥EM时，线段BE最短．要证明两条线段AF+AG的最小值，通常利用两点之间线段最短，因此需要将其中一条线段进行转化．以点C为顶点，作∠BCN=∠ABF【解题过程】（1）解：如图，∵CE=CD，∴△DCE∵△ABC∴∠2+∠3=∠ACB∵∠1+∠2=∠DCE∴∠1=∠3，∵∠1=∠3CD∴△ADC∴∠ADC∵∠DEC∴∠BEC∴∠ADC∴∠ADB故∠ADB（2）解：在ED上取点N，使得MN=EM，连接NC、BN、∵M为BC边的中点∴BM=∵BM∴△BMN∴BN=CE=∵∠DCE=120°，∴∠ABN∠ACD∴∠∵AB=∴△ABN∴AN=AD，∵∠BAN∴∠CAD∴△AND∴AD=∴DM故DM=（3）解：以BC为边向下作等边三角形△BCM，连接ME∵△ABC和△∴AC=∵∠DCE=120°，∴∠ACD∵∠MCE∴∠ACD∵AC=∴△ACD∴∠CME∴当点D在射线AP上运动时，点E的运动轨迹是在直线ME上，且满足∠CME∴当线段BE的长度最小时，即过点B向直线ME作垂线，E为垂足，即BE⊥EM，∵∠CME=40°，∴∠EMB∴在Rt△BEM中，又∵∠MBC∴∠EBC∴∠ABF以点C为顶点，作∠BCN=∠ABF=50°，且∵CN=∴△ABF∴AF=∴AF+连接AN交射线BE于点O，在△AGN∵AF+∴当A,G,此时，∵CN=∴△ACN为等腰三角形，又∠∴∠CAN在△NCG中，∠∴∠BGO在△BOG中，∠∴∠AOF又∵△ABF∴∠BAF在△ABF中，∠∴在△AOF中，∠∴∠FAC故当AF+AG的值最小，学霸必刷学霸必刷1．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连接CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD分别交CD，①∠BAC=4∠ADC；②DF=AH；③BH=PFA．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④⑤【思路点拨】由等边三角形和等腰三角形的性质可得△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，根据三角形内角和定理先求得∠AFP、【解题过程】解：∵△ABC为等边三角形，△∴∠BAC∴△CAD是等腰三角形，∠∴∠ADC∴∠BAC=4∠ADC∵∠ADB∴∠EDF又∵AH⊥∴∠FAP∴∠BAH在△ADF和△∠∴△ADF∴DF=AH,∵∠FAP∴AF=2∴BH=2PF，故∵∠DAP∴∠DAP=∠CGB∵∠CBG∴∠CBG∴BC≠CG，故综上所述：结论正确的是①②④，故选：C．2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图、已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，AD=CD，且∠DAC=30°，点E为AD上一点，点F为CD上一点，且∠EBF=30°．下列结论：①BE=BF；②A．4 B．3 C．2 D．1【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，平行线的判定，线段的垂直平分线的判定和性质，延长DA到T，使得CF=AT，连接BT，构造半角模型，证明②；利用线段垂直平分线的判定和性质，可证③，也就无法证明DE=DF，从判断【解题过程】解：延长DA到T，使得CF=AT∵△ABC∴∠ABCAB=∵AD=CD，∴∠DAC∴∠BAE∵AT=∴△BAT∴BF=BT，∵∠EBF∴∠ABE∴∠ABE∴∠EBT∴∠EBT∵BF=∴△EBF∴EF=ET，∴∠AEF∵ET=AT+∴ET=∴EF=故②正确．连接BD，交AC于点Q，∵BA=∴直线BD是线段AC的垂直平分线，∴∠BQA=∠BQC∴∠ANB=90°-∠QBN∵∠EBF∴∠QBN∴∠QBN∴90°-∠QBN∴∠ANB∴∠AEF故③正确；无法证明CF=AE，也就无法证明DE=故选C．3．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，点C是线段BD上一点，分别以BC,CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE，连BE,AD交于点F，若A．2 B．12 C．32 D【思路点拨】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，先证明△BCE≌△ACD，得到AD=BE，S△BCE=S△ACD，然后过点C作CM⊥BE，CN⊥AD于点M，N，则有CM【解题过程】解：∵△ABC和△∴AB=∴∠BCE∴△BCE∴AD=BE，过点C作CM⊥BE，CN⊥AD于点∴CM=∴∠BFC∵S△∴S△在FB上截取FG=FC，连接∵△BCE∴∠CBE∴∠AFB∴∠BFC∴△FGC∴FG=FC=∴∠BCG又∵∠∴△BCG∴BG=∴BF=同理可得DE=∴AF+故选：B．4．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③CP=CQ；④OCA．①③⑤ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．由等边三角形的性质可得AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，从而可根据SAS得到△ACD≌△BCE，结合全等三角形的性质可判断①的正误；由△ACD≌△BCE可得∠CBE=∠DAC，结合∠ACB=∠DCE【解题过程】解：∵△ABC和△∴BC∴∠BCA即∠ACD在△DCA和△AC=∴△DCA∴AD=BE∵△ACD∴∠CAD∵∠ACB∴∠BCD∴∠ACB在△ACP和△∠CAP∴△ACP∴CP=CQ∵CP∴△PCQ∴∠CPQ∴∠ACB∴PQ∥AE过点C作CH⊥EQ于H,∵△DCA∴S∴1∴CH∴OC平分∠AOE，而不是平分∠BCD∵△DCA∴∠ADC∴∠AOB∴故结论⑤正确．综上所述，正确的结论有①②③⑤，故选：B．5．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则【思路点拨】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．通过分析点E的运动轨迹，点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于点E'【解题过程】解：连接CE∵△ABC∴AB=∴∠BAD∴△BAD∴∠ABD∵AF=∴∠ABD∴点E在射线CE上运动（∠ACE作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于点E'，此时A∵CA∴△ACM是等边三角形且与△∴AM=AC，∵BF⊥∴FM=∴△AEF周长的最小值是故答案为：16．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，点D在AB上，CD=14，∠BDC=60°，延长CB至点E，使CE=AC，过点E作EF⊥CD于点F，交AB【思路点拨】过点C作CH⊥AB于点H，设DF=x，则CF=CD-DF=14-x，求出∠DGF=30°，利用直角三角形的性质得DG=2DF=2x，则AD=2DG=4x，同理得∠DCH=30°，则【解题过程】解：过点C作CH⊥AB于点设DF=∵CD∴CF∵EF在Rt△DFG中，∠BDC∴DG∵2DG∴AD∵CH在Rt△CHD中，∠BDC∴DH∴AH∵∠BDC=∠A∴∠A又∵CH⊥AB∴∠AHC在△ACH和△∠A∴△ACH∴AH∴4x+7=14-x故答案为：757．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=BC=8,D为AC边上一点，AD=2,E为BC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的左侧作等边【思路点拨】以AD为边在AD左侧作等边三角形AGD，连接FG,EG，延长AF,CB交于点P，先证明△AFD≌△GED，得到AF=EG，当点A,G,F三点共线时，AF有最小值，此时AC∥【解题过程】解：如图，以AD为边在AD左侧作等边三角形AGD，连接FG,EG，延长AF,∵△AGD和△∴DE=∴∠ADG+∠GDF∴△AFD∴AF=如图，当点A,G,此时，∠EGD∴∠AGE∴AC∥EG，即∴∠APC∵AC=BC∴AP=2AC=16∴PG=∴EG=∴AF故答案为：7．8．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在△BCD中，∠BCD<120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，连接AD、BE和CF交于点P，则PA、PB、PC、【思路点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；证明△ABD≌△CBFSAS，△ACD≌△BCESAS，可得∠BAD=∠BCF，∠CAD=∠CBE，求出【解题过程】解：∵△ABC，△∴BA=BC，BD=∴∠ABD∴△ABD∴∠BAD同理可得△ACD∴∠CAD∵∠BAD∴∠BAD∵∠ABC∴∠BAD∴∠BPA同理可得∠APC∴∠BPC如图，在PA上截取PG=PB，连接∴△BPG∴∠BGP∴∠BGA∴∠BGA又∵∠BAG=∠BCP∴△BAG∴PC=∴PA=故答案为：PA=9．（23-24八年级上·天津西青·期末）如图，点D是等边△ABC中BC边的中点，点E，F分别在AB，AC边上，且∠EDF=120∘，若BE=2，

【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强．作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M、N，先证明△BDM≌△CDN，得到BM=CN，DM=DN，再证明△EDM≌△FDN，EM=FN【解题过程】解：如图，作DM⊥AB,DN⊥AC

∵△ABC∴∠B∵D是BC的中点，∴BD=∵DM⊥AB∴∠BMD∴∠BDM∴∠MDN在△BDM和△∠BMD∴△BDM∴BM=CN∵∠MDN=120°，∴∠MDN即∠EDM在△EDM和△∠EMD∴△EDM∴EM=设EM=∵BE=2，CF=3，∴2+x解得x=0.5∴BM=∵∠BMD∴BD=2∴BC=2∴△ABC的周长为30故答案为：30．10．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=BC=18cm，点D在AC上，CD=8cm．点M在线段CB上由点C向点B运动，点N（1）当运动2秒时，∠DMN的度数为______（2）开始运动几秒时，△BMN（3）若点M和点N在到达终点后不停止运动，而是沿着△ABC的三边顺时针继续运动，直到回到出发点后停止，直接写出：线段MN与△【思路点拨】（1）计算出运动2秒时CM、MN、BN的长，再证明△MBN≌△DCM，得∠BMN=（2）设运动的时间为秒，分两种情况，一是∠BNM=90°，则BM=2BN，可列方程18-5t=5t；二是∠（3）分三种情况，一是点M在BC边上，则BM=BN，可列方程18-5t=5t；二是点M在AB边上，则AM=AN，可列方程18×2-5t=5t-【解题过程】（1）解：如图1，∵AB=∴△ABC∴∠运动2秒时，CM=5×2=10(cm)，MB=18-10=8(cm∴MB=DC，在△MBN和△MB=∴△MBN∴∠BMN∴∠∴∠DMN（2）解：设运动的时间为t秒，如图2，当∠BNM=90°∴BM=218-5t解得t=如图3，当∠BMN=90°BN=25t解得t综上所述，运动65秒或125秒，（3）解：如图1，当MN∥∴∠BMN∴△BMN∴BM=∴18-5t=5t如图4，当MN∥BC时，则∠AMN∴△AMN∴AM=∴18×2-5t=5t如图5，当MN∥AB时，则∴△CMN∴CM=∴18×3-5t解得t综_上所述，t的值是95秒或275秒或9秒时，线段MN与11．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED（1）当点E为AB的中点时（如图1），则有AE__________DB（填“>”“<”或“=”）；（2）如图2，若点E为AB上任意一点，猜想AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为2，AE【思路点拨】（1）根据三线合一定理和三角形外角的性质证明BD=（2）过E作EF∥BC交AC于F，先证明△AEF（3）分E在AB的延长线和E在BA的延长线上两种情况讨论求解即可．【解题过程】（1）解：∵三角形ABC是等边三角形，点E是AB的中点，∴CE平分∠ACB,CE∴∠BEC又∵ED∴∠D∵∠ABC∴∠DEB∴BD∴AE（2）解：AE=如图，过E作EF∥BC交AC于∵△ABC∴∠ABC∴∠AEF即∠AEF∴△AEF∴AE∵∠ABC∴∠DBE∵DE∴∠D∴∠BED在△DEB和△∠DEB∴△DEB∴BD∴AE（3）解：∵三角形ABC是等边三角形，∴AB如图所示：当E在AB的延长线上时，过点E作FE⊥BC交直线BC于∴∠EBF∴∠BEF∵AE∴BE∴BF∴CF∵ED∴FD∴CD当E在BA的延长线上时，如图，过点E作FE⊥BC交BC延长线于同理可以求得BF=∴FD∴CD故CD的长为2或6．12．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图1图2，点O是线段AC的中点，OB⊥（1）如图1，若∠ABO=30°，求（2）如图1，在（1）的条件下，若点D在射线AC上，点D在点C右侧，且△BDQ是等边三角形，QC的延长线交直线OB于点P，求PC（3）如图2，在（1）的条件下，若点M在线段BC上，△OMN是等边三角形，且点M沿着线段BC从点B运动到点C，点N随之运动，求点N【思路点拨】（1）利用垂直平分线的性质可得BA=BC，再得∠BAO（2）证明△BAD≌△BCQ，得出∠BCQ=60°（3）取BC的中点H，分两种情况证明△OMH≌△ONC，得出∠OCN=120°【解题过程】（1）解：∵∠ABO=30°，∴∠BAO∵O是线段AC中点，OB∴BA∴△ABC∴AB=（2）∵△ABC、△∴∠ABC=∠DBQ=60°，∴∠ABD∴△BAD∴∠BCQ∵∠BCA∴∠OCP∵∠POC∴∠OPC∴PC（3）取BC的中点H，连接OH，连接CN，分两种情况讨论：当M在线段BH上时，如图2，∵H是BC的中点，OB⊥∴OH=∴△OCH∵△OMN∴∠MON=∠HOC=60°，OM∴∠MOH=∠∴△OMH≌△∴∠∴点N从起点到C做直线运动，∵当点M在点B时，CN=∴点M从B运动到H时，点N运动路径的长度等于9；当点M在线段HC上时，如图3，∵H是BC的中点，OB⊥∴OH=∴△OCH∵△OMN∴∠MON=∠HOC=60°，OM∴∠MOH∴△OMH≌△∴∠∴点N从C到终点做直线运动，∵当点M在点C时，CN=∴点M从H运动到C时，点N运动路径的长度等于9；综上所述，N的路径长度为：9+9=18．13．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）（1）问题情境如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，（2）迁移应用如图2，△ABC和△ADE都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是AD的中点，N是AC的中点，P在BE上，△MNP是等边三角形，求证：P（3）拓展创新如图3，P是线段BE的中点，BE=9，在BE的下方作等边△PFH（P，F，H三点按逆时针顺序排列，△PFH的大小和位置可以变化），连接EF，BH．当EF【思路点拨】（1）证出∠BAD=∠CAE，根据SAS（2）在AE上取点K，使得AK=AM，连接KM，证明△AMN≌△KMP（3）作∠EPQ=60°，使PQ=PE，连接QE,QB，证明△EPF≌△QPH(SAS【解题过程】（1）证明:∵△ABC和△∴∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC∴∠BAD在△BAD和△AB=∴△BAD（2）证明:在AE上取点K，使得AK=AM，连接∵△ABC和△ADE∴∠DAE=60°，AD=∴△AMK是等边三角形∴AM=MK=∵△MPN是等边三角形∴MN=MP，∴∠PMN∴∠PMN-∠AMP在△AMN和△AM=∴△AMN∴AN=∴AM=∵M为AD的中点,点N为AC的中点,∴AE=AD=2设AP=x，AN=y，则∴AE=2AK=2∴EP=∴EP=∴点P为BE的中点；（3）作∠EPQ=60°，使PQ=∵△PFH是等边三角形∴PF=PH，∴∠EPF∴△EPF∴EF∴EF当点H在线段QB上时，EF+BH的值最小，此时PH⊥BQ∵PQ∴∠PBQ在Rt△PBH中，即当EF+BH的值最小时，△PFH14．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，ED=（1）如图（1），当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系；AE______DB（填“>”“<”或“=”）．（2）如图（2），当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．（3）如图（3）在等边三角形ABC中，点E在线段AB的延长线上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE【思路点拨】（1）由等腰三角形的性质得∠D=∠ECD，再由等边三角形的性质得∠ECD=12（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，证△AEF为等边三角形，得AE=EF，再证△DBE≌△（3）过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，可证得△AEF是等边三角形，△DEB≌△ECF(【解题过程】（1）解：如图1，∵△ABC是等边三角形，点E是AB∴CE平分∠ACB，CE⊥AB，∠∴∠BEC=90°，又∵ED=∴∠D∴∠DEC∴∠DEB∴∠D∴BD=即AE=故答案为：=．（2）解：当点E为AB上任意一点时，如图2，AE=如图2，过E作EF∥BC交AC于F，∵△ABC∴∠ABC=∠∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∴△AEF∴AE=∵∠ABC∴∠DBE=∠∵DE=∴∠D∴∠BED在△DEB和△∠DEB∴△DEB∴BD=EF=（3）解：过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，如图3所示：∵△ABC∴∠ABC=∠∴∠AEF=∠ABC即∠AEF∴△AEF∴AE=∵∠ABC∴∠DBE∵DE=∴∠D∵EF∥BC，∴∠ECD∴∠D在△DEB和△∠D∴△DEB∴DB=∵BC=1∴CD=15．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在等边△ABC中，点D、E分别是边AC、BC上的点，且AD=CE，AE、BD（1）如图1，求证：∠BFE（2）如图2，过点B作BG⊥AE于点G，过点C作CH∥BD交AE延长线于点H，若F为（3）如图3，在（2）的条件下K为AB延长线上一点，且∠K+∠ABD=60°，△ABC【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质，证明△BAD≌△ACESAS，得到（2）含30度的直角三角形的性质，得到BF=2FG=AG，证明△ABF≌△CAGSAS，得到（3）等角对等边证明AK=EK，BG垂直平分FH，得到BF=BH，证明△BFH为等边三角形，作EM⊥BH于M，EN⊥HC于N，HP⊥BC于P【解题过程】（1）证明：∵△ABC∴AB=AC，在△BAD和△ACE中∴△BAD∴∠DBA∵∠BFE∴∠BFE（2）∵∠BFE∴在Rt△BFG中，∴BF=2连接CG，在△ABF和△BF=∴△ABF∴CG=AF，∴∠BFE又∵CH∥∴∠BFE∴∠GCH∴∠CGH∴△CGH∴GH=∴BF=2（3）∵∠AKE+∠ABD∴∠ABD∵∠BAE∴∠AKE∴AE=连接BH，∵BG⊥AE，∴BG垂直平分FH，∴BF=∵∠BFE∴△BFH∴BF=BH，∴HE平分∠BHC作EM⊥BH于M，EN⊥HC于N，∴PM=∵S△BEH=∴S△∴S△过K作AC的平行线交CB的延长线于R，∴∠RBK∴∠BRK∴∠RBK∴△KRB∴RB=∵∠ABD=∠CAE∴∠CAE在△EKR和△AEC中，∴△EKR∴RB=∴S△16．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：

【探究证明】（1）如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，连接AE交BD延长线于点F，求证：【拓展延伸】（2）如图2，在正三角形纸片△ABC的BC边上取一点D，作∠ADE=60°交∠ACB外角平分线于点E，探究CE，【思维提升】（3）如图3，△ABC和△DCE均为正三角形，当B，C，E三点共线时，连接PC，若①AP-②AP+【思路点拨】（1）证明△ACE≅△BCD（2）如图2，在AB上取一点G，使得BG=BD，证明△BDG是等边三角形，然后证明△（3）如图3，在AE上取一点F，使得BF=PD，证明△CEF≅△CDP(SAS)，CF=CP，∠ECF=∠DCP，证明ΔPCF是等边三角形，所以PC=PF=CF，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为【解题过程】（1）证明：如图1，设AC与BF交于点G，

∵△ABC，△∴CA=CB，CD∴∠BCD在△ACE和△AC=∴△ACE∴∠CAE∵∠AGF∴∠AFB（2）解：AC=如图2，在AB上取一点G，使得BG=

∵△ABC∴∠B=∠ACB∴△BDG∴∠BGD∴∠AGD=120°，∵CE是∠∴∠ACE∴∠DCE∴∠AGD∵∠ADE=60°，∴∠ADG∵∠ADG∴∠DAG∴△ADG∴DG∴AC∴AC（3）解：①AP-3PDPC如图3，在AE上取一点F，使得EF=

∵△ABC和△DCE均为正三角形，B，C，∴CE=CD由（1）知：△ACE∴∠CEA∴△CEF∴CF=CP∴∠PCF∴△PCF∴PC过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为∵△ACE∴△ACE的面积=△∵AE∴CM∵BC∴BP∴AE∴AP∴①AP-②∵APBD-∴AP∴AP+综上所述：①AP-3PDPC17．（2023七年级下·全国·专题练习）已知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中∠BDC=120°，过点D作∠EDF=60°，分别交AB于E，交（1）若BE=CF，求证：①△DEF是等边三角形；②（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB、AC上任意一点，【思路点拨】（1）延长AB到N，使BN=CF，连接DN，通过证明△EBD≌△FCD(SAS)，得到ED=DF，得出△EDF是等边三角形，通过证明△（2）延长AB到N，使BN=CF，连接DN，通过证明△NBD≌△FCD(SAS)，得到DN=【解题过程】（1）证明：延长AB到N，使BN=CF，连接∵△ABC∴∠ABC∵△DBC是等腰三角形，∠∴∠DBC∴∠ACD在△EBD和△BE=∴△EBD∴ED∵∠EDF∴△EDF∵△EBD∴∠EDB在△NBD和△BD=∴△NBD∴DN=DF∵∠EDB∴∠EDB∵∠BDC=120°，∴∠EDB∴∠EDB即∠EDF在△EDN和△DE=∴△EDN∴EF即△EDF是等边三角形，BE（2）解：BE+延长AB到N，使BN=CF，连接∵△ABC∴∠ABC∵△DBC是等腰三角形，∠∴∠DBC∴∠ACD在△NBD和△BD=∴△NBD∴DN=DF∵∠BDC=120°，∴∠EDB∴∠EDB即∠EDF在△EDN和△DE=∴△EDN∴EF即BE+18．（22-23八年级上·重庆·阶段练习）△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB，BC（1）如图1，求证：∠AFD（2）如图2，FH为∠AFC的平分线，点H在FM的延长线上，连接HA、HC，∠（3）如图3，在（2）的条件下，延长AF交CH的延长线于点K，点G在线段AH上，GH=CK，连接CG交FH于点M，FN=3，AK【思路点拨】（1）通过证明△ACE≌△CBD，得到（2）过点H作HG⊥AE于点G，作HK⊥DC，交DC延长线于点K，证明（3）作GJ⊥FH于点J，CT⊥FH于点T，CI⊥AK于点I，通过证明Rt△CFT【解题过程】（1）证明：∵△ABC∴AC=BC，在△ACE和△AC=∴△ACE∴∠CAE∵∠ACD∴∠ACD∴∠AFD（2）过点H作HG⊥AE于点G，作HK⊥DC，交由（1）可得：∠AFD∴∠AFK∵FH为∠AFC的平分线，HG⊥AE∴∠HFA=∠HFK在四边形HGFK中，∠GHK∵∠AHC∴∠AHC∴∠AHC-∠GHC在△AHG和△∠AHG∴△AHG∴AH=CH∴△ACH在Rt△HGF和HF=∴Rt△∴GF=∵AF+∴AF+∵∠HFK=60°，∴∠FHK∴FH=2∴AF+（3）作GJ⊥FH于点J，CT⊥FH于点T，∵∠CFT=∠CFI=60°，∴CI=在Rt△CFT和CF=∴Rt△∴FI=∵△AHC∴∠CAH∴∠GHJ∵∠ACF∴∠ACF∵AB∥∴∠K∴∠K在△HJG和△∠K∴△HJG∴CI=在△GNJ和△∠GNJ∴△GNJ∴JN=在Rt△ACI和CI=∴Rt△∴AE=设FI=则FN=FT+∴y+∴FH=19．（23-24八年级上·山东日照·期末）已知，如图1，在等边△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线交于点O，点D、E分别在边AB,BC上，且∠DOE=60°（1）方法探索：小敏的思路是：如图3，在AB上取一点F，使AF=BE，连接OF．先证明△BOE≌△______，从而OE=______；继而证明△DOE≌△______，从而DE=（2）拓展运用：如图2，点D在边AB上，点E在CB的延长线上，其它条件不变，猜想AD、DE、BE三者之间的数量关系，并说明理由．【思路点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等角对等边等知识点：（1）如图3，在AB上取一点F，使AF=BE，连接OF，先证明△BOE≌△AOF得到OE=OF，（2）如图所示，在BA延长线上截取AF=BE，连接OF，先证明△OAF≌△OBESAS，得到OE=OF，【解题过程】（1）解：如图3，在AB上取一点F，使AF=BE，连接∵在等边△ABC中，∠BAC与∠ABC∴∠OAB∴OA=又∵AF=∴△OAF∴OE=OF，∵∠DOE∴∠DOB∴∠∵∠AOB∴∠DOF又∵OD=∴△DOE