2024北师大版八年级数学上册 第2章《实数》评估测试卷（含答案解析）

北师大版（2024）八年级上册数学第2章《实数》评估测试卷

（满分:120分时间:120分钟）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，在数轴上手掌处表示的数可能是（）

C.x/3D.x/7

2.下列说法中正确的有（

A.4的平方根是±2B.（-3）2的算术平方根是-3

C.负数没有立方根D.带根号的数都是无理数

3.若师是整数，则正整数〃的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

4.下列运算正确的是（）

A.6.乂亚=不B.26-6=2

C.D.V6-r>/3=y/2

5.下列各根式中，是同类二次根式的是（)

A.G和®B.血和g

C.和&柠D.Ja+\和Ja-\

6.有下列实数：-3.14159,瓜,0,炳，y,0.31(31循环),0.1010010001-(每两

个1之间多一个0）,其中无理数的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.实数。，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则+》+闽的值为（)

b-430a6

A.-a-bB.-a+bC.a-bD.a+b

8.按如图所示的程序计算，若开始输入的工的值是64,则输出的），的值是（)

是有理数

A.V2B.GC.2D.3

9.规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”.若a+〃

是“最美实数”，则a的值是（）

A.V2-1B.-V2C.&或6-1D.-&或1-应

10.用⑶表示不超过X的最大整数，例如：[2.94]=2,[-3.89]=-4.已知"7=2-6,a=ni-[m],

Z?=T〃+[T〃]+5,则!+，=（）

ab

A.4B.2GC.-4D.2G+2

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11,比较大小：毕

44

12.若2G与最简二次根式5G是同类二次根式，则。的值为.

13.如图，正方形A8CD的面积为10,点A表示的数为1,以点A为圆心，A。的长为半径画圆，

交数轴于M,N两点（点〃在点N的左侧），则点M表示的数为.

14.如图，从一个大正方形中裁去两个面积分别为一和）户的小正方形，己知工=行—2,y=>/5+2f

则留下的阴影部分的面积为.

n15.有三根长度分别为处的木棒，已知〃咚尼率c为整数，若这三根木棒能围成三角

形，则C的值为

16.若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”.若是“完

美实数"，则〃X；若4与所。都是“完美实数”，则|照的平方根为.

三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题；每题8分；第24,25题，

每题12分；共9小题，共72分）

17.计算：

（1:732+^-718;（2）X/24-X/2+X/3（X/3-1）.

18.(1)计算：商+Q—卜自—2卜6(2)解方程：(21—1)2—16=9.

19.把下列各数填入相应的集合内（填序号）.

①-；，②-6，③亚，⑤-历，⑤0,⑦-乃，⑧3.1O1OO1OOO1…（每相邻两个1之间0

的个数逐次加.

⑴无理数集合{…};

⑵分数集合{…};

⑶负实数集合{…}.

20.已知：。＞0且。的立方根是它本身，%+3的算术平方根是3.

⑴直接写出：。=_;

⑵求。+2b的平方根；

⑶若疝的整数部分是x,小数部分是九求外的值.

23.我们知道小冲4叫"因此击=("/漓广咿,像这样通过分子、分

母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化.请你通过分母有理化完

成以上各小题.

⑴计算：入；

23

⑵比较：&024—I024与a()2*—0025的大小;

小、八期1II1

+

(力化简：再加+屈+而+而+旧+V2024+V2025-

24.观察下列等式：

第1个等式：,1+,+.=1+；-3；

第2个等式：J1+/+?=l+g-g：

第3个等式:

第4个等式：Jl+*+5=l+H；……

按照以上规律，解决下列问题：

⑴写出第6个等式：______；

⑵写出第〃个等式：______；(用含〃的等式表示)

⑶根据上面的结论计算：+,J+,+*+J+/+不+…+^1+^4?+2^F

25.定义：若二次根式。+2〃可以表式成（而+册『的形式（其中心人,而，〃都是整数），

则祢。+2%为完整根式，而+4是。+2振的完整平方根.例如：因为5+26=（6+五），所

以5+2"是一个完整根式，6+a是5+26的完整平方根.

⑴判断：石+G是否是完整根式8+2而的完整平方根，并说明理由；

（2）若完整根式。+24的完整平方根是后+",请用含加，〃的代数式分别表示*b；

⑶若4+2折是完整根式，证明：〃_助一定是完全平方数.

参考答案

一、选择题

1.B

【分析1本题考查实数与数轴的对应关系以及无理数的估算，解题的关键是估算出各选项中无

理数的取值范围，并结合数轴判断.

先估算出每个选项中数的大致范围，再根据数轴上手掌遮挡点的位置判断该点表示的数的范围,

最后对比得出答案.

【详解】解：根据题意得：在数轴上手掌处表示的数大于-3和小于-2,

1<3<4,4<7<9,

1<73<2,2<\/7<3,故C,D选项不符合题意；

-2<-73<-1,-3<-41<-2,故A选项不符合题意；B选项符合题意；

故选：B.

2.A

【分析】本题考查平方根，立方根和无理数，根据平方根、算术平方根、立方根及无理数的定

义逐一判断各选项的正误即瓦.

【详解】A、4的平方根是±2,正确；

B、（-3『的算术平方根是3,错误；

C、负数也有立方根，负数的立方根仍为负数，如-8的立方根是-2,错误，

D、带根号的数都是无理数，错误，例如a=2为有理数，故带根号的数不一定是无理数.

故选：A.

3.D

【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键.要使师为整

数，需满足24〃是完全平方数，由屈=2疯，即可确定〃的最小值.

【详解】解：・・・24=4x6,

/.x/24=2x/6,

\124n=2\/6n,

,：j24n是整数,且〃是整数,

则6〃是完全平方数，

・・・〃的最小值为：6.

故选：D.

4.D

【分析】本题考查了二次根式的运算

根据二次根式的乘法法则对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根

据二次根式的性质对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断.

【详解】解：A.石=加，所以A选项不符合题意；

B.273-73=73,所以B选项不符合题意；

C.后了=3,所以C选项不符合题意；

D.\/6-r5/3==>/2所以D选项符合题意；

故选：D

5.B

【分析】本题考查同类二次根式的概念，判断同类二次根式需化简为最简二次根式后比较被开

方数，对各选项逐一判断即可.

【详解】A、6已是最简，79=3,所以A选项不是同类二次根式；

B、O已是最简，《=孝，化简后被开方数均为2,所以B选项是同类二次根式；

C、〃而=〃扬，病=b&，被开方数分别为人和。，所以C选项不是同类二次根式；

D、G和GT被开方数不同，所以D选项不是同类二次根式；

故选：B.

6.C

【分析】本题考查了无理数的定义，立方根，解题的关键是熟练掌握无理数的定义.

首先计算立方根，然后根据无理数的定义，分别进行判断，即可得到答案.

【详解】V27=3,

・,・其中无理数有T，瓜,0.1010010001…（每两个1之间多一个0）,共3个.

故选：C.

7.A

【分析［本题考查了实数与数轴，二次根式的性质.先判断〃-g<（）,"百<0,然后根据二次

根式的性质化简即可.

【详解】解：・“v—Gv0vavG

”G<o,b+G<o

•••+6+四

=_"⑹-他+何

=-a+y/3-b-y/3

=-a—h.

故选A.

8.A

【分析】本题考查了无理数、算术平方根、立方根及计算程序的应用，正确理解计算程序图的

计算步骤，会正确计算数的算术平方根及立方根，能正确判断有理数及无理数是解题的关键.根

据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程

序并进行正确的计算是解题的关键.

【洋解】解：64的算术平方根是8,

•••8是有理数，

J取立方根为2,

•••2是有理数，

・・・取算术平方根为拉，

•・•拉是无理数，

y=V2.

故选：A.

9.D

【分析】本题考查算术平方根及立方根，根据“最美实数”的定义，可知上+4=0或应+4=1,

求出a的值即可.

【详解】解：若&+〃是“最美实数”，

则有&+4=0或&+4=1,

若\/2+a=0,解得ci=->/2>

若x/5+a=l,解得4=1-上，

综上，d的值为-夜或1-&,

故选：D.

10.A

【分析】本题考查新定义、无理数的估算，二次根式的混合运算，先估算出0<2-白<1,根据

题中新定义规定可求得[〃力和卜间，进而求出。⑦的值，然后代入-+3计算可得答案.

【详解】解：・.・&<石<4,即1<6<2,

-2<->/3<-I,

••0<2—5/3<1,

*.*m=2—G,

・，・[间=[2-6]=0,

-m=-（2-V3）=V3-2,

/•—1<\/3-2<0,

；•卜间=[6-2]=-1,

?.«=〃T间=2-6-0=2-6，«]+5=>/3-2+（-1）+5=>/3+2,

11112+\/32—>/3/T/T,

.•.—+：=------7="!-------r==7------FT7------K+7------FT7------FT=2+j3+2-,3=4

ab2-62+V3（2-6）（2+6）（2+G）（2-V5）,

故选：A.

二、填空题

11.>

【分析】本题考查了实数的大小比较，利用作差法比较实数的大小是解题的关键.利用作差法

比较实数的大小即可得出答案.

【详解】解.：・.•正里_之二正二，石>4=2,

444

.金>0,

4

・

••-x/-5-+-1>一3•

44

故答案为：>.

12.2

【分析】本题考查了同类二次根式的定义，同类二次根式的被开方数相等,据此列出方程求解.

【详解】解：与最简二次根式5G是同类二次根式，

。+1=3,

解得。=2,

故答案为:2.

13.i-Vio

【分析】根据正方形的面积公式求出A。，从而求出AM,设点”表示的数为X,然后根据两

点间的距离公式列出关于x的方程，解方程求出X即可.

本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式.

【详解】解：由题意可知：AD=AMf

正方形ABC。的面积为10,

AM=AD=y/\0f

设点M表示的数为x,

1-x=Vio,

解得：x=1-V10,

•・•点M表示的数为：1-M，

故答案为：I-痴.

14.2

【分析】本题考查了平方差公式的应用，二次根式的运算，由图可知阴影部分是两个长为九

宽为x的长方形，利用平方差公式求出2盯的值即可求解，正确识图是解题的关键.

【详解】解：由图可知，阴影部分是两个长为九宽为)的长方形，

・•・阴影部分的面积=2到=2x(石一2)(6+2)=2x(5-4)=2,

故答案为：2.

15.2

【分析】本题主要考查了实数的运算，无理数的估算，三角形三边关系的应用，三角形中，任

意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可得忘<c<2应，再证明2<2夜<3即

可得到答案.

【洋解】解：由三角形的三边关系可知，逑-正逑+也，即仆<。<20.

2222

Vl<2<4,

1<V2<2,

苧T且电

2

，2<2&<3,

为整数，

・X的值为2

故答案为:2.

16.-G或1一百o或土;

【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其计算方法是关键.

根据算术平方根，立方根的计算方法求解即可.

【详解】解：一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”,

70,1的算术平方根是04,0,1的立方根是0,1,

・••这个实数可以是01，

/.当+机=0时，m=—,

当6+6=1时,〃?=1一6,

m=-\/5或加=1一6;

若武力与〃都是“完美实数”，

a+b=0a+b=\“+〃=1

a-b=0a-b=()

11

a=—

67=022

解得，或，或，1或，

匕=0b=01，

b=

2

・•・对应的囱=0或|明=0或附=(或卜心|=；,

・••对应的平方根为0或0或士；或士；,

JL

综上所述，I羽的平方根为。或斗

故答案为：①-6或1-6;②。或士;.

三、解答题

17.(1)解：病+逐-加

=4拒+2夜-3夜

=30:

(2)解：后+&+6(6-1)

=、'24+2+3-6

=26+3-6

=、自+3.

18.解：(1)原式=9+(—3)—(2—6)-6

=9-3-2+V3-x/3

(2)(21)2-16=9,

⑵-炉=9+16,

(2A-I)2=25,

2x-l=±5,

2x=l+5或2x=l-5,

x=3或x=-2.

19.(1)解：-际=3

无理数集合{②③⑦⑧};

(2)解：分数集合{①④};

(3)解：负实数集合{①②⑤⑦}.

20.(1)解：•・%>()且〃的立方根是它本身，

:.a=\,

•・•沙+3的算术平方根是3,

/.72/7+3=3,

.,.力=3,

故答案为：1，3.

(2)•:a=l,b=3,

a+2Z?=14-2x3=7,

.•.0+处的平方根为±77.

(3),・•[="=3,

/.\ab=Jlx3=G，

・.《<石<&

1<A/3<2,

，点的整数部分x为i,小数部分y为6-1,

/.xy=1x(-^-1)=-75—11

则9的值为6-1.

21.(1)解：根据题中反映的规律可得：0A：=1+(g/=〃,

则S“=；xlx6=^；

故答案为：3#；

2

(2)解：QS.=小，一个三角形的面积是2a,

.•・亚=2&,

2

工八=32,

故它是第32个三角形;

123贝力10

4444

=-5-5

4,

22.（1）解：此三角形是奇异三角形，理由如下：

22

:3+5=9+25=34,（如7=17,

32+52=2（X/17）2,

・・・此三角形是奇异三角形；

（2）解：设第三边为心

当边长为4的边是最长边时，

•••MBC是奇异三角形，

42+x2=2x32^g42+32=2x2,

解得X=&或X=-拉（舍去）；工=丝或］=_乎（舍去）；

22

当边长为x的边是最长边时，

VA\BC是奇异三角形，

32+X2=2x42,

解得％=血5或（舍去）；

综上所述，第三边的长为G或半或必.

14-屈+-\/5/7G

23.⑴解:用石=⑸即+⑹=~^=丁+『；

23

"）解：V2026-V2024-72028->/2025

2«2026+J2024)3(J2028+,2025)

(V2026-V2024)(72026+72024)(A/2028-72025)(72028+72025)

2(j2026+j2024)3(,2028+,2025)

=23

=72026+x/2024-72028-72025

=(s/2026-J2028)+(J2024-J2025)<0

・293

"V2026-V2024：2028-j2()25'

(3)ftg.-1<—+/—1-i=+/—1)——+1------)---

•\/9+V10Vio+VilVil+V12