2024北师大版八年级数学上册第四章《一次函数》每课时教学设计汇编（含9个教学设计）

第四章一次函数

1函数

一、学习任务分析

函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，函数的学习是初中阶段数学学习的一个

重要内容。本节课的内容是在七年级知识的基础上，继续通过对变量之间关系的研究，让学

生初步理解函数的概念，为后续的学习打下基础。同时、函数的学习可以使学生体会到数形

结合的思想方法，感受事物是相互联系和变化的。木节课主要通过对不同情境下变量之间关

系的研究，使学生明确“给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值”这一

共性，从而归纳出函数的概念。因此，本节课最重要的任务就是完成新概念（函数）的建构。

二、学生起点分析

学生知识技能基础：在七年级I:册学习了代数式，能够用代数式表不具体事物之间的关

系或变化规律；在七年级卜.册又学习了“变量之间的关系”，体会到具体情境中变量之间依

赖关系的普遍性，感受到学习变最之间关系的必要性和重要性，并且积累了一定的研究变量

之间关系的经验，为学习本章的函数知识奠定了一定的基础。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生具备了一些生活经验，知道探究生

活中变量之间关系的一些方法，具备了一些解决实际问题的经验和能力。在之前的数学学习

中，学生已经经历过很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习经验，具有一定的合作与

交流的能力。

三、教学目标

1.了解函数的概念，能判断两个变量之间的关系是不是函数关系；

2.能根据具体情境，初步学会列函数关系式，能指出简单的函数关系中自变量的取值范

围；

3.经历从具体实例中抽象概括函数概念的过程，进一步发展抽象思维能力，体会函数的

对应关系。

教学重点：经历从具体实例中抽象出函数概念的过程，能判断两个变量间的关系是不是

函数关系。

教学难点：对函数概念的认知和理解

四、教学过程设计

【第一环节】生活实例，章节导入

1.活动内容

生活中存在着许许多多变化的量，如水龙头漏水最与漏水时间，弹簧的长度与所挂物体

的质量，行走的路程与所用的时间……你了解这些变量之间的关系吗？了解这些关系，可以

帮助我们更好地认识世界，

函数是刻画变量之间关系的常用模型。什么是函数？它对应的图象有什么特点？我们能

用函数解决现实生活中的哪些问题？你想了解这些吗？一起走进本章的学习吧！

2.活动目的

本节课是第四章的起始课，通过设计贴近生活的现实情境让学生感悟到函数是刻画现实

世界的重要模型；以连续的设问，勾勒出本章学习脉络，激发学生对函数的探究兴趣。

3.注意事项

生活实例激发了学生的研究热情，能够起到很好的导入效果。

【第二环节】创设情境，感受新知

1.活动内容

（1）你坐过摩天轮吗？想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离地面的

高度是如何变化的？.。*2人-琳+；”耳八

右图反映了一个摩天轮上某一点离地面的高度〃二:\\\

（单位：m）与旋转时间f（单位：min）之间的关系。

①这个问题中有几个变量？

②根据上图填写下表，

r/min012345•••

h/m

③对于给定的时间3相应的高度h确定吗？

（2）操作•思考

①圆柱形物体常常像下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的?

请填写下表，并说出对r•给定的每一个层数〃，物体总数y分别对应有几个值。

层数〃12345•••

物体总数y

②一定质量的气体在体积不变时，若温度降低到一273.15。。则气体的压强为零。因此,

物理学中把一273/5。（2作为热力学温度的零度。热力学温度7（单位：K）与摄氏温度f（单

位：℃）之间有如下数量关系:T=/+273.15,720。

a.当f分别为一43。（：，-27℃,（TC,WC时，相应的热力学温度7是多少？

b.给定一个大于一273.15。（：的/值，你都能求出相应的7值吗？

（3）思考-交流

上面三个问题都研究了两个变量之间的关系，它们有什么相同点和不同点？与同伴进行

交流。

2.活动目的

通过三个实际问题情境，使学生初步感受到现实生活中存在大展的变审:之间的关系，并

且一个变量是随着另一个变量的变化而变化的；变量之间的关系表示方式是多样的（图象、

表格和关系式等），为接下来学生抽象概括函数概念做好铺垫。

3.注意事项

教学中，可以让学生举出更多生活中变量之间关系的例子，为归纳函数概念做准备。

【第三环节】抽象概括，形成概念

1.活动内容

（1）比较思考

上面三个问题分别以图象、表格、关系式三种形式呈现了两个变量之间的关系，你能找

出三者之间的共同点吗?

（2）函数概念

一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和修并且对于变量x的每一个值，变量

都有唯一的值与它对应，那么我们称y是工的函数，其中x是自变量。

函数概念要点：

©；②O

（3）注意

①函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系；

②表格、关系式、图象是函数的三种表示方式。

尝试-思考

上述问题中，自变量能取哪些值？

对于自变量在可取值范围内的一个确定的值。，函数有唯一确定的对应值，这个对应值

称为当自变品等于4时的函数俏。

2.活动目的

以上三个问题呈现了表示两个变量之间关系的三种方式，木环节通过引导学生思考它们

的异同点，引出函数的概念。

3.注意事项

在教学过程中，由于学生已经有了七年级学习的知识经验，能较顺利地抽象出函数的有

关概念，但在对函数概念的理解上，学生对“唯一”的理解可能会有困难。

【第四环节】辨析概念、拓广应用

1.活动内容

（1）回归生活

下列各题中分别有几个变量？其中某个变量能看成另一个变量的函数吗？若能,请写出

自变量的取值范围。

①北京市某天气温的变化情况如图所示：

②在平整的路面上,某型号汽车紧急刹车后仍会滑行5m,一般地,有经验公式$=急，

其中丫表示刹车前汽车的速度（单位：km/h）o

③在国内，将质量在100g以内的普通信函投寄到外埠，应付邮资见下表:

信件质量

0<w<2020V〃忘4040〈〃区6060V〃?W8080<w<100

w/g

邮资w元1.202.403.604.806.00

两个变量之间的关系:

自变量

实例描述变量是否是函数自变量取值

因变量

一随着—的—是自变量：

温度问题

变化而变化____是因变量

____随着____的一是自变量：

刹车问题

变化而变化____是因变量

一随着—的一是自变量：

邮费问题

变化而变化____是因变量

（2）数学理解

请你举出生活中有关函数的几个例子，井与同伴进厅交流。

（3）解决问题

一个水管以均匀的速度向容积为100|城的空水池中注水，注入的水量Q（单位：城）

与注水时间单位：min）之间的数量关系为。=2，。求当，=5时，水池中注入的水量Q的

值。请写出自变量/的取值范围。

2.活动目的

通过三个现实情境，分别体现函数的三种表达形式。让学生在解决具体问题过程中逐步

加深对函数概念的理解，体会函数的应用。

3.注意事项

“回归生活”用三个实例分别体现生活中用图象、关系式和表格表达函数关系。用填表

格的形式逐一梳理变化关系，使学生能对比较抽象的函数概念形成一个判断的标准，并且能

够根据题意和常识指明自变量的取值范围。

“数学理解”鼓励学生发现实际生活中更丰富的函数关系，生生间的分享能够极大地开

阔视野，让学生充分体验到函数是刻画现实世界的重要模型。

“解决问题”让学生利用函数关系解决问题，初步体验函数思想。

【第五环节】学习反思，内化提升

1.活动内容

经过本节课的学习，你有哪些收获？

教师可以通过以下问题引导学生对本节课进行总结：

(1)什么是函数？

(2)函数有哪些表达形式？

(3)你体会到哪些数学思想方法？

2.活动目的

引导学牛自己总结本节课的知识要点和学习方法，使学牛从感性上升到理性，形成系统

的知识结构。

3.注意事项

学生各抒己见，然后相互补充完善，最后师生共同完成小结内容。在学生发言时，教师

要注意学生语言表述的准确性。

【第六环节】布置作业，巩固提升

1.活动内容

基础作业：教科书习题4.1第1,2,4题。

拓展作业：下列各式中，x都是自变量，则y是不是x的函数，为什么？

(1)y=2xi(2)y=x2}(3))r=Xo

实践作业：教科书第108页复习题第17题。

2.活动目的

分层布置作业可以满足不同层次学生的学习需要。

3.注意事项

基础作业供全体学生完成“帮助学生在现实情境中认识函数；拓展作业增加了从关系式

的角度辨别函数的习题，供学有余力的学生进一步认识函数；实践题选用教科书复习题的素

材，让对数学学习有更多需求的学生，通过查阅资料，了解各个国家鞋码与脚长的对应关系，

体会函数是刻画现实世界的重要模型。

五、教学反思

1.重视章起始课教学

本节课是“函数”一章的起始课，起着承上启下的重要作用，既要复习旧知，又要对本

章知识结构做简单的介绍，对本章节学习中最常用的思想或方法进行渗透。本节课通过三个

生活实例回顾变量之间的关系，起到“承上”的作用；以连续的设问勾勒出本章的学习脉络,

激发学生对函数的探究兴趣。数形结合是函数学习的重点，也是学生学习的难点，在“摩天

轮问题”和“北京气温问题”中，教师要引导学生全面观察图象，体会图象的直观性，渗透

数形结合的思想，让学生有所感悟。

2.突破难点策略——丰富的现实情境

函数的概念比较抽象，对它的理解是教学难点。学生对函数的探索以及研究思路都是比

较陌生的。因此，在教学过程中，教师要为学生提供贴近生活、丰富多样且生动有趣的问题

情境，这不仅能够提高学生的学习兴趣，并且能够降低学生对函数的陌生感，搭建起前后知

识的桥梁。

本节课首先以三个生活实例，通过谈话式的教学，承前启后导入本章内容；然后以贴近

学生生活的三个问题，引导学生进行观察、操作、交流、归纳等数学活动，从而归纳、概括

出函数的概念；再以“I可归生活”的三个实例，师生互动辨析函数；接着鼓励学生在生活中

发现更丰富的函数关系，生生互动，进一步体会函数与实际生活的关联；最后学生利用函数

关系解决实际问题，初步体会函数思想。

3.评价方式

根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的评价理念，教师在课堂中应尊重学生

的个体差异，满足学生多样化的学习需求，鼓励学生探索方式、表达方式和解题方法的多样

化。在教学活动中，教师要关注学生的参与程度和表现出来的思维水平；关注学生对函数概

念的理解水平和学生的语言表达能力；关注学生是否能准确地判断所给的问题中两个变量之

间的关系是不是函数关系，教学过程中通过层层递进的三个辨析活动，分析学生对函数的理

解情况。另外，对于学生的回答教师应给予恰当的评价和鼓励，帮助学生认识自我，建立自

信，发挥评价的教育功能。

4.注意改进的方面

对函数的理解是建立在代数式、方程、不等式的基础上的，如果时间充足，可以在导入

环节加入相关素材。

受教学时间限制，对“自变量的取值范围”的教学内容设计不够丰富，学生的训练也不

够，可以根据学情适当增加练习。

第四章一次函数

2认识一次函数（第1课时）

一、学习任务分析

数学是研究变化中的不变关系，函数是刻画变化中不变关系的直接工具，它既是一种思

维方式，也是一种数学工具。认识一次函数的内容分为3个课时，它们的主要关系如下：

本课时为第1课时，主要是通过对实际问题的分析，理解“均匀”变化，感悟线性关系。

从教材呈现的位置分析，本节课的内容位于“函数概念”之后和“一次函数概念”之前,

其核心是加深对“一次函数”与“函数”关系的理解，为下一课时定义一次函数作思维铺垫;

从教材内容来看，以凸显“均匀”变化的生活实例为载体，其核心是通过分析实例中的变化

特征，理解“均匀”变化，进而理解•次函数”变化率恒定”的本质；从素材呈现方式来看,

通过采用操作、思考、交流等活动形式，让学生经历“用数学的眼光观察现实世界”的过程，

进而深层次地理解函数是描述现实世界事物变化规律的重要模型。

二、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生已经理解了“常曷”与“变量”等基础概念，并熟练掌握了

代数式的运算以及表示变量之间关系的方法等相关技能。同时，学生对“函数”以及“函数

值”等概念有了初步的认设，并能够运用表格、图象和关系式等多种方式表示函数。学生已

经理解了函数概念的“整体性”，但对其“特殊性”理解不深，还未了解“变化特征”的概

念，未建立特定变化特征与特定函数之间的内在联系。

学生的活动经验基础：函数是常量数学向变量数学过渡的重要载体，学生们已掌握分析

现实情境中数量关系、描述变量间关系的能力。在实践探究的学习模式下，学生已经积累了

收集、整理、分析数据的丰富经验。然而，学生在将生活问题抽象化为数学问题的过程中，

缺乏足够的观察能力与表达能力。现阶段学生的学习愿望较强，并勤于动手、乐于表达自我;

学生已具备良好的合作交流习惯和分享表达能力；在思维方面，学生展现出较强的活跃性，

其抽象思维能力正处于逐渐形成但尚未达到成熟的阶段。

三、教学目标

1.理解“均匀”变化的概念，掌握判断某一变化是否遵循“均匀”变化规律的方法。

2.经历收集数据、整理数据的活动过程，积累将生活问题数学化的经验，理解函数是描

述现实世界事物变化规律的重要数学模型。

3.在交流分享中，了解“均匀变化的程度”在表格、图象和关系式中的直观体现，进一

步发展合作交流的能力和数学表达能力。

4.初步培养基于科学数据进行分析问题、解决问题的良好习惯，强调以事实为依据的思

维方式。

教学重点：理解“均匀”变化的概念，掌握判断某一变化是否遵循“均匀”变化规律的

方法。

教学难点：理解“均匀”变化的概念。

四、教学过程设计

【第一环节】情境引入

1.活动内容

（1）教师给出如下信息：

第四十七届联合国大会作出决议，确定每年的3月22日为“世界水日（WorldWater

Day）”。1988年，《中华人民共和国水法》颁布后，水利部即确定每年的7月1日至7

日为“中国水周”，考虑到世界水日与中国水周的主旨和内容基本相同，因此从1994年开

始，“中国水周”的时间改为每年的3月22日至28日。2019年4月，经中央深改委审议

通过的《国家节水行动方案》印发实施，标志着节水上升为国家意志和全民行动。据调查，

2020年,我国人均生活用水量为:城镇（含公共用水）207L/d,农村lOOL/do节约用水，

人人有责，在生活中做好每一件小事，用行动践行节约用水。

（2）提出问题：一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？够一个人一年使用吗？

先猜一猜，再设计一个方案具体估算一下，并与同伴进吁交流。

2.活动目的

将教材中的问题引入置于合适的背景卜.呈现，既能与德育进行融合，也可以使学生感受

研究此问题的现实价值。

3.注意事项

为解决这个问题，可以提前将学生分组，要求每小组在课前完成以下任务：

将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯。每隔1min,记录

••下量杯中的水量，并将数据填入下表。在坐标纸上描出（/，Q对应的点。你认为漏水量的

变化具有什么规律？请你估计：这个水龙头一天的漏水量是多少？

时间r/min12345678910•••

漏水量V/mL

布置任务后，为保障实验效果，教师要指导学生合理设置水龙头的滴水速度，同时要对

学生收集数据的过程进行指导，一是给予方案可行性判断的标准，如数据收集方案是否可

行？估算方法（数据的精度选择）是否科学？二是给予收集数据工具的选择，如烧杯、量筒

等；三是给予采集的数据准确性的判断，如怎样判断数据是否存在较大误差？误差较大的数

据如何处理.？出现较大测量误差的原因是什么？如何优化实验减小测量误差？

在此环节，教师需要对学生提出的要求是：在真实的实验过程中收集数据，在具体的实

验操作中积累经验。

【第二环节】数据分析

1.活动内容

操作-思考

（1）各小组展示课前完成的任务，汇报各自收集到的数据，以及在坐标纸上描出的（f,

V）对应点的图象，并据此估计：自己小组实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少？一年

呢？够一个人一年使用吗？

（2）分析自己组的实验数据，你能写出漏水量V与时间，之间的关系式吗？

（3）不同组的实验结果有何异同？

2.活动目的

在具体情境4•认识“均匀”变化，感悟线性美系。本环节的设计在学生深化函数概念的

理解，体会自变量与因变量之间的关联，以及熟悉函数的三种表述形式等方面均具有重要意

义。在辨识共性特征时，通过对表格数据的分析，学生可以初步认识到在单位时间漏水量恒

定的情境下，水量的递增呈现出均匀变化特性；借助对关系式结构的剖析，学生能够初步领

悟此类变化规律可通过特定代数式加以表达；而通过对图象特征的解读，学生则可以初步感

知此类变化规律在图象上的独特展现。在进行归因分析时，此举不仅深化了对•一次函数的理

解，还直观揭示了其“均匀”变化的本质特征，经历借助表格、图象和关系式这三种不同表

示方式表达相同的对应关系的过程，让学生对内在一致性有了更深刻的认识。

3.注意事项

（1）教师提炼各组展讲要点，整合各组展讲内容，明晰各组展讲维度（如单位时间漏

水量、漏水量P与时间/之间的关系式、平面直角坐标系中（/,D对应点的分布特征、漏

水量变化规律等）。

（2）在教学活动的设计上，应引导学生首先进行同组数据的深入分析，随后再进行不

同组数据之间的细致观察，以便从中提炼出共同点。对于共同点的观察，应特别聚焦于相同

时间间隔内数据变化的一致性，即进行等差特性的观察与分析。同时，在描述情境中的“均

匀”变化时，教师应指导学生运用简洁明了的语言进行表达。

（3）没有条件开展课前实验的班级，可以在本环节采用教材呈现的小明的实验数据，

利用小明的数据观察、描点、估算，写出丫与，的关系，并分析如果自己做实验，实验结果

是否会与小明的一致？教师也可以自己做一下课前实验,把收集的数据用于在教学中与小明

数据进行观察和比较。

【第三环节】寻找异同

1.活动内容

思考-交流

分享各组的实验结果，并交流下列问题：

（1）比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处？

（2）引起各组数据不一致的因素有哪些？这些因素的差别对表格、图象和关系式的影

响分别体现在哪些方面？

（3）假如水龙头漏水严重一些，表格、图象和关系式可能会发生什么变化？为什么？

2.活动目的

本环节让学生通过分享感受更多的线性关系，形成对线性关系更全面的认识。学生通过

充分的比较、分析，认识“均匀”变化，感悟线性关系，体会关系式中的系数时表格、图象

的影响。

3.注意事项

（1）各组实验数据不同，在分析比较时，可以借助表格、图象等不同表示方式进行异

同点的比较分析。

（2）在进行原因分析时，应鼓励学生充分比较，大胆分析原因，并结合不同组的数据

判断寻找的因果关系是否正确。

【第四环节】类比应用

L活动内容

操作-思考

为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔1min测量一次香可燃

烧部分的长度，数据如下:

燃烧时间//min12345•••

各可燃烧部分的长度〃cm22.421.921.420.920.4…

（1）根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出（3/）对应的点。

（2）估计燃烧10min后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由。

（3）估计这根香可燃烧的时间，并说明理山。

（4）试写出这根香可燃烧部分的长度/与燃烧时间/之间的关系式。

思考-交流

在小颖的实验中，燃烧时间每增加1min,香可燃烧部分的长度就减少0.5cm。也就是

说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少。为什么香的燃烧会有这样的

“均匀”变化呢？与同伴进行交流。

2.活动目的

通过燃香实验的“操年•思考”，让学生进一步感受线性关系，丰富学生对线性关系的

实际体验。通过与“水龙头滴漏问题”进行对比，让学生感知“均匀”变化包括“均匀增加”

和“均匀减少”，即斜率可正可负，也可以让学生感知切始量可以非零。

通过“思考•交流”引导学生进一步思考燃香实验中变量之间关系呈现线性关系的内在

原因，积累分析、判断线性关系的经验。

3.注意事项

本环节的“操作•思考”部分，鼓励学生先自己完成，然后由教师进行点评指导。“思

考•交流”部分要结合生活实际中的具体情境，剖析产生“均匀”变化的原因，使学生能够

更好地认识生活中的“均匀”变化现象。

【第五环节】课堂小结

1.活动内容

（1）师生共同交流总结，归纳“均匀”变化的规律；一个变量增加固定的数值时，另

一个变量的变化量是相同的。

（2）总结归纳对“均匀”的解读，以及“均匀”在表格、图象和关系式等表示方式中

的体现。

2.活动目的

回顾并深化对■“均匀”变化规律的理解，使学生能够透彻地把握其内在含义，并敏锐地

捕捉到“均匀”变化在外部世界中的具体表现。同时，通过本次活动，学生能够认识到“均

匀”变化的函数作为一类具有特殊性质的函数，在数学领域中占据着重要的地位。

3.注意事项

鼓励采用多样化的总结方式，如引导学生主动分享符合“均匀”变化特征的实例等，以

加深对知识点的记忆和理解。此外，还需引导学生保持清晰、准确的语言表达，以确保信息

传涕的准确性和有效性。

【第六环节】布置作业

1.活动内容

（1）根据下列信息，判断是否为“均匀”变化。

①

自变量X0.511.522.5•••

因变量），-1-1.8—2.6-3.4-4.2…

②

@y=-x+2.7。

（2）“驱蚊线香可燃烧时间”问题中，为什么香的可燃烧部分的长度会“均匀”变化？

(3)生活中还有哪些“均匀”变化的现象？试举两例。

2.活动目的

会通过表格、图象和关系式判断某变量之间的变化是否“均匀”；能够在情境中分析变

化是否“均匀”的现实原因；能够将对“均匀”变化的理解迁移到生活情境之中。

3.注意事项

用表格、图象和关系式表示时，每一类中若出现多久数据，数据要易于比较；对“驱蚊

线香的燃烧”为什么会“均匀”的分析要全面；对“均匀”变化所举例子可结合现实生活。

五、教学设计反思

1.学习重点的选择

本节课聚焦于基本技能、基本思想方法及基本活动经验的传授，对基本知识的涉及相对

较少。因此，在教学过程中，应重点提升学生在具体实践操作中的感知与表达能力。为达成

此目标，教师需要为学生提供更多手并用的机会，例如，在观察表格、图象及关系式的特

征时，鼓励学生边写、边画、边阐述，以此深化理解并巩固所学内容。

2.学习难点的突破

本节课的难点聚焦于深入理解并精确描述变化过程中的“均匀”特性。在实验操作环节

中，首先，让学生通过观察数据的变化规律，初步感知其独特性质；随后，通过详尽的数据

分析，揭示并认识“等差”这一核心规律；最终，借助标准化的语言表述模式(如以固定时

间间隔增加固定数值)，准确传达此规律，以加深学生对“均匀”变化的理解。在教学过程

中，教师应当树立典范，提供规范的语言模型供学生参考，并注重引导学生形成严谨、准确

的表达习惯。

3.课堂活动的选择

课堂活动的设计理念为“教师主导、学生主体”，旨在构建一种“分享・创生”型的课

堂教学模式。该模式的核心课堂活动包括课前调查、小组展示、合作交流等，这些活动均要

求学生展现出探索的欲望、合作的意识、表达的勇气以及分享的习惯。

若学生因客观条件限制无法自主完成课前调查，教师可以主动提供相关数据，但在提供

数据的同时，应重视展示数据收集的过程，如通过播放过程性视频等方式，使学生了解数据

的来源。

在小组展示环节，教师应积极鼓励并引导学生参与，通过设定明确的任务、提供必要的

支持以及给予及时的反馈,激发学生的参与热情，确保每位学生都能在活动中发挥积极作用，

共同促进课堂目标的实现。

4.学生能力的培养

培养学生“用数学的眼光观察现实世界”的能力。素材要尽可能地来源于生活，且具有

一定的现实价值，旨在使学生深刻认以到数学与现实生活之间的紧密联系，进而体会到数学

的实际价值。

在教学过程中，教师要着重引导学生进行观察活动，具体包括在同一组数据中辨识出共

性的元素（即变化过程中保持不变的量），以及在不同组别间捕捉差异性特征（即在不变之

中探寻变化之处）。此外，教师还可以通过创设新颖的情境进行观察示范，随后呈现相似的

情境，鼓励学生自主观察，进一步锻炼学生的数学观察能力。

5.可改进的方面

鉴于教学时间的限制，数据收集工作需提前进行％然而，在此过程中生成的内容未能得

到及时处理。为了弥补这一不足，在教学过程中可以合理引入现代教学技术，以增强科学实

验的教学效果。

第四章一次函数

2认识一次函数（第2课时）

一、学习任务分析

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第四章“一次函数”第二节的第2课时。从

课时内容看•，本课时通过进一步探究生活中的实际问题，抽象出一次函数模型，进而归纳一

次函数和正比例函数的概念；同时，引导学生从关系式中感受一次函数的''均匀”变化，并

理解比6的实际意义。从章节整体来看，本课时是学生掌握一次函数概念，理解〃，方的实

际意义的关键环节，既承接了前面对函数表示方法及'‘均匀”变化特征的认知，又为后续深

入学习一次函数的图象、性质及应用奠定基础，具有承上启下的重要作用。

二、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生通过本章第一节的学习，已经可以运用图象法、列表法、关

系式法来表示变量之间的变化关系，并进一步理解了函数的概念。在本节第1课时中，通过

“水龙头滴漏”“线香可燃烧的时间”等实验，将实验数据列表、描点，并写出其函数关系，

感受了函数的几种表示方法之间的相互转换，初步体会了一次函数的“均匀”变化。

学生的活动经验基础：学生学习了一元一次方程，经历了从实际问题中寻求数量关系并

建立方程的过程，具备了一定的数学抽象能力。在函数的学习过程中，学生通过图象法、列

表法、关系式法表示函数关系，初步感受了变量之间的相互依赖关系。学生经历了从现实到

抽象的过程，积累了一些解决实际问题的经验，具备了•定的数学建模能力。同时在前面的

数学学习中，学生已多次参与合作学习，积累了一定的合作经验，也具备了相应的合作与交

流的能力。

三、教学目标

1.经历归纳一次函数和正比例函数概念的过程，进一步感受一次函数变量之间的“均匀”

变化，体会从特殊到一般的数学思想，感知一次函数的意义，发展抽象能力。

2.应用一次函数解决简单实际问题，理解k,b的实际意义，感受一次函数模型在生活

中的广泛应用，培养应用意识。

教学重点：一次函数和正比例函数的概念，理解上。的实际意义。

教学难点：理解上力的实际意义，及其对一次函数歹=h+6的影响。

四、教学过程设计

【第一环节】创设情境

1.活动内容

测品问题

在弹性限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）的关系

见下表:

x/kg012345

y/cm3.03.54.04.55.05.5

（1）随着所挂物体质量k的增加，弹簧长度y的变化是“均匀”的吗？

（2）写出y与x之间的关系式，并说明理由。

尝试•思考

某辆汽车油箱中原有汽油40L,汽车每行驶50km耗油4Lo

（1）请完成下表。

行驶路程x/km050100150200250300

耗油量y/L

（2）写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式。

（3）写出油箱剩余汨量z（单位：L）与汽车行驶路程x之间的关系式。

2.活动目的

以弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系为情境,让学生进一步感受线性关系及对应

的关系式，为认以•次函数的概念积累具体经验。

“尝试•思考"中汽车耗油量的问题，通过设计填写表格、列关系式等具体任务，让学

生在处理数据的过程中感知变晨间的变化规律，同时借助耗油量与行驶路程、剩余油量与行

驶路程的关系式，自然渗透正比例函数、一次函数的概念。

3.注意事项

弹簧问题中需鼓励学生通过观察表格中的数据写出,，与x的关系式，鼓励学生清晰表述

自己的思考过程；汽车耗油问题需鼓励学生根据已知条件（汽车每行驶50km耗油4L）完

成表格的填写。

【第二环节】呈现定义

1.活动内容

观察-思考

（1）在上面情境中，我们得到.y=3+0.5x,y=0.08x,z=40—0.08x,它们有什么共同

的特征？

（2）请你写出一个具有这种特点的关系式。

归纳得出：

如果两个变量小y之间的对应关系可以表示成（k,方为常数，导0）的形式，

那么称y是戈的一次函数。特别地，当6=0时，称y是x的正比例函数。

对一次函数而言，自变量每增加1,函数值就增加K函数值的变化是“均匀”的。

例1写出下列各题中y与4之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正

比例函数？

（1）汽车以60kni/h的速度匀速行驶，行驶路程y（单位：kn.）与行驶时间人（单位：

h）之间的关系；

（2）圆的面积y（单位：cm?）与它的半径式（单位：cm）之间的关系；

（3）某水池有水15m3,现在打开进水管进水，进水速度为5m3/h,经过xh这个水池

内有水＞'m3o

思考-交流

（1）在例1中，两个一次函数的一次项系数左和常数项b分别是多少？它们的实际怠

义是什么？

（2）一般地，k,5对一次函数+b有怎样的影响？与同伴进行交流。

2.活动目的

“观察•思考”引导学生对前面列出的关系式进行观察与思考，概括并认以列出的关系

式的共同特征，为引出一次函数的概念做好准备。总结得到一次函数、正比例函数的概念后，

结合前面课时对“均匀”变化的理解，进一步理解Z的含义。

例I是一次函数、正比函数的概念辨析问题，旨在帮助学生巩固对一次函数概念的认识。

“思考・交流”引导学生体会一次函数表达式中参数攵司力的实际意义。

3.注意事项

“观察•思考”环节在教学中结合上•环节得到的关系式，进•步体会关系式的共同特

征，以此活动加深对关系式;共同特征的认认和理解。在得到一次函数的概念后，可以结合前

面弹簧长度、汽车耗油最等例子，讲一步理解A的竟义（：

【第三环节】简单应用

1.活动内容

例2在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1s其速度减少35km/h。

（1）假设该汽车以120km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y（单位：km/h）

与刹车后所经过的时间，（单位：s）之间的关系式并说明关系式中攵和b的实际

意义；

（2）求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间（结果精确到0.01s）.

2.活动目的

结合汽车刹车的具体情境推导一次函数表达式，进一步理解表达式中k和b的实际意

义，运用表达式解决问题，为下一小节深入研究一次函数的图象和性质做好铺垫。

3.注意事项

鼓励学生独立完成例题，巩固次函数的概念及关系式，并能应用次函数解决简单

的问题，加深对一次函数相关特征的认识，培养学生的模型观念。例题难度适宜，能够凸

显人和〃的实际意义，有助「学生树立应用意识，主动探索一次函数关系式中的〃和匕的实

际意义，使一次函数的学习不再局限于对数学符号的单纯学习，而是成为具有丰富现实承

载的学习过程。

【第四环节】总结提升

1.活动内容

结合本节课所学内容，请总结一次函数的定义及特征。

2.活动目的

鼓励学生总结一次函数的定义，以及如何确定k和人的现实意义，帮助学生梳理本节课

学习的主要内容。

3.注意事项

由于本节课的主体部分来自学生的实践操作和自主情境创设，学生能很好地完成对一次

函数的概念的辨析，以及感知关系式中人和6现实意义。整个课堂以学生学习为主体，也为

学生形成正确的概念打好了基础。

【第五环节】布置作业

1.活动内容

基础作业

（1）写出下列各撅中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为

正比例函数？

①一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球，其速度每秒增加3m/s,小球的速度了（单

位：ni/s）与时间x（单位：s）之间的关系；

②周长为10cm的长方形，其面积y（单位：cn?）与该长方形的一边长x（单位：cm）

之间的关系。

（2）如图，甲、乙两地相距500km,一列“复兴号”动车组列车从乙地出发,以350km/h

的速度向内地行驶。设x（单位：h）表示列车行驶的时间，y（单位：km）表示列车与甲地

之间的距离。

①写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；

②当x=0.5时，求y的值。

•硼聃儡

-----------

I4」

¥厘V

选做作业（选择其中一个完成即可）

（1）在量筒中倒入一定量的水，然后向量筒中投入同一种围棋子。随着投入围棋子数

量的增加（投入的围棋子均能被水淹没且水未溢出），量筒中水面会升高。

①不做实验，你认为这样的升高是“均匀”的吗？说说你的理由。

②实际做一做实验，验证你的想法。

（2）在量筒中倒入一定量的水，然后向量筒中投入小石子，随着投入石子数量的增加

（投入的小石子均能被水淹没且水未溢出），量筒中水面会升高。为了保证水面均匀升高，

你认为对石子应该有什么要求？

（3）写出两个一次函数的表达式，其中有一个是正比例函数，并尝试给写出的两个一

次函数补充相应的实际背景。

2.活动目的

分层作业的布置可以满足不同层次学生的需要。

五、教学反思

1.在解决实际问题过程中感知数学概念的来源

数学来源于生活且应用于生活。生活中存在大量的适用一次函数的情境，通过数学抽象

与建模，可建立•次函数解决问题。在教学设计中创建情境，让学生在解决实际问题的过程

中感知数学概念的来源，比直接让学生学习一个数学概念的效果好得多。学生不仅知其然，

更知其所以然，学习自然更加主动，效果也会更加显著。本节课的教学设计紧紧围绕着情境

展开，学生既经历了教师创设的情境，又经历了自己创设情境的过程，因此印象更加深刻，

学习积极性也更高。

2.反复利用课堂牛.成的成果，使课堂更加真实自然

本节课的教学设计，以反复利用课堂生成的成果为主体。第一个环节，学生通过实践操

作得到表格，接着得到了•次函数的关系式；第二个环节，由学生创设情境，呈现多种•次

函数关系式。这些都是课堂上的学生生成性成果，在后维环节中被反狂运用，使整个课堂的

推进更加自然、真实。学生通过学习概念，并将其应用于解决自己创设的情境问题中，会产

生天然的亲切感。这样的课堂，真正调动了学生的学习主动性和积极性，更符合“学生是课

堂学习主体”的理念。

3.注意改进的方面

首先，教师在学生进吁情境创设时可多加引导，拓宽学生的思维；其次，在学生对概念

或应用进行归纳总结时，教师应给予时间让学生能充分讨论、完善归纳：最后，在授课过程

中，教师需要发挥引导作用，把控好课堂节奏。

第四章一次函数

2认识一次函数（第2课时）

一、学习任务分析

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第四章"一次函数”第二节的第2课时。从

课时内容看，本课时通过进一步探究生活中的实际问题，抽象出一次函数模型，进而归纳一

次函数和正比例函数的概念；同时，引导学生从关系式中感受一次函数的''均匀”变化，并

理解七b的实际意义。从章节整体来看，本课时是学生掌握一次函数概念，理解七b的实

际意义的关键环节，既承接了前面对函数表示方法及“均匀”变化特征的认知，又为后续深

入学习一次函数的图象、性质及应用奠定基础，具有承上启下的重要作用。

二、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生通过本章第一节的学习，已经可以运用图象法、列表法、关

系式法来表示变量之间的变化关系，并进一步理解了函数的概念。在本节第I课时中，通过

“水龙头滴漏”“线香可燃烧的时间”等实验，将实验数据列表、描点，并写出其函数关系，

感受了函数的几种表示方法之间的相互转换，初步体会了一次函数的“均匀”变化。

学生的活动经验基础：学生学习了一元一次方程，经历了从实际问题中寻求数量关系并

建立方程的过程，具备了一定的数学抽象能力。在函数的学习过程中，学生通过图象法、列

表法、关系式法表示函数关系，初步感受了变量之间的相互依赖关系。学生经历了从现实到

抽象的过程，积累了一些解决实际问题的经验，具备了一定的数学建模能力。同时在前面的

数学学习中，学生已多次参与合作学习，积累了一定的合作经验，也具备了相应的合作与交

流的能力。

三、教学目标

1.经历归纳一次函数和正比例函数概念的过程，进一步感受一次函数变量之间的“均匀”

变化，体会从特殊到一般的数学思想，感知一次函数的意义，发展抽象能力。

2.应用一次函数解决简单实际问题，理解"b的实际意义，感受一次函数模型在生活

中的广泛应用，培养应用意识。

教学重点：一次函数和正比例函数的概念，理解上〃的实际意义。

教学难点：理解晨》的实际意义，及其对一次函数^=h+力的影响。

四、教学过程设计

【第一环节】创设情境

1.活动内容

测量问题

在弹性限度内，某弹簧的长度），（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）的关系

见下表:

x/kg012345

y/cm3.03.54.04.55.05.5

（1）随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的变化是“均勺”的吗？

（2）写出1与x之间的关系式，并说明理由。

尝试-思考

某辆汽车油箱中原有汽油40L,汽车每行驶50km耗油4Lo

（1）请完成下表。

行驶路程Wkm050100150200250300

耗油鼠y/L

（2）写出耗油量），与汽车行驶路程x之间的关系式。

（3）写出油箱剩余汨量z（单位：L）与汽车行驶路程上之间的关系式。

2.活动目的

以弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系为情境,让学生进一步感受线性关系及对应

的关系式，为认识一次函数的概念积累具体经验。

“尝试•思考"中汽车耗油量的问题，通过设计填写表格、列关系式等具体任务，让学

生在处理数据的过程中感知变量间的变化规律，同时借助耗油量与行驶路程、剩余油量与行

驶路程的关系式，自然渗透正比例函数、一次函数的概念。

3.注意事项

弹簧问题中需鼓励学生通过观察表格中的数据写出y与X的关系式，鼓励学生清晰表述

自己的思考过程；汽车耗油问题需鼓励学生根据已知条件（汽车每行驶50km耗油4L）完

成表格的填写。

【第二环节】呈现定义

1.活动内容

观察-思考

（1）在上面情境中，我们得到y=3+0.5x,y=（）.08x,z=4（）—（）.08.r,它们有什么共同

的特征？

（2）请你写出一个具有这种特点的关系式。

归纳得出：

如果两个变量工，y之间的对应关系可以表示成y=h+b（k,6为常数，原0）的形式，

那么称y是x的一次函数。特别地，当6=0时，称y是x的正比例函数。

对一次函数而言，自变量每增加1,函数值就增加匕函数值的变化是“均匀”的。

例I写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正

比例函数？

（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程》（单位：km）与行驶时间x（单位：

h）之间的关系；

（2）圆的面积p（单位：cm?）与它的半径x（单位：cm）之间的关系；

（3）某水池有水15m3,现在打开进水管进水，进水速度为5mWh,经过xh这个水池

内有水yirP。

思考-交流

（1）在例1中，两个一次函数的一次项系数”和常数项6分别是多少？它们的实际意

义是什么？

（2）一般地，比方对一次函数y=kx+6有怎样的影响？与同伴进行交流。

2.活动目的

“观察•思考”引导学生对前面列出的关系式进行观察弓思考，概括并认识列出的关系

式的共同特征，为引出一次函数的概念做好准备。总结得到一次函数、正比例函数的概念后，

结合前面课时对“均匀”变化的理解，进一步理解我的含义。

例I是一次函数、正比函数的概念辨析问题，旨在帮助学生巩固对一次函数概念的认识。

“思考・交流”引导学生体会一次函数表达式中参数k司b的实际意义。

3.注意事项

“观察•思考”环节在教学中结合上环节得到的关系式，进步体会关系式的共同特

征，以此活动加深对关系式共同特征的认识和理解。在得到一次函数的概念后，可以结合前

面弹簧长度、汽车耗油量等例子，进一步理解k的意义,

【第三环节】简单应用

1.活动内容

例2在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1s其速度减少35km/h。

（1）假设该汽车以120km/h的速度行驶，试写由该汽车刹车后的速度y（单位：km/h）

与刹车后所经过的时间X单位：s）之间的关系式y=Ai+b,并说明关系式中k和6的实际

意义；

（2）求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间（结果精确到0.01s）。

2.活动目的

结合汽车刹车的具体情境推导一次函数表达式，进一步理解表达式中k和b的实际意

义，运用表达式解决问题，为下一小节深入研究一次函数的图象和性质做好铺垫。

3.注意事项

鼓励学生独立完成例题，巩固一次函数的概念及关系式，并能应用一次函数解决简单

的问题，加深对一次函数相关特征的认识，培养学生的模型观念。例题难度适宜，能够凸

显上和的实际意义，有助于学生树立应用意识，主动探索•次函数关系式中的左和的实

际意义，使一次函数的学习不再局限于对数学符号的单纯学习，而是成为具有丰富现实承

裁的学习过程。

【第四环节】总结提升

1.活动内容

结合本节课所学内容，请总结一次函数的定义及特征。

2.活动目的

鼓励学生总结•次函数的定义，以及如何确定女和/）的现实意义，帮助学生梳理本节课

学习的主要内容"

3.注意事项

由「本节课的主体部分来自学生的实践操作和自主情境创设，学生能很好地完成对一次

函数的概念的辨析，以及感知关系式中人和6现实意义。整个课堂以学生学习为主体，也为

学生形成正确的概念打好了基础。

【第五环节】布置作业

1.活动内容

基础作业

（1）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为

正比例函数？

①一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球，其速度每秒增加3m/s,小球的速度了（单

位：in/s）与时间x（单位：s）之间的关系：

②周长为10cm的长方形，具面积y（单位：cm2）与该长方形的一边长x（单位：cm）

之间的关系。

（2）如图，甲、乙两地相距500km,一列“复兴号”动车组列车从乙地出发，以350km/h

的速度向丙地行驶。设x（单位：h）表示列车行驶的时间，（单位：km）表示列车与甲地

之间的距离。

①写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数：

②当x=0.5时，求y的值。

上颂羯离；

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选做作业（选择其中一个完成即可）

（1）在量筒中倒入一定量的水，然后向量筒中投入同一种围棋子。随着投入围棋子数

量的增加（投入的围棋子均能被水淹没且水未溢出），量筒中水面会升高。

①不做实验，你认为这样的升高是“均匀”的吗？说说你的理由。

②实际做一做实验，验证你的想法。

（2）在量筒中倒入一定量的水，然后向量筒中投入小石子，随着投入石子数量的增加

（投入的小石子均能被水淹没且水未溢出），量筒中水面会升高。为了保证水面均匀升高，

你认为对石子应该有什么要求？

（3）写出两个一次函数的表达式，其中有一个是正比例函数，并尝试给写出的两个一

次函数补充相应的实际背景。

2.活动目的

分层作业的布置可以满足不同层次学生的需要。

五、教学反思

1.在解决实际问题过程中感知数学概念的来源

数学来源于生活且应用于生活。生活中存在大量的适用一次函数的情境，通过数学抽象

与建模，可建立一次函数解决问题。在教学设计中创建情境，让学生在解决实际问题的过程

中感知数学概念的来源，比直接让学生学习一个数学概念的效果好得多。学生不仅知其然，

更知其所以然，学习自然更加主动，效果也会更加显著。本节课的教学设计紧紧围绕着情境

展开，学生既经历了教师创设的情境，又经历了自己创设情境的过程，因此印象更加深刻，

学习积极性也更高。

2.反复利用课堂生成的成果，使课堂更加真实自然

本节课的教学设计，以反复利用课堂生成的成果为主体。第一个环节，学生通过实践操

作得到表格，接着得到了一次函数的关系式；第二个环节，由学生创设情境，呈现多种一次

函数关系式。这些都是课堂上的学生生成性成果，在后继环节中被反复运用，使整个课堂的

推进更加自然、真实。学生通过学习概念，并将其应用于解决自己创设的情境问题中，会产

生天然的亲切感。这