2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考02【测试范围：江西专用北师大版八年级上册第一章-第二章】（全解全析）

八年级数学上学期第一次月考卷02（江西专用）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：北师大版2024八上第一章~第二章。

第一部分（选择题共18分）

一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.下列是勾股数的一组是（）

A.3,5,9B.4,6,8C.1,也,2D.8,15,17

【答案】D

【分析】此题主要考查了勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义，如果b,c为正整数，且满足

/+/=02,那么4、b、C叫做一组勾股数.先判断所给数据是否为正整数，再验证两个较小的数的平方和

是否等于最大数的平方即可.

【详解】解：A.32+52/92,故不是勾股数，不符合题意；

B.42+62工82,故不是勾股数，不符合题意；

C.存在无理数，故不是勾股数，不符合题意；

D.82+152=172,故是勾股数，符合题意.

故选:D.

2.如图，AB1BC,三个正方形的面积分别为S”S2，S,且£=2,邑=3,则S的值为（）

【答案】B

【分析】本题考查勾股定理的应用，根据结合正方形的面积公式和勾股定理进行求解，即可解

题.

【详解】解：-AB1BC,

222

••AB+BC=AC,即:S}+S2=St

=2,5,=3,

二S=2+3=5；

故选：B.

3.下列计算正确的是（）

A.^（-5）2=-5B.46-6二1

C.6义也=网D.M+也=9

【答案】C

【分析】本题考查了二次根式的减法、乘法、除法以及二次根式的化简，熟练掌握二次根式的运算法则是

解题的关键；

根据二次根式的减法、乘法、除法以及二次根式的性质逐项进行计算即可.

【详解】A、/尸=卜5|=5,故本选项不符合题意；

B、46-6=36，故本选项不符合题意；

C、'6=瓜，故本选项符合题意；

【）、/历+0=囱=3，故本选项不符合题意:

故选：c.

4.实数J7,0,y,痘，-2.367,瓜,p0.6，3.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个

2）,无理数的个数为（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】B

【分析】本题考查了尢理数的概念，立方根，理解尢理数就是尢限小循环小数是解答本题的关键.根据尢

理数的概念先确定无理数个数即可.

【详解】解：^36=6»

则在实数J7,0，弓，加1，-2.367,V36，p0.6，3.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个

2）中是无理数的有近，限p3.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2）共4个，

故选：B.

5.如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃人如图①

所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，即4CK5m,门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.如图②所示,

一个身高1.5m的学生走到。处，即CO=1.5m,门铃恰好自动响起，则8。的长为（）

①②

A.2米B.3米C.4米D.5米

【答案】C

【分析】本题考杳了勾股定理的应用，由题意可知=BE=CD=\.5m,ZC=5m,则

AE=AB-BE=3m,再由勾股定理求出CE的长，即可得出结论.

【详解】解：由题意可知，BD=CE,BE=CD=1.5m,JC=5m,则4E=48-8E=4.5-1.5=3（m）,

在RtzUCE中，由勾股定理得：CE=>1AC2-AE2=V52-32=4（m）,

:.BD=CE=4米,

即门铃恰好自动响起，则8。的长为4米,

c

【答案】33cm

【分析】本题主要考杳勾股定理的应用——最短路件问题,根据圆柱侧而展开图,利用勾股定理计算出4C

的长即为最短距离.

【详解】解：；圆柱体的底面周长为6cm,高8C=3cm,

把圆柱侧面沿4c展开，得到长方形，如图，

?./!5=—x6=3(cm),

，AC=LB2+BC2=>/32+32=3及(cm)，

故答案为：3J5cm.

9.若02〃?+2〃-5与"病；都是最简一次根式、并且是同类一次根式，则利+〃=.

【答案】5

【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同

类二次根式，掌握以上知识是解答本题的关键；

本题根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解.

【详解】解：：也刖+2〃-5与〃标二都是最简二次根式、并且是同类二次根式，

m=2,〃-1=2,

解得：ni=2f〃=3,

此时被开方数2”?+2〃-5=2X2+2X3-5=5,m+〃=2+3=5,被开方数相同，满足同类.次根式的条件。

二加+〃=2+3=5,

故答案为:5；

10.如图，在4x4的网格中，每个小正方形的边K均为1,则点3到线段力。的距离为

【答案】拽

5

【详解】解：由题意得

"=物+不=2石，

^c=1（2+4）x4-lx2x3-|xlx4=7,

设8到线段AC的距离为力，

:.-ACJi=l,

2

，X2G〃=7,

2

解杼：h=7一；

5

故答案为：拽.

5

11.刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦，发明了一个魔术盒：当任意实数对3。）进入其中时，

会得到一个新的实数右+。-1，例如把（4,-2）放入其中，就会得到4+（-2）-1,现将实数对（由-2加）放入

其中，得到实数-1,则加=.

【答案】2

【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.利用题中的新定义计算即可求出机的

值.

【详解】解：根据题中的新定义得：V16+（-2/H）-1=-1,

解得：m=2.

故答案为：2.

12.如图，长方形48CO中，AD=\5,/B=17,点£为射线ZX:上一动点（不与点。重合），将△力。石沿

的翻折得到△力。'七，连接。’4,若△48。为直角三角形，则。E的长为.

DEC

2-

【答案】9或25

【分析】本题考查折叠的性质，长方形的性质，勾股定理，解题的关键是正确进行分类讨论.

分为两种情况，一种是点E在线段QC上，另一种是点石在。C的延长线上，利用勾股定理分别求解即可.

【详解】解：.••将ZUQE沿力月翻折得到△力。凡

AAD=AD',Z/1DE=ZJD/E=90°,

①如图1，当点E在线段。。上时,

NED'<-ZD-ZAD'H-90

图1

：.B,D',E三点共线.

•；S、ABE=；X/8X?1O=；X

BExAD'

BE=AB=17.

BD'=7AB2-AD'2=V172-152=8，

:.DE=D'E=BE-BD'=\7-8=9；

②如图2,当点E在。C的延长线上时,

AD,=AD=BC=\5,AB=CD=\1,

图2

•••BD'=>JAB2-AD,2=V172-152=8.

设CE=x,贝ijQ'EuQfnx+U,

/.BE=D'E—BD'=x+9,

•••CE2+BC2=BE，,

x2+152=(x+9)2,

解得x=8,

DE=CD+CE=\7+S=25,

综上，力E的值为9或25.

故答案为：9或25.

三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理)

13.(1)计算：商+也万一|6-2卜G.

(2)解方程.(2x—I)?—16=9.

【答案】(1)4：(2)x=3或x=-2

【分析】本题考查了算术平方根、立方根、绝对值、平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的

关键.

(1)先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可；

(2)利用平方根的定义解方程即可.

【详解】解：⑴商+夷万一卜5一2卜

=9+(-3)-(2-

=9-3-2+73-73

=4；

(2)V(2X-1)2-I6=9,

.•.(2X-1)2=25,

二2x-1=5或2x-1=-5,

二x=3或x=-2.

14.已知牝-11的平方根是-3和3,3a+6-1的算术平方根是4,。是旧的整数部分.

(1)求。，b,c的值；

⑵求3af+c的平方根.

【答案】(1)。=5,h=2,c=3；

(2)±4.

【分析】本题考查了算术平方根、平方根的定义、无理数估算，属于基础题型，熟练掌握这三者是关键.

(1)根据平方根和算术平方根的定义即可求出。、方，估算出后的范围即可求出

(2)将。、b.。的值代入所求式子计算，再根据平方根的定义解答.

【详解】(1)解：•••4a—11的平方根是-3和3,3a+b-1的算术平方根是4,

4(?-11=9,3a+b-1=16,

二。=5,b=2,

,:耶<用<屈，

.­•3<V13<4,

M是J万的整数部分，

AC=3;

(2)解：：a=5,6=2,c=3,

，3。一b+c=16,

二3。一力+。的平方根为±4.

15.【初步感知】

(1)如图1,在三角形纸片43c中，ZC=90°,JC=18,点、D,E分别在边44,4C上，将一力沿。E

折叠，使点A与点“重合.EC=5,求8c的长；

【深入探究】

(2)如图2.将长方形纸片44CD沿对角线8。折叠，使点C落在点C处，BC交4D于点E.若力8=4,

BC=8,求力E的长.

图1图2

【答案】(1)12；(2)AE=3

【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理.

(1)先求出/E=13,由折叠性质得：BE=AE=T3,在RsACE中，由勾股定理即可求出的长;

(2)根据长方形性质得CQ=/8=4,4D=BC=8,N4=NC=90。，由折叠性质得CT)=CO=4,

ZC=ZC=90°,由此依据AAS判定AC'PE和△力8g全等得C'EnXE,设4E=a,^iCE=AE=a,

DE=AD-AE=S-a,然后在RtZXCDE中，由勾股定理求出〃=3,继而可得力£的长.

【详解】解：(1)在△48C中，ZC=90°,JC=18,

,:EC=5,

.-./!£：=JC-£C=13,

由折叠性质得：BE=AE=T3,

在中，由勾股定理得：BC=>lBE2-EC2=V132-52=12：

(2)•.•四边形"CQ是长方形，AB=4,BC=8,

.-.CD=AB=4f4D=BC=8,4=NC=90°,

由折叠性质得：CO=8=4,/C'=NC=9()。，

CD=AB=4,"=4=90°,

在qDE和“BE中,

ZC=ZA

<Z.CED=NAEB,

CD=AB

；.ACDE知ABE(AAS),

CE=AE,

设=则C£=/E=a,DE=AD-AE=8-a,

在RtZXCOE中，由勾股定理得：CE2+CD2=DE2,

:.a'+4'=(8-a)~,

解得：Q=3,

；.AE=3.

16.如图所示，a,b,c是数轴上三个点A,B,。所对应的实数.其中。是4的一个平方根，b是-27的

立方根，。是1-3人的相反数.

1।1।/

BA0C

⑴填空：a=_,b=_,c=_；

（2）先化简，再求值：J（4『+|6-a|-|c|

【答案】（1）—2,-3,35/2-1

（2）-力-。；4-30

【分析】本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解

题的关键.

（1）根据数轴可得匕<。<0<。，根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答；

（2）根据数轴可得。<0力-。<0]>0,化简各式，再代入数据计算即可求解.

【详解】（1）根据数轴可得分

是4的一个平方根，

:.a=±2

根据数轴可得a<0

:.a=-2,

一27的立方根为—3,则6=—3,

••・c是1-3a的相反数

:，c-3>/2—1，

故答案是：一2,—3,3>/2-1;

（2）b<a<0<c

.-.a<0,b-a<0,c>0,

」•[（"）-+\b-a\~\c\

=-a+a-b-c

=-b-c

11^=—3,c=3>/2—1H'J»

原式=_（一3）_（3&-1）

=3-3&+1

=4-3立

17.第十四届国际数学教育大会aCME-14）于2021年在上海举办，其大会标识（如图1）的中心图案是

赵爽弦图（如图2）,该图由四个全等的直角三角形（△力8£,MF,KDG,△加〃）和中间一个小正

方形£FG〃组成.连接/1G,BG,若力E=4,BE=3.

D

B

图1图2

(I)求线段8G的长度；

(2)判断△力G8是否为宜角三角形，并说明理由.

【答案】(1)如

(2)不是直角三角形，理由见解析

【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理.

⑴由赵爽弦图中四个直角三角形全等，可知CG="=/E=4,CF=BE=3,从而可求/G=l,根据勾股

定理可求BG=J万：

(2)利用勾股定理可以求出4G2=32+r=10,4炉=32+42=25,由⑴“『知8G2=17,因为

AG?+BG?wA即,△力G8不是直角三角形.

【详解】(1)解：•••四个直角三角形全等，

CG=BF=AE=4,CF=BE=3,

；.FG=CG-CF=4-3=1,

在中，BG7BF?+GF=依+1?=折；

(2)解：a/lGB不是直角三角形.

理由如下：

如卜图所示，连接“G、BG,

在中，AH=BE=3,GH=\,

.\^G2=32+12=1O,

在RtZX/lBE中，AE=4,BE=3,

.•."2=32+42=25，

由⑴可知8G2=17,

+=10+17=27，

：.AG2+BG2^AB2,

.•・△.4G8不是直角三角形.

四,(本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理)

18.叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题.请你根据下面所给的条件分别求出蚂

蚊需要爬行的最短路程(结果保留根号).

①②③

(1)如图①，正方体的棱长为5cm,一只蚂蚁欲从正方体底面上的点/处沿着正方体表面爬到点0处；

(2)如图②，长方体的长和宽都为5cm,高为6cm,一只蚂蚁从长方体底面上的点力处沿着长方体表面爬到

点G处；

(3)如图③，长方体的长、宽、高分别是6cm、5cm和3cm,一只蚂蚁要从顶点4处沿着长方体的表面爬

到长方体上和A相对的顶点8处.

【答案】⑴蚂蚁需要爬行的最短路程为5百cm；

(2)蚂蚁爬行的最短路程为2后cm:

(3)蚂蚁爬行的最短路程是10cm.

【分析】本题主要考杳了勾股定理的应用，找出最短路径，用勾股定理来解决路径长，在进行实数大小比

较是解题关键.

(1)将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接ZG，两点之间线段最短，力C是最短路径,

利用勾股定理求4G即可；

(2)分两种情况讨论：①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接力G，两点之间线段最短,

4G是最短路径，利用勾股定理求4G，②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接力G，两

点之间线段最短，是最短路径，利用勾股定理求比较两种方法之下的力G，确定最短的即可.

(3)将长方体按三种方案展开，回出图形，求出结果，然后进行比较即可.

【详解】(1)解：将正方体的右恻面翻折，使它与前面在同一平面内，连接4G，

两点之间线段最短，4G是最短路径，

如图所示，在汝△4CG中，由勾股定理得

AG=JAC、CC；

=yl(5+5)2+52=5限cm)；

(2)解：分两种情况讨论：

①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接力G，

两点之间线段最短，4G是最短路径，

如图所示，有4Ci=ylAC2+CC：=J10」+62=Vi^(cm).

②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接4G，

两点之间线段最短，4G是最短路径，

如图所示ACi=1AB2+BC；=V52+ll2=J丽(cm).

因为Ji布＞Ji正,

所以最短路程为，即最短路程为2血m.

ACi

AB

(3)解：将长方体按下列三种方案展开：

第一种；如图④，

53g

6JD=5+3=8(cm),DB=6(cm)

④

••・根据勾股定理得

AB=y]AD2+DB2=V82+62=IO(cm)：

第二种：如图⑤，

1

IIvC8=6+5=1l（cm）,AC=3cm；

⑤

・••根据勾股定理得

AB=>l\\2+32=V130（cm）

第三种：如图⑥，

______B

~713

/6;C8=3+6=9（cm）,/1C=5cm.

J5C

⑥

・•・根据勾股定理得

J5=>/92+52=V106(cm)

*/10<Vi06<Vi30，

二•蚂蚁爬行的最短路程是10cm.

19.先阅读，再解答：

由心+G）（逐-6）=（6）2-（行尸=2可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，枳不含有二次根式,

我们称这两个代数式互为有理化因式.在进行二次根式的计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中

的根号，例如：

6+亚一（石+&）（6-何一,

请解决下列问题：

（1）女-1的有理化囚式是；

（2）化去式子分母中的根号：*后=________；（直接写结果）

（3）利用你发现的规律计算：/+出+…+麻:旃卜/+»

【答案】（1）收+1

（2）3+76

（3）2024

【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

（1）根据有理化因式的定义即可求得答案：

（2）将分子分母同乘（3+C）并将计算即可;

（3）根据规律将原式化简后再利用平方差公式计算即可.

【详解】（1）解：（1）由题意可得&-1的有理化因式是J5+1,

故答案为：-J14-1;

3（3+指）3（3+指）_

（2）原式二；~'r厂\=、「3+1

（3-5/6）（3+V6）9-6

故答案为：3+V6:

(3)JMjt=(V2-l+V3-V2+...4-72025-72024)x(72025+1)

=(72025-1)x(72025+1)

=2025-1

=2024

20.如图，点M、N把线段依次分成4必、MN、NB三段,若以4M、MN、N4为边组成的三角形

是一个直角三角形，则称点M、N是线段48的“勾股分点”.

AMNB

(1)若力8=9,4"=3,8N=4,则点M、N线段"的“勾股分点”(填“是”或“不是”)；

⑵若M、N是线段44的“勾股分点”，力8=30,4必=12,且4W是组成的直角三角形的一条直角边，求MM

的长.

【答案】(1)不是：

⑵5或13

【分析】本题考查勾股定理，结合勾股定理求解是解决问题的关键.

(1)结合勾股分割点，由已知条件得到4112=9,MN2=4,BN2=16,从而根据力十,切『。用丫？，即

可得出答案；

(2)点.“，N是线段的勾股分割点，且4W为直角边，分两种情况，利用勾股定理列方程求解即可得

到答案.

【详解】(1)解：•­AB-9,AM-3,BN-4,

.•.MN=9-3-4=2,

-AM2=9,MN?=4,8^=16,

AM?+MN、BN?,

，以4MN,N8为边的三角形不是一个直角三角形，

・•・根据勾股分割点定义，M，N不是线段48的勾股分割点，

故答案为：不是；

(2)•.•点M,N是线段44的勾股分割点，且力必为直角边，有两种情况：

①为斜边时，君AM'+BN=MN。

设8N=x,WlJ122+x2=(30-12-x)2,

x=5：

②8N为斜边时，有BN。=AM'MN-

设BN=x,KlJx2=122+(30-12-x)2,

•••x=13；

•••BM的长为5或13,

••.MN的长为30—12-5=13或30—12—13=5,

••・MN的长为5或13.

五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理)

21.小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2近=(1+&『，

于是进行了以下探索：

若设a+by/2=(m+n>/2)2=nr+2n2+21rm五(其中a,方,m,〃均为整数)，则有〃+h\[2=m2+2//+2〃?〃&，

所以a=m2+2“2,b=2inn.

这样小明就找到一种把类似a+A&的式子化为平方式的方法.

清你依照小明的方法解决下列问题：

(1)若〃+36=(2+6)2,则。=,b=；

⑵若。+W7=®+小万>,当。,瓦加,〃均为整数时，用含，*〃的式子分别表示。力，得“=,b=

(3)若。+6石=(7〃+〃石尸，当凡外〃均为正整数时，求“的值.

【答案】(1)7,4

(2)第2+77,2mn

(3)28或12

【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全包方式的应用,

读懂材料明确题意是解题关键.

(1)仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出力；

(2)通过完全平方公式去掉括号表示出

(3)根据题意，求出m=3,根据d也〃均为正整数，分两种恃况求出。的值.

【详解】(1)解：4+Z?£=(2+3)2=4+46+3=7+4石

：.a=7,b=4,

故答案为：7,4；

(2)解：a+hy/l=(rn+iiy/l)2=)n2+2mn币+hr=nr+7n2+Imn4l,

:.a=nr+7/,b=2nui,

故答案为：川+7〃2,2mn；

(3)解：a+65/3=(m+zz>/3)2=m'+2mn\13+3n2=m2+3n2+2mn>/3

6=2nm,

•••nvi=3.

•.•。，孙〃均为正整数，

m=1,〃=3或/〃=3,〃=1.

'与阳=1,〃=3时，a=m2+3n2=1+3x9=28;

当初=3,〃=1时，f7=w2+3??2=9-F3xI=12»

即a的值为28或12.

22.著名的赵爽弦图(如图1,其中四个直角三角形较大的直角边长都为“，较小的直角边长都为人斜边

长都为。)，大正方形的面积可以表示为c?,也可以表示为4X；H+(Q-Z)『，由此推导出重要的勾股定理:

如果直角三角形的两条直角边长为。、b,斜边长为％则

(1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；

(2)如图3,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A、B,AB=AC,由于某种原因，

由C到A的路现在己经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、〃、8在同一条直线

上)，并新修一条路CH,且CH_L/f8.测得C〃=0.8千米，〃3=0.4千米，求新路C"比原路C4短多少

千米？

【答案】(1)见解析

(2)新路67/比原路C4少0.2千米

【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识.

(1)利用梯形ABCD的面积的两种表示方法即可证明；

(2)设4A=4C=x千米，在RM/C”中，根据勾股定理。彳=。，2+4“2得到-=082+(.”0.4)2,解得

x=l,即C4=l千米，即可得到答案.

【详解】(1)证明：梯形彳88的面积为3(〃+〃)(。+〃)=；/十/+夕2,

也可以.表小为一abT—abH—c~,

222

/.—ab+—ab+—c~=—a~+ab+—b',

22222

即a2+b2=c2;

(2)设28=4C=