2025-2026学年华东师大版八年级数学上学期必刷常考题之因式分解

2025-2026学年上学期初中数学华东师大版八年级期中必刷常考题之因式

分解

一.选择题（共7小题）

I.（2024秋•泽州县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）

A.（«+/?）2=（T+2ab+lr

B.2mcr+4ma+2m=2m（«+1）2

C.cr-b2-\=（。+力）（a-b）-I

D.f+6x+36=（x+3）2+27

2.（2024秋•安岳县期末）若一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“扬帆数”.则

下列各数中是“扬帆数''的是（）

A.224B.220C.198D.154

3.（2024秋•霸州市期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（）

A.JC-y2B.y2-x2C.-x2-y2D.x4-y2

4.（2024秋•肥城市期末）下列多项式：①49+4*②/-%，+勺2；③疝+醇；④-J+4/中，能用

公式法分解因式的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（2025春•雁塔区期末）下列各式不能运用平方差公式进行医式分解的是（）

A.-/+射B.-x2-/C.49.r-?D.16混-25/

6.（2024秋•通辽期末）取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理

是：如对于多项式J-y4,因式分解的结果是（x-y）（x+田（/+）2）,当x=9,y=9时，各个因式的

值是x-y=0,x+y=18,jr+y2=l62,于是就可以把“018162”作为六位数的密码，对于多项式4户-冷2,

取x=10,），=10时，用上述方法产生的密码可以是（）

A.1OIO3OB.010103C.100130D.301001

7.（2024秋•平舆县期末）把多项式6//，-3/扇-12//分解因式时，应提取的公因式是（）

A.3a2bB.3ab2C.3aVD.3a2b2

二.填空题（共6小题）

8.（2024秋•肥城市期末）若整式/-ai-1有一项因式为x+1,那么。的值为.

9.（2024秋•东区期末）多项式依+6因式分解后有一个因式为2,则k的值为.

10.（2024秋•叙水县期末）已知x・y=5,个=・3,则代数式dy・x/的值为.

11.(2024秋•锡林郭勒盟期末)已知"=-2,a+b=-3,则a?/计2a*+a/的值为.

12.(2025•磁县校级四模)分解因式：-25y=.

13.(2025•垦利区三模)因式分解：3a，+6ar.y+302=.

三,解答题(共2小题)

14.(2024秋•腾冲市期末)教科书中这样写道：”形如。2±2出计庐的式子称为完全平方式”，如果一个多项

式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个

项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.

配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决

一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题.

例如：分解因式：/+2x・3

解：原式=(f+2rH)-1-3=(x+1)2-4=(x+1+2)(J+1-2)=(x+3)(x-1)

再如：求代数式/+2x-3的最小值.

解：原式=(7+2x+l)-1-3=(x+1)2-4

又•・•(X+1)2是一个非负数，

・•・(x+1)2>0.

/.(x+1)2-4>-4

可知当x=・1时，/+1V-3有最小值，最小值是・4.

根据阅读材料，用配方法解决下列问题：

(1)分解因式：?-4x-5=；(直接写出结果)

当x=时，多项式X2-4x-5有最小值，这个最小值是;

(2)利用配方法，已知小江c•为△48。的三条边，a2+5/?2+c2-4ab-6b-10c+34=0,求△ABC的周

长.

15.(2025•赤峰模拟)中国著名数学家华罗庚曾说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事休”.数形结合的

思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化.我们学习的多项式的乘法可以利用图形的面积进行解

释.如图1,现在有三种类型的纸片，1号纸片是边长为。的正方形纸片，2号纸片是边长为〃的正方

形纸片，3号纸片是长为人宽为”的长方形纸片•.

~~KI

a1号b2号"3号________________

bQ(

abbbboabb

图1图2图3

(1)由边长分别为G。的两个小正方形和两个长为人宽为〃的长方形拼成如图2所示的大正方形,

可知大正方形的边长为(“+〃)，即可求得大正方形的面积.由此可得到一个乘法公

式：;

(2)如图3,根据所拼图形的面积，可以把多项式J+4M+3户分解因式，其结果是；

(3)用一张1号纸片，一张2号纸片，一张3号纸片可以拼接成如图4所示的图形.若阴影部分的面

积为32,3号纸片的面积为24,求〃，力的值.

【考点】因式分解的应用.

【专题】整式；运算能力.

【答案】B

【分析】设两个连续偶数为"和兼+2a为正整数)，表示出这两个数的平方差，然后逐项验证即可.

【解答】解：设两个连续偶数为乂和2A+2a为正整数)改为正整数，

:.(2A+2)2-(2k)2=4么+欧+4-4乒=弘+4,

若8&+4=224,解得k二苧，

选项不合题意；

若8k+4=220,解得k=27,

••.8选项符合题意；

若8%+4=198,解得，=竽,

工。选项不合题意：

若8k+4=154,解得k=与，

，。选项不合题意：

故选：B.

【点评】本题考查了新定义，整式的混合运算，以及一元一次方程的应用，解题的关键是表示出这两个

数的平方差.

3.(2024秋•霸州市期末)下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是()

A.B.)2-./C.-x2-/D./-/

【考点】因式分解■运用公式法.

【专题】整式；运算能力.

【答案】C

【分析】结合平方差公式的结构特征：$一〃2=(。十〃)([_〃)，左边需满足两数(或式)的平方差，

逐项分析判断即可.

【解答】解：A.原式=(x+y)(x-y),故本选项不符合题意；

B.原式=Cy+x)(y-x),故本选项不符合题意；

C.-』-『，不是两数(或式)的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故本选项符合题意；

D.原式=(/+/)(』-』)=(7+),2)(x+y)故本选项不符合题意.

故选：C.

【点评】本题主要考查了因式分解一运用公式法，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键.

4.（2024秋•肥城市期末）下列多项式：①4，+4*②，-2冲+勺③犷;④-J+4/P中，能用

公式法分解因式的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】因式分解-运用公式法.

【答案】B

【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而得出答案.

【解答】解：①4/+4x=4x（尤+1）,是提取公因式法分解因式；

②/-Zq叶49，用公式法分解因式；

③〃2-岫+筋2=（〃一④力）2,符合题意；

④-/+4）=（2b-a）（2b+a）,符合题意;

故选:B.

【点评】此题主要考杳了公式法以及提取公因式分解因式，正确掌握乘法公式是解题关键.

5.（2025春•雁塔区期末）下列各式不能运用平方差公式进行区式分解的是（）

A.-/+庐B.-x2-/C.49./-z2D.16序-25/

【考点】因式分解-运用公式法.

【专题】整式；符号意识.

【答案】B

【分析】根据平方差公式的公式结构对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：4、・/+户符合平方差公式结构，故本选项不合题意；

B、・』・>2不符合平方差公式结构，故本选项符合题意：

C、49/-Z?符合平方差公式结构，故本选项不合题意；

。、16〃?2-25〃2符合平方差公式结构，故本选项不合题意.

故选：B.

【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的公式结构是解题的关键.

6.（2024秋•通辽期末）取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理

是：如对于多项式因式分解的结果是（工・）,）（x+W（』+』），当『/）,=9时，各个因式的

值是x-y=0,x+y=18,Ay2=162,于是就可以把“0⑻62”作为六位数的密码，对于多项式4.V3

取x=10,y=10时，用上述方法产生的密码可以是（）

A.101030B.010103C.100130D.301001

【考点】因式分解的应用；因式分解的意义.

【专题】整式；运算能力.

【答案】A

【分析】对多项式利用提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算即可确定

出密码.

【解答】解：4^-xy2=x(4A2-y2)=x(2x+y)(2r-y),

当x=10,)，=10时，2x+y=30,2x-y=10,

组成密码的数字应包括30,10,

故选：A.

【点评】本题主要考查提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式，立意新颖，熟记公式结构是解题

的关键.

7.(2024秋•平舆县期末)把多项式6/廿-3/廿一12廿83分解因式时，应提取的公因式是()

A.3crbB.3/C.3aVD.3a2/72

【考点】因式分解■提公因式法.

【专题】整式；运算能力.

【答案】。

【分析】将原式因式分解后即可求得答案.

【解答】解：原式=3/后(2d-1-4b),

则应提取的公因式是3/户，

故选：。.

【点评】本题考杳因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键.

二.填空题(共6小题)

8.(2024秋•肥城市期末)若整式4-办-1有一项因式为.计1,那么。的值为2.

【考点】因式分解的应用.

【专题】整式；运算能力.

【答案】2.

【分析】不妨设/-ai-1=(x+1)(户侬+c),然后利用整式的乘法得到F-ax-1=9+/(/?+!)+x

(c+h)+c,从而得到6+1=0,c+b=-a,-l=c,最后算得答案.

【解答】解：若整式/・好・I有一项因式为x+1,

不妨设原式=(A+1)C^+bx+c)

11

那么入3-Qx-i=(x+1)(/+6x+c)=x^+bx+xc+x+bx+cf

.'.x3-ax-\=/+/(Hl)+xCc+b)+c,

.*./?+!=0,c+b=-a,-l=c,

:・b=-I,a=2,

故答案为：2.

【点评】本题考查了因式分解和整式的乘法，熟练掌握以上知识点是解即的关键.

9.(2024秋•东区期末)多项式『-依+6因式分解后有一个因式为x-2,则大的值为5.

【考点】因式分解的意义.

【专题】计算题；因式分解.

【答案】见试题解答内容

【分析】利用十字相乘法判断即可.

【解答】解：•・•多项式/-丘+6因式分解后有一个因式为工-2,

，另一个因式是(x-3),即/-丘+6=(x-2)(x-3)=/-5x+6,

则攵的值为5,

故答案为：5

【点评】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

10.(2024秋•叙永县期末)已知x-y=5,xy=-3,则代数式『v-xv?的值为-15.

【考点】因式分解的应用.

【专题】整式；运算能力.

【答案】75.

【分析】先把7)，-冷2提公因式分解因式，再整体代入进行计算即可.

【解答】解：:")，=5,xy=-3,

-x)^=xy(.x->1)=-3x5=-15.

故答案为：-15.

【点评】本题考查的是提公因式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“整体代入进行求

值”是解本题的关键.

II.(2024秋•锡林郭勒盟期末)已知"=-2,a+b=-3,则/加的值为-18.

【考点】因式分解的应用.

【专题】整式；运算能力.

【答案】78.

【分析】把所求式子因式分解为"(a+b)2,再代值计算即可.

【解答】解：•:ab=-2,a+h=-3,

/.a^b+2a2b2+ab^

(/+2〃力+庐)

=ab(a+b)2

=-2x(-3)2

=-18,

故答案为：-18.

【点评】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是关键.

12.(2025•磁县校级四模)分解因式：/y・25y=y(x+5)模-5).

【考点】提公因式法与公式法的综合运用.

【答案】见试题解答内容

【分析】先提取公因式)，，然后再利用平方差公式进行二次分解.

【解答】解：A2y-25V

=y(7-25)

=y(x+5)(x-5).

故答案为：)，(.v+5)a-5).

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，

也是关键.

13.(2025•垦利区三模)因式分解：3aA2+6ory+3a.y\3a(x+y)).

【考点】提公因式法与公式法的综合运用.

【专题】整式；运算能力.

【答案】3a(x+y)2.

【分析】根据提取公因式法和完全平方公式进行因式分解解答即可.

【解答】解：3/+6”)叶3aly2

=3a(x^+lxy+y^)

=3〃(x+y)2.

故答案为：3a(A'+y)2.

【点评】本题考查了提公因式法勺公式法的综合运用，熟练掌握提取公因式法和公式法进行因式分解是

解题的关键.

三,解答题(共2小题)

14.(2024秋•腾冲市期末)教科书中这样写道：“形如『±2"+户的式子称为完全平方式”，如果一个多项

式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个

项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.

配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决

一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题.

例如：分解因式：7+2x-3

解：原式=(?+2x+i)-1-3=(x+1)2-4=(x+1+2)(J+I-2)=(x+3)(x-i)

再如：求代数式.P+Zt・3的最小值.

解：原式=+2rH)-1-3=("1)2-4

又•・•(x+1)2是一个非负数，

・•・(x+1)2>0.

，(x+1)2-4>-4

可知当x=-1时，-3有最小值,最小值是-4.

根据阅读材料，用配方法解决下列问题：

(1)分解因式：/-4x・5=(x-5)(x+l)；(直接写出结果)

当户2时，多项式r-4.「5有最小值，这个最小值是-9；

(2)利用配方法，已知小b,。为AAAC的三条边，a2+5h2^c2-4ab-6b-10c+34=0,求△A8c的周

长.

【考点】因式分解的应用；非负数的性质：偶次方.

【专题】因式分解・；运算能力.

【答案】(1)(x-5)(x+1)；2,-9；

(2)14.

【分析】(1)原式利用十字相乘法分解即可；多项式配方后，利用非负数的性质求出最小值，以及此时

%的值即可；

(2)已知等式配方后，利用非负数的性质求出小〃，c的值，进而求出三角形周长即可.

【解答】解：(I)?-4x-5=(x-5)(x+1)；

当x=2时，多项式/-4x-5=(？-4x+4)-9=(x-2)2-9有最小值，这个最小值是-9；

故答案为：(X-5)(x+I)；2>-9；

(2)已知等式整理得：(/-4出计4户)+(Z?2-6/?+9)+(?-10(+25)=0,

整理得：(a-2b)2+(方-3)2+(c-5)2=0,

：.a-2b=0,〃-3=0,c-5=0,

解得：a=6,b=3,c=5,

则^ABC的周长为6+3+5=14.

【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

15.（2025•赤峰模拟）中国著名数学家华罗庚曾说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合的

思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化.我们学习的多项式的乘法可以利用图形的面积进行解

释.如图1,现在有三种类型的纸片，1号纸片是边长为。的正方形纸片，2号纸片是边长为人的正方

形纸片，3号纸片是长为人宽为〃的长方形纸片.

（1）由边长分别为。，〃的两个小正方形和两个长为。、宽为〃的长方形拼成如图2所示的大正方形,

可知大正方形的边长为（a+6，即可求得大正方形的面积.由此可得到一个乘法公式：（a+b）2=

。2+2岫+/：

（2）如图3,根据所拼图形的面积，可以把多项式J+4（必+3序分解因式，其结果是一"+据（〃+3〃）；

（3）用一张I号纸片，一张2号纸片，一张3号纸片可以拼接成如图4所示的图形.若阴影部分的面

积为32,3号纸片的面积为24,求m。的值.

【考点】因式分解的应用；完全平方公式的几何背景.

【专题】整式；运算能力.

【答案】(1)(a+b)2=(r+2ab+b2；

(2)(a+b)(a+3b)；

（3）〃=8；b=3.

【分析】（1）根据面积相等的两次计算可得结论；

（2）根据多项式c?+4ab+3/的几何背景是边长为（a+b）,<a+3b）的长方形的面积解答;

（3）根据阴影面积=总面积-两个三角形的面积求解即可.

【解答】解：（1）根据图形可知（a+b）2=J+2出底.；

故答案为：（a+〃）2=a2+2ab+b2；

(2)根据所拼图形的面积把多项式/+4〃/升3力2分解因式，其结果是(“+/?)(a+3b),

故答案为：(a+b)(a+3b)：

(3)图形的总面积为:cr+ab^b2,

11cl11

三角形面枳分别为：-b(Q+2b)=—ab+b?；—+b)=—a2o4--ab,

22222

，S用影=a2ab+b2-^ab-b2a2-tab=la2=32,

・・・4=8(负数舍去)，

•・7〃=24,

.*./?=3.

【点评】本题考查此题考查了完全平方公式的几何背景，弄清题意画出相应的图形，利用数形结合思想

是解本题的关键.

考点卡片

1.非负数的性质：偶次方

偶次方具有非负性.

任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为。时，则其中的每一项都必须等于0.

2.完全平方公式的几何背景

<1）运用儿何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过儿何图形之间的数量关系对完全平方公式

做出几何解释.

（2）常见验证完全平方公式的几何图形

Ca+b）2=^+2出计..（用大正方形的面积等于边长为〃和边长