2023-2025全国高考数学试题汇编：等差数列（人教B版）

2023-2025全国高考真题数学汇编

等差数列（人教B版）

一、单选题

1.（2023全国高考真题）记S〃为等差数列｛4｝的前〃项和.若出+%=1。，〃4。8=45,则其=（）

A.25B.22C.20D.15

2.（2024全国高考真题）记S“为等差数列｛4｝的前〃项和，已知55=几，%=1，则6=（）

7717

A.—B.—C.——D.——

23311

3.（2024全国高考真题）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S〃，若Sg=l,则%+%=（）

、72

A.—2B.—C.1D.一

39

4.（2025天津高考真题）S„=-n2+8n,则数列｛⑷｝的前12项和为（）

A.112B.48C.80D.64

5.（2025全国高考真题）记S“为等差数列｛4｝的前〃项和，若53=6,其=-5,则臬=（）

A.-20B.-15C.-10D.-5

6.（2023全国高考真题）记S,为数列｛%｝的前〃项和，设甲：｛%｝为等差数列；乙：｛｝｝为等差数列，则

（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

7.（2023全国高考真题）已知等差数列｛。“｝的公差为会，集合S=｛cosqJ〃eN*｝,若5=｛。,可，则必=

（）

A.-1B.--C.0D.5

22

二、填空题

8.（2025上海高考真题）已知等差数列｛%｝的首项%=-3,公差d=2,则该数列的前6项和为.

9.（2024全国高考真题）记S〃为等差数列｛4｝的前〃项和，若〃3+g=7,3〃2+〃5=5,贝USio=.

三、解答题

10.（2023全国高考真题）已知｛叫为等差数列，黑;数，记S“，4分别为数列｛%｝，色｝

的前”项和，$4=32,4=16.

（1）求｛《,｝的通项公式；

⑵证明:当〃>5时，Tn>S„.

2

11.(2023全国高考真题)设等差数列｛g｝的公差为d,且d>l.令〃=宁3,记S”工分别为数列

｛%｝，｛〃,｝的前况项和.

⑴若3a2=36+”3,53+4=21,求｛%｝的通项公式；

(2)若色｝为等差数列,且S9广取=99,求d.

12.(2023全国高考真题)记S“为等差数列｛%｝的前〃项和，已知。2=U，兀=40.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛同｝的前〃项和

13.(2023北京高考真题)已知数列｛%｝,也｝的项数均为根(机>2),且为也e｛l,2,的前"

项和分别为4,纥，并规定4=或=0.对于％W｛0,1,2,…,机｝,定义〃=max｛z1gW&,/•©｛(),1,2,…,m｝｝,

其中，maxM表示数集M中最大的数.

(1)若4=2,g=l,a3=3,伪=1也=3也=3,求4,小公4的值；

(2)若^2rj<rj+1+rJ_l,j=l,2,.-；m-l,,求小

(3)证明:存在p,q,s,re｛0,1,2,满足。使得4+8尸4+纥.

14.(2024全国高考真题)设机为正整数，数列%，出，…，％小2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项

4和%(/<j)后剩余的4m项可被平均分为优组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列

%,。2,…，。4m+2是j)-可分数列.

⑴写出所有的(，,/),lVi<，W6,使数列勺出，…，4是(口)-可分数列；

(2)当机23时，证明：数列％,%，…，%+2是(2,13)—可分数列；

⑶从1,2,...,4m+2中任取两个数i和j(i<j),记数列％%…，%,“+2是(。J')"可分数列的概率为P"，证明：

参考答案

1.C

【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列｛%｝的公差和首项，再根据前〃项和公式即可解出;

方法二：根据等差数列的性质求出等差数列｛4｝的公差，再根据前〃项和公式的性质即可解出.

【详解】方法一：设等差数列｛%｝的公差为，，首项为q,依题意可得，

。2+4=4+d+q+5d=10,即4+3d=5,

又的8=(4+3d)(ai+7d)=45,解得：d=l,4=2,

5x4

所以S5=5^+-^-xJ=5x2+10=20.

故选：C.

方法―%+。6=2。4=1。，=45,所以〃4=5,々8=9,

从而二幺=1,于是生=4-1=5-1=4,

8-4

所以S5=5〃3=20.

故选：C.

2.B

【分析】由$5=工。结合等差中项的性质可得外=。，即可计算出公差，即可得6的值.

【详解】由S10—S5=牝+。7+/+%+"10=54=。，贝U。8=。，

则等差数列｛为｝的公差d=用刍=一;，故4=%-4d=l-4x

故选:B.

3.D

【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成q和d来处理，亦可用等差数列的性质进行

处理，或者特殊值法处理.

【详解】方法一：利用等差数列的基本量

Qxe

由5=1，根据等差数列的求和公式，$9=9q+安〃=lo9q+36d=1,

22

%+%="I+2d+q+6d=2al+8d=~(9q+36d)=—.

故选：D

方法二：利用等差数列的性质

根据等差数列的性质，+39=^+^,由Sg=l,根据等差数列的求和公式,

<_9(卬+%)故%+%=£.

9―2-

故选：D

方法三：特殊值法

12

不妨取等差数列公差&=。，则Sg=1=94=>q=§,则%+%=24=§.

故选:D

4.C

【分析】先由题设结合。“=Sn-Si求出数列｛%｝的通项公式，再结合数列｛%｝各项正负情况即可求解.

【详解】因为S产―/+8〃,

所以当”=1时，4=H=-12+8X1=7,

当“22时，%=S0一S“_]=(一a?+8〃)一[一(〃-1)+8(/7—1)^|=—2n+9,

经检验，卬=7满足上式，

所以a”=-2〃+9(〃wN*),令=-2〃+9NOn〃V4,an=—2n+9<0=>n>5,

设数列｛㈤｝的前〃项和为T.，

贝U数歹!)｛|七|｝的前4项和为4=$4=-42+8x4=16

数列｛同｝的前12项和为

式2=|41|+|%|+…，+kJ=%+a,+%+%—“5―。6-.—一42

2

=2S4-S12=2X16-(-12+8X12)=80.

故选：C

5.B

【分析】由等差数列前〃项和公式结合题意列出关于首项q和公差d的方程求出首项4和公差d,再由等

差数列前n项和公式即可计算求解.

3%+3d=6Jd=-3

【详解】设等差数列｛%｝的公差为力则由题可得

5%+10d=-5[4=5

所以$6=6q+l5d=6x5+15x(-3)=-15.

故选：B.

6.C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前〃项和与第〃项的关系推理判

断作答

【详解】方法1，甲：｛%｝为等差数列，设其首项为4,公差为心

mtrc।n(n-l).S_n-1ddS,〃+id

贝US—net]H-----------u,—n=qH-------d——n+a,

n2n221x2n+1n2

因此｛1｝为等差数列，则甲是乙的充分条件;

n

oSS科+-5+1电叫+「S〃

反之，乙:｛%｝为等差数列，即为常数，设为方,

nn+1nn(n+l)n(n+l)

na,—S

即~~=t，则S“=na-t-n(n+l),有S_=(n-V)a-t'n｛n-Y),n>2,

n(n+l)ll+tnrn

两式相减得：an=几。H1一(九一l)a〃一2加,即。用-对〃=1也成立，

因此｛4｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，c正确.

方法2,甲：｛为｝为等差数列，设数列｛%｝的首项4,公差为d,即S“=叫+也展1"，

则2=2d=4〃+q-4，因此｛2｝为等差数列，即甲是乙的充分条件；

n222n

cWWW

反之，乙：｛-4为等差数列，即T-j=2登=3]+(〃-1)0,

nn+1nn

即Sn=nS\+〃(〃一l)D,Sn_x=(n-l)S,+(H-1)(H-2)D,

当〃之2时，上两式相减得：S”-S“_]=S]+2(〃-1)£),当〃=1时，上式成立，

于是g=4+2(〃-1)。，又4+1—%=4+2几。一14+2(〃-1)。]=2。为常数，

因此｛4｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

7.B

【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理

作答.

27r2冗27r

【详解】依题意，等差数列依,｝中,a„=a1+(n-l)-y=yn+(a1-y),

27r2冗

显然函数丁=COS[可〃+(%-3■)]的周期为3,而〃eN*,即cos为最多3个不同取值，又

｛cosa〃|〃$N*｝=｛〃,/?｝,

贝U在coscos%,cosa3中,cosax=cosa2wcosa3或cosqwcosa2=cosa3或cosax=cosa3wcosa2

9774兀

于是有cos0=cos(6+-)或cos3=cos(6+—),

7T

即有e+(e+QTTT)=2E#£Z,角星得6=也一自/£2；

47r9jr

或者e+(e+q)=2E,keZ,解得6=E-q,keZ；

bl、l_7J兀、r/7兀、4?rJ71.21兀1—p.

以上TwZ,cib—COS(zAJI——)COS[(KTI—H——]=—COS(左7T—cosku——COSKJlcos~=——

ab=cos(fai-—)coskn=~—.

32

故选：B

8.12

【分析】直接根据等差数列求和公式求解.

6xS

【详解】根据等差数列的求和公式，S6=6q+\^d=12.

故答案为：12

9.95

【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出4，d,再利用等差数列的求和公式即可得到答案.

【详解】因为数列%为等差数列，则由题意得公：„<，解得二,，

3（q+d）+q+4d=5[d=3

10x9

贝ljS]o=lO%+^—d=10x（-4）+45x3=95.

故答案为：95.

10.（1）。〃=2〃+3；

（2）证明见解析.

【分析】（I）设等差数列｛g｝的公差为d,用％/表示S.及即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的结论求出S“，b„,再分奇偶结合分组求和法求出T“，并与S”作差比较作答；方

法2,利用（1）的结论求出S“，b”,再分奇偶借助等差数列前〃项和公式求出T.，并与S“作差比较作答.

%一6'〃=21入N*,

【详解】（1）设等差数列｛4｝的公差为“，而2=

2an,n=2k

则a=q_6,仇=2a2-2al+2J,b3=a3-6=ax+2d-6f

S4=4-a.+6d=32

于是73=4q+482=16'解得…”=2,…+(—+3,

所以数列｛%｝的通项公式是a“=2〃+3.

n(5+2〃+3)2n—3,n=2k—l*

（2）方法L由（1）知，S==n2+4H,b=/EN*,

n2n4n+6,n=2k

当〃为偶数时，bn-\+2=2(〃-1)-3+4〃+6=6〃+1,

13+(6〃+l).j%+J,

〃2222

37i

22

当〃〉5时，Tn—Sn=(—n+—ri)—(n+4n)=-n(n—1)>0,因此，

3735

22

当«为奇数时，Tn=Tn+1-bn+1=-(n+V)+-(n+1)-[4(〃+1)+6]=-»+-«-5,

3S1

当〃〉5时，T”-Sn=(―几2+万〃—5)—(九之+4n)=—(n+2)(〃—5)>0,因此1>,

所以当〃〉5时，Tn>Sn.

2"一'fl,八N*,

方法2：由（1）矢口，Sn=.（5+；〃+3）二九2十4九,bn=

4n+6,n=2k

、1,、T/fflrr，z71\/I11\一1+2(〃-3fl14+4/1+6Tl3?1

当〃为偶数时，q=(47+4+…+)+(a+,+…+2)=------------5+---5------=-n'+-n

乙乙乙乙乙乙

371

当〃>5时，Tn—Sn={—n"+—n)—(n~+4n)=—n(n—1)>0,因此>>S”,

—1+2rl—3n+114+4(1)+6n-1

当〃为奇数时，若则£=(4+4+…+%)+(a+d+…+6"-1)=------------------•----------F

2222~

32535

=jn+jn-5,显然工=4=一1满足上式，因此当〃为奇数时，Tn=^rr+^n-5,

351

22

当〃〉5时，Tn-Sn=(―H+—zi—5)—(n+4n)=—(n+2)(n—5)>0,因此，>S〃,

所以当〃〉5时，Tn>Sn.

11.⑴。〃=3〃

⑵d=—

50

【分析】(1)根据等差数列的通项公式建立方程求解即可;

(2)由｛〃｝为等差数列得出%=d或〃i=2d,再由等差数列的性质可得%-%)=1，分类讨论即可得解.

【详解】(1),/3%=3囚+%,3d=〃[+2d,解得%=d,

/.S3=3a2=3(%+d)=6d,

26129

又1=4+4+4——+——+一

d2d3d~d

9

/.邑+(=6dH—=21,

d

即2d2-7d+3=0,解得d=3或1=；(舍去),

/.=q+(〃-1)•d=3〃.

(2)••・｛》〃｝为等差数列,

12212

2b2=b+b,即——=--1------,

x3^^2CI3

11、6d1ccAT

6(---)=,即Q；_3a{d+2d2=0,解得%=d或备=2d,

•：d>l,:.a〃>0,

又金=99,由等差数列性质知,99%。-99%=99,即％%)=1，

25501

「•。50=1,即“50—〃50—2550=0,解得〃50=51或。50=—5。(舍去)

〃50

当％=2d时，%o=%+49d=51d=51,解得d=i,与d>l矛盾，无解;

当％=d时，。50=%+49d=50d=51,解得d-

12.⑴”“=15-2”

fId"-"'""

(2)T=1

"p-14w+98,n>8

【分析】(1)根据题意列式求解对“，进而可得结果；

(2)先求S",讨论。”的符号去绝对值，结合S“运算求解.

【详解】(1)设等差数列的公差为d,

a2=at+d=11

4+d=na1=13

由题意可得%=10%+^^d=40',解得

2a1+9d=8d=—2

所以4=13-2（〃-1）=15-2〃,

⑵因为s”——…

令a“=15-2〃>0,解得〃<彳，且“eN*,

2

当“47时，则。”>。，可得（=|%|+同T--1■⑷=%+a2H---\-an—Sn=14n—n；

当“28时，则凡<。，可得方引力+㈤"1---=（ai+ai-------（火"1---------

222

=S7-（5„-S7）=2S7-5'n=2（14x7-7）-（1477-H）=n-14/J+98；

14n-n2,n<7

综上所述:

n2-14M+98,H>8

13.(1)%=。，4=1,4=1，4=2

(2)rn=n,7?eN

(3)证明见详解

【分析】(1)先求A，A，A，A，鸟,4,鸟,2,,根据题意分析求解；

(2)根据题意题意分析可得*-利用反证可得g-〃=1,在结合等差数列运算求解;

(3)讨论4.2,“的大小，根据题意结合反证法分析证明.

【详解】(1)由题意可知：4=0,4=2,4=3,4=6,稣=0,瓦=1,刍=4,用=7,

当k=0时，则稣=4=0,7=1,2,3,故％=0；

当左=1时，则5。<4,可<A，4>A"=2,3,故々=1；

当人=2时，贝!|旦<4/=0,1,82)4,83>4,故4=1；

当k=3时，则耳(4,i=0,1,2,四)4,故匕=2；

综上所述：％=0，弓=1,4=1,4=2.

(2)由题意可知：rn<m,且/wN,

因为4之1,纥N1,且则4、司>绕对任意〃eN*恒成立,

所以4=。/N1,

又因为2。=*+*,则人1一々二々一口，即/一％_12&_1->_22…■--而>1，

可得乙1-取1,

反证：假设满足……的最小正整数为l<j<m-l,

当行）时,贝U*-々N2；当区,一1时，则*一々=1,

贝[%=（%_矶+一展2）+…+h一々）+々22（功_J）+j=2/―/”

又因为1<j则%22机-j22〃z-（〃?-l）=机+1>机，

假设不成立，故以1-％=1,

即数列｛乙｝是以首项为1,公差为1的等差数列，所以/=O+lx"=",〃eN.

（3）因为乙々均为正整数，贝隆4｝,｛凡｝均为递增数列，

（i）若4=纥,，贝问取f=q=O,满足p>"“使得4+B,=Ag+B,；

（ii）若'<4"，则〃<加，

构建S"=",-A，l4三机，由题意可得：S„<0,且S,为整数，

反证，假设存在正整数K,使得又<-〃7,

则”-ARW-m,B,K+1-AK>0,可得brK+1=B,K+i-B,K=（耳虫一4）一（以一4）>〃z,

这与4+ie｛1,2,…，租｝相矛盾，故对任意,均有S”wi-"z.

①若存在正整数N,使得S",-4V=0,即4="，

可取f=q=O,p=N,s=G,

满足0>%s>/,使得4+与=4+4；

②若不存在正整数N,使得8=0,

因为Sa,且14〃《加，

所以必存在lVX<PV〃z,使得%=丛，

即B,*-A*=Bry-AY,可得Ay+%=A*+练，

可取。=y，s=G，g=X1=Q,

满足。>%s>/,使得4+及=4+及；

（iii）若4“>练，

定义&=max*14〈纥"e｛O,l,2,…,:叫，则凡<m,

构建由题意可得：S„<0,且S“为整数，

反证，假设存在正整数K,14K4m,使得与4一相，

贝！JA"—BRW-m,ARE-BK>0,可得“RK+I=%+]-4=（AR”]-纵）—（4—练）>7",

这与%Mw{1,2,…,神相矛盾，故对任意均有S“N1-"2.

①若存在正整数N,使得SN=AR'-2N=。，即AR“=BN,

可取q=t=o,s=N,p=RR,

即满足使得4+B,=Ag+B,;

②若不存在正整数N,使得SM=。，

因为Sae{-l,-2,---,-(/n-l)},且1<〃<祖，

所以必存在lVX<y<7”，使得%=,，

即Af^-Bx=A%—By,可得+BX=AR*+By,

可取P=Ry,t=X,q=Rx,s=Y,

满足使得人+及二人/及.

ABAB

综上所述：存在0<q<。<根,0<f<s<"7使得P+t=q+s.

14.⑴(1,2),。6),(5,6)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)直接根据(。力-可分数列的定义即可；

(2)根据化力-可分数列的定义即可验证结论；

(3)证明使得原数列是(仃)-可分数列的(仃)至少有(加+1)2-根个，再使用概率的定义.

【详解】(1)首先,我们设数列4,g,…,。布“+2的公差为d，则dwO.

由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，

故我们可以对该数列进行适当的变形4=巧刍+1(%=1,2,…,4机+2),

得到新数列4=左(％=1,2,…,4祖+2),然后对4，旗…，或”记进行相应的讨论即可.

换言之，我们可以不妨设4=左化=1,2,...,4加+2),此后的讨论均建立在该假设下进行.

回到原题，第1小问相当于从L2,3,4,5,6中取出两个数i和，«</),使得剩下四个数是等差数列.

那么剩下四个数只可能是1,2,3,4,或2,3,4,5,或3,4,5,6.

所以所有可能的(盯)就是(1,2),(1,6),(5,6).

(2)由于从数列1,2,…,4%+2中取出2和13后，剩余的4加个数可以分为以下两个部分，共机组，使得每

组成等差数列：

①{1,4,7,10},{3,6,9,12},{5,8,11,14},共3组;

②(15,16,17,18},{19,20,21,22}{4m-l,4m,4m+l,4m+2},共m_3组.

(如果加-3=0,则忽略②)

故数列1,2,…,4加+2是(2,13)-可分数列.

（3）定义集合A={必+1林=0,1,2,…,祖}={1,5,9,13,...,4m+1},

B={4左+2%=0,1,2,…,={2,6,10,14,…,4m+2}.

下面证明，对1<力</<4根+2,如果下面两个命题同时成立，

则数列1,2,…,49+2一定是亿力-可分数列:

命题1：ieA,jeB或A；

命题2：/-7力3.

我们分两种情况证明这个结论.

第一种情况：如果MA/wB,且，一片3.

此时设i=4《+l,J=4网+2,仁,左2©{0,1,2,...,机}.

则由，<J可知4尤+1<4自+2,即故h*.

此时，由于从数列1,2,…,4加+2中取出i=4%+l和/=4后十2后,

剩余的个数可以分为以下三个部分，共，"组，使得每组成等差数列：

①{1,2,3,4},{5,6,7,8},...,{4仁一3,4勺-2,4kl一1,4勺},共匕组；

②{4左+2,秋+3,4匕+4,4匕+5}，{秋+6,4匕+7,4kl+8,4%+9},…,{4履一2,4冬—1,4色,4修+1）,共向一片组；

③{4匕+3,4匕+4,4匕+5,的+6},{的+7,4匕+8,4匕+9,4k2+10},...,{4〃?-1,4〃7,痴+1,4机+2},共"?-心组.

（如果某一部分的组数为0,则忽略之）

故此时数列1,2,...,4到+2是（z,力-可分数列.

第二种情况：如果且，-力工3.

此时设i=4Z1+2,j=4^,+1,e{°，l，2,…,加}.

则由，〈/可知4K+2<4匕+1,即故h>k”

4

由于/一以3,故（的+1）-（4匕+2h3,从而%2-尢41,这就意味着％2-尤22.

此时，由于从数列1,2,...,4%+2中取出i=46+2和）=4e+1后，剩余的4根个数可以分为以下四个部分，

共加组，使得每组成等差数列：

①{1,2,3,4},{5,6,7,8},...,{4匕一3,4匕一2,①-1,4匕},共1组;

（2）{44+1,3K+&+1,2K+2匕+1,仁+3k+1}，{3匕+左2+2,2K+2匕+2,6+3k、+2,4k+2},2组；

③全体{4勺+p,3kl+k2+p,2K