2024人教版八年级数学上册 第十三章 三角形 单元质量检测培优卷（含解析）

人教版八（上）数学第十三章单元质量检测培优卷

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题号——总分

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第回卷客观题

阅卷人一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

得分的。（共10题；共30分）

1.（3分）直角三角形中两个锐角的平分线相交所成的钝角的度数为（）

A.90°B.135°

C.120°D.45°或135°

2.（3分）在探究证明“三角形的内角和等于180。”时，综合实践小组的同学作了如图四种

辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180。”的是（）

①②③④

A.如图①，过点。作EFIIA8

B.如图②,延长4c到F,过点C作CEII4B

C.如图③，过上一点。作OE||BC,DF||AC

D.如图④，过点。作。EIIBC

3.（3分）小明把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，贝IJ/1+42等于

（）

4.（3分）如图，点D是△48C边8C上的中点，点E是40上一点且DE=3AE,F、G是

边.46上的三等分点，若四边形rGOE的面积为14,则△ABC的面积是（)

5.（3分）如图，为直角三角形，Z.ACB=9UU,AO为NCA4的平分线，与NA8c

的平分线8E交于点E,8G是A/WC的外角平分线，AO与BG相交于点G,则乙4DC

与NG8尸的和为（）

A.120°B.135°C.150°D.160°

6.（3分）如图，线段48、CD相交于点。，连接A。、CB,4048和N8CO的平分线

AP和CP相交于点P,则NP与ND、N8之间存在的数量关系为（）

1

A."=2（48一4）B."=拼口？+乙0）

C."=卜8+40D."=48+上。

乙乙

7.（3分）如图，48_1。。于点0,点£\尸分别是射线。小0C上的动点（不与点。重

合），延长FE至点G,M0F的角平分线及其反向延长线分别交“EO、“E0的角平分线

2/35

于点M、N.若△MEN中有一个角是另一个角的3倍，则乙1。为（).

B.30°或60。

C.45。或60。D.67.5。或45。

8.（3分）如图，^ABC中，ZACB=90°,D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分

别交边AC、BC的延长线于EF两点，NBACNBFD的平分线交于点I,AI交DF于点

M,FI交AC于点N,连接BI.下列结论：①NBAC二NBFD；@ZENI=ZEMI；

@AI±FI；@ZABI=ZFBI；其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.（3分）在直角三角形48c中，ZC=90°,454C的平分线力。交"于点0,"BC的平

分线8E交AC于点E,AD.8E相交于点/，过点。作0GII48,过点8作8G1DG于点G,

有以下结论：@Z-AFB=135°：②乙BDG=2乙CBE；③BC平分乙A8G；@LBEC=

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.（3分）如图，已知△48C的内角41=a,分别作内角/ABC与外角24co的平分线,

两条平分线交于点4,得乙%;乙和乙&CO的平分线交于点42,得〃2；……以此

类推得到乙必。22,则乙42。22的度数是（）

为.

可得

出观测点的地理坐标.

在图2所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S,两个反射镜面位于A,B两处,

B处的镜面所在直线FBC自动与0。刻度线4E保持平行（即8C||4E）,并与A处的镜面所

在直线NA相交于点C,S4所在直线与水平线M8相交于点D,Z.EAC=co,观测角4SOM二

第团卷主观题

本大题共8小题，共75分（共8题；共75

16.（9分）将一把直角尺放置在钝角△ABC（NBAO90。）上，使得点8、C分别在该

直角尺的两条直角边OE、DF上,且直角顶点Q与点A在8C边的同侧.

D

A

（I）（4.5分）如图，点A在直角尺内部.

①若NA=120。，NA8£>=10。，求NACD的度数：

②若NA=a,ZABD=p,求NACO的度数（用含a、0的式子表示）.

（2）（4.5分）改变直角尺的位置，使点A在直角尺外部，其它条件不变，探索

NABD、ZACD.NA三者之间的数量关系，并说明理由.

17.（9分）如图1,AB/7CD,ZPAB=130°,ZPCD=120°,求NAPC的度数.

小明的思路是：过P作PE〃AB,通过平行线性质来求NAPC.

（1）（3分）按小明的思路，求/APC的度数；

（问题迁移）

（2）（3分）如图2,AB〃CD,点P在射线0M上运动，记/PAB=a,NPCD=[3,

当点P在B、D两点之间运动时，问NAPC与a、（3之间有何数量关系？请说明理由；

（问题应用）

（3）（3分）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、

B、D三点不重合），请直接写出NAPC与a、。之间的数量关系（并画出相应的图形）.

18.（9分）如图，线段AC与8D相交于F,点G、”分别是力。延长线、BC延长线上一点.

线段DE在4GDF内部，线段EC在4HCF内部.四边形DECF始终为凸四边形，且有

（Q+1）4GDE=/GDF,bz.HCE=Z.ECF,Q、b均为正数.

6/35

图3

(1)(3分)若Q=b=1,^DAC=30°,乙DBC=35°,Z.EDF=40°,如图1,求

△EC尸度数；

（2）（3分）若a=4,^DAC=30°,^DBC=40°,如图2,则当N/WB变化时，b为

何值时，乙E为与a、b无关的定值？

（3）（3分）若44。=乙。8。=戊为定值，如图3,贝ija和b满足关系式时，

为与a、b无关的定值.

19.（9分）如图，△ABC中，AD平分NBAC交BC于点D,AE_LBC于点E,点F在

AE上且CF〃AD.

（1）（3分）如图①，若△ABC是锐角三角形，NB=30。，NACB=80。，则NCFE

=度.

（2）（3分）如图①，若△ABC是锐角三角形，ZACB>ZB,ZB=x,ZACB=

y,则NCFE=（用含x,y的代数式表示）.

（3）（3分）如图②，若△ABC是钝角三角形，/ACB为钝角，其余条件不变，则

（2）中的结论还成立吗？说明理由.

为ZBOD是△POD的外角，故ZBOD=/BPD十/D,得NBPD=ZB—ND.将点P移

到AB,CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，则

ZBPD,ZB,ND之间有何数量关系？请证明你的结论；

（2）（3分）在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点

Q,如图③，贝”BPD,ZB,ZD,/BQD之间有何数量关系？（不需证明）

（3）（3分）根据（2）的结论，求图④中NA+/B+/C+/D+NE的度数.

21.（9分）如图①，在△48。中，/ABC与4AC4的平分线相交于点匕

（1）（3分）若乙4=60。，则的度数是；

（2）（3分）如图②，作△/8C外角ZM8C,4NCB的角平分线交于点Q,试探索

NQ,乙4之间的数量关系；

（3）（3分）如图③，延长线段BP,QC交于点E,在△BQE中，存在一个内角等于另

一个内角的3倍，求乙4的度数.

（1）（3分）【课本再现】如图1,在△ABC中，线EF经过点力且E尸||8C.求证:

Z.BAC十+4C=180°；

（2）（3分）【变式演练】如图2,在△A8C中，乙C=50。，点。在8c边上，0E||AB

交AC于点F若乙1=125°,求乙B的度数;

（3）（3分）【方法应用】如图3,直线A与直线&相交于点。，夹角的锐角为点B

在直线A上且在点。右侧，点C在直线％上且在直线A上方，点4在直线匕上且在点。左侧

运动，点E在射线C。上运动（不与点C、。重合）.当a=70。时，E/平分々4EC,4G平分

8/35

乙交直线EP于点G,求乙G的度数.

23.（12分）请阅读下列材料，并完成相应的任务:

有趣的“飞镖图”

如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”.当我们仔细观察后发

现，它实际上就是凹四边形.那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行

认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角''凹"进去的四边形，其性质有一：凹四边形

中最大内角外面的角等于其余三个内角之和.

（即如图1,ZADB=ZA+ZB+ZC）理由如下：

方法一：如图2.连接AB,则在△ABC中，ZC+ZCAB+ZCBA=180°,即

Z1+Z2+Z3+Z4+ZC-1800,又「在aABD中，Z1+Z2+ZADB-1800,

.\ZADB=Z3+Z4-ZC,BPZADB=ZCAD+zCBD+ZC.

方法二：如图3,连接CD并延长至F,VZ1和N3分别是4ACD和ABCD的

一个外角，.....

大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？

任务：

（1）（4分）填空：“方法一”主要依据的一个数学定理

是:

（2）（4分）探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部

分；

（3）（4分）应用：如图4,AE是NCAD的平分线，BF是NCBD的平分线，AE

与BF交于G,若NADB=150。，ZAGB=110°,请你直接写出NC的大小.

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：如图，在RIAABC中，ZC=90°,

AZCAB+ZCBA=90o,

TAE、BD分别平分NCAB、ZCBA,

.•・ZEAB+ZDBA=1ZBAC+1ZABC=1(ZABC+ZBAC)=45°,

乙乙乙

AZAOB=180°-(ZEAB+ZDBA)=135°,

即直角三角形中两个锐角的平分线相交所成的钝角的度数为135。.

故答案为:B.

【分析】利用直角三角形两锐角互余及角平分线的定义可得/EAB+NDBAE5。，再利用

三角形内角和定理求出NAOB的度数即可.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：A、如图①，过点C作EF〃AB,则NB=NFCB,ZA=ZECA,

•・•ZECA4-ZACB+ZFCB=180°,

・・・NA+NB+NACB=180。，；.A正确，不符合题意；

B、如图②，延长AC到F,过点C作CE〃AB,则NB=/BCE,ZA=ZECF,

VZBCE+ZECF+ZACB=180°,

・・・NA+NB+NACB=180。，；.B正确，不符合题意；

C、如图③，过AB上一点D作DE//BC,DF〃AC,则四边形CEDF是平行四边形，

.*.ZC=ZEDF,

VDE77BC,

AZB=ZADE,

VDF//AC,

・・.NA=NBDF,

10/35

ZEDF+ZADE+ZBDF=180°,

/.ZA+ZB+ZC=180°,，C正确，不符合题意；

D、如图④，过点D作DE〃BC,无法证明三角形的内角和等于180。，・・・D不正确，符

合题意；

故答案为：D.

【分析】利用三角形的内角和定理及平行线的性质及角的运算逐项分析判断即可.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：•・•△DEFVAABC是一幅直角三角尺

.\ZD=30°,ZE=9D°,ZF=60°,ZA=ZB=45°,ZC=90°

VZ1=ZD+Z3,Z2=ZE+Z6

/.Z1+Z2=ZD+Z3+ZE+Z6

VZ3=Z4,Z5=Z6

Z3+Z6=Z4+Z5=180°-ZC=90°

AZ1+Z2=ZD+ZE+Z3+Z6=30°+90°+90°=210°

【分析】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和定理，由N1=ND+N3,

Z2=ZE+Z6,可得出Nl+N2=ND+N3+NE+/6,由△DEF与△ABC是一幅直角三角

尺可得出ND=30。，ZE=90°,ZF=60°,ZA=ZB=45°,ZC=90°,由对顶角用等可知

Z3=Z4,Z5=Z6,所以/3+/6=/4+/5=180。-/090。代入

Z1+Z2=ZD+Z3+ZE+Z6即可得出答案.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：如图，连接DF,

A

G

BDC

设SAAEF=x，

VDE=3AE,

•"△DEF=3sAA”=3x,

:・S&ADF=S&DEF+S&AEF=4%,

•・・F、G是边AB上的三等分点，

AAF=FG=GB,

1•5△/!£）「=S4GDF=S"DG=4%，

・•・四边形FGDE的面积为：SADEF+S^DF=3x+4x=7x,

•・•四边形FGDE的面积为14,

/.7x=14,

/.x=2,

•',SAABD=SMDF+S4GDF+S^BDG=12%=12x2=24,

ID是BC的中点,

:,S&ABC=2sXABD=2x24=48»

故答案为：C.

【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形的面

积分为相等的两部分，同高三角形面积比等于底的比.连接DF,设SM.=X,则

=3x,S^ADF=4x,由F、G是AB的二等分点可得出SMDF=S^GDF==

4x,从而有四边形FGDE的面积为7x=14,解方程求出x的直，最后根据三角形中线的

性质得S“BC=2sMB。的值.

5.【答案】B

【解析】【解答】VZACB=90°,

/.ZCAB+ZCBA=90°,

TAE、BE分别平分NCAB、ZCBA,

・'ZEAB+ZEBA=izCAB+lzCBA=45°,

•・・BG平分NCBF,

.\ZCBG=1ZCBF,

VZCBE=|ZCBA,

AZCBE=ZCBG+ZCBE=izCBF+izCBA=90°,

12/35

・•・ZG=90°-45°=45°,

VZADC=ZBDG,

，ZADC+ZGBF=ZBDG+ZDBG=180°-ZG=I35°,

故答案为：B.

【分析】利用角平分线的定义及等量代换可得NEAB+NEBAJ/CAB+LCBA=45。,

再求出NCBE=NCBG+NCBE=1NCBF+/NCBA=90。，最后求出

ZADC+ZGBF=ZBDG+ZDBG=180。-NG=135。即可.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：在ZiAOD中：ZD=180°-ZDAO-ZAOD,

在△BOC中：ZB=180°-ZBCO-ZBOC,

:.ZB+ZD=180o-ZDAO-ZAOD+l80o-ZBCO-ZBOC=360o-ZDAO-ZBCO-ZAOD-

ZBOC,

TAP、CP分别平分NDAB和NBCD,

.・.ZDAO=2ZPAO,ZBCO=2ZPCO,

又NAOD=NBOC,

・•・ZB+ZD=360°-2ZPAO-2ZPCO-2ZAOD=2(180°-ZPAO-ZPCO-ZAOD).

AP、CD的交点标为点E,

在^CPE中，

ZP=180°-ZPCO-ZCEP,

,:NCEP=NAOD+/PAO,

...ZP=1800-ZPCO-ZPAO-ZAOD,

/.ZP=i(ZB+ZD)o

乙

故答案为：Bo

【分析】首先根据三角形内角和定理分别得出NB=18()o-NBCO-NBOC,ZD=I8O°-

ZDAO-ZAOD,再根据角平分线的定义和对顶角的性质得出ZB+ND=2(180°-ZPAO-

ZPCO-ZAOD),然后在△CPE中，得出NP=180O-NPCO-/CEP,再根据三角形外角的

性质，得出/P=180JNPCO-NPAO-NAOD,从而得出结论(/B+/D)。

7.【答案】C

【解•析】【解答】解：•・•EM平分NFEO,EN平分NGEO,

/.ZMEN=90°,

•・•△MEN中有一个角是另一个角的3倍，

JNEMN=300或/EMN=22.5。，

0M平分/BOF,

JZBOM=45°,

JNMEO=NBOM-NEMN=15。或22.5。，

・•.NFEO=30°或45。，

/.NEFO=900・NFEO=60或45°.

故答案为：C.

【分析】根据角平分线的定义可得NMEN=90。，再根据AMEN中有一个角是另一个角

的3倍可得NEMN=30。或/EMN=22.5。，根据角平分线的定义可得NBOM=45。，再根

据外角的性质可得NMEO/BOM-NEMN,再根据直角三角形的性质可得ZEFO=90°-

ZFEO,即可求得.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：・・・NACB=90。，

AZDBF+ZBAC=90°,

VFD1AB,

.\ZBDF=90°,

.•・/DBF+NBFD=9()。，

AZBAC=ZBFD,故①正确；

VZBAC=ZBFD,NBAC、NBFD的平分线交于点I,

AZEFN=ZEAM,

VZFEN=ZAEM,

...NENI=NEMI,故⑦正确:

14/35

;由①知NBAC=/BFD,NBAC、/BFD的平分线交于点I,

/.ZMAD=ZMFI,

VZAMD=ZFMI,

AZAIF=ZADM=90°,即AI_LFI,故③正确；

VBI不是NB的平分线，

・・・NAB#NFBI,故④错误.

故答案为：C.

【分析】先根据NACB=90。可知NDBF+NBAC=90。，再由FD_LAB可知NBDF=90。，所

以NDBF+/BFD=90。，通过等量代换即可得出/BAC=NBFD,故①正确：

根据NBAC=NBFD,NBAC、NBFD的平分线交于点I可知NEFN=NEAM,再由对顶

角相等可知/FEN=NAEM,根据三角形外角的性质即可判断出NENI=NEMI,故②正

确；

由①知/BAC=NBFD,因为NBAC、NBFD的平分线交十点I,故/MAD=NMFL再

根据NAMD=NFM【可知，ZAIF=ZADM=90°,即AI_LFL故③正确；

因为B1不是/B的平分线，所以/AB"NFBI,故④错误.

9.【答案】C

【解析】【解答】解：①・・"C=90°,

・••乙B4C+44BC=90。，

•.•4。平分4B4C,BE平分N4BC,

111

+=^BAC+^ABC=+乙/lBC)=45%

乙乙乙

：./-AFB=180-(4凡48+Z-FBA)=180°-45°=135°,故①正确；

②YOG||AB,

工乙BDG=4ABC,

「BE平分乙48C,

:・"BE=\LABC=，BDG,

:.乙BDG=2(CBE,故②正确；

③的度数不确定，

・••根据已知条件无法证明BC平分44BG,故③不正确；

@,：BG1DG,

:•乙BGD=90°,

・••乙50G十乙DBG=90%

'：LC=90°,

：.LCAB+Z.ABC=90°,

VDGIIAB,

，乙BDG=乙ABC,

:•乙DBG=/.CAB,

又二LBEC="AB+ABE,

:•乙BEC=乙DBG+Z.ABE,

〈BE平分乙ABC,

：.LABE=乙EBC,

:.乙DBG+乙ABE=(DBG4-Z.EBC=乙EBG,

:•乙BEC=LFBG,故④正确；

综上所述，正确的个数是3个，

故答案为：C.

【分析】①根据三角形内角和定理得MAC+41BC=90。，由角平分线定义得乙凡48+

^FBA=45°,再利用三角形内角和定理得乙4FB=135。；②由平行线的性质得NBDG=

UBC,结合角平分线性质得4BDG二2乙CBE；③根据已知条件无法判断；④先推出

乙DBG="AB,结合三角形外角的性质以及角平分线定义得“EC=乙FBG.

10.【答案】B

【解析】【解答】解：・・・AiB是/ABC的平分线，AC是/ACD的平分线，

AZAiBC=lZABC,ZAiCD=|ZACD,

乙乙

又「ZACD=ZA+ZABC,ZAiCD=ZAiBC+ZAi,

Ai(ZA+ZABC)=|ZABC4-ZAi,

乙乙

AZAi=iZA,

ZA=a,

AZAi=^；

同理可得/人2=^/人1=另01=*，

同理可得NA3=〃A2T•5=衰，

16/35

NAn=+，

a

ZA2022=22022-

故答案为：B.

【分析】根据角平分线的定义及三角形外角的性质分别求出NAi=%ZA2=1ZA,=

/，ZA3=1ZA2=p-,从而得出NAn=去，继而得解.

11.【答案】68°

【解析】【解答】解：如图，延长。C交于M.

平分々DCG,GE平分4CG8

.・.设NDC尸=(GCF=x,Z.CGE=L.MGE=y.

+白隹—后IIZ/IAM.缶=2y+/GMC①

根据二角形的外角可得(.X，

.x=y+^E②

①一②x2可得：Z.GMC=2zE,

•••(E=34°,

Z-GMC=68°,

*：AB||CD,

:.乙GMC=LB=68°,

故答案为68。.

【分析】延长DC交BG于M,根据角平分线定义可得设/DCF=/GCF=x,Z.CGE=

乙MGE=y,根据三角形外角性质建立方程组，解方程组可得2GMe=68。，再根据直线

平行性质即可求出答案.

12.【答案】32

【解析】【解答】解：过C点作NACE=NCBD,如图所示：

A

D

BC

•・,ZBCD+ZDCA=180°,ZBCD+ZCBD+ZBDC=180°,

AZECD=ZBDC,

;对角线BD平分NABC,

AZABD=ZCBD,

AZABD=ZACE,

AZBAC=ZCEB=64°,

AZBDC=izCEB=32°.

故答案为：32.

【分析】过C点作/ACE=/CBD,利用角平分线的定义及等量代换可得

ZBAC=ZCEB=64°,再求出NBDC§NCEB=32。即可.

13.【答案】la

【解析】【解答】解：连接4瓦。C,

,・，B为CE中点,

"△ABC=S.BE，

设SMBC=S“BE=x,

•・SAACE=2x,

・・・C为AF中点,

:・S&CEF=S&ACE=2x,

•・・.4为B。中点，

18/35

•S'A/lDfc=SM8£=X，

,・SADBE=?x,

同理可得：S4ADF=2x

:,SADEF=S^ADF+S^BDE+S&ECF+S^ABC=7x，

・c_l_1

•*^^ABC=y^chDEF=ya，

故答案为：ya.

【分析】

连接DC、AE,因为B为CE中点，则Sg8C=S08E，同理SM3C=SAMC=S08E=

SMDE，SMBC=SAXDC=SNDC，贝US"。/=S^BDE=^^ECF=2s^ABC，即可求解・

14.【答案】9。、51。、129°

【解析】【解答】解：当CE_18c时，如图所示

在△ABC中，乙4=60。，乙4c8=42。

乙B=180°一乙4一Z.71CJ?=180°-60°-42°=78°

•••8打平分心力8C

11

，乙EBC=产ABC=-x78°=39°

乙乙

:•乙BEC=90°-Z.EBC=90°-39°=51°

当CEJ.A8于G时，如图所示

1z/15(?=1x78o=39o

^ABE=

••.乙BEC=LBGC-Z,ABE=90°+39°=129°

当CEJ.AC时，如图所示

乙EBC=39°.Z-ACB=42°

•••乙BEC=180°-{/.ACE+Z.ACB)-乙EBC=180°-(90°+42°)-39°=9°

综上，/BEC的度数为9。或51。或129。

故答案为:9。、51。、129°

【分析】题中没有明确直线CE垂直于△A8C的哪一边，故需要分三种情况分别讨论，先

勾画出三种情况的草图，逐一分析：根据已知角和角平分线定义及垂直带来的直角，把

可求的角度在图上标示出来，易由余角定义、外角定理、三的形内角和定理计算出NBEC

的度数。

15.【答案】2a)

【解析】【解答】解：・・・8C||4E,

・,•乙C=乙EAC.

•・•乙EAC=3,

/.LC—bi.

,:LSAN=匕C4D,匕BAC=&AN=a,

，乙BAD=Z.BAC+Z.CAD=2a.

•・•乙FB4是△4BC的外角，

LFBA=Z.BAC+z.C»

即p=a+a>,

：.LSDM=180°-/.DAB-4ABD=180°-2a-(180°-2位=2(£-a)=2to.

故答案为：2“

【分析】先利用平行线的性质证得，C=3,再利用已知条件得到/BAD=2a,然后根据

三角形外角的性质得出夕=a+3,最后根据三角形内角和定理求解.

16.【答案】(1)解：①・.・NA+NABC+NACB=180°,

/.ZABC+ZACB=180°-ZA=180°-120°=60°.

20/35

・•・ZABD+ZABC+ZACB+ZACD=90°,

.\ZACD=90°-(ZABD+ZABC+ZACB)=90°-(10°+60°)=20°.

@VZA+ZABC+ZACB=180°,

AZABC+ZACB=180°-ZA=180°-a.

VZD=90°,

・・・NDBC+NDCB=90。，

:.ZABD+ZABC+ZACB+ZACD=90°,

/.ZACD=90°-(ZABD+ZABC+ZACB)=90°-(0+180。・a)=a-p-90°.

(2)解：①如图，当点D在AB的左侧时，

ZD+ZABD+ZDMB=ZA+ZACD+ZAMC=180°,

又/DMB=NAMC,

:.ZD+ZABD=ZA+ZACD,

:.ZA+ZACD-ZABD^90°.

②如图，当点D在AB的右侧时,

VZD+ZABD+ZDMB=ZA+ZACD+ZAMC=180°,

又NDMB=NAMC,

.*.ZD+ZABD=ZA+ZACD,

:.ZA+ZABD-ZACD=90°.

综上所述，当点D在AB的左侧时，ZA+ZACD-ZABD=90n；

当点D在AB的右侧时，ZA+ZABD-ZACD=90°.

【解析】【分析】(1)①先根据进行角的运算即可得到NABC+NACB=18()。-NA=

180°-120°=60°,进而即可得到NABD+NABC+NACB+NACD=90。，再结合题意即可

求解；

②先根据题意得到/ABC+NACB==18(T-a,进而结合题意进行角的运算即可求解；

(2)根据题意分类讨论：①兰点D在AB的左侧时，②当点D在AB的右侧时，进而

结合题意进行角的运算即可求解。

17.【答案】(1)过点P作PE〃AB,

VAB/7CD,

・・・PE〃AB〃CD,

/.ZA+ZAPE=180°,ZC+ZCPE=180°,

VZPAB=130°,ZPCD=120°,

AZAPE=50°,ZCPE=60°,

・•・ZAPC=ZAPE+ZCPE=110°.

(2)ZAPC=Za+Zp,

理由：如图2,过P作PE〃AB交AC于E,

VAB/7CD,

・・・AB〃PE〃CD,

/.Za=ZAPE,Zp=ZCPE,

，ZAPC=ZAPE+ZCPE=Za+Zp：

(3)①如图所示，当P在BD延长线上时,

ZCPA=Za-Zp；

22/35

C

A

.V/

0BD

VAB/7CD,

.\Za=ZAFC,

•・,ZAFC是^AFP的一个外角，

・•・ZAFC=ZCPA+Zp,

ZCPA=ZAFC-Zp=Za-Zp：

②如图所示，当P在DB延长线上时,

.\Zp=ZAFC,

ZAFC是^AFP的一个外角,

AZAFC=ZCPA+Za,

/.ZCPA=ZAFC-Za=Zp-Za：

综上所述：NCPA=Na-N0或者NCPA=/0-Na.

【解析】【分析】本题考查平行线的性质和判定、三角形内角和定理的证明、外角的性

质.

(1)过点尸作PE//A8,根据平行公理可推出：PE〃AB〃CD,利用平行线性质：两直

线平行同旁内角互补，可求出NAPE=5()。，ZCPE=60°,利用角的运算可求出NAPC.

(2)过P作正〃司。交AC于E,根据平行公理可推出：PE〃AB〃CD,根据平行线的

性质可推出5/CPE,利用角的运算可求出答案；

(3)分两种情况：尸在8。延长线上；P在。8延长线上，分别画出图形，根据平行线

的性质得出/R/CPE,利用三角形外角的性质可求出答案；

18.【答案】(1)解：•・・(Q+1)2G0E=/GO凡b乙HCE=LECF,a=h=l,

1

：.2^GDE=乙GDF,乙HCE=乙ECF=^HCF.

・••乙GOE=乙EDF=40%

:•乙GDF=80°,

：.LADB=180°-80°=100°,

,：LDAC=30°,

工乙CFB=Z-DFA=180°-100°-30°=50°,

•:乙DBC=35°,

二乙HCF=35°+5U0=85",

:•乙ECF=，HCF=42.5°;

(2)解：V(a+l)z(；D£,=zGDF,a=4,

：.5^GDE=乙GDF,

：.LEDF=4乙GDE,

'：CDAC=30°,

：.LDFC=/-DAC/-ADF

=30°+180°-乙GDF

=210°-5乙GDE,

•・•乙OBC=40。，b乙HCE=LECF,

・••乙DFC=NO8C+/BCF

=40°+180°-Z-HCF

=220°-QHCE+乙ECF)

=220°-(b+l)zHCF,

・•・210°-52GOE=220°一(b+1”HCE,

•二乙GOE=誓4HCE-2。，

：-LE=360°-(EDF-LDFC-乙ECF

=360°-44GDE-乙DFC-乙ECF

(b+1

3600-4y-5-乙HCE-20-220°+(b+1"HCE-bcHCE

=148°—去，乙”CE,

・・・当牛1=0,即时，乙E为与a、b无关的定值.

24/35

(3)ab=1

【解析】【解答】(3)解：・・・(Q+l)iGOE=4G。凡b乙HCE=(ECF,

：.^EDF="DE,乙HCF=(b+1)乙HCE,

V^DAC=Z-DBC=a,

工人DFC=^DAC+^ADF

=a+180°-zGDF

=a+180°-(a+1)乙G0E,

'：LDAC=Z.DBC=a,

：.^DFC=乙DRC+乙BCF

=a+180°-Z-HCF

=a+180°-(/?+l)zWCF,

.'a+180°一(Q+1)/GDE=a+180°—(b+l)zHCE,

・"GDE="〃HCE,

Q+1

AzF=360°-乙EDF-Z-DFC-乙ECF

=360°-a乙GDE-Z.DFC-乙ECF

b+1

=360°-a———rZ-HCE-a-180°+(b+1)乙HCE-b乙HCE

a+1

=180°-a-他=zJ/CE,

a+l

・••当Q匕-1=0,即ab=l时，々E为定值.

故答案为：ab=1.

【分析】(1)先利月角的运算及等量代换求出乙CF8=4。凡4=180。一100。-30。=

50°,再结合/DBC=35。，利用角的运算求出NHC尸=35。+50。=85。,最后求出

Z.ECF=葭HCF=42.5。即可；

(2)先利用角的运算及等量代换求出乙DFC=Z.DAC+乙4DF=220°-(b+l)zHCE,

再求出NE=360°-LEDF-Z-DFC-Z.ECF=148°一线匚•乙HCE,即可得到当牛i=

0,即时，乙E为与a、b无关的定值，从而得证；

4

(3)先利用角的运算及等量代换求出/OFC=U)AC+LADF=a+180°-

(a+1)乙GDE,再求出々E=360°-乙EDF-乙DFC-乙ECF=180°-a-

即可得到当Qb-1=0,即ab=l时，/E为走值，从而得解.

SE/9Z

l-Mv

3JH-7Q-J2〃7([+q)+o0ZZ-(0Z-a2H7[勺)力-<>09£=

d”7-MO7-3。邙-。09£=

dD3~7-MO7-dOK-o09£=57V

%Z-含=.97•;

'32/77(1+q)-oOZZ=HO"S-oOlZV

口2H7(1+q)-°OZZ=

Q”7+HJH7)-o0ZZ=

dJH-7-o08l+oOiz=

4287+28。7=加。7・.・

5a7=H3I7q%0"=2。”.・.

口。邙一。012=

dGD-7-o08l+o0£=

4。歹7+"07=勿。7・.・

%0£=jvay：.

Fam=HQH7・；

'Hag=mags•:

»=♦3097=3097(1+。)・・・:.(c)

7

：°S9=H3H若=d”7・.・

<oS8=oOS+oS£=^J//7v

%S£=28。乙・・

%os=o0€-oooi-o08i==8d歹,:

%0£=jvay：.

'。001=o08-o08l=QGV7-：

'。08=HQ37,:

4oOV=HQ37=3QD7,：

5H"==H3H7FG37=西必,:

，1=q=曾7307=q3H7q1~+»).*.:搦(I)

・•・当%1=0,即白另时，乙E为与a、b无关的定值.

(3)解：V(a+l)zGDF=zGDF,bZ-HCE=Z.ECF,

：.^EDF=aZ,GDE,乙HCF=(b+1”HCE,

V^DAC=乙DBC=a,

J.^DFC=AC+^ADF

=a+180°-Z,GDF

=a+180°-(a+l)z(；DF,

*：^DAC=4DBC=a,

：.Z.DFC=乙DBC+乙BCF

=a+180°-乙HCF

=a+180°-(b+l)zHCF,

・・・a+180°—(a+1)/GDE=a+180°—(b+1)^HCE,

・・・4GDE=空/”。£,

Q+1

：.^E=360°-乙EDF-乙DFC-Z-ECF

=360°-a乙GDE-乙DFC-Z-ECF

b+1

=360°-a-乙HCE-a-180°+(匕+1"HCE-b乙HCE

a+1

ab—1

=180°-a-乙HCE,

a+1

...当Qb-l=o,即ab=l时，々E为定值.

故答案为：ab=l.

19.【答案】(1)25

1

⑵e2y21X

(3)解：(2)中的结论成立，理由：

在△ABC中，ZB-x,ZACB-y,

・•・ZBAC=1800-ZB-ZACB=180°-x-y,

TAD平分NBAC,

AZ.CAD=1/.BAC=1(180°-x-y),

乙乙

VZACB=y,

...NACE=1800-ZACB=180°-y,

VAE1BC,

.'.ZAEC=90%

/.ZCAE=90°-ZACE=90°-(180°-y)=y-90°,

/.ZDAE=ZCAD+ZCAE

Io°、

=专(180-x-y)+(y-90)

—90-lx—ly+y-90

【解析】【解答］解：(1)根据题意，在三角形ABC中，ZB=30°,ZACB=80°,

所以NBAC=18()o・/B-NACB=70。，因为AD平分NBAC,

所以/CAD斗NBAC=R()O=35。，

因为AEJ_BC,所以NAEO90。，

所以NCAE=90°-ZACB=90°-80°=10°,所以NDAE=ZCAD-ZCAE=25°,

因为CF〃AD,所以/CFE二NDAE=25。；

(2)在三角形ABC中，ZB=x,ZACB=y,所以NBAC=18O0-NB-NACB=18O0-x-y,

因为AD平分NBAC,所以NCAD=|NBAC=^(180°-x-y),

因为AE_LBC,所以/AEC=90。，LUZCAE=90°-ZACB=90°-y

所以NDAE=ZCAD-ZCAE=iy-lx；

(3)(2)中的结论成立，理由：在△ABC中，ZB=x,ZACB=y,

ZBAC=1800-ZB-ZACB=180°-x-y,

因为AD平分NBAC,

所以NCAD=4NBAC二i(180°-x-y),

因为NACB=y,

所以ZACE=180°-ZACB=180°-y,

因为AEJ_BC,

所以NAEC=9()。，

所以NCAE=90°・NACE=90°・(180°-y)=y-90°,

月以fNDAE=ZCAD+ZCAE

=1(180°-x-y)+(y-90°)

=90°-lx-ly-90°=ly-lx,

28/35

因为C卜〃AD,所以NCFE=NDAE=1y-4x；