2024北师大版八年级数学上册期中复习：第1-4章+期中评估测试卷（共5套含答案解析）

北师大版（2024）八年级上册数学期中复习：第1-4章+期中共

5套评估测试卷

第1章《勾股定理》评估测试卷

（满分:12（）分时间:12（）分钟）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》

中，下列各组数中，是“勾股数”的是（）

A.5,12,11B.6,8,10

C.1.5,2,2.5D.15,17,18

2.如图，若正方形力，8的面积分别为25和9,则正方形。的面积是（）

3.如图，在&BC中，ZACB=90°,AC=6,8c=8,则点C至ijAB的距离是（）

1224

A.4B.6C.—D.—

■JJ

4.已知4，b,c是AABC的三条边，则下列条件能判定AABC为直角三角形的是()

A.a:b:c=\:2:3B.(a+b)2+(^a-b)~=2c2

C.ZA:NA:NC=2:3:4D.ZA=N8=2NC

5.一个直角三角形，若三边的平方和为200,则斜边长为（）

A.8B.9C.10D.11

6.如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5m的点C处折断，倒下后树顶端着地点8与树底

端力相距12m,则这棵树在折断前的高度是（）.

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7.《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之

适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短.将一根竿子横放，竿比门宽

长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等.问门高、宽、对角线长

分别是多少.若设门对角线长为工尺，则可列方程为()

A.(X-2)2+(X-4)2=2X2B.(A--2)2+42=X2

C.(x-4)2+(x-2)2=x2D.(x-4)2+x2=(x-2)2

8.如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是

()

A.三角形内角和定理B.勾股定理

C.三角形全等判定D.等腰三角形判定

9.如图，在RtZXABC中，NC=90。，AC=4,8C=6,将它的锐角力翻折，使得点力落在边AC的

中点〃处，折痕交AC边于点反交AB边于点、凡则的长为()

10.如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1,

2,3,水平放置的4个正方形的面积分别为邑，邑，54，则E+S2+S/S4=()

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A.5B.6C.4D.8

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.在RtZXW中，ZC=90°,A8=2,则AC2+M=.

12.如图，在A1BC中，ZABC=90。,A3=12,〃C=5,在AC上截取CO=C4；在AB上截取AP=AO,

则AP=.

13.如图，在3X3的网格上标出了N1和N2,则Nl+N2=

14.某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m,高5m的台阶上铺设地毯（如图），若台

阶的宽为4m,地毯的价格为120元/n?,则购买地毯需花费元.

15.如图，在RlZ\ABC中，ZR4C=90°,8C=4,分别以48、AC为直径作半圆，面积分别记为立邑,

16.如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离A8为4m,

摆至最高位置时与最低位置时的高度之差CO为1m,则该秋千的绳长。4为%

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三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题,

每题12分：共9小题，共72分）

17.在RlZ\A8C中，NB=90,三条边长如图所示，求x的值.

18.为了求出湖两岸A,。两点之间的距离，观测者小林在点。设桩，使A\BC恰好为直角三角

形|Z5C=9O。），如图所示，通过测量得AC长为26m,8c长为24m,请求出图中A、8两点之

间的距离A8.

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19.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CO_L4B垂足为。.

⑴若AC=3,BC=4,直接写出C。的值为」

⑵若4)=4,BD=9,求C。的长

20.如图，一架长2.5米的梯子A8,斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米.

(1：此时梯子顶端A离地面多少米？

⑵若梯子顶端A下滑。4米到。，那么梯子底端A将向左滑动多少米到m

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21.如图，在RtZiABC中，ZC=90°,AB=15cm,AC=9cm,动点夕从点8出发沿射线8。以Icm/s

的速度运动，设运动的时间为长(r>0).

备月图

⑴求BC边的长；

⑵当△的为直角三角形时，求1的值.

22.八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学在制

作手工作品的第①②步骤是：

①先裁下了一张长BC=20cm，宽AB=16cm的长方形纸片ABCD；

②将纸片沿着直线AE折叠，点〃恰好落在8c边上的点处.

请你根据①②步骤解答下列问题：求所，CE的长.

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23.阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题.

勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理的三个正整数a,b,c.其中J

和力是直角三角形的两条直角边长，c是斜边长.

勾股数可以通过以下公式生成:。=渥-可,b=2mn,c=+，其中/〃和刀都是正整数，且，心〃.

例如，当，〃=2,〃=1时，a=22-l2=3,例2x2xl=4,c=22+l2=5.因此,（3,4,5）是一组勾股

数.

⑴使用勾股数生成公式，当阳=4,〃=1时，求对应的勾股数（。八。）.

⑵若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数（5,12,13）,请你计算他代入的正整数勿和

〃（/"〃）的值.

24.【问题情境】

数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为

20、3、2,A和B是一个台阶两个相对的端点.

【探究实践】

老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到8点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台

阶爬到8点的最短路程是多少？

（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为

20.宽为15的长方形，连接A8,经过计算得到A8长度为,就是最短路程.

【变式探究】

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(2)如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30cm,图是8cm,若蚂蚁从点A出

发沿着玻璃杯的侧面到点8,则蚂蚁爬行的最短距离为__________.-

A20

B

图①

【加展应用】

(3)如图④，圆柱形玻璃杯的高9cm,底面周长为16cm,在杯内壁晶杯底4cm的点A处有一滴

蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点8处，则蚂蚁从外壁A

处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？(杯壁厚度不计)(画出示意图并进行计算)

25.我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边

形A8E。和四边形CEGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a,b,。之间

的一个重要结论：a2+h2=c2.

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⑴请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：

222

已如：在RtAMC中，ZACB=90°,BC=a,AC=bfAB=c.求证：a+b=c.

证明：由图1可知S正方形ABED=4s八诋+S正方形CFGH,

・••S正方形A8ED=C,S“BC=______，

正方形CFG”边长为,

/.（?=4xg。力+（。-b）2=2ab+a2-lab+b~,

即/+从=。2.

⑵如图2,在AWC中，ZC=90°,BC=a,AC=bfAB=c,以A8为直角边在AB的右侧作等腰

直角△A5。，其中诙=麻），?ABD90?,过点〃作O£_LCB,垂足为点£你用两种不同的方

法表示梯形ACE。的面积，并证明/+〃=/;

⑶将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到如图3所示的

“数学风车”.若〃=12,〃=9,“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108,求

这个风车图案的面积.

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参考答案

一、选择题

1.B

【分析】本题考查勾股数，熟知勾股数的定义是正确解答此题的关键.

根据勾股数的定义，三个正整数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，即为勾股数.逐

一验证各选项即可.

22

【详解】解：A.5+11=25+121=146,而122=144,故不是勾股数，不符合题意；

B.6?+8?=36+64=1(X3而10?口的，故是勾股数，符合题意；

C.1.5,2.5均非正整数，故不是勾股数，不符合题意；

D.⑶十172.225+289-514,而182—324,故不是勾股数，不符合题意.

故选：B.

2.D

【分析】本题考查了勾股定理的几何应用，熟知勾股定理是解题的关键.

根据题意，得出/反卯=90。，再根据勾股定理，得出。序+。尸=石尸，再结合正方形的面积，

得出DF2=EF2-DE2=25-9=16,进而即可得出答案.

【详解】解：如图,

由题意得NEDb=90°，

:.DE~+DF~=EF\

•••四边形都是正方形，

=

$正方形A=EF~,S正方形a=DE~,S正方形c

・•,正方形4、5的面积分别为25和9,

/.EF2=25,。炉=9,

DF2=EF2-DE2=25-9=16,

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二•正方形。的面积为：16.

故选：D.

3.D

【分析】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键有两点：①利用勾股定理求出4B,②

利用面积表达式求解.

【详解】解：在中，AB=JAC?+BC?=10,过点。作人“的垂线交相于点。,

即CO为点。至IJA8的距离,

.BC=-ACxBC=-ABxCDfAC=6,BC=8,

.•.CD=y.

故选：D.

4.B

【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理，熟练应用勾股定理逆定

理是解题的关键.

根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐项分析判断即可解答.

【详解】解：A.由。也c=l:2:3,&a=k,b=2k,c=3k,则F+4-=9公，即/+〃工cL能判定

4BC不是直角三角形，不合题意;

B.由(“+4+(〃-4=2/可得"+"=/,能判定A\BC是直角三角形，符合题意;

C.由ZA:N8:NC=2:3:4可得4=40。，NB=60。,ZC=80°,不能判定&BC是直角三角形，不合

题意；

D.由"=口=2"可得ZA=72。，NZ?=72。，NC=36。，不能判定AABC是直角三角形，不合题意.

故选：B.

5.C

【分析】本题考查了勾股定理，设直角三角形的三边长为。、氏c,。为斜边，利用勾股定理可

得2c2=200,据此解答即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键.

【详解】解：设直角三角形的三边长为久b、c,。为斜边，

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由勾股定理得，

・・•一个直角三角形的三边长的平方和为200,

，/+/+/=200,

/.2?=200,

/./=10(),

c=10,

即斜边长为10,

故选：C.

6.C

【分析】本题考查了勾股定理，根据AC=5m,48=12m,且结合勾股定理列式代入数值计算，

即可作答.

【洋解】解：依题意，AC=5m,43=12m

则8C=yjAC2+AB2=13(m)

A13+5=18(m)

・・・这棵树在折断前的高度是18m,

故选：C

7.C

【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理将数学思想运用到实际问题中是解

答本题的关键.由题意可知：竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角

形，然后运用勾股定理列方程即可.

【详解】解：设门对角线长为x尺，则竿的长度为x尺，门宽为(x-4)尺，高为(x-2)尺，

根据勾股定理可得：(x-4+(>2)2=/.

故选：C.

8.B

【分析［本题考查了勾股定理的证明.根据“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解

决的问题是：勾股定理即可得出.

【详解】解：“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理.

故选：B.

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9.D

【分析［本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出CO=：8C=3,由折叠的性质可得

AE=DE,设AE=DE=x,则CE=4-x,再由勾股定理计算即可得出答案.

【详解】解：•.・点〃为BC的小点，

/.CD=-BC=3,

2

由折叠的性质可得A石=，

设AE=DE=x,则CE=AC-4E=4-x,

由勾股定理得CE2+CD2=DE2,

/.（4-X）2+32=X2,

解得：苦，

O

25

:.DE=­f

8

故选：D.

10.C

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理和正方形的性质等知识点，先根

据正方形的性质得到？A3。90?,AB=DB,,再根据等角的余角相等得到NC48=NZME,则可

根据“AAS”判断于是有AC=4£,然后利用勾股定理得到。炉+破2=切2,

代换后有DE2+AC2=BD\根据正方形的面积公式得到\=3,S?=DE?,瓦）2=1,所以£+邑=1,

利用同样方法可得到习+邑=3,通过计算可得解，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的

面积和正好是中间的正方形的面积.

【详解】解:如图,

CBE

・・•四边形为正方形，

/.ZABD=90°,AB=DB,

・•・NABC+NDBE=900,

,?ZABC+ZC4B=9O°,

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，4cAB=/DBE,

在AABC和能DE中,

NACB=NBED

<NCAB=NEBD,

AB=BD

：.AAHN血陀(AAS),

:・AC=BE,

♦：DE2+BE2=BD2，

222

DE+AC=BDf

2

*•'S|=AC,S2—DE：BD?=1f

:.sy+s2=\f

同理可得S3+S4=3,

5,+52+S3+54=1+3=4,

故选：C.

二、填空题

11.4

【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握该知识点是解题关键.根据NC的度数确定"8。为直

角三角形，且为斜边，再根据勾股定理即可求解.

【详解】解：•・・△A8C中，ZC=90°,

..△A8C为直角三角形，且A8为斜边.

•.•48=2,

二.AC2+BC2=AB2=21=4.

故答案为：4.

12.8

【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键.

由勾股定理求出AC=13,由题意知：CD=CB=5,再根据AO=AC-CD求出AO=8,最后根据

"=AD即可得解.

【详解】解：在RlZ^ABC中，AC=y/AB2+BC2=13,

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由题意知：CD=CB=5,

：.AD=AC-CD=S,

,\AP=AD=Sf

故答案为：8.

13.45°

【分析】通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质将』1、12转化为N8AP、NCAN,再

通过计算三角形边长，判断三角形形状，进而求出N1+/2的度数.本题主要考查了平行线的

性质、勾股定理及其逆定理，熟练掌握平行线性质实现角的转化，运用勾股定理及其逆定理判

断三角形形状是解题的关键.

【详解】解:如图,

,/AP//BQ,CM//AN,

AZi=ZMP,N2=NGW,

设每个小正方形的边长为a,

;AB=HC=瓜,AC=VlOd,

/.AB2+BC2=AC2,

••.△ABC是等腰直角三角形，

4AC=45。，

AZBAP+^CW=45°,即Nl+/2=45。.

故答案为：45°.

14,8160

【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水

平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案.

【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为而7二手=12m，

・••购买地毯需花费(12x4+5x4)x120=8160元，

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故答案为:8160.

15.2乃

【分析】本题主要查了勾股定理.根据勾股定理可得A^+AC2=8C2=16,再由

S1/乃X(等)+5x(手，，即可求解.

【详解】解：在RtAAAC中，N8AC=90。,4c=4,

:.AB2+AC2=BC2=\6,

・・・£+S,=一江x+—7rx

一2

故答案为：2兀

16.2.5

【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是关键.

根据题意可证虑△BOO(SAS),AD=BD=-AB=2,ZADO=^BDOfZAD0=/BD0=M设

Q4=x(x>0),则OD=OC-CQ=x-l,在R^AO。中，由勾股定理得。解=4》十。力2,由此列式

求解即可.

【详解】解：根据题意，NAOD=NBOD,OA=OB=OC,且8=OD,

.・.^AOD^^OD(SAS),

:.AD=BD=-AB=2,ZADO=ZBDO,

^ADO+ZBDO=\SO°t

：."DO=NBDO=900,

设0A=x(x>0),贝1」。。=0€-。。="一1,

在Rt^AOD中，OA2=AD2+OD2,

AX2=22+(X-1)2,整理得，2x=5,

解得,x=2.5t

/.OA=2.5m,

故答案为：2.5.

三、解答题

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17.解：由勾股定理得

122+X2=(X+8)2

解得>5

・・・》的值为5.

18.解：由题意得，ZABC=90。,AC=26mffiC=24m,

在RtAA^C中，AB=JAC?-BC?=>/262-242=10(m).

答：点A到点6的距离AB为IDm.

19.(1)解：在RtZXAAC中，VZACB=90°fAC=3fBC=4,

•*-AB=VAC2+BC2=V32+42=5,

CDA.ABf

/.S4BC=~ACxBC=—CDxAB,

22

即1x3x4=，C〃x5,

22

・・.CD=£；

J

12

故答案为：—;

(2)解：-AD=4fBD=9,

..AB=AD+BD=4+9=\3,

.•.Z4DC=ZBDC=90°,

在□△ACO中，AD2+CD2=AC2,

即42+CD2=AC2,

在RtABCD中，BD2+CD-=BC1,

222

即9+CD=BCf

222

在RtZXABC中，AC+BC=ABf

BP42+CD2+92+CD2=132,

解得CZ)=6.

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20.(1)解：由题意得，在RtzMBO中，A8=2.5米，08=0.7米，ZAOB=90°,

•*-OA=』AB?—OB2=2.4米,

，梯子顶端/T离地面2.4米；

(2)解：在RlZkCDO中，8=2.5米，00=2.4-0.4=2米，ZCOD=90°,

:.OD7CD2-OC?=1.5米,

:.BD=OD-OB=Q8米,

・,•梯子底端8将向左滑动0.8米到D.

21.(1)解：在Rt△八8c中，BC=yjAB2-AC2=V152-92=12(cm)

BC边的长为12cm.

(2)解：由题意知8P=/cm,

①当Z4P8为直角时，如图1,

图1

点〃与点。重合，BP=BC=12cm,

即f=12；

②当ZZ?AP为直角时，如图2,8P=/cm,CP=(r-12)cm,AC=9cm.

图2

222

在R^ACP中，AP=9+(t-\2)f

在RtA^P中，AB2+AP2=BP',

即6+F+(12)2]=/,解得,咛.

综上所述，当“BP为直角三角形时，，=12或，=与.

4

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22.解：•・•长方形ABC/),

AAD=BC=20,CD=AB=\6fZfi=ZC=90°,

由折叠的性质可知，DE=FE,AF=AD=20,

由勾股定理得，BF=/AF2-AB2=12，

CF=8,

设CE=x,贝ljFE=O£=16-x,

由勾股定理得，CF?=EF2-CE?,即8:(167)2-Y,

解得，x=6,

:.EC=6,

/.EC=6cm,13F=12cm.

23.(1)解：当〃?=4,〃=1时，代入勾股数生成公式，

22

得。=4?-尸=15,/7=2x4xl=8,C=4+1=17.

.••对应的勾股数是(15,8,17).

(2)解：根据题意得病-〃2=5,2〃?〃=12,〃/+/=13.

inn=6.

又•.•/”〃，勿，刀都是正整数，

二.〃？=6,〃=1或〃？=3,n=2.

当第=6,〃=1时，〃7?-〃205,不符合题意；

当加=3,〃=2时，＞-〃2=5,〃/+〃2=13,符合题意.

)〃=3,n=2.

24.解：(1)由题意得人3=加2+2()2=25，

故答案为：25；

(2)将圆柱体展开，由题意得

AB=V82+152=17cm，

故答案为：17cm；

(3)如图，

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从玻璃杯侧面展开，作3关于EG的对称点C,作CQ_LAE交AE延长线于点。，连接AC交石G于

点尸，

BF=CF,DE=CG=BG=1cm,

：.AF+BF=AF+CF=ACt

VAD=9-4+DE=5+l=6cm,8=16+2=8cm

/.AC=yJcrf+Ab2=V82+62=10cm，

••・蚂蚁从外壁B处至lj内壁A处所爬行的最短路程是10cm.

25.(1)证明：由图可知S正方囱丽=4S△A8c+S正方形CFGH，

C

丁5正方形八=">5A4M，

正方形CFGH边长为a-b,

(?=4x^ab+(a-b)2=lab+a1-lab+b',

即/+y.

故答案为：；(由,a-b；

(2)解：•:DE上BC,

:.4DBE+/BDE=900,

■:?ABD90?,

乙48。+NOB石=90。，

:、公BC=/BDE,

又“J=/BED=90。,AB=BD,

：.^ABC^^BDE(AAS).

:.BC=DE=a,AC=BE=b.

由题意，第一种方法:

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S梯彩ACED=SJBC+S+S述以)=—ab+—c2+—ab

=ab+^c2；

第二种方法:

S梯琢回=g(AC+OE)(C8+8E)

二;("+/7)("+b)

=；(。+匕)2，

=ah++^c2,

/.a2+2ab+h~=2ab+c2,

.\a2+Z>2=c2；

（3）由题意，如图,

・・•“数学风车”外围轮廓(图中实线部分)的总长度为108,

.•.4)+40=108+4=27,

设AO=x,则8O=27T,

在△BCD中，BC2+CD2=BD2

.•./+(〃+x)2=(27-x)2,

将.=12的=9代入可得，

(9+x/+144=(27-x/，

「・x=7

・•・小正方形的边长等于。-6=12-9=3,

工风车的面积为：^CxCDx4+3x3=lxl2xl6x4+3x3=393

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第2章《实数》评估测试卷

（满分:120分时间:120分钟）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，在数轴上手掌处表示的数可能是)

A.-75B.-V7C.D."

2.下列说法中正确的有（)

A.4的平方根是±2B.（-3尸的算术平方根是-3

C.负数没有立方根D.带根号的数都是无理数

3.若师是整数，则正整数〃的最小值是（)

A.3B.4C.5D.6

4.下列运算正确的是（）

A.6.乂亚=不B.26-6=2

C.D.V6-r>/3=y/2

5.下列各根式中，是同类二次根式的是（)

A.G和®B.血和g

C.和&柠D.Ja+\和Ja-\

6.有下列实数：-3.14159,瓜,0,炳，y,0.31(31循环),0.1010010001-(每两

个1之间多一个0）,其中无理数的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.实数。，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则+》+闽的值为（)

b-430a6

A.-a-bB.-a+bC.a-bD.a+b

8.按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64,则输出的），的值是（)

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是有理数

A.V2B.GC.2D.3

9.规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”.若a+〃

是“最美实数”，则a的值是（）

A.V2-1B.-V2C.&或6-1D.-&或1-应

10.用⑶表示不超过X的最大整数，例如：[2.94]=2,[-3.89]=-4.已知"7=2-6,a=ni-[m],

Z?=T〃+[T〃]+5,则!+，=（）

ab

A.4B.2GC.-4D.2G+2

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11,比较大小：毕

44

12.若2G与最简二次根式5G是同类二次根式，则。的值为.

13.如图，正方形A8CD的面积为10,点A表示的数为1,以点A为圆心，A。的长为半径画圆，

交数轴于M,N两点（点〃在点N的左侧），则点M表示的数为.

14.如图，从一个大正方形中裁去两个面积分别为一和）户的小正方形，己知工=行—2,y=>/5+2f

则留下的阴影部分的面积为.

n15.有三根长度分别为处的木棒，已知〃咚尼率c为整数，若这三根木棒能围成三角

形，则C的值为.

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16.若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”.若是“完

美实数"，则〃X；若4与所。都是“完美实数”，则|照的平方根为.

三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题；每题8分；第24,25题，

每题12分；共9小题，共72分）

17.计算：

（1:732+^-718;（2）X/24-X/2+X/3（X/3-1）.

18.(1)计算：商+Q—卜自—2卜6(2)解方程：(21—1)2—16=9.

19.把下列各数填入相应的集合内（填序号）.

①-；，②-6，③亚，⑤-历，⑤0,⑦-乃，⑧3.1O1OO1OOO1…（每相邻两个1之间0

的个数逐次加.

⑴无理数集合{…};

⑵分数集合{…};

⑶负实数集合{…}.

20.已知：。＞0且。的立方根是它本身，%+3的算术平方根是3.

⑴直接写出：。=_;

⑵求。+2b的平方根；

⑶若疝的整数部分是x,小数部分是九求外的值.

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21.请观察图形并分析下列各式，然后解答问题.

0A-,1=I2+12=2»S,=—；

12

OA^=\2+2=3,S,=乌

-2

。42=12+3=4,5.=—；

2

⑴请用含有〃（〃为正整数）的等式表示上述变化规律：。叩=_,s“=_；

⑵若一个二角形的面积是2&,计算说明它是第几个二角形？

⑶求出sr+sj+s.*…+品：的值.

22.我们新定义一种三角形:两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形.例

如，某三角形的三边长分别是2,2虚和6，因为22+（2&『=i2=2x（石。所以这个三角形

是奇异三角形.

（1；若&BC的三边长分别是3,5和J万，判断此三角形是小是奇异三角形，说明理由.

⑵若&BC是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4,求出第三条边长.

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3_3（4+灼_12+375

23.我们知道（4+逐）（4一石）=11,因止匕I,像这样通过分子、分

-V5（4-6）（4+石）11

母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化.请你通过分母有理化完

成以上各小题.

⑴计算：入；

23

⑵比较：&024—I024与a（）2*—0025的大小;

小、八期1II1

（力化简：再加+屈+而+而+旧+…+&024+6025.

24.观察下列等式：

第1个等式：,1+,+.=1+；-3；

第2个等式：J1+/+?=l+g-g：

第3个等式:

第4个等式：Jl+*+5=l+H；……

按照以上规律，解决下列问题：

⑴写出第6个等式：______；

⑵写出第〃个等式：______；（用含〃的等式表示）

⑶根据上面的结论计算：+,J+,+*+J+/+不+…+^1+^4?+2^F

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25.定义：若二次根式。+2〃可以表式成（而+册『的形式（其中心人,而，〃都是整数），

则祢。+2%为完整根式，而+4是。+2振的完整平方根.例如：因为5+26=（6+五），所

以5+2"是一个完整根式，6+a是5+26的完整平方根.

⑴判断：石+G是否是完整根式8+2而的完整平方根，并说明理由；

（2）若完整根式。+24的完整平方根是后+",请用含加，〃的代数式分别表示*b；

⑶若4+2折是完整根式，证明：〃_助一定是完全平方数.

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参考答案

一、选择题

1.B

【分析1本题考查实数与数轴的对应关系以及无理数的估算，解题的关键是估算出各选项中无

理数的取值范围，并结合数轴判断.

先估算出每个选项中数的大致范围，再根据数轴上手掌遮挡点的位置判断该点表示的数的范围,

最后对比得出答案.

【详解】解：根据题意得：在数轴上手掌处表示的数大于-3和小于-2,

1<3<4,4<7<9,

1<73<2,2<\/7<3,故C,D选项不符合题意；

-2<-73<-1,-3<-41<-2,故A选项不符合题意；B选项符合题意；

故选：B.

2.A

【分析】本题考查平方根，立方根和无理数，根据平方根、算术平方根、立方根及无理数的定

义逐一判断各选项的正误即瓦.

【详解】A、4的平方根是±2,正确；

B、（-3『的算术平方根是3,错误；

C、负数也有立方根，负数的立方根仍为负数，如-8的立方根是-2,错误，

D、带根号的数都是无理数，错误，例如a=2为有理数，故带根号的数不一定是无理数.

故选：A.

3.D

【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键.要使师为整

数，需满足24〃是完全平方数，由屈=2疯，即可确定〃的最小值.

【详解】解：・・・24=4x6,

/.x/24=2x/6,

\124n=2\/6n,

,：j24n是整数,且〃是整数,

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则6〃是完全平方数，

・・・〃的最小值为：6.

故选：D.

4.D

【分析】本题考查了二次根式的运算

根据二次根式的乘法法则对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根

据二次根式的性质对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断.

【详解】解：A.石=加，所以A选项不符合题意；

B.273-73=73,所以B选项不符合题意；

C.后了=3,所以C选项不符合题意；

D.\/6-r5/3==>/2所以D选项符合题意；

故选：D

5.B

【分析】本题考查同类二次根式的概念，判断同类二次根式需化简为最简二次根式后比较被开

方数，对各选项逐一判断即可.

【详解】A、6已是最简，79=3,所以A选项不是同类二次根式；

B、O已是最简，《=孝，化简后被开方数均为2,所以B选项是同类二次根式；

C、〃而=〃扬，病=b&，被开方数分别为人和。，所以C选项不是同类二次根式；

D、G和GT被开方数不同，所以D选项不是同类二次根式；

故选：B.

6.C

【分析】本题考查了无理数的定义，立方根，解题的关键是熟练掌握无理数的定义.

首先计算立方根，然后根据无理数的定义，分别进行判断，即可得到答案.

【详解】V27=3,

・,・其中无理数有T，瓜,0.1010010001…（每两个1之间多一个0）,共3个.

故选：C.

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7.A

【分析［本题考查了实数与数轴，二次根式的性质.先判断〃-g<（）,"百<0,然后根据二次

根式的性质化简即可.

【详解】解：・“v—Gv0vavG

”G<o,b+G<o

•••+6+四

=_"⑹-他+何

=-a+y/3-b-y/3

=-a—h.

故选A.

8.A

【分析】本题考查了无理数、算术平方根、立方根及计算程序的应用，正确理解计算程序图的

计算步骤，会正确计算数的算术平方根及立方根，能正确判断有理数及无理数是解题的关键.根

据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程

序并进行正确的计算是解题的关键.

【洋解】解：64的算术平方根是8,

•••8是有理数，

J取立方根为2,

•••2是有理数，

・・・取算术平方根为拉，

•・•拉是无理数，

y=V2.

故选：A.

9.D

【分析】本题考查算术平方根及立方根，根据“最美实数”的定义，可知上+4=0或应+4=1,

求出a的值即可.

【详解】解：若&+〃是“最美实数”，

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则有&+4=0或&+4=1,

若0+4=0，解得CI=->/?.»

若x/5+a=l,解得a=1-5/5,

综上，d的值为-夜或1-&,

故选：D.

10.A

【分析】本题考查新定义、无理数的估算，二次根式的混合运算，先估算出0<2-白<1,根据

题中新定义规定可求得［〃力和卜间，进而求出。⑦的值，然后代入-+3计算可得答案.

【详解】解：・.・&<石<4,即1<6<2,

-2<->/3<-I,

••0<2—5/3<1,

*.*m=2—G,

・，・[间=[2-6]=0,

-m=-（2-V3）=V3-2,

/•—1<\/3-2<0,

；•卜间=[6-2]=-1,

?.«=〃？一1〃]=2一6一0=2一百,«]+5=>/3-2+（-1）+5=>/3+2,

11112+\/32—>/3/T/T,

.•.—+：=---7="!----T==7----FT7---K+7----FT7---FT=2+>/3+2-43=

ab2-62+V3（2-V3）（2+V3）（2+G）（2-6）

故选：A.

二、填空题

11.>

【分析】本题考查了实数的大小比较，利用作差法比较实数的大小是解题的关键.利用作差法

比较实数的大小即可得出答案.

【详解】解.：..•正里_之=正二，石>4=2,

444

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.金>0,

4

・

••-x/-5-+-1>一3•

44

故答案为：>.

12.2

【分析】本题考查了同类二次根式的定义，同类二次根式的被开方数相等,据此列出方程求解.

【详解】解：与最简二次根式5G是同类二次根式，

。+1=3,

解得。=2,

故答案为:2.

13.i-Vio

【分析】根据正方形的面积公式求出A。，从而求出AM,设点”表示的数为X,然后根据两

点间的距离公式列出关于x的方程，解方程求出X即可.

本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式.

【详解】解：由题意可知：AD=AMf

•.•正方形八BCD的面积为10,

AM=AD=y/\0f

设点M表示的数为x,

1-x=Vio,

解得：x=1-V10,

•・•点M表示的数为：1-M，

故答案为：I-痴.

14.2

【分析】本题考查了平方差公式的应用，二次根式的运算，由图可知阴影部分是两个长为九

宽为x的长方形，利用平方差公式求出2盯的值即可求解，正确识图是解题的关键.

【详解】解：由图可知，阴影部分是两个长为九宽为)的长方形，

・•・阴影部分的面积=2到=2x(石一2)(6+2)=2x(5-4)=2,

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故答案为：2.

15.2

【分析】本题主要考查了实数的运算，无理数的估算，三角形三边关系的应用，三角形中，任

意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可得忘<c<2应，再证明2<2夜<3即

可得到答案.

【洋解】解：由三角形的三边关系可知，逑-正逑+也，即仆<。<20.

2222

Vl<2<4,

1<V2<2,

苧T且电

2

，2<2&<3,

TC为整数，

・X的值为2

故答案为:2.

16.-G或1一百o或土;

【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其计算方法是关键.

根据算术平方根，立方根的计算方法求解即可.

【详解】解：一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”,

70,1的算术平方根是04,0,1的立方根是0,1,

・••这个实数可以是01，

/.当+机=0时，m=—,

当6+6=1时,〃?=1一6,

m=-\/5或加=1一6;

若武力与〃都是“完美实数”，

a+b=0a+b=\“+〃=1

a-b=0a-b=()

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11

a=—

67=022

解得，或，或，1或，

匕=0b=01，

b=

2

・•・对应的囱=0或|明=0或附=(或卜心|=；,

・••对应的平方根为0或0或士；或士；,

JL

综上所述，I羽的平方根为。或斗

故答案为：①-6或1-6;②。或士;.

三、解答题

17.(1)解：病+逐-加

=4拒+2夜-3夜

=30:

(2)解：后+&+6(6-1)

=、'24+2+3-6

=26+3-6

=、自+3.

18.解：(1)原式=9+(—3)—(2—6)-6

=9-3-2+V3-x/3

(2)(21)2-16=9,

⑵-炉=9+16,

(2A-I)2=25,

2x-l=±5,

2x=l+5或2x=l-5,

x=3或x=-2.

19.(1)解：-际=-3,

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无理数集合{②③⑦⑧};

(2)解：分数集合{①④};

(3)解：负实数集合{①②⑤⑦}.

20.(1)解：•・%>()且〃的立方根是它本身，

:.a=\,

•・•沙+3的算术平方根是3,

/.72/7+3=3,

.,.力=3,

故答案为：1，3.

(2)丁。=1/=3,

。+2。=1+2x3=7,

.•・。+处的平方根为±77.

(3)•・•[="=3,

/.\ab=Jlx3=G，

•.•Vi■〈石<4，

1<A/3<2,

，点的整数部分x为i,小数部分y为G-1,

/.xy=1x(-^—lj=>/3—jt

则9