函数单调性（六大题型）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（解析版）

.3.1函数单调性题型一用倒数判断或证明已知函数的单调性1．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用导数可判断函数在单调递增.解法一：构造函数，可证得在单调递减，则，进而可得答案；解法二：先证明对数糖水不等式：，可推出，进而可得答案；解法三：利用对数换底公式结合基本不等式可得，，进而可得答案.【详解】，当时，，故函数在单调递增.解法一：构造函数，，故函数在单调递减，则.解法二：对数糖水不等式：.先证明糖水不等式：，理由：，故.解法三：，，.故选：C.2．设函数在上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为【答案】【分析】令，由题意得为奇函数，并结合导数得的单调性，再由，利用的单调性求解即可.【详解】令，即，则为奇函数，当时，，则在上单调递增，故在区间上单调递增，则在上单调递增，∵，即，∴，解得．故答案为：.3．已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程.(2)曲线上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值：若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求解；（2）假定曲线存在两个不同的点关于轴对称，转化为曲线上存在两个不同的点关于轴对称，利用导数判断单调性即可得解.【详解】（1），，，所以曲线在点处的切线方程为.（2）不存在，理由如下.假定曲线上存在两个不同的点关于y轴对称，设其坐标分别为，，，则有，即，化简得.令，则，由知函数在上单调递增，由得，即，这与矛盾，所以曲线上不存在两个不同的点关于y轴对称.题型二利用导数求函数的单调区间（不含参）4．已知函数，则的单调递增区间为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的定义域，解不等式，即可得出函数的增区间.【详解】函数的定义域为，则，因为，由，可得，故函数的单调递增区间为.故选：A.5．设函数，且，则的单调递增区间为．【答案】，【分析】先根据条件确定的值，再根据求的取值范围，可得函数的单调增区间.【详解】由题意得函数的定义域为．因为，所以，所以.所以，令，得或.所以函数的单调递增区间为,．故答案为：,．6．已知函数.(1)求的单调区间；(2)当时，判断并证明与的大小关系.【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为(2)，证明见解析【分析】（1）求导分析单调递区间即可；（2）利用函数的导函数判断函数单调性，再通过做差法即可判断与的大小关系.【详解】（1）由题意：，，当时，；当时，故的单调递增区间为，单调递减区间为（2），证明如下：由题意，令，则因为，所以，即在上单调递减故则所以，即题型三由函数的单调区间求参数7．若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求导，将问题转化成或在上恒成立的问题，然后分离参数处理.【详解】由题知，，而在区间上是单调函数，则或在时恒成立，当在恒成立时，，由幂函数性质可知在上递增，则，故当在恒成立时，等价于，即；当在恒成立时，，此时，即.综上，.故选：A8．若函数在区间上单调，则实数的取值范围是.【答案】【分析】利用导数得到函数的极值点，再根据函数在区间上单调判断极值点与区间关系可得.【详解】，令，时，时，所以在单调递减，在上单调递增，又函数在区间上单调，所以或，解得或.故答案为：.9．已知函数.(1)若在上单调递减，求实数的取值范围；(2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）函数在上单调递减，转化为恒成立，进而用分离参数法求出实数a的取值范围；（2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围．【详解】（1），，∵在上单调递减，∴当时，恒成立，即恒成立，∵，时，∴当，即时，取最大值，∴，又，∴实数a的取值范围是．（2）∵在上存在单调递减区间，∴当时，有解，即有解，∵，时，∴当，即时，取最小值，∴，又，∴实数a的取值范围是．题型四由函数在区间上的单调性求参数10．若函数在R上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出导函数，转换成不等式恒成立问题，然后换元，数形结合即可得出答案.【详解】由题可知恒成立，，即恒成立，设，则在恒成立，，则，解得，故选：C.11．已知在上是增函数，则实数的取值范围为.【答案】【分析】根据题意，可得在上恒成立，根据指数函数、一次函数的性质，分析求解，即可得答案.【详解】由题意，在上恒成立，因为在R上恒成立，所以只需在上恒成立即可，即，所以实数的取值范围为.故答案为：12．已知函数.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，，求导得到切线斜率，从而得到切线方程；（2）由在区间上单调递增得，分离参数得，利用基本不等式求得，从而得到实数的取值范围.【详解】（1）当时，，则，，则，所以，所求切线方程为，即.（2），，令，即，，恒成立，所以，因为，当且仅当时等号成立，所以，即，所以，即实数的取值范围为.题型五函数与导函数图像之间的关系13．已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】观察图象，可比较出在和处的切线斜率及与两点连线的斜率大小，即可得解.【详解】由图象可得，在处的切线斜率大于在处的切线斜率，而与两点连线的斜率介于二者之间，结合导函数定义可得.故选：D.14．已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集．【答案】【分析】根据给定的函数图象确定单调性，求出为正为负的范围，再分段求解不等式.【详解】由函数的图象，得当或时，函数单调递增，则；当时，函数单调递减，，不等式化为或，解，无解；解，得，所以不等式的解集.故答案为：15．已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：有且仅有个零点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）、求出，将代入即可求出切线斜率，再确定切点，然后利用点斜式即可求出切线方程；（2）、先求出，令，确定的单调性和正负，确定的单调性及正负，从而得出零点个数.【详解】（1），，，又，在点处的切线斜率为.曲线在点处的切线有程为.（2），，令，，①、当时，，，在上单调递增，又，时，时，在上单调递减，又，是在上的唯一零点；②、当时，，，在上单调递减，又，，在上有唯一零点，其中，当时，,在上单调递增;当时，,在上单调递减;而，，使，当时，,，在上单调递增;当时，,，在上单调递减;而，，时，，在上无零点；③、当时，，，在上单调递减，，在上单调递减;又，时，在上单调递减;而，在上有一个零点；④、当时，，，，在上无零点；综上所述：有且仅有个零点.题型六利用导数求函数（含参）的单调区间16．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通过求导，再依据和分类讨论求其单调区间即可.【详解】，则，，当，即时，，则在上单调递增，不满足题意，舍；当，即或时，的两根为，且，则得或；得，则在和上单调递增，在上单调递减，则恰好有三个单调区间，满足题意，故实数的取值范围是.故选：C.17．已知函数，则的单调增区间为．【答案】当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为【分析】求导，按，，讨论即可.【详解】函数的导函数，①，若，；若，，所以函数在上单调递增，在上单调递减．②，，此时函数在上单调递增．③，若，；若，，此时函数在上单调递减，在上单调递增．综上所述：当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为.故答案为：当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为18．已知函数的定义域为，定义集合.(1)若函数，求集合；(2)若，判断下列命题是否正确并说明理由：①存在函数为偶函数；②存在函数在处取最大值；(3)已知函数满足，求的范围.【答案】(1)(2)①错误；②正确；理由见详解(3)【分析】（1）根据题意结合指数函数单调性分析求解即可；（2）对于①：根据偶函数的对称性分析判断即可；对于②：举例说明即可；（3）求导，分、和三种情况讨论函数的单调性，根据题意结合单调性分析求解.【详解】（1）因为函数在定义域内单调递增，对任意实数，可知函数在内单调递增，即对，均有，所以集合.（2）对于①：若存在是偶函数，取，由集合的定义可知对于任意，均有，这与矛盾，所以不存在函数为偶函数，故①错误；对于②：构造函数，其图象如图所示：

由图象可知：满足题意，且此时在处取最大值，