2023-2025人教B版高一（上）期末数学汇编：函数的应用（一）

2023-2025北京高一（上）期末数学汇编

函数的应用（一）（人教B版）

一、单选题

1.（2024北京东城高一上期末）把长为8cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形

面积之和的最小值是（）

A.4cm2B.3cm2C.2V2cm2D.2cm2

2.（2024北京东城高一上期末）某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间f（单位：年）之间的关

系为'=%•小.其中为为初始量，人为降解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的75%.若该

品牌塑料袋需要经过〃年，使其残留量为初始量的10%,则"的值约为（）（参考数据：lg2。0.301,

lg3-0.477）

A.20B.16C.12D.7

二、填空题

3.（2024北京朝阳高一上期末）已知函数/1（x）=2x+b,g（尤）为偶函数，且当xNO时,g（x）=x2-4x,记

函数年）=阳f(x)Ng(x)

给出下列四个结论:

①当6=0时，7（无）在区间［-2,+o＞）上单调递增;

②当，=_8时，T（x）是偶函数；

③当6＜0时，T（x）有3个零点;

④当628时，对任意xeR,都有T（x）＞0.

其中所有正确结论的序号是.

4.（2024北京平谷高一上期末）在早高峰，某路口通过的车辆机与时间，的关系近似地符合

1

m(t)=+10/e|5,9]

,在早高峰这段时间内.给出下列四个结论:

—(?-6.5)2+—

2520

①通过该路口的车辆数机随着时间t逐渐增多；

②早上6时和早上7时通过该路口的车辆数加相等；

③在任意时刻，通过路口的车辆机不会超过35辆；

④在任意时刻，通过路口的车辆机不会低于14辆.

依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是.

5.（2023北京海淀高一上期末）请阅读以下材料，并回答后面的问题:

材料1：人体成分主要由骨骼、肌肉、脂肪等组织及内脏组成，肌肉是最大的组织，且肌肉的密度相比脂肪而

言要大很多.肌肉和脂肪在体重中占比个体差异较大，脂肪占体重的百分比（称为体脂率，记为F%）经常作

为反映肥胖程度的一个重要指标，但是不易于测量.

材料2：体重指数BMI（BodyMassIndex的缩写）计算公式为：体重指数BMI=77（6为体重，单位：千克；

h

，为身高，单位：米），是衡量人体整体胖瘦程度的一个简单易得的重要指标.1997年，世界卫生组织经过大

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范围的调查研究后公布：BMI值在18.5~24.9为正常；BMIN25为超重；BMI230为肥胖.由于亚洲人与欧

美人的体质有较大差异，国际肥胖特别工作组经调查研究后，于2000年提出了亚洲成年人BMI值在

18.5~22.9为正常.中国肥胖问题工作组基于中国人体质特征，于2003年提出中国成年人BMI值在

18.5~23.9为正常；BMI224为超重；BMI228为肥胖.30岁的小智在今年的体检报告中，发现体质指数

BMI值为24.8,依照标准属于超重.因为小智平时还是很注意体育锻炼的，正常作息，且每周去健身房有大

约2小时的健身运动，周末还经常会和朋友去打篮球，所以小智对自己超重感觉很困惑.

请你结合上述材料，从数学模型的视角，帮小智做一下分析（包括：是否需要担心？为什么？）：.

三、解答题

6.（2025北京西城高一上期末）45两地相距520km,货车从N地匀速行驶到3地，全程限速100km/h.已

知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速x

的平方成正比，比例系数为M后＞°）.

（1）把货车的全程运输成本了（单位：元）表示为车速尤（km/h）的函数；

（2）为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？

7.（2025北京清华附中高一上期末）2024年1月11日，我国太原卫星发射中心在山东海阳附近海域使用

引力一号遥一商业运载火箭，将搭载的云遥一号18-20星3颗卫星顺利送入预定轨道，飞行试验任务获得圆

满成功，引力一号运载火箭首飞即采用难度较高的海上发射，刷新了全球运力最大固体运载火箭、我国运

力最大民营商业运载火箭纪录，进一步丰富了我国运载火箭型谱.1903年前苏联（俄罗斯）航天之父齐奥尔

M

科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：v=%ln词其中/°为火箭初始质量，M上为火箭燃烧完毕熄火后

剩余质量，票称为火箭质量比，%为火箭发动机喷气速度.至今多年来所有大小火箭都遵循齐奥尔科夫斯

基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为7900m/s.

（1）当该型号火箭的质量比为10时，求该型号火箭的理想速度；

（2）经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来2倍，火箭质量比变为原来的玄，若使火箭的理想速度增

加3950m/s,求该火箭在技术和材料改进前的质量比.（两问结果均保留一位小数，参考数据：

InlO«2.30,2.718,1.649）

8.（2024北京昌平高一上期末）某旅行社不定期组成旅游团去风景区旅游，若旅游团人数在30或30以下

（不低于20）,则收取费用180元/人；若旅游团人数大于30,则给予如下优惠：每多1人，费用每人减少

3元，直到达到满额50人为止（大客车限乘51人，含司机）.旅行社每次需支出成本费用3000元.

（1）若旅游团人数为40,求每人应交的费用；

（2）设旅游团人数为x时每人应交的费用为y元，求出y与x之间的关系式；

（3）求旅游团人数x为多少时，旅行社可获得的利润L最大.

9.（2024北京丰台高一上期末）2023年9月23日第十九届亚运会在杭州开幕，本届亚运会吉祥物是“琮琮”、

“莲莲”、“宸宸”.某商家成套出售吉祥物挂件，通过对销售情况统计发现：在某个月内（按30天计），每套

吉祥物挂件的日销售价格/（x）（单位：元）与第x天。WxW30,xeN）的函数关系满足〃x）=30+g（左为

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常数，且后＞0）,日销售量g（x）（单位：套）与第x天的部分数据如下表所示:

X15202530

g(x)650645650655

设该月吉祥物挂件的日销售收入为M（x）（单位：元），已知第15天的日销售价格为32元.

⑴求人的值；

（2）根据上表中的数据，若用函数模型g（x）=a|x-M+b来描述该月日销售量g（x）与第x天的变化关系，求

函数g（x）的解析式；

（3）利用（2）中的结论，求M（x）的最小值.

10.（2024北京东城高一上期末）某地要建设一座购物中心，为了减少能源损耗，计划对其外墙建造可使用

30年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层的建造成本为9万元.该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万

元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：尸=:々（0＜x＜10）.若不建隔热层，每年能源消耗费用

为6万元.设S为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和.

（1）求出S关于尤的函数解析式；

（2）若使隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和S控制在90万元以内，隔热层的厚度不能超过多少厘

米？隔热层的厚度为整数）

11.（2023北京西城高一上期末）设函数的定义域为。，对于区间/=［。）］（。＜仇/=。），若满足以下

两条性质之一，则称/为的一个区间”.

性质1:对任意X&I,有/（x）6I;

性质2：对任意xe/,有/（无）•/.

⑴分别判断区间［1,2］是否为下列两函数的“。区间”（直接写出结论）；

@y=^-X;@y=-.

X

⑵若［0,旬（%＞。）是函数〃X）=-f+2》的“Q区间”，求用的取值范围；

（3）已知定义在R上,且图象连续不断的函数“X）满足:对任意为户2eR,且x产超，有-小）＜一1.求

x2-xt

证：〃尤）存在区间”，且存在X°WR,使得X。不属于/（X）的所有“Q区间”.

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参考答案

1.D

【分析】设铁丝的一段长度为xcm,则另一段铁丝长为(10-x)cm,得到>=(令2+(手2,结合二次函数

的性质，即可求解.

【详解】设铁丝的一段长度为无cm,(其中0<x<8),则另一段铁丝长为(10-x)cm,

两个正方形的面积之和为yen?,

根据题意，可得好(。2+(=)2=*_4)2+2,

448

当且仅当x=4时，了取得最小值，最小值为2cm，

故选：D.

2.B

31

【分析】由e?丁:可得2左=ln3-21n2,再代入屋=白，求解即可.

410

T.

【详解】根据题意可得为看上=%・；，

贝b2#=—，2^=ln-=ln3-21n2,

44

则经过"年时，有％・e*=%―1，

即e*=口,则“或uln1-=-lnlO,

1010

~一nnk-klO-10

所以一二—=---------«--------------=8,

22kIg3-21g20.477-2x0.301

则n=16.

故选：B.

3.①③

【分析】根据题意，结合函数/(力名(无)的解析式，利用函数的新定义，结合函数的图象、函数的零点的

定义，逐项判定，即可求解.

【详解】因为g(x)为偶函数，且当X"时，g(x)=x2-4x,

当x<0时，可得g(x)=g(-x)=f+4无，所以

[x+4x,x<0

对于①中，当b=0时，/(x)=2x,令/(x)=g(x),解得％=0,x=—2,%=6,

x2+4x,x<-2

如图所示，=<2x,-2<x<2,

x2-4x,x>2

结合图象，可得函数7(x)在区间上[-2,+句单调递增，所以①正确；

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对于②中，当6=-8时,可得〃力=2%-8,

令/一4、=2%-8,即一一6%+8=0,解得％=-2或%=4,

当％<2时，可得T(x)=g(x)；当2«x«4时，可得T(x)=/(x)；

当%>4时，可得T(x)=g(x),

x2+4x,x<0

x2-4x,0<x<2

即T(x)=<其中/(—3)=—3J(3)=—2,

2x-8,2<x<4

x2-4x,x>4

所以/(-3)W/(3),所以当b=-8时，函数T(x)不是偶函数，所以②不正确;

对于③中，当b<0时，令/(%)=0,即2x+b=0,解得x=_g〉。，

当％<0时，令g(x)=0,IPx2+4x=0,角牟得x=T,

当％20时，令g(x)=0,即％2_4X=O,解得x=0或％=4,

若0<一54时，函数7卜)有三个零点，分别为x=-4,x=0,x=gh

若-(=4时，即6=-8时，函数T(x)有三个零点，分别为x=-4,x=0,x=4；

若-?>4时，即6<-8时，函数T(x)有三个零点，分别为x=-4,x=0,x=4；

综上可得，当6<0时，函数有三个零点，所以③正确；

对于④中，当x<0时，令g(无)=0,即一+4》=0,解得x=T,

将点(-4,0)代入函数y=f(x),可得2x(-4)+6=0,解得6=8,

如图所示，当地8时，函数7(x"0,所以④不正确.

故答案为：①③.

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4.②③④

【分析】因为分母是二次函数，通过分析二次函数的单调性来分析整个函数的单调性，可判断①②的正确

性；通过自变量t的范围分析分母的范围，从而得出整个函数的值域，可判断③④的正确性.

1

4-10,/G|5,9]

【详解】对于①，因为11

H---

2520

令/⑺=石(%-6.5)2+__t5,目；

则出在向5,6.5］内单调递减，在(6.5,9］内单调递增，

所以机0)=七+10先增后减，命题①错误；

JV/

对于②，因为7。)是二次函数，函数图象的对称轴是x=6.5,所以〃6)=/(7),

所以加⑹=加(7),命题②正确；

对于③，因为/⑶的最小值是"6.5)=，，

所以机(。的最大值是加(6.5)=20+10=30,

即在任意时刻，通过路口的车辆加不会超过35辆，命题③正确；

对于④，因为〃5)=(X(5-6.5)2+：=0」4,

2

/(9)=-LX(9-6.5)+^-=0.3,且〃5)＜/(9),所以侬。的最小值为皿9)=磊+10=言+10”13.3,

NDNUJU.J

即在任意时刻，通过路口的车辆相不会低于14辆，命题④正确.

综上，所有正确结论的序号是②③④.

故答案为：②③④.

【点睛】结论点睛：

(1)函数/=〃")在区间/上单调，函数〃=g(x)在区间。上单调，并且〃=g(x)在。上函数值集合包含于

区间/,则函数y=/(g(x))在区间。上单调；

(2)如果＞=/(«)与U=g(x)单调性相同，那么＞=/(g(x))是增函数，如果＞=/(")与U=g(x)单调性相反,

那么y=〃g(x))是减函数.

5.答案见解析

【分析】根据材料结合条件分析即得.

【详解】因为小智平时注意锻炼，肌肉占比相对高，意味着身体密度大，相同体型和身高情况下，BMI值

与密度成正比(或者说，体重更大)，

所以他的BMI值就会偏高，如果小智体型基本正常(或者说身高远高于中国人平均值)，就不必担心.

故答案为：如果小智体型基本正常(或者说身高远高于中国人平均值)，他的BMI值就会偏高，就不必担心,

因为小智平时注意锻炼，肌肉占比相对高，意味着身体密度大，相同体型和身高情况下，BMI值与密度成

正比(或者说，体重更大).

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6.(1)y—520(丘H------),0<%W100；

x

（2）答案见解析.

【分析】（1）根据给定条件，求出货车每小时的运输成本及行驶时间即可得函数关系.

（2）借助对勾函数单调性探讨最小值，即可得解.

520

【详解】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为履2,固定成本为400元，行驶时间——小时,

x

所以歹=---(kx2+400)=520(AxH-------),0<x100.

xx

竺22020

（2）由（1）知，。八%,k、在（0,丁）上单调递减，在（丁，+8）上单调递增,

歹=52。左（工+---）yjksjk

X

而0<xW100,则当登《100,即止（时，X号,y取得最小值；

当半>100,即0“<J_时，x=100,V取得最小值，

〃25

所以当左上工时，货车应以罕km/h的速度行驶，全程运输成本最小;

当0〈左时，货车应以100km/h的速度行驶，全程运输成本最小.

7.（l）18170m/s；

（2）6.6

【分析】（1）将给定数据代入公式计算即得；

（2）利用给定信息列出不等式求解.

【详解】（1）依题意，v=voln—=7900In10®7900x2.30=18170m/s；

（2）技术改进前的理想速度匕=%心色=7900In

MkMk

MM

技术改进后的理想速度"2=2v0ln—^=2x7900In—,

2乂卜Mk

要使火箭的理想速率至少增加3950m/s,

-V.=2x79001n^--79001n-^>3950,即41n^^-21n,

2MtMk2MkMk

,Ml+41n2

41n—^-41n2-21n—^>1,In—2n->

MkMkMk2

Ml+41n2

所以-->e2=-eln4=6.6,

Mk

所以该火箭在技术和材料改进前的质量比为6.6

8.（1）1507C;

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_J180,20<x<30,xeN

(2)-V-[270-3x,30<x<50,xeN；

⑶45.

【分析】(1)根据题意计算即可；

(2)根据自变量x的取值范围，分20W尤W30或30<xV50歹U出函数解析式即可；

(3)利用题中的函数解析式，结合自变量的取值范围和配方法，分段求最值，即可得到结论.

【详解】(1)若旅游团人数为40,每人应交的费用为：180-3(40-30)=150元；

(2)当204x430时，y=180,

当30<x450时，y-180—3(x—30)=270—3x,

_J180,20<X<30?XGN

即，-j270-3x,30<xW50,xeN；

(3)当20VxW30时，Z=180x-3000,

当30<xW50时，L=x(270—3x)—3000=—3x2+270x—3000,

[180x-3000,20<x<30

即2

[-3x2+270x-3000,30<x<50

当20W30时，£=180x-3000中£随、的增大而增大，

所以％=30时，Zmax=2400,

当30<xW50时，L=-3x2+270x-3000=-3(x-45『+3075,

即％=45时，4ax=3075>2400.

所以当旅游团人数为45时，旅行社可获得的利润£最大.

9.⑴左=30

(2)g(x)=|x-20|+645,l<x<30,xeN.

(3)20280元

【分析】⑴将x=15j=32代入〃x)=30+：,即可求得答案；

(2)结合表格中数据确定机的值，再解方程，即可求得答案；

(3)求出M(x)的表达式，讨论x的取值范围，结合函数单调性以及基本不等式，即可求得答案.

【详解】(1)由题意得/。5)=32,所以30+3=32,解得左=30.

(2)根据表中数据以及g(尤)=a|x-加|+6,可知0>0,当》=加时，g(x)取得最小值；

根据表中数据可得初=20,g(20)=645,

由g(20)=645,g(25)=650得，a=1,6=645,

所以g(x)=|x-20|+645,其中1VXV30,xeN.

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(3)由(1)(2)可知M(x)=/(x)g(x)=[30+1j(|尤-20|+645),l<x<30,xeN,

当14x420时,A/(x)=30|1+-|(-x+665)=30x+664

可知M（x）在1V尤V20,xeN时随着x的增大而减小，

所以当14x420时M（x）的最小值为M（20）=20317.5；

当20<xV30时，M(^)=30(l+-j(^+625)=30|—+X+626

因为殷+x22/殷・x=50,当且仅当x=25时，等号成立，

xYX

所以当20<xV30时M（x）的最小值为M（25）=20280,

综上所述，当x=25时，该月日销售收入的最小值为20280元.

10.（1）5=9%+-^-,0<x<10

4%+5

（2）6

【分析】（1）利于给定条件，求出机的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和.

（2）根据条件建立不等式，解出后进一步分析即可.

YY]

【详解】（1）依题意，当x=0时，P=—=6,所以加=30,

30

所以尸0<x<10,

4x+5

贝|S=9x+型-（万元），0<x<10.

4x+5

（2）若S=9x+-^-490,

4x+5

不等式化为4/-35x+50<0,

解得35-5后小产+5万

88

▽35+5而’…

乂--------x6.95,

8

所以隔热层的厚度不能超过6厘米.

11.（1）①是，②不是；

⑵加e[1,2]；

（3）证明见解析.

【分析】（1）根据新定义直接判断即可得出结论；

（2）根据[0,"〃（〃”0）是函数/（幻=--+2》的“。区间”确定其满足性质1,据此分类讨论求二次函数值域,

检验即可得解；

（3）由所给函数性质分析出满足性质2,转化为〃x）=x不恒成立，/（x）存在“。区间，，，再构造函数

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g(x)=/(x)-x,证明有唯一零