函数的极值与最大（小）值

函数的极值与最大(小)值

【题组1已知函数求极值或极值点】

1、函数/("=，-4X+4)A(I>0)的极小值是__________.

【答案】0

【解析】因为“>。，且/⑺=(一2)2.«,，/3=2(..2)4+^^=心斗曰

2yjx

7

令r(x)=O,可得x=w或2，列表如下：

2

X2(2,+8)

HJ5

/'(X)+0—0+

增极大值减极小值增

所以,函数人”的极小值为/(2)=0.

2、函数/'(x)=-X3+/+x-1的极小值为.

【答案】肯32

【解析】r(x)=T/+2x+L令八力=。，可得或*=1.

当xde，4)5L+8)时，/(“<。，函数/(x)单调递减；

当Tf)时/力〉0,函数”X)单调递增.

故当A•"时，小)取得极小值4一#-亍

3、函数次X)=QX-1-In耳注0)在定义域内的极值点的例为

【答案】0

【解析】因为Q0,/'(》)=〃-：=竺4,

人人

所以当^<0时,f(x)<0在(0,+8)上恒成立，

所以函数/(用在(0,+8)上单调递减,

所以心)在(0,+8)上没有极值点.

4、已知/(x)=〃Mx+!-3x+i，曲线y=/«在点(1J⑴)处取得极值.

(1)求a的值；

(2)求函数“X)的极值.

【答案】(1)4；(2)极大值为-1,极小值为3-41n3

【解析】(1)由题意，函数〃x)=alnx+:—3x+l,可得”个)=3—g-3,x>0,

XAA

因为曲线)=/")在点(1J⑴)处取得极值，

可得1-3=0,解得a=4,

经检验〃=4符合题意，所以，=4.

(2)由(1)可知，函数/(力=41g+二3»1”>0,

X

则小)=8乎T),X>O,

当。或x〉i时，rw<o,当:"<1时，ra)>。，

因此/(X)在区间(叫)和(1，y)上单调递减，在区间生1)上单调递增,

故/3的极大值为/⑴=-L的极小值为吗)=3-4历3.

5、已知函数/(x)=f-2—1以.

(1)求曲线产/3在处的切线方程；

(2)求函数/("的极值.

31

【答案】(1)y=x-2；(2)极小值—5+/in2,无极大值

【解析】(1)因为尸3=W+2x,所以门1)=一；+2=1,

人1

当X=］时，y=-lnI+l-2=-l；

所以切线方程为y+i=ix（xT）,即y=＞2；

（2）由题可得/（x）的定义域为（。，口）.

令r（x）=O,即-+2x=0,与或x=W（舍去），

令小）＞0,得工＞当，令小）＜0，得当，

故/w在［。,#）上单调递减，在上单调递增，

所以/（X）存在极小值=-2-ln^=-1+1ln2,无极大值.

乙,N乙乙乙

【题组2函数（导函数）图象求与极值的关系】

②是函数y=/（x）的极值点；

③户/"）的图象在X=O处切线的斜率小于零；

④函数y=/（x）在区间（-2⑵上单调递增.

则正确命题的序号是（）

A.①②B.②④C.②③D.①④

【答案】D

【解析】对于①，根据导函数图像可知，-2是导函数的零点，

且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，故①正确；

对于②，1不是极值点，因为1的左右两侧导凶数符号一致，故②错误；

对于③，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，故③错误；

对于④，导函数在（-2,2）恒大等于零，故为函数的增区间，故④正确.故选：D

2、(多选)函数/("的定义域为R,它的导函数y=/'(、)的部分图像如图所示,则下列结论正

确的是()

A./(-2)>/(-1)B.Z是小)的极小值点

C.函数/(x)在(-M)上有极大值D.工=-3是/")的极大值点

【答案】AD

【解析】由广/'(X)的图象可知：当xw(9,-3)时，/。)>0,所以函数“X)单调递增；

当xw(TT)时，/'(力<0,所以函数/(x)单调递减,

因此有1),1=-3是/(x)的极大值点，所以选项A、D正确；

当xc(Tl),或xe(l收)时，/'(x)>0,所以函数小)单调递增,

因此函数/(M在(T』)上没有极大值，且'=1不是的极小值点，

所以选项R、C不正确，故选：AD

3、设函数的导函数为/'⑴，函数)，=9'(x)的图像如图所示，则()

A."%)的极大值为/(G),极小值为八一同

B.的极大值为,极小值为/(6)

C./(X)的极大值为/(-3),极小值为43)

D./(x)的极大值为八3),极小值为/(-3)

【答案】D

【解析】当xM-3)时,y=")＞0，"⑺＜0,〃力单调递减；

同理可得，当工«-3,3)时,—0,/⑴单调递增；

当―(3»)时，八。＜0,/("单调递减.

・・・〃力的极大值是〃3),/(”的极小值是〃-3).故选：D.

4、设函数/(“在R上可导,其导函数为广3,且函数＞=(2T)/'W的图像如图所示,则下

列结论中一定成立的是()

A.函数/(x)有极大值/(2)和极小值/⑴B.函数有极大值/(-2)和极小值/⑴

C.函数/(”有极大值/(2)和极小值/(-2)D.函数/")有极大值〃-2)和极小值”2)

【答案】B

【解析】由图知：当尸。时，有x=±2、x=i,・・.r⑴=o,r(-2)=o,

又1V-2时)＞。，而2-x＞0则r(x)＞。,即/⑶递增；

一24＜1时)，＜。，而2—x＞。则/'(“＜0,即/⑴递减；

1。＜2时y＞(),而2—x＞0则广(力＞0,即/⑸递增；

x＞2时)，＜。，而2-工＜0贝！］/'(x)＞0,即/*)递增；

综上，(—，-2)、(1,+对上/⑴递增；(-2,1)上/(/)递减.

，函数有极大值/(-2)和极小值/⑴.故选：B

5、定义在R上的函数/⑶，其导函数为人幻，且函数y=a+i)/。)的图象如图所示，则()

y

A.有极大值/(7)和极小值/⑴B.八工)有极大值/(-2)和极小值.⑴

c."X)有极大值/(-1)和极小值/(-2)D.〃*)有极大值〃-2)和极小值/•(-1)

【答案】B

【解析】由函数图像可知/(-2)=。,/'⑴=0,

当1<-2时，x+l<0,则/*)>0,

当-2a<-1时,x+l<0,则f(x)<0,

当Tvxvl时,x+\>0,则/@)<0,

当x>l时，x+l>0,则/*)>。,

所以/⑸有极大值/(-2)和极小值〃1)，故选：B

【题绢3根据函数的极值或极值点求参数】

1、已知函数/(幻=/+/+版+/在x=l处有极值10,则a+b=()

A.0或-7B.0C.-7D.1或-6

【答案】C

【解析】^fM=x3+ax2+bx+a2，彳导/'(x)=3/+2or+A,

/f(l)=0(3+2a+Z?=0-储=4„f^=-3,…人人人

/(1)=10，即“十”+〃+a?=10，(守[力__।[〃=3()»

a+b=4-\\=-7,故选：C.

2、已知函数/(x)=(x-〃)(x叫。'在x=〃处取极小值，且的极大值为4,则以()

A.-1B.2C.-3D.4

【答案】B

【解析】f(^)=(x-a)(x-b)eK=(x2-ax-bx+ab)el,

所以f(x)=(2x-6T-Z>)e*+(x2-ax-bx+ab)e'=e'[d+(^2-a-h)x+ah-a-h~^

因为函数f(x)=(x-a)(x-b)ex在x=a处取极小值,

所以八a)=e""+(2-"〃”+小。一可=叫。叫=。，所以〃,

f(x)=(x-a)2ex,r(Y)=e1d+(2—2/7)工+〃2_2〃]=/"_〃)[.(〃_2)],

令/'(x)=0，得或-2,

当〃-2)时，/'(可>。,所以“力在(e。-2)单调递增，

当一(即2,°)时,f(x)<0,所以/(x)在(。-2,〃)单调递增，

当X€(&+8)时，r(X)>0,所以/(X)在3+8)单调递增，

所以""在i-2处有极大值为〃0-2)=41=4,解得“2,所以反2.故选：B

3、已知/(力=-；八(1-〃?)/7+2没有极值,则实数〃?的取值范围为()

A.(0,2)B.(f0)51收)C.[0,2]D.口⑼小同

【答案】C

【解析】/(%)=*+(2-2〃?)1;

“X)在R上没有极值，，A=(2-2"2)2-4W0,gp4m2-8m=4m(m-2)<0,

解得：0<AH<2,即实数用的取值范围为[0,2].故选：C.

4、已知函数丁="、/+3尔+5有极大值和极小值，则。的取值范围是()

A-3B。卜(。(IC-F+8)D,(-3,3)

【答案】B

【解析】由题，)i=3加-2x+3a,函数有极大值和极小值，

所以)『3办2_2x+3a=。有两个不同解,

所以"0,A=4-36i/2>0,解得aw'；,。:，故选：B

5、设函数/W=lnx+七在（。工）内有极值,求实数。的取值范围（）

人1V

AIe+--2,+<x>IBe+-,+a?|CIe--,+co|De+-+2,+oo

'keJ'keJ*IeJYeJ

【答案】A

【解析】由/（x）=Inx+六=小）="-二十；；二,

因为函数.危）=lnx+£在（0=）内有极值，

•XIC

所以八幻二二二"泻=0在（0-）内有解，即g（x）=f一（〃+2）1+1=。在（0」）内有解，

1jee

x2-（«+2）x+l=0=>67=A+--2

X

1ir*—1

设/?（x）=x+--2=>h'（x）=1--r=J-^—,

xx~x~

当xe（0」）时，〃（x）〈（）Jz（x）单调递减，所以心焉=Me）=e+L2,

ee

要想方程a=x+1-2在"（0，）时有解,只需"/小篇=>"©+［-2,故选：A

xee

【题组4利用导数求函数的最值】

1、函数/(力=4/一3Y-18X+5,则在［T2］上的最大值为.

【答案】16

3

【解析】由题意:")=12/一6.・18=6(x+l)(2x-3),八幻=0得后一］,x=-,

33

-1<x<5时,/V)<0,/*)递减,5Vx<2时f,f(x)>0,递增，

所以吗)</⑵，又〃-1)=16,/(2)=-H,所以最大值为16.

2、已知函数/(x)=e'-e--sin2x+l,1目-兀，。］,则/⑴的最大值为.

【答案】1

【解析】函数-e-(-sin2x+l,xe[-n,0],

所以/'(x)=e'+尸-2cos2x>2ylex-e~x-2cos2x=2-2coslx,

当且仅当e'e-x,即x=0时等号成立，

又因为2-2cos2xN0,所以一(x)NO,

所以/*)在-兀0]时单调递增，

其最大值为/(。)=e°--sin0+1=1.

3、函数/（力=欣-卜-2|的最大值为一.

【答案】h】2

lnx+x-2,0<x<2

【解析】函数/。）=瓜+2=

lnx-x+2.x>2

・••当0-42时,/(%)=lnx+x-2单调递增,所以〃x)njln2,

当x>2时，/W=1MT+2,r(A)=1-l=—<0,函数单调递减,

A.X

所以〃x)〈ln2;

综上,函数的最大值为In2.

4、已知函数/（幻=20+0?+反+i的极值点为一］和］.

（1）求函数的解析式；

（2）求/（X）在12,2］上的最大值与最小值.

【答案】(1)〃x)=2/_6x+l;(2)/(^=-3；=5

【解析】（1）由题求出/3的导数八用=6/+2办+人，因为“力的极值点为T和1,

/'⑴=6+2a+b=0a=0

所以，解得

八一l)=6—2a+〃=0b=-6

所以函数的解析式为fM=2/-6A+1.

(2)由(1)可知/(<)=2Y-6.1+1,贝[]/(幻=6£—6,

令广(X)=6/_6<0,解得—ivxvl,由此可得/(X)的单调性:

X-9.(2,1)-1(口)1。，2）2

f'W大于00小于00大于0

-35-35

故/(<L=-3—.

5、设函数"x)=e'(aF+x+iMxeR)，且曲线内但在x=l处取得极大值.

(1)求。的值,并讨论f(x)的单调性;

(2)求在10,51上的最值.

【答案】(1)a="函数/(力在(f-2),(1收)上单调递减,在-2,1)上单调递增；

(2)最小值为-19e"最大值为e.

【解析】(1)由函数八用=。'(⑺2+、+］)求导得：f(x)=e'［ax2+(2a+\)x+2］,

因曲线产/(力在工=1处取得极大值，则八l)=e(3〃+3)=。,解得。=-1,

当。=-1时，f\x)=er(-x2-x+2)=-(x+2)(x-1)er,

当xv-2或x>l时，f\x)<0,当-2令<1时，fW>0,

即有函数在(F，-2),。，田)上单调递减,在(-2,1)上单调递增，

且产在工=1处取得极大值，

所以〃=-1,函数/(X)在(f-2),(Lx)上单调递减，在(-2,1)上单调递增.

(2)当相［0,5］时，由(1)知，

/(%)=/(-/+.1+1)在上单调递增，在［1,5|上单调递减，

因/(O)=1J—则当x=5时，/㈤丽=〃5)=-19e5,

当、=1时，/U)nm=/(D=e,

所以函数/⑶在也5］的最小值为―灰、最大值为e.

【题组5已知函数的最值求参数】

1、已知。>0,函数/(%)=④-欣的最小值为(。-1)1n2+1,则。=()

A.1或2B.2C.1或3D.2或3

【答案】A

【解析】由/")=以一限(x>0),得尸3=〃-；="(a>0zx>0),

当ocJ时，rax。，当x/时，ru)>o,

aa

所以“X)在(of上单调递减,在(%+8)上单调递增，

故〃x)m—d)二】十lna=(a-l)ln2+l,得In-l)h】2,解得a=l或2.故选：A

2、若函数在区间(a-2M上有最大值，则实数。的取值范围是__________.

【答案】(T2]

【解析】•・•/(x)=Y-3x,:.f[x)=3x2-3

令八幻<0解得Tvxvl；令八#>0，解得x>l或x<T

由此可得/(X)在(FT)上时增函数，在(T/)上是减函数，在(1，一)上是增函数,

故函数在尸-1处有极大值，在工=1处有极小值,

a2-\2<-\

.Ja>-\，解得

/(«)</(-1)

3、已知函数/(幻=/+/+(〃_2口+1在区间上(0,1)有最小值，则实数”的取值范围是()

A.(-e,l)B,d-e,l)C.(-e,+a>)D.(O.e)

【答案】A

【解析】由/(x)=e*+/+m-2)x+l得广(幻=炉+2]+(〃-2),

由于均为单调递增函数,故/'(力在(。4)单调递增，

因为/⑴在(。，1)有最小值，故,故选：A

j[e+z+a—z>u

4、设函数/")=行'""，若函数存在最大值，则实数〃的取值范围是一

xyx<a

【答案】心：

e

【解析】当时，/*)=x,函数单调递增，且/“)</(〃)=。无最大值，

当金〃时，/。)=匕，”口)=9,

ec

当工<1时，r«>o,当X>1时，ruxo,

当文=】时，八幻取得极大值也是最大值为了⑴=；,

V

a<\

「•要使/*)有最大值，则(1,."足.

〃s-e

lg(x+l),-l<x<0

5、已知函数/(')=一,“的值域为R,则实数。的取值范围是_______.

x+——4,x>0

x

【答案】(f4]

【解析】一1<工<(),所以0<x+l<l,所以怆(彳+1)<0,

当。=()时，〃x)=x-4单调递增，所以当x>0时，〃X)=A4>-4,

此时°值域为R,符合题意；

X—4,X>U

当。<0时，当工>。时,rw=»-4>°，所以“x)=x+m-4单调递增，

XX

当x>0时=4值域为R,所以〃<0满足题意；

X

当。>0时，当x>o时，r(x)=l-0=tU,当X>6时,Z(x)>0,

X-X

当0<x<«时，/'3<0,所以/(x)在(0，6)上单调递减，在(G，+8)上单调递增，

所以当x>0时,/(4「/(。)=2后-4,

lg(x+l),-l<x<0

要想了«=一4.值域为R,

x+——4,x>0

X

则要满足26-4«0,解得：0<«<4,

综上：实数。的取值范围是(f，4]

【题组6函数的极值与最值综合应用】

2]

(-QO,-1],3Xe卜°,€J使得

1、已知函数f3^2

/a）=g⑷）,求实数。的取值范围.

【答案】（。，|）

【解析】由题设，/（x）=2x・lax2=2x（1-ax）.

令/（x）=O,得x=O或x=，由AO,

当x£（-8,o）时/a）＜o,

・・・段）在（-8,-1]上单调递减，且值域为□+§，+«＞）.

1

・・・g/（x）、二百二3，

2

・・・g'(X)=(F^)'二3x-2x3x-2

X-X，一02x\\-x)2

•・"＜-g时，g'（x）＞。，

・・・g（外在E-f上单调递增，且值域为（-吟.

若弘/£（-00,-1],3x2e（-oo,-1）,使得/（X/）=g（M，则1+作弓可得忐.

综上，故实数a的取值范围是岭.

2、已知函数/"）=三|二.

（1）求函数〃x）的极值；

（2）当空。时，4小）+才但＜¥恒成立，求实数。的取值范围.

e

【答案】（1）的极大值是〃。）=。或"4）=三，极小值是/（1）=T

（2）。的范围是（-「2&,2忘-1）

【解析】（1）/（回=也芈三

令/'(式)>0,解得：x<0或lvx<4,

令r(x)<0,解得：0Vx<1或X>4,

・♦・/(力在3,。)。4)上递增,在(0,1),(4,«)上递减,

・・・/(力的极大值是〃。)=。或"4)=苦，极小值是/(l)=Y；

VV

(2)当一(。,e)时,人)+((”与恒成立dg2)<(x-l)(I)+4,

C

令"一2二，，贝(jx=/+2,(/>-2),atcr-t+2,

①当x>2时，x-2>0,即/>0,此时不等式等价于〃</+：-1,

大+：-1..21-1=2夜-1,当且仅当，[即，="x=2+夜时』”成立,

a<2^2—1；

②当％=2,即f=0时,不等式“V『T+2恒成立;

2

③当0vxv2即-2v/v0时,不等式mv产T+2等价于

-1=-1-2>/2

当且仅当T=-：,即/=-应,x=2-上时，“=”成立,

综上：，的范围是(-1-2点,2忘-1).

3、已知函数/&)=*j+4.

(1)求函数f(X)的单调区间;

(2)若直线)=〃与/("的图像有三个不同的交点,求实数〃的范围.

【答案】(1)增区间：(F-2),(2,+⑹;减区间：(-2⑵;(2)卜了可

【解析】(1)因为/(力=9、叙+4,所以r(x)=d—44+2”-2),

J

由/'(力>0,解得x>2或欢-2,所以/⑴的增区间为

y

(^-2)r(2,4-00)]

f(x)=§/4v+4

由/'(x)<0,解得-2。<2,所以/(x)的减区间为(-2⑵，/fV

综上，〃力的增区间为（-*-2）,（2,转），减区间为（-2,2）;

（2）由（1）知,当一2,函数取得极大值/（-2）=竽,

4

当》=2,函数取得极小值八2）=-彳，

根据函数单调性，极值情况,其图像大致如图所示，

结合图像知

4、知函数/（"=e.

（1）求."x）的极值；

（2）若/（刈《/+（吁1卜在门（0,笆