2021北京高一（上）期中数学汇编：函数的基本性质章节综合

2021北京高一(上)期中数学汇编

函数的基本性质章节综合

一、单选题

1.(2021•北京市第四十三中学高一期中)下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()

A.y=-x+\B.y=-x2+4x+5C.y=-D.>T=|X-2|

av+5,x<\

2.(2021・北京・景山学校高一期中)已知函数=41,是R卜的减函数,则〃的范围是()

―,x>\

.x

A.[-4,0)B.[-4,-KO)C.(f-4)D.S,0)

3.(2021.北京•北师大实验中学高一期中)如果函数/(x)的定义域为切，且值域为则称为

5x,0<x<1,

“c函数''.已知函数/")=2/।是“Q函数”，则用的取值范围是()

x-4x+rn,1<x<4

A.[4,9]B.[5,9]

C.[d、+8)D.[5,+oo)

4.(2021•北京市第五十七中学高一期中)若函数/(x)=二t'一1是R上的减函数，则实数。的取值范

2ar+1,x<l

围是()

1「1、

A.(―,0)B,--,0C.(-oo,2]D.(-oo,0)

22

5.(2021•北京市第五十七中学高一期中)已知定义域为。的函数f(x),若对任意xcO,存在E数都有

|/(x)归"成立，则称函数/(“是定义域为。上的“有界函数”.已知下列函数：

(1)/(x)=77^；⑵f(r)=V4-x2；(3)f(x)=2_：~~r：⑷/(x)=x+V4-x.

■11人4人V人IJ

其中“有界函数”是

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)

二、双空题

6.(2021•北京市第五十七中学高一期中)函数y=—『+2R+3的单调减区间是________,/(/(-»)=.

三、填空题

7.(2021•北京市第一二五中学高一期中)函数八幻=kl在卜2,2]上的值域为.

8.(2021•北京•东直门中学高一期中)若Vxe[l,4],⑪之/一4恒成立，则实数。的取值范围为.

9.(2021.北京铁路二中高一期中)给出定义：若〃?+g(其中m为整数，则机叫做离实数x最近的整

数,记作3,即｛1｝=〃?，在此基础上给出下列关于函数〃幻=『一｛1｝的四个命题:

0/(0)=/(l)；

②点（&,o）是），=f（x）的图像的对称中心，其中AeZ；

③y=/（x）的定义域是兄值域是（一另；

④函数y=/（i）在卜另上是增函数.

则上述命题中真命题的序号是_______________.

10.（2021.北京市第五十七中学高一期中）若定义在R上的二次函数贡幻=◎44外+6在区间［0.2］上是增函数，且

加〃）次））,则实数m的取值范围是.

四、解答题

II.（2021•北京市第四十三中学高一期中）已知函数/（幻=/+（2-〃k-2,〃，其中〃YR.

⑴当旭=0时,写出/*）单调区间，并求/“）的最小值；

⑵若函数在区间（F，4］上是减函数，求实数加的取值范围；

（3）求关于x的不等式/（A）<。的解集.

12.（2021•北京八中高一期中）已知集合M是满足下列性质的函数/（用的全体：存在非零常数7,对任意xwR,

有-7）=7/。）成立.

⑴判断函数八幻=x是否属于集合“，并说明理由；

（2）设函数f（x）=a\a>0,。w1）的图像与丁=1的图像有公共点，证明：函数f（灯属于集合M：

（3）是否存在实数〃，使得/（幻=划］-。|属于集合M?若存在，求出实数〃的取值范围：若不存在，请说明理由.

13.（2021•北京广渠门中学教育集团高一期中）已知函数/（刈=一三.

⑴判断函数/（幻的奇偶性，并用定义证明；

（2）用定义证明：八幻在口,”）上单调递减；

⑶若实数〃满足+求。的取值范围.

14.（2021•北京•中关村中学高一期中）己知函数〃切=/-2工

（1）求证：对于任意的K«0,4］,总有2x-4K/（x）K2.r；

⑵记函数尸|〃"-21-/"在区间［0,4］的最大值为6（6），求G（阳）的最小值.

15.（2021•北京市育英中学高一期中）已知二次函数/*）=/-2（〃-以+4.

⑴若"X）为偶函数，求r。）在［-1.3］上的值域：

（2）若/（#在区间（f,2］上是减函数，求实数〃的取值范围；

⑶若xe［l,2］时，/（幻的图象恒在直线），=奴的上方，求实数。的取值范围.

16.（2021•北京十五中高一期中）己知二次函数/（"=，谓+/状+。.

⑴若」・1）=0,试判断函数，（力零点个数;

⑵是否存在a,b,ceR,使/（x）同时满足以下条件

①当尸・I时，函数/（X）有最小值0：

②对任意x£R,都有制"）-1—

参考-+z答A^r案r?"*

1.B

【解析】

根据函数的单调性确定正确选项.

【详解】

A,y=一元+1在（。，2）上递减，不合题意.

B,y=-f+4x+5开口向下，对称轴为x=2,所以在区间（。，2）上是增函数，正确.

C,丁=,化（0,2）上递减，不合题意.

X

,।[x-2.x>2

D,产x-2=\、，在（0⑵上递减，不合题意.

[2-x,x<2

故选：B

2.A

【解析】

分段函数是R上的减函数，不仅需要每一段是单调递减的，还需要左边一段的最低不高于右边一段的最高，据此列

不等式求解即可.

【详解】

ax+5,x41

1,是R上的减函数，

[a<0I

则，<、1，解得-4K”0

a+5Nl

故选：A.

3.B

【解析】

根据函数的新定义得到/（力.=/.）且/（63=/。），结合函数/（“和二次函数的性质，列出不等式，即可求

解.

【详解】

由题意，函数“X）的定义域为[〃/],且值域为

即函数/'（X）的最小值用（x）1nto=/（«），最大值为f（x）1rax=f®，

5x,0<x<l

又由函数/。）=〈

-4x+m,1<x<4

当OWxWl时，W0<5x<5,

5>f(2)>09>/??>4

要是函数/（X）满足新定义，则满足•「，即「所以5《”区9,

/(4)>5w>5

所以实数，〃的取值范围是[5,9].

故选:B.

4.B

【解析】

因1

2

由题，得2。<0,解不等式组即可得到本题答案.

—1~+axl—3a41x2。+1

【详解】

由时，/。)=「？+办一3a是减函数，得。工2,由x<l时，函数/(x)=2ov+l是减函数，得“<0,由x=l时的

函数值应满足d+qxT心Ix2a+I,解得心-；，综上，得

故选：B

【点睛】

本题主要考查根据分段函数的单调性确定参数的取值范围.

5.B

【解析】

分别求四个函数的值域，对照“有界函数''的概念即可判断.

【详解】

(1)〃"=泮=7+--，由于1一0°，所以/(x)HO,(刈>。不满足题意；

(2)令)，=4一12,)亚。，则/(x)=4

因为y=4-Y,y之0,当x=0时，函数)，=4-/,)，20的鼓大值为％”=4

所以yw[0,4],即f(x)e[0,2],，(到42,为有界函数;

(3)令)，=2/-4¥+3,(丁工0),当工二一^^^时，函数y=2d-4x+3,(yw0)有最小值2x『-4xl+3=l,即

乙X乙

2X2-4X+3>1,所以0VL4-？0=5,所以|/(x)归5

2x-4x+31

故函数/(力==4-为有界函数；

2.r-4.r+3

(4)令/=J4-2。,则x=4-产，即"“=一/+/+4,r>0

1/1\-]]*717

当/=]时，/(x)nm=--+-+4=—,无最小值，即此时不存在正数M，都有|/(x)|KM成立，

2\,2/244

故该函数不是有界函数.

故选B.

【点睛】

本题主要考查了函数值域的求法，属于中档题.

6.(1,+oo)和(—1,0)-5

【解析】

写出〃幻的分段函数形式，利用各分段上二次函数的性质判断单调减区间，再求/(-1),进而求/(/(-I))的值.

【详解】

当工20时，/(x)=-x2+2.r+3=-(x-1)2+4,

当x<0时，/(.r)=-x2-2x+3=-(x+I)2+4,

,.—(x+1)+4,x<0,\、

A/W-l'\,易如：/⑺在(1,18)、(1,0)上递减.

+4,x>0

又/(-1)=4,则/(/(-1))=/(4)=一5.

故答案为：(1,*°)和(-1,0),—5.

7.10,2]

把函数f(x)化成分段函数，再求出每一段上的函数值集合，然后求并集即可.

【详解】

-x,-2<x<0

依题意，xw[-2,2]时,/*)=凶=，

x,0<x<2

则当一24<0时，,/)=—是单调递减的，即/(0)</(、)W/(-2),段)值集合为(0,2],

当0W2时，/*)=x是单调递增的，即〃0)4/0)工/(2),段)，立集合为[0,2],

所以函数=1xI在[-2,2]上的值域为。2].

故答案为：[0,2]

8.[3,+co)

【解析】

4(4、

参变分离可得-对Txw[l，4]恒成立，即〃之X—,xe[l,4],再根据函数的单调性求出函数的最大值，

XImax

即可得解；

【详解】

解：因为Vxw[l,4],orNd—4恒成立，所以Tx«l,4],立土二二X一3恒成立，所以北工一一，-ve[l,4],

XXV)max

因为函数=在[1,4]上单调递增，所以〃XL="4)=4—：=3,所以即

故答案为：[3,包)

9.®@

【解析】

依据函数定义，得到，。）=1-{灯£（-5,3],再对四个命题逐个验证后，即可得到答案.

【详解】

由定义可得八。）=/⑴=。，故①正确；

由于心Z,f（k）=kTk}=k-k=O,但由于/*）=x_*}£（_:』，故函数图象不是中心对称图形，故②错误;

f（2的定义域为R,/（X）=X-{A-}G（-11],故③正确；

当时,/(x)=x-O=x,当时，f(x)=x-1

\乙乙

所以/⑴在（-：1=1],（：|3，力上是增函数，但在区间（―1-3力上不是增函数，故命题④错.

222222

故答案为：①③

10.[0,4]

【解析】

可先求出二次函数的对称轴x=-F=2,再根据函数的增减性及对称性可求得m的取值范围.

-2a

【详解】

一4〃

二次函数的时称轴X二一一二2,•・r€（0,2）时函数单调递增，.•.av。，二次函数开口向下，・•.xe（2,4）函数单调递

-2a

减，根据二次函数的对称性，八。）=/（4）,./（⑼决）），二•〃回0,4]

【点睛】

二次函数是对称函数，解题时，一定要根据对•称性来解题，防止漏解错解.

11.⑴单调递增区间[-1，田）；单调递减区间最小值-1

⑵U0,欣）

（3）答案不唯一，具体见解析

【解析】

（1）根据二次函数/（x）的对称轴和开口方向求得单调区间以及最小值.

（2）根据/（x）在区间（F,4]上的单调性列不等式，由此求得，”的取值范围.

（3）对“进行分类讨论，由此求得不等式/（幻工。的解集.

（1）

当〃?=。时，f（x）=x2+2x=（x+\）2-\.

开口向上，对称轴工=-1,

单调递增区间1-1,+◎,

单调递减区间（y,T],

所以，当x=T时，/（幻取得最小值T.

⑵

抛物线开口向上，对称轴"=-三”

因为/(X)在(-8,4]上是减函数，

〃210,

所以，〃的取值范围是10,包).

(3)

/(x)<0g[J(x+2)(x-/w)^0.

①当〃〉一2时，的解集为“|一2$工4加｝;

②当,”=—2时，的解集为｛x|x=-2｝：

③当〃?<-2时,的解集为｛x\m<x<-2｝.

12.(l)/(x)=x任M,理由见解析

⑵证明见解析

(3)不存在实数。，使得/(x)=xb-〃l属于集合M

【解析】

(1)将fM=x代入定义/J+7)=Tf(x)验证知函数f(x)=x不属于集合M.

(2)由题意存在xwR使得由新定义知存在非零常数7使得/=7,将函数关系式代入/(x+T)=H〃x)验

x

证知f[x｝=aGM.

7=1

(3)先假设存在，则由新定义有7L,方程组无解，故不存在

1=-1

(1)

f(x)=x^M,

理由如下：

若f(x)=x,

贝Ijf(x-T)=x+T,TJ(A)=7A-,

3x=a/a+7')=7'^o,w)=o,

所以=；

(2)

函数fH)-cJ(a>0,aq1)的图像与y-"的图像有公共点，

v=ax

所以方程组：f有解，消去>得a'=x,

y=x

显然工=0不是方程的解，

所以存在非零常数丁，使/=r.

于是对于/(X)=4,有f｛x+T)=a"'=a"a1=Th'=Tf(x),

故/(xi=ax；

(3)

若/(x)eM,则当x=0时，/(x+T)=7'|T-«|，W)=0,

所以中-4=0,得7=%

贝IJf{x-T)=(A-+T)H，7f(x)=TX\X-T\t

当x>0且x>7,/(x+T)=X2+TxJf{xj=Tx2-T2x,

T=\

所以丁丁2,方程组无解，

i=-I

故不存在实数〃，使得/(x)=x|x-al属于集合M

13.(1)奇函数，证明见解析

⑵证明见解析

(3)。>1或av-1

【解析】

(1)根据函数奇偶性的定义判断即可；

(2)根据函数单调性的定义法证明；

(3)利用单调性解不等式即可.

(1)

函数/(*)是奇函数.

函数/5)==一的定义域为R，关于原点对称，

x2+\

/(T)=--=__A-=-f(x),

(一X厂+1x2+\

・.・函数/“)是奇函数.

(2)

设且内<々，

f(r)二XW二百(一+1)-1(内2+1)二(土一王)(1725)

“I八、-M+i/+广*；+1).(石+1)—(一+1).(考+1).

因为A，.C[l，+8)且不<々，

所以西一吃<。,％W>1』一为X2<Ot

所以/(内)一/(9)>0,/(芭)>/伍)，

所以M在[1,+8)上单调递减.

⑶

22

因为/⑵二药方

所以/(/+1)</(2),

rh(2)知函数/(幻在口,+oo)上单调递减，

所以片+1>2,

解得或”-1.

14.(1)证明见解析

(2)2

【解析】

⑴根据给定条件构造函数煎x)=/(x)-2.r,求出函数g(x)在x«0,4］的值域即可得解.

⑵令/(x)-2x=r,函数y=|.f(.i)-2..N=|一问，再按,〃值分类讨论即可求解作答.

(1)

依题意，令g(x)=/(x)-2x,xe［o,4］,则当xc［0,4］时，=/-4x=(x-2)2-4,

显然g(x)在02］上单调递减，在241上单调递增，8*)*=第2)=-4,g(x)1a=以0)=以4)=0,

于是得对任意的x40,4］,总有TWg(x)W0,^-4<f(x)-2x<0f亦即2x-4K/(x)K2x,

所以对于任意的xe［()，4］,总有21—4W/(x)«2x.

⑵

令f(x)-2x=f,由(1)知，当工£［。,4］时，-4</<0,则函数丁=|/(工)一2］一同，xe［0,4］可化为函数

h(t)=\l-m\,-4<r<0,

当〃?WY时、力(/)=/一6在，e［-4,0］上单调递增，〃⑺3=〃(0)=一⑶，

当〃S0时，，?(/)=T+6在/引-4,0］上单调递减，/?(Omax=/2(-4)=4+/»,

T+m—4</</zz

当Tv/〃vO时，〃(/)=〈'_，a⑺在［-4,〃?］上递减，在(m,0］上递增，

由力(-4)一万(0)=4+2〃叱0得，m>-2,即当-2W/〃<0时，/z(^)>/z(O),则力()皿=力(-4)=4+,

由力(-4)-/?(0)=4+2"7<0得，m<一2,即当-4<〃?<一2时，力(-4)</?(0),则/?⑺…=〃(0)=一帆，

综上得：当，〃v-2时，=，〃，当m之一2时，=4I，〃，

一/几m<—2

于是得G(⑼=,…G(m)在(-8,-2)上单调递减，在［-2,一)上单调递增，G(Mmin=G*2)=2,

所以G(〃?)的最小值为2.

15.(1)［4J3］

⑵R”)

⑶(Y，2)

【解析】

(1)根据偶函数的定义/0)=/(—X),即可求出。的值：

(2)根据二次函数的性质得到对称轴犬=。-122,从而可求出实数〃的取值范围；

⑶根据题意得出2(〃-1»+4>仆在区间［⑶内恒成立，然后通过分离参数得到3a-2<0+3,xe［l,2］,

VX)inin

从而只需根据基本不等式求x+士的最小值即可.

(1)

易知函数/(制的定义域为R,若八幻为偶函数，则对DxwR,有/(X)=/(T),

即对V.r€R,(-X)2-2(〃一I)(-X)+4=/一2(。-l)x+4成立，

所以对VxeR,4(a—l)x=0成立，所以a=l,所以/(x)=V+4,

当时，f(x)m=/(0)=4,/(1)^=/(3)=3:+4=13,

所以/⑴在11,3］上的值域为［4,13］.

⑵

易知二次函数/(幻=胃-2(〃-1口+4的对称轴为x=a-l,

所以若/⑴在区间(,,2］上是减函数，则4-IN2,即g3,

所以实数。的取值范围为［3,芹)；

(3)

若xe［l,2］时，/(幻的图像恒在直线了=仆的上方，则/。)＞公在区间［1.2］内恒成立,

4

即V-2(a-l)x+4＞or在区间［1,2］