2025-2026学年四川成都成华区高二上学期段考一数学试题含答案

学年度（上）阶段性考试（一）高级数学考试时间：分钟满分：分8个小题，每小题5分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求.1.我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为120）A.52B.48C.36D.242.学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65607578868490948名学生成绩的75%分位数是（）A.88分B.84分C.85分D.90分3.病毒的概率均为概率：先由计算机产生出，之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：192907966925271932812458569683257393127556488730537989431据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（）A.0.25B.0.4C.0.6D.0.754.若是两条不相同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是A若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则5.已知是空间一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（）A.B.C.D.6.向量，，，且，，则（）第1页/共5页A.B.C.D.7.如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（）AB.C.D.8.正方体的棱长为2P是空间内的动点，且的最小值为（）.A.B.C.D.二、多选题：本题共3个小题，共分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若，则向量，的夹角是锐角B.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面C.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面D.若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A.乙发生的概率为B.丙发生的概率为C.甲与丁相互独立D.丙与丁互为对立事件在正三棱柱中，满足，（）第2页/共5页A.当时，三棱锥的体积为定值B.当三棱锥的体积为定值时，C.当时，有且仅有两个点，使得D.当平面时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是______13.“五行”.古人构建了金生“两行”“两行”相生的概率是_______14.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_______四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．（1）用表示向量，并求的模长；（2）求与所成角的余弦值．16.如图，长方体，分别在棱，，第3页/共5页明：（1）当时，；（2）点在平面内．17.、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.（1）求与的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．18.是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值；第4页/共5页（2）求样本成绩的众数，中位数和平均数；（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差.19.已知两个非零向量，，叫做向量，夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，.（1）求的长；（2）若为的中点，求二面角的余弦值；（3）若为上一点，且满足，求.第5页/共5页

学年度（上）阶段性考试（一）高级数学考试时间：分钟满分：分8个小题，每小题5分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求.1.我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为120）A.52B.48C.36D.24【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用分层抽样的抽样比列式计算即得.【详解】依题意，应抽取的一年级学生的人数为.故选：C2.学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65607578868490948名学生成绩的75%分位数是（）A.88分B.84分C.85分D.90分【答案】A【解析】【分析】先对这8名学生的成绩按从小到大排列，然后用百分位数的定义求解即可.【详解】8名学生的成绩从小到大排列为：60，65，75，78，84，86，90，94，因为，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即分．故选：A.3.病毒的概率均为概率：先由计算机产生出，之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：192907966925271932812458569683第1页/共18页257393127556488730537989431据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（）A.0.25B.0.4C.0.6D.0.75【答案】A【解析】【分析】求得三只豚鼠都没有被感染的数量，结合题意，求解即可.【详解】组数据中，都不含的数据有5个，分别是：907，966，569，556，989；故三只豚鼠都没被感染的概率为：.故选：.4.若是两条不相同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】C【解析】【分析】根据线面关系，对A、B、D,都可能推出l，而C，由面面平行的性质定理直接判断即可.【详解】对A、B、D,都可能推出l,所以不正确；对C，根据两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，所以正确.故选C.【点睛】本题考查了线面、面面平行的判定定理与性质定理的应用，考查了空间线面的位置关系，属于基础题．5.已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案.第2页/共18页【详解】因为，，，所以向量，，均与向量，共面，ABD均不合题意；假设，则，无解，所以与向量，不共面，C符合题意.故选：C6.向量，，，且，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，计算得出结果.【详解】由，，则，解得，，，，故选：C.7.如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（）第3页/共18页A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，根据相互独立事件的概率公式求出、、件的概率公式计算可得.【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，则，，，所以，所以，即该电子元件能正常工作的概率是.故选：B8.正方体的棱长为2P是空间内的动点，且的最小值为（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】取的中点M，连接，取的中点N，连接，则由已知条件可得动点P的轨迹为正方体的外接球，然后由向量的运算可得，从而可求得结果.【详解】取的中点M，连接，第4页/共18页则，则，即，故动点P的轨迹为以M为球心，为半径的球.由正方体的棱长为2，可知正方体外接球的半径为3，即动点P的轨迹为正方体的外接球.取的中点N，连接，则.由题可知，，则，，则.所以最小值为，故选：C二、多选题：本题共3个小题，共分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若，则向量，的夹角是锐角B.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面C.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面D.若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面【答案】BC第5页/共18页【解析】【分析】根据空间向量共面定理即可判断B；根据，得到，即可判断A；根据判断四点共面即可判断C；异面直线的平行线即可判断D.【详解】对A，若，则，则向量，的夹角可以为0不是锐角,故A错误；对B，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确.对C，因为，且，所以四点共面,故C正确.对D，分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的平行线可以共面，故D错误.故选：BC.10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A.乙发生的概率为B.丙发生的概率为C.甲与丁相互独立D.丙与丁互为对立事件【答案】ACD【解析】【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C的正误，根据对立事件的意义可判断D的正误.【详解】设为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则，，故A正确.，，故B错误.而，故C正确.两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确.第6页/共18页故选：ACD.正三棱柱中，满足，（）A.当时，三棱锥的体积为定值B.当三棱锥的体积为定值时，C.当时，有且仅有两个点，使得D.当平面时，【答案】BC【解析】【分析】选项A，C先确定点的轨迹判断即可；选项B，D利用题意确定轨迹即可.【详解】当时，得，由向量的加法运算可知，此时点在线段上，此时三棱锥中点到平面的距离为定值，为底面正三角形的高为，所以此时的体积为，故选项A错误；第7页/共18页由题易知，点在正方形内，所以点到平面的距离为定值，当三棱锥的体积为定值时，可知因为，所以点到直线的距离为，故此时点在线段上，根据向量的线性运算可知，故选项B正确；记的中点为,的中点为，的中点为,连接在线段上；要使，易知点在以为直径的球面上；故我们需要判断以为直径的球面与线段的交点个数；易知，所以线段上刚好有两个点在以为直径的球面上，即当时，有且仅有两个点，使得，故选项C正确；记的中点为点,连接，由题易知，所以有第8页/共18页所以,又是平面内的两条相交直线，所以平面又因为平面，点在正方形内所以易知点在线段上，此时的值不确定，故选项D错误；故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是______【答案】【解析】【分析】根据题中条件，直接利用公式计算即可.【详解】因为，，所以，，故向量在向量上的投影向量为，故答案为：13.“五行”.古人构建了金生“两行”“两行”相生的概率是_______【答案】##0.5【解析】【分析】写出随机任取“两行”共有多少种，再写出“两行”相生的可能情况，根据古典概型的概率计算求第9页/共18页得答案.“两行”共10种，其中取出的“两行”相生的情况有金生水、水生木、木生火、火生土、土生金共5种，所以取出的“两行”相生的概率,故答案为：14.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_______【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质及互斥事件的概率公式列式求解.【详解】由，得，解得，由，得，解得，由，得，解得，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．（1）用表示向量，并求的模长；（2）求与所成角的余弦值．【答案】（1），第10页/共18页（2）【解析】1）利用向量的三角形法则即可表示出向量，两边同时平方即可求得结果.（2）利用空间向量夹角的计算公式即可求得结果.【小问1详解】，，所以【小问2详解】设为异面直线与所成的角，，所以异面直线与所成的角.16.，分别在棱，，明：（1）当时，；（2）点在平面内．【答案】（12）证明见解析.第11页/共18页【解析】1,进而可证平面,即得结果；（2）只需证明即可，在上取点使得,再通过平行四边形性质进行证明即可.【详解】（1）因为长方体,所以平面,因为长方体,所以四边形为正方形因为平面,因此平面,因平面,所以；（2）在上取点使得,连,因为,所以所以四边形为平行四边形，因为所以四点共面，所以四边形为平行四边形，，所以四点共面，因此在平面内【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题.17.第12页/共18页、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.（1）求与的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】1率依次为、、，已知三个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且，利用相关公式建立方程组，即可求得与的值；（2）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果.，解得（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为，获得本选修课学分分数不低于4分为事件，则；；.故.【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有相互独立事件同时发生的概率，互斥事件有一个发生的概率，注意对公式的正确应用是解题的关键.18.是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所第13页/共18页有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值；（2）求样本成绩的众数，中位数和平均数；（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差.【答案】（1）；（2）众数为75，中位数为75，平均数为74；（3）平均数为62，方差为37.【解析】1）根据频率和为1求得；（2）根据直方图，及众数、中位数、平均数求法求值；（3）根据已知求样本总均值，再由总方差公式求样本总方差.【小问1详解】由每组小矩形的面积之和为1，得，解得；【小问2详解】由，得样本成绩的众数为75，成绩落在内的频率为，成绩落在内的频率为，故中位数在内，由，得样本成绩的中位数为75，由，第14页/共18页得样本成绩的平均数为74；【小问3详解】由频率分布直方图知，成绩在的样本数为，成绩在的样本数为，所以，总方差为.19.已知两个非零向量，