21.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质-沪科版(2024)九上

21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质二次函数的定义：函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)

叫做x的二次函数

思考：你认为判断二次函数的关键是什么？判断一个函数是否是二次函数的关键是：看二次项的系数是否为0．练习：若函数y=(m2+3m-4)x2+(m+2)x+3m是x的二次函数，则m______21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质探究１：二次函数的图象1：画出y=x2

的图象。

解：（1）列表x…-3-2-10123…y…9410149…以0为中心选取7个x值列表21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质（2）描点（3）连线21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质X0108642-55Y轴对称图形这是一条抛物线这是抛物线的顶点对称轴是y轴21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质2：请同学们画出y=-x2

的图象。x…-3-2-10123…y…-9-4-10-1-4-9…21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质探究2:观察y=x2,y=-x2的图象,它们整体上给你一种什么感觉?答:这两个图象都是以y轴为对称轴的轴对称图形。两个图象关于x轴对称。定义:函数y=x2,y=-x2的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.

y轴是对称轴,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点.8642-2-4-6-85yox21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质观察y=x2,y=-x2的图象,说出它们的开口方向和顶点坐标及其规律.1.抛物线y=x2的图象开口向上,

抛物线y=-x2的图象开口向下.2.图象的顶点都在原点.y=x2的顶点是图象的最低点,

y=-x2的顶点是图象的最高点.8642-2-4-6-85yoX21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质探究3

观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.xyOy=ax2y=-ax2交流讨论21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质：观察图形，y随x的变化如何变化？(-2,4)(-1,1)(2,4)(1,1)（a＞0)探究421.2.1二次函数y=ax2的图象和性质对于抛物线

y=ax2（a＞0）当x＞0时，y随x取值的增大而增大；当x<0时，y随x取值的增大而减小.知识要点21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质(-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)：观察图形，y随x的变化如何变化？（a＜0）探究421.2.1二次函数y=ax2的图象和性质对于抛物线y=ax2（a＜0）当x＞0时，y随x取值的增大而减小；当x＜0时，y随x取值的增大而增大.知识要点21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质解：分别填表，再画出它们的图象，如图x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········84.520.5084.520.584.520.5084.520.5

在同一直角坐标系中，画出函数的图象．探究521.2.1二次函数y=ax2的图象和性质xyO-222464-48思考1：从二次函数开口大小与a的大小有什么关系？当a>0时，a越大，开口越小.21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质练一练：在同一直角坐标系中，画出函数的图象．x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········

-8

-4.5-2

-0.50

-8

-4.5

-2

-0.5

-8

-4.5-2-0.50-8-4.5-2-0.521.2.1二次函数y=ax2的图象和性质xyO－22－2－4－64－4－8当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.思考2

从二次函数开口大小与a的大小有什么关系？对于抛物线

y=ax2，｜a｜越大，抛物线的开口越小．21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质结论：二次函数y=ax2的图象与性质1.顶点都在原点;当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．3.还可以发现，｜a｜越大，则开口越小；｜a｜越小，则开口越大21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质6请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。y=ax2顶点对称轴开口图象左侧右侧xyxya＞0a＜0(0,0)最低点(0,0)最高点y轴y轴向上向下增大增大减小增大增大减小6210增大增大21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质(2)、开口方向：当a大于0时，开口向上；当a小于0时，开口向下。二次函数y=ax2的图象的性质(1)、顶点是原点，对称轴是y轴。a>0a<o即:直线:x=0,21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质(3)、增减性a＞0a<0y随x的增大而增大。在对称轴的左侧(x<0):y随x的增大而减小；在对称轴的右侧(x>0):当a<0时当a＞0时，在对称轴的左侧(x<0):y随x的增大而增大。在对称轴的右侧(x>0):y随x的增大而减小。∴当x=0时,y最小值=o.∴当x=0时,y最大值=o.21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质试一试：1、函数y=2x2的图象的开口

，对称轴是

，顶点是

；在对称轴的左侧，y随x的增大而

，在对称轴的右侧，y随x的增大而

；

2、函数y=-3x2的图象的开口

，对称轴是

，顶点是

；在对称轴的左侧，y随x的增大而

，在对称轴的右侧，y随x的增大而

；

21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质3、观察函数y=x2的图象，则下列判断中正确的是（）A若a,b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相等。B对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应。C对任一个实数y，有两个x和它对应。D对任意实数x，都有y＞0xyoA21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质例1已知y=(m+1)x

是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式解:依题意有:m+1>0①m2+m=2②解②得:m1=－2,m2=1由①得:m>－1∴m=1此时,二次函数为:y=2x2.m2+m例题学习：21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质例2

已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是(

)A．①②B．②③C．①③D．②④B21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质例题学习：[解析]当a＞0时，在函数y＝ax中，y随x的增大而增大，函数y＝ax2开口向上，故①不正确，②正确；当a＜0时，在函数y＝ax中，y随x的增大而减小，函数y＝ax2开口向下，故④不正确，③正确；∴两函数图象可能是②③，故选B.21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质D21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质例题学习：21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质例4如图，四个二次函数图象所对应的函数表达式分别是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系为(

)AA．a>b>c>dB．a>b>d>cC．b>a>c>dD．b>a>d>c21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质例题学习：【归纳总结】抛物线y＝ax2中常数a的作用：(1)抛物线y＝ax2开口向上，则a>0；开口向下，则a<0.(2)抛物线y＝ax2的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．(3)在几条抛物线所对应的函数表达式中，若|a|相等，则其形状相同．若a相等，则其开口方向及形状均相同；若a互为相反数，则其形状相同，开口方向相反．21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质巩固练习2、已知函数是二次函数，且开口向上。求m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化规律1、已知y=（k+2）x是二次函数，且当x>0时，y随X增大而增大，则k=

；k2+k-421.2.1二次函数y=ax2的图象和性质

3、二次函数的顶点坐标是

，对称轴是

，图像在轴的

（顶点除外），开口方向向

，当

时，随着的增大而减小，当

时，随着的增大而增大。

4、抛物线，当

时，随着的增大而减小，当

时，函数有最

值，此时＝

。

5、根据二次函数的图像的性质，回答下列问题：（1）如果点P在抛物线上，那么点Q也在这条抛物线上吗？为什么？（2）当时，设自变量，的对应值分别为，，当时，必有吗？为什么？21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质归纳总结：（1）顶点都在原点;对称轴是y轴（２）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．（３）当a＞0时，在对称轴的左侧:y随x的增大而减小；在对称轴的右侧:y随x的增大而增大。当a<0时，在对称轴的左侧:y随x的增大而增大；在对称轴的右侧:y随x的增大而减小。２．二次函数y=ax2的图象性质