2024北师大版七年级数学下册 第5章 图形的轴对称【十七大题型】（原卷版）

第5章图形的轴对称【十七大题型】

【北师大版2024]

＞题型梳理

【题型I识别轴对称图形】......................................................................1

【题型2确定对称轴的条数】....................................................................2

【题型3由轴对称图形的特征进行判断】.........................................................3

【题型4由轴对称图形的特征进行求解】.........................................................4

【题型5折叠问题】.............................................................................5

【题型6镜面对称】............................................................................6

【题型7画轴对称图形】........................................................................7

【题型8台球桌上的轴对称】....................................................................9

【题型9添加图形使成为轴对称图形】...........................................................10

【题型10设计轴对称图案】.....................................................................11

【题型11等腰三角形的“等边对等角”】........................................................12

【题型12等腰三角形的“三线合一”】..........................................................13

【题型13等边三角形】.........................................................................14

【题型14垂直平分线的性质】..................................................................15

【题型15尺规作线段的垂直平分线】............................................................16

【题型16角平分线的性质】....................................................................18

【题型17尺规作角平分线】....................................................................19

院举一反三

知识点1:轴对称

（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴

对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称.

（2）轴对称图形是针对一个图形而言的,是一种具有特殊性质图形.被一条直线分割成的两部分沿着对称

轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条.

【题型1识别轴对称图形】

【例1】（24-25八年级•黑龙江哈尔滨•阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（）.

【变式1-1]（24-25八年级•广东广州•期末）下列图形中，是轴对称图形的是（）

A.平行四边形B.直角梯形C.正五边形D.直角三角形

【变式1-2]（24-25八年级,吉林四平•期末）下列三角形中，不是轴对称图形的是（）

A.有两个角相等的三角形

B.有两个角分别是12（）。和30）的三角形

C.有一个角是45。的直角三角形

D.有一个角是60。的直角三角形

【变式1-3]（24-25八年级•重庆南岸•期末）图是4x4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.其中

点4,8,C均在格点上.请在给定的网格中，找一格点D,使以点48,为顶点的四边形是轴对称图形，满

足条件的点D的个数是个.

B：

知识点2：轴对称的性质

（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

由轴对称的性质得到一下结论：

①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；

②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这

两个图形的刈称轴.

（2）轴对称图形的对■称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

【题型2确定对称轴的条数】

【例2】（24-25八年级•江苏宿迁期末）在等腰直角三角形、等边三角形、半圆、正方形这四种常见的轴对

称图形中，对称轴最多的是

【变式2-1]（24-25八年级•山东烟台・期末）下列图形中是轴对称图形，且对称轴只有两条的是（）

【变式2-2]（24-25八年级•黑龙江大庆•期中）要使大小两个圆组合成的图形有无数条对称轴，应采用第（）

种画法

【变式2-3]（24-25八年级•河北廊坊•期末）如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂

黑，还需涂黑〃个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则〃的最

小信为（）

【题型3由轴对称图形的特征进行判断】

【例3】（24-25八年级•全国•课后作、也）如图，正六边形力8CDEF关于直线/成轴对称的图形是正六边形

ABC'D'EF,有下列说法:®AB=®BCIIBC\③直线！_L88‘；®Z.ABC=120°.其中正确的是,

（请写出所有正确说法的序号）.

CDD'C'

【变式3-1]（24-25八年级•全国•课后作业）下列说法正确的是O

A.任何一个图形都有对称轴

B.两个全等三角形一定关于其直线对称

C.若A4BC与ADE/成轴对称，则△力BCwADEF

D.点4点B在直线L两旁，且4B与直线L交于点0,若40=8。,则点4与点R关于直线L对称

DC

山

A.必是直角B.必是锐角C.必是钝角D.是锐角或钝角

【变式4-2]（24-25八年级•全国•假期作业）如图，O为内部一点，0B=%P、R为。分别以直线

⑴请指出当〃BC是什么角度时，会使得PR的长度等于7?并完整说明PR的长度为何在此时等于7的理

由.

（2）承（1）小题，请判断当448。不是你指出的角度时.，PR的长度小于7还是大于7?并完整说明你判断的

理由.

【变式4-3]（24-25八年级•山东聊城・期中）如图，直线AB,CD相交于点。，P为这两条直线外一点，连

接0P.点P关于直线48,CD的对称点分别是点Pi，P2.若OP=3.5,则点Pi，P2之间的距离可能是（）

A.0B.5C.7D.9

【题型5折叠问题】

【例5】（24-25八年级・北京・期末）一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方

形，打开后的图形是（）

【变式5-1]（24-25八年级•浙江温州•期末）如图,点E为长方形纸片4BCD的边8c上一点，将长方形纸

片分别沿AE,EF折叠，使点B,C分别与点G,H重合，点E,G,H恰好在同一条直线上.若N4EH=3乙HEF,

C.45°D.60°

【变式5-2]（24-25八年级•云南昆明•开学考试）一个长8厘米，宽5厘米的长方形纸片，沿对角线对折后,

得到下面所示几何图形，阴影部分的周长是厘米.

【变式5-3]（24-25八年级•陕西西安•期末）将如图（1）所示的长方形纸片718。。按如下步骤操作:

如图（2）,以过点力的直线为对称轴折叠纸片，使点8恰好落在边力0上的点4处，折痕与8。交于点民

（2）如图（3）,以过点E的直线为对称轴折叠纸片，使点力恰好落在边EC上的点/处，折痕交边4。于

点F;（3）将纸片展平.那么N4FE的度数为

【题型6镜面对称】

【例6】（24-25八年级•贵州遵义・期末）如图是•只停放在平静水面上的小船，则它在水中的倒影表示正确

的是（）

A.B.

【变式6-1］（24-25八年级•河南许昌・期中）小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词APPLE在镜子中

呈现的样子（）

为qqApAqqLE

A.,ELQQADELPPA

【变式6-2］（24-25八年级•内蒙古呼和浩特•期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间

最接近9：00（）

【变式6-3］（24-25八年级•福建龙岩•阶段练习）在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的

实际时间应是.

【题型7画轴对称图形】

【例7】（24-25八年级•山东枣庄•期末）如图，AABC的三个顶点分别位于正方形网格线的交点上，我们把

△称为格点三角形，请你分别在图①，图②，图③的正方形网格中作一个格点三角形与△力8c成轴对

称（所作图形不能重复），并画出对称轴.

【变式7-1］（24-25八年级•陕西西安•期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1,△力BE的顶点都

在小正方形的顶点上，

（1）在图中画出AAEF,使/与A4EB关于4E所在直线对称，点尸与点B是对称点；

（2）求四边形的面积.

【变式7-2］（24-25八年级•山东济南•期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方

形，每个小正方形的顶点叫格点.已知△/18C的顶点均在格点上.

（1）画出格点三角形ABC关于直线DE对称的△ABC,

（2）AA'B'C'的面积是一

（3）在直线0E上找出点P,使|P4-户。最大，并求出最大值为一.（保留作图痕迹）

【变式7-3］（24-25八年级•全国•假期作业）如图1,在3x3的网格中，△人员:三个顶点均在格点上，这样

的三角形叫做“格点三角形”.在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原AABC关于某条直线成轴对

称.请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜

线”涂成“阴影部分”（图1-图4不重复）.

图3图4

【题型8台球桌上的轴对称】

【例8】（24-25八年级•山东德州•期中）如图，桌球的桌面上右N两个球，若要将用球射向桌面的一边,

反弹一次后击中N球，则儿B,C,D,4个点中，可以反弹击中N球的是_点.

洌

:..工…•…4…4—:.....-

ABCD

【变式8・1】（24-25八年级,江苏苏州•阶段练习）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意

一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（）

M

N

ABCD

A.点AB.点BC.点CD.点D

【变式8-2］（24-25八年级•全国•课堂例题）如图所示，长方形4BCD是台球台面，有白、黑两球分别位于

点M,N处，试问：怎样撞击白球M,才能使白球“碰撞台边48反弹后击中黑球N?

DC

M

■

N

■

AB

【变式8-3］（24-25八年级•江苏常州•期中）如图，弹性小球从点产出发，沿所示方向运动，每当小球碰到

矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第1次碰到矩形的边时的点为。，第2次碰到矩形的

边时的点为….第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（）

M

A.点PB.点。C.点、MD.点N

【题型9添加图形使成为轴对称图形】

【例9】（2024•河北石家庄•模拟预测）如图所示的方格纸，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方

形涂黑一个，使整个被涂黑的图窠构成一个轴对称图形，那么涂法共有（）种.

A.6B.5C.4D.3

【变式9-1］（24-25八年级•河南安阳•期末）（1）如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角

形涂黑，还需涂黑2个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰为轴对称图形.请在

下图中画出两种不同的填涂方案设计，并用虚线标出对称轴：

【变式9-2］（24-25八年级•山东聊城・期中）乐乐觉得轴对称图形很有意思，如图是4个完全相同的小正方

形组成的L形图，请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形，使添画后的图形成为轴对称图形.

方法一方法二方法三

【变式9-3］（24-25八年级•江苏无锡•期中）在4x4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中

一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有种.

【题型10设计轴对称图案】

【例10】（24-25八年级•河北保定•期中）如图，是由4x4个大小完在一样的小正方形组成的方格纸，其中有

两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使图中涂黑的部分成为轴对称图形主画出它的一

条对称轴（如图例.画对一个得1分）

【变式10-1］（24-25八年级•江苏扬州•期末）如图1是3x3的正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂

黑后的整个图案是轴对称图形，：要求：绕正方形力4。。的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例

（1）观察图①〜④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征：

（2）借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所给出的两个共同特征.（注

意：新图案与图①〜④的图案不能重合）

【变式10-3】（2024•山东枣庄•中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示

了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案

（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征.

知识点3：等腰三角形

1.等腰三角形是轴对称图形.

2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三

角形的对称轴.

3.等腰三角形的两个底角相等.

【题型11等腰三角形的“等边对等角“】

【例11】（24-25七年级•河南周口・期末）如图，在△A8C中，AFA.BC,通过尺规作图，得到直线DE,仔

细观察作图痕迹，若48=38。，则4E/1F的度数为（）

A.18°B.16°C.14°D.12°

【变式11-1］（24-25七年级•湖北武汉・期末）若等腰三角形的一个角为34。，则这个等腰三角形的顶角度数

为________

【变式11-2］（24-25七年级•福建厦门・期末）如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E在边BC上，

乙BAD=Z-CAE.求i正：BD=CE.

【变式11-3】（2025•陕西榆林一模）如图，在△力3C中，点。是48的中点，点尸在4c边上,

连接。凡过点4作4="WC,交的延长线于点E.求证：AF=BE.

【题型12等腰三角形的“三线合一”】

【例12】（24-25七年级•安徽安庆•阶段练习）如图，已知△ABC,/IB=4C/O是△ABC的角¥分线，E尸垂

直平分4C,分别交力于点£,M,F.若乙04D=20。，则zMCD的度数为（）

A.20°B.35°C.40°D.50°

【变式12-1］（24-25七年级•吉林长春•期中）如图，在△相。中，AB=AC,点D为BC中点、,^BAD=30°,

AD=AE,则NEQC=

【变式12-21（24-25七年级•安徽安庆•阶段练习）如图，在△ABC^P，AB=AC,AD是BC边上的中线，BE1AC

于点E.试说明：^CBE=^BAC.

【变式12-3]（24-25七年级•北京昌平•期木）已知，AABC,AB=AC,A〃是N/MC的平分线，交以：于点

。，点E是48上一点，作乙。。f=乙4。8,交E0延长线于点立求证：BE=CF.

知识点4：等边三角形

1.等边三角形是特殊的等腰三角形，是轴对称图形.

2.等边三角形的每个内角都是60度，每条边都相等，满足“三线合一”.

【题型13等边三角形】

【例13】（24-25七年级•辽宁沈阳♦阶段练习）如图，△力是等边三角形，E为BC上一点,在力8上取一

点D,使=且zAED=65。，则NE4C的度数是（）

A.10°B.20°C.15°D.5°

【变式13-1]（24-25七年级•湖南•专题练习）如图，AABC为等边三角形，点D是BC边上异于B,。的任

意一点，DE14B于点£。尸14c于点足若BC边上的高线AM=10,则DE+DF=（）

A.5B.10C.8D.6

【变式13-2]（24-25七年级•安徽安庆•专题练习）在△48。中，AB=AC,40平分48/1C,一个等边三角形

ECG如图摆放，EG交AD于点、F.若BC=7,EF=2,则等边三角形ECG的边长为.

A

【变式13-31（24-25七年级•湖南长沙•期中）如图，在等边△ABC中，点0、E在边BC、AC±.,且BD=CE,

连接4。、BE交于点E

（2）若NB4D=20。，求乙48E的度数.

知识点5：垂直平分线

1.线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.

2.已知线段AB,尺规作线段AB的垂直平分线方法：

作法：（1）分别以点A和点B为圆心，以大于^AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；

⑵作直线CD.

直线CD就是线段AB的垂直平分线。

3.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，

【题型14垂直平分线的性质】

【例14】（24-25七年级•安徽宣城•期末）如图，在中，0E是AC的垂直平分线，AE=3cm,^ABD

的周长为17cm,则△4BC的周长为（）cm

【变式14-1］（24-25七年级•安徽合肥•阶段练习）如图，已知48=41力。是448。的角平分线，EF

垂直平分力配分别交力&力。/8于点E,M,F.若4。4。=20。，则4MC。的度数为（）

］（

【变式14-224-25七年级•云南文山期中）如图，在△43C中，AD=AC=10,SAABC=40,4。是△/4Z?C

的中线，尸是左。上的动点，E是AC边上的动点，则（T+EF的最小值为（）

A.4B.6C.8D.10

【变式14・3］（24-25七年级•甘肃陇南•期末）如图，在△力8C中，力8/C的垂直平分线分别交BC于点Q,

E,垂足分别为M,N,已知AADE的周长为22,则BC的长为.

【题型15尺规作线段的垂直平分线】

【例15】（24-25七年级•陕西西安・期末）如图，点0在△48C的边AC上，请用尺规作图法在边A8上求作

一点E,使得aBDE是以BD为底边的等腰三角形.（保留作图痕迹，不写作法）

A

D

BL-------------------

【变式15・1］（24-25七年级•江苏•专题练习）如图，在△48C中，AB=AC.

尺规作图：作A8的垂直平分线，交AC于点、M,（不写作法，保留作图痕迹）：

【变式15・2］（24-25七年级•安徽合肥・专题练习）如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由,4向4行驶,

N分别是位于公路A3两侧的村江，请利用尺规作图法，在40上找一点。，使得汽车行驶到。处时，

到村庄M,N的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法）

M

力工™-----------B

•N

【变式15-3］（24-25七年级•陕西榆林•期末）如图，已知请用尺规作图的方法在4?边上求作一

点D,连接CD,使得ABC。是以8c为底的等腰三角形.（保留作图痕迹，不写作法）

知识点6：角平分线

1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.

2.已知NAOB,请用尺规作NAOB的平分线。

作法:⑴在0A和0B上分别截取0D,0E,使OD=OE；

（2）分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在NAOB内相交于点C。

（3）作射线OC.

射线oc就是NAOB的平分线。

3.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，

【题型16角平分线的性质】

【例16]（24-25七年级•广东广州•期中）如图，Rt△43c中,iC=90°,AD平分血C,交BC于点D,AB=10,

S“B/）=15，则CD的长为•

【变式16-1]（24-25七年级•山东荷泽•阶段练习）如图，