（人教A版）必修第一册高一数学上学期期末考点复习训练10对数与对数函数（解析版）

第10讲：对数与对数函数(重点题型方法与技巧)目录类型一：换底公式的应用类型二：有附加条件的对数求值问题类型三：与对数函数有关的函数图象角度1：对数型函数图象过定点问题角度2：对数函数图象的识别角度3：画对数函数的图象类型四：与对数函数有关的值域问题类型五：对数函数的单调性及应用角度1：利用对数函数的单调性比较大小角度2：利用对数函数的单调性解不等式角度3：对数型复合函数的单调性的问题类型六：与对数函数相关的综合问题类型七：新定义问题类型一：换底公式的应用典型例题例题1．已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，，所以．故选：D.例题2．已知，，且，则的最小值为（

）A．10 B．9 C． D．【答案】C【详解】由已知，令，，所以，，代入得：，因为，，所以.当且仅当时，即时等号成立.的最小值为.故选：C.例题3．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（

）（参考数据：，）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】B【详解】由题设，想要在不违法的情况下驾驶汽车，则酒精含量小于，令小时后，，则小时，所以想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为11小时.故选：B同类题型演练1．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：因为，,，即，所以.故选：C.2．其类蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式为，其中为Peukert常数．为了测算该类蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．则该蓄电池的Peukert常数大约为（参考数据：，）（

）A． B． C． D．2【答案】B【详解】由题意，得，所以，所以．故选:B.类型二：有附加条件的对数求值问题典型例题例题1．已知，，则（

）A．1 B．2 C．5 D．4【答案】A【详解】∵，，∴，，．故选：A例题2．若，则的最小值为________．【答案】16【详解】因为，所以.所以所以.当且仅当时取等.故答案为：16例题3．约翰·纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，则，现已知，，则______，______【答案】

1【详解】解析：∵，，∴，，∴，．故答案为：;1.同类题型演练1．已知，，则______．【答案】##0.36【详解】因为，所以，又，所以，所以，，故答案为：2．已知，，则_________．【答案】【详解】由题意可知，由，可得，则，则，故,故答案为:类型三：与对数函数有关的函数图象角度1：对数型函数图象过定点问题典型例题例题1．函数的图象恒过定点，则为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：函数，令，解得，此时，所以函数恒过定点；故选：A例题2．函数恒过定点________.【答案】【详解】将的图象现左平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到的图象，因为的图象恒过定点，所以恒过定点，故答案为：例题3．若对任意的且，函数的图象恒过定点，则点的坐标为___________.【答案】（2，1）【详解】令，解得，则，所以点P的坐标为（2，1）.故答案为：（2，1）.同类题型演练1．函数的图象一定过定点__________.【答案】【详解】令，则所以所以过定点故答案为：2．函数且的图象恒过定点__________.【答案】【详解】令，得，且.函数的图象过定点.故答案为：.角度2：对数函数图象的识别典型例题例题1．如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则，，，，1的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由图可知a>1，b>1，0<c<1，0<d<1．过点作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左到右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c．故选：C．例题2．函数的图像是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是，故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.故选：A.例题3．函数的大致图象为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】当时，，可排除B、C选项；又，排除A选项.故选：D.同类题型演练1．函数的图像的大致形状是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】求可得或，解得或，排除BCD；故选：A2．（多选）已知函数，且的图象过两点，则下列函数图象（部分）正确的是（

）A．B．C． D．【答案】ABD【详解】由函数的图象过两点，则有，解得，对于A，函数的图象过点，点，A正确；对于B，函数的图象过点，点，B正确；对于C，函数的图象不过点，C不正确；对于D，函数的图象过点，点，D正确.故选：ABD角度3：画对数函数的图象典型例题例题1．根据的图像，作出下列函数的图像：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)函数图像见解析；(2)函数图像见解析；(3)函数图像见解析；(4)函数图像见解析；(1)作出函数关于纵轴对称的图像，连同函数的图像，就是该函数的图像，如下图所示：(2)把函数的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分，函数图像如下图所示：(3)作出函数关于纵轴对称的图像，连同函数的图像一起向右平移一个单位即可，如下图所示：(4)把函数的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分，然后再向右平移一个单位，如下图所示：同类题型演练1．作出以下函数的大致图像，并指出它的单调区间和奇偶性．（1）；

（2）；

（3）．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析.【详解】（1）由知：定义域为，图象如下：∴由图知：函数在上单调递增，且为非奇非偶函数.（2）由知：定义域为，图象如下：∴由图知：函数在上单调递增，且为非奇非偶函数.（3）由知：：定义域为，图象如下：∴由图知：函数在上单调递增，在上单调递减，且偶函数.类型四：与对数函数有关的值域问题典型例题例题1．已知函数（，且）在上的值域为，则实数的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】若，则在上单调递减，则，不符合题意；若，则在上单调递增，则，又因为的值域为，所以，解得．故选：A．例题2．函数的值域为________【答案】【详解】因为在上单调递增，故在上也单调递增，所以，即，故的值域为.故答案为:.例题3．函数的值域是________.【答案】【详解】令，则，因为，所以的值域为，因为在是减函数，所以，所以的值域为，故答案为：例题4．已知．若的值域为，则实数的取值范围是______．【答案】【详解】解：因为的值域为，所以有解，则，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.例题5．已知函数，，若存在，使得，则的取值范围是__________．【答案】【详解】函数在上单调递增，值域为，函数在上单调递增，值域为，由存在，使得，可知两个函数的值域有交集，即，则有或即或，解之得故答案为：例题6．已知，，求的最大值及相应的．【答案】时，最大值为【详解】，，函数的定义域满足，即设，，由在区间上是增函数，．从而要求在区间上的最大值，只需求在区间上的最大值即可．在上是增函数，所以当，即时，．综上可知，当时，的最大值为.例题7．已知函数.(1)当时，求该函数的值域；(2)若，对于恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(1)令，，则，函数转化为，，则二次函数，，当时，，当时，，故当时，函数的值域为．(2)由于对于上恒成立，令，，则即在上恒成立，所以在上恒成立，由对勾函数的性质知在上单调递增，所以当时，，故时，原不等式对于恒成立．同类题型演练1．若函数的最大值为0，则实数a的值为___________.【答案】【详解】因为的最大值为0，所以应有最小值1，因此应有解得.故答案为：.2．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是_________.【答案】【详解】值域为R，设，所以可以取遍中任意一个数，所以所以的取值为故答案为：3．已知函数的值域为，则实数的取值范围是_____【答案】，【详解】函数的值域为，能够取到大于0的所有实数，则，解得.实数的取值范围是，.故答案为：，.4．已知函数．(1)求在区间上的值域；(2)设函数，其中，若对任意，在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【答案】(1)(2)(1)∵，∴在上单调递增，∴．(2)由题意得，，易得在上单调递增，∴任意，成立，即，∴，∴，∴，即a的取值范围为．5．已知函数.(1)若，求的取值范围;(2)当时，求函数的值域.【答案】(1)；(2).（1）令，，可整理为，则即，解得，所以，解得，所以.（2）当时，，因为，且当，有最小值；当或3时，有最大值4；所以的值域为.类型五：对数函数的单调性及应用角度1：利用对数函数的单调性比较大小典型例题例题1．若，，，则正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，，∵为增函数，∴.故选：C例题2．设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，因为在上为增函数，且，所以，因为在上为增函数，所以，所以，综上，故选：D同类题型演练1．设，则，，，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为，又在定义域上单调递增，所以，即，又，所以；故选：A2．比较下列各组中两个值的大小．(1)，；(2)，；【答案】(1)(2)(1)解：由于对数函数在上单调递增，得：.(2)解：由对数函数在上单调递增，在上单调递减，得，即：.角度2：利用对数函数的单调性解不等式典型例题例题1．函数的定义域为（

）.A．（1，2] B．（﹣∞，2]C．（1，+∞） D．[2，+∞）【答案】A【详解】因为函数为，所以，解得.故选：A.例题2．已知函数，则不等式的解集为__________．【答案】【详解】由，得，解得且．所以不等式的解集为，故答案为：例题3．解关于的不等式：（，且）．【答案】当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为【详解】当时，原不等式等价于，即，解得，所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式等价于，即，解得，所以当时，原不等式的解集为；综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．同类题型演练1．关于x的不等式的解集为_________．【答案】【详解】不等式，则有，解得，则不等式的解集为．故答案为：2．解下列不等式．【答案】【详解】解：由已知，得，解得．所以原不等式的解集是．3．已知幂函数的图象过点．(1)求m，n的值；(2)求关于x的不等式的解集．【答案】(1)，(2)（1）由题知为幂函数，则，得或（舍），图象经过，则，解得；（2）∵，∴以4为底的对数函数在其定义域内是单调递增的，则不等式等价于，⇒，∴不等式解集为．角度3：对数型复合函数的单调性的问题典型例题例题1．函数的递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设，可得函数在单调递减，在单调递增，又由函数，满足，解得或，根据复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为.故选：C.例题2．函数的单调递增区间为______，单调递减区间为______．【答案】

【详解】解：由题意，得，解得或，所以的定义域为．由二次函数的图象与性质，知函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．故答案为：；例题3．已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为，所以为减函数．又由函数在上为减函数，可得函数在上大于零，且，故有，解得．故选：A．例题4．（多选）若函数在区间上单调递增，则下列实数可以作为值的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【详解】设，要使在区间上单调递增，则需在上单调递增，且在上恒成立，，解得：，则选项中可以作为的值的是和.故选：CD.例题5．若函数在区间上为减函数，则的取值范围是___________.【答案】【详解】令，当时，是增函数，由在区间上为减函数，则在上为减函数，故，解得，当时，是减函数，由在区间上为减函数，则在上为增函数，故，解得，综上，的取值范围是.故答案为：同类题型演练1．函数的单调递减区间是（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知的定义域为，又，而函数图象的对称轴为，当时，函数递减，故当时，单调递减，即的单调递减区间是，故选：B2．函数的单调递增区间是________．【答案】【详解】由，解得，所以函数的定义域为，令，则函数在上单调递增，在上单调递减，又函数在其定义域上单调递增，所以函数的单调递增区间是．故答案为：.3．满足函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：若在上单调递减，则满足且，即且，则，即在上单调递减的一个充分不必要条件是，故选：D．4．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为___________.【答案】【详解】在定义域内始终单调递减，原函数要单调递减时，，，，故答案为：类型六：与对数函数相关的综合问题典型例题例题1．已知函数，，且．(1)证明：在定义域上是增函数；(2)若，求的取值集合．【答案】(1)证明见解析(2)（1），，，又，，．由，解得，的定义域为．令，任取，且，则．又，，，，即，又在上是增函数，由复合函数的单调性知：在上是增函数．（2），原不等式可化为，即．由（1）知，是增函数，．又的定义域为，的取值集合为例题2．已知函数．(1)若在区间为单调增函数，求的取值范围；(2)设函数在区间上的最小值为，求的表达式；(3)设函数，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).（1）因为的图象开口向上，对称轴方程为，所以在区间为单调增函数需满足，解得.（2）①当，即时，在区间为单调增函数，此时.②当，即时，在区间上是减函数，在区间上为增函数，此时.③当即时，在区间上为减函数，此时，综上所述，（3）对任意，不等式恒成立，即，由（2）知，，因为，所以在上为单调递减函数，所以①当时，由得解得（舍去）②当时，由得，即，解得或，所以.③当时，由得，解得，所以.综上，实数的取值范围.例题3．已知函数是偶函数．(1)求的值；(2)若函数，且在区间上为增函数，求的取值范围．【答案】(1)(2)（1）由是偶函数可得，

．则，即,所以恒成立，故.（2）由（1）得，所以，令，则．为使为单调增函数，则①时显然满足题意；②；③.综上：m的范围为.例题4．已知是对数函数，并且它的图像过点，，其中．(1)当时，求在上的最大值与最小值；(2)求在上的最小值．【答案】(1)最大值为3，最小值为．(2)（1）解：设（，且），∵的图像过点，∴，即，∴，即，∴．∵，∴，即．设，则，，∴，又，，∴．∴当时，在上的最大值为3，最小值为．（2）解：设，则，由（1）知，对称轴为直线．①当时，在上是增函数．；②当时，在上单调递减，在上单调递减，；③当时，在上单调递减，．综上所述，．同类题型演练1．已知函数．(1)若函数的定义域为，求实数的值；(2)若函数的定义域为，值域为，求实数的值；(3)若函数在上单调递增，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)实数的值为1或(3)（1）令，则由题意可知1，3为方程的两个根，所以函数的图像的对称轴方程为，即．（2）由题意，对于方程，，即，由函数的值域为，可得当时，，解得或．故实数的值为1或．（3）函数在上单调递增，则在上单调递减．易知函数的图像的对称轴为直线，所以．易知在时取得最小值，当时，有，得，所以实数的取值范围是．2．已知函数的图象关于原点对称，其中为常数．(1)求的值；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；(3)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3)（1）解：因为函数的图象关于原点对称，所以，即，所以恒成立，所以恒成立，即恒成立，即恒成立，所以，解得，又时，无意义，故．（2）因为时，恒成立，所以恒成立，所以在上恒成立，因为是减函数，所以当时，，所以，所以实数的取值范围是．（3）因为在上单调递增，在上单调递减，因为关于的方程在上有解，所以即解得，所以实数的取值范围是．3．已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称，且．(1)求实数a的值；(2)，．求的最小值、最大值及对应的x的值．【答案】(1)2(2)，，，．（1）方法一：因为的图象与的图象关于直线对称，所以与互为反函数，所以（，且），又，所以．方法二：因为的图象与的图象关于直线对称，且，所以，所以．（2）．令，，故，则，当时，，此时，当时，，此时．4．已知幂函数为偶函数．(1)求函数的解析式；(2)若函数的定义域为，求函数的值域．【答案】(1)(2)(1)由为幂函数，得，解得或,当时，，符合题意；当时，，不合题意，舍去．所以．(2)由知，，则的解集为，即和是方程的两根，由韦达定理，可知，所以，则，即函数的值域为．类型七：新定义问题典型例题例题1．核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，的数量与扩增次数满足，其中为的初始数量，为扩增效率.已知某被测标本扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率约为（

）（参考数据：）A．22.2% B．43.8% C．56.2% D．77.8%【答案】D【详解】解：由题意知，，即，即，所以，解得．故选：D．例题2．年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若，，则的值约为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由得：.故选：A.例题3．中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出．如7738可用算筹表示为．1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则的运算结果可用算筹表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，对照题中数码，注意纵式与横式，即可得到答案D.故选：D.例题4．数学家欧拉曾得到这样的结论：小于数字的素数个数可以表示为．根据欧拉得出的结论，可估计以内的素数的个数为（

）（注：素数即质数，）A．2172 B．4343 C．869 D．8686【答案】D【详解】．故选：D同类题型演练1．为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希