2025-2026学年人教版九年级数学下册同步练习：相似三角形的判定（含解析）

27.2.1相似三角形的判定

第1课时平行线分线段成比例的基本事实

练基础

知识点I相似三角形的定义及性质

甘肃中考）若^ABCs4EF,BC=6,EF=4,则梦（）

A；B，C.|D.|

2（山东济南槐荫期末）如图.已知△ABCs^ACP,NA-7（）o,NAPC-65cJMNBB4的度数为（）

A.45°B.50。C.550D.6O0

3（教材P57第2题改编）两个相似三角形的相似比是|,第一个三角形的最大边长为50cm,第二个三角形的最大边

长是________cm.

知识点2|平行线分线段成比例

4人字梯（如下左图）因其便捷、灵活的特性被广泛应用于电工操作上如下右图是从某人字梯上抽象出的图形,AD〃B

E〃CF,若AB=2,AC=5.EF=4,则DE的长度是（）

由生

A.6B.jC.53D.I

5（教材P3I第I题改编）如图，已知直线k,12,13分别截直线U于点A,B,C,截直线I5于点D,E,F,且

⑴如果AB=3,BC=6,DE=4,求EF的长

（2）如果DE:EF=2:3.AC=25,求AB的长.

知识点3用平行线判定三角形相似

6（教材P31第2题改编）如图，在口ABCD中点E,F分别在边AD.BC上，且EF〃CD,G为边AD延长线上一点，连接

BG,则图中与^ABG相似的三角形的个数是（)

A.1B.2C.3D.4

G

第6题图第7题图

7（易错题攻口图.在△ABC中,DE〃BC,AD=9,DB=3,DE=6,则BC的长为（)

A.6B.7C.8D.9

8（四川巴中中考）如图，在平面直角坐标系中，C为〉AOB的0A边上一点,AC:OC=1:2,过C作CD〃OB交AB于点

D,C,D两点纵坐标分别为1,3,则B点的纵坐标为（）

C.6D.7

第8题图第9题图

9（山东潍坊期末）如图,AB〃CD〃EF,AF交BE于点G,若AC=CG,AG=FG,则下歹I」结论错误的是（）

,DGI

4而=鼻BR•石F

CCF3。吟

BE3

10（四川成都校级模拟）如图，在△ABC中，D,E,F分别是AB.AC.BC上的点，且DE〃BC.EF〃AB,若BF:FC=2:3.AB

=15JUBD=()

A.6B.9C.10D.12

第10题图第11题图

11（山东济南莱芜期末）如图，已知△ABCs^ADB,点D是AC的中点.CD=2.则AB的长为

12（陕西西安校级模拟）如图，已知点F在AB上，且AF:BF=1:2点D是BC延长线上一点,BC:CD=2:1,连接FD与AC

交于点N,则FN:ND=.

练素养

13如图，A,B两点的坐标分别是（8,0）,（0,6）,点P由点B出发沿BA方向向点A做匀速直线运动，速度为每秒3个

单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O做匀速直线运动,速度为每秒2个单位长度，连接PQ,

若设运动时间为/5（0</<y）.

⑴当I为何值时,PQ〃BO?

（2）设^AQP的面积为S.

①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；

知识点2两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

5（教材P34第I（I）题改编）已知△ABC如图，则下列4个三角形中.与△ABC相似的是（）A

6中国义乌国际小商品博览会以“面向世界服务全国',为办展宗旨，对扩大商品出口，促进全球经济发展等发挥着

积极的推动作用.如图，将某四边形展区ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形展位若OA:OB=OC:OD=23则对于

这四个三角形的关系，下列叙述正确的是（）

A.甲与丙相似，乙与丁相似

B.甲与丙相似，乙与丁不相似

C.甲与丙不相似，乙与丁相似

D.甲与丙不相似，乙与丁不相似

7（甘肃金昌金川期末）已知，如图，△ABC中，AB=4,BC=8,D为BC边上一点BD=2.求证:△ABD^ACBA.

练提升

8新定义新概念问题（云南昆明中考）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做

格点三龟形如图，△ABC是格点三角形，在图中的6x6正方形网格中作出格点三角形^ADE（不含△ABC）,使得△

ADEsaABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有)

C.6个D.7个

第8题图第9题图

9（江苏南充中考）如图在△ABC中,D为BC上一点，8C=则AD:AC的值为

10如图，在正方形网格中，有两个三角形△ABCAlBlCl.则NBAC的度数为

第10题图第U题图

II如图AB是。O的直径，点C在圆上，直线1经过点C,且I〃AB,P为直线1上一个动点，若AC=4,BC=3以点PA,

C为顶点的二角形与△ABC相似，则PC=.

12如图,在矩形ABCD中点E,F分别在CD,AD上，连接AE,BF,AE1BF,且AE=BF.

⑴求证:AB=AD;

⑵连接EF,BE.已知DF2=AFAD.求证：△DEF^ACEB.

练素养

13如图，在^ABC和^ABC中,D.D，分别是AB,AB上一点，

⑴当岩啜吟时,求证:△ABCsZkABC;

第3课时两角关系判定三角形相似

练基础

知识点I两角分别相等的两个三角形相似

I（教材P42第2⑵题改编）如图在纸片△ABC中,NA=76\NB=34。.将纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影

①②③④

A.①②B.②0C.①③D.③©

2李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心*丁乱了解答过程的JI页序,证明步骤正确的顺序是（）

已知:如图，在△ABC中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC上，且DE〃BC.DF〃AC.求证:△ADE^ADBF.

证明:①又：DF〃AC,②・.・DE〃BC,③，ZA二NBDF,④,NADE=NB,

AAADE^ADBE

A.③②④①B.②④①③

C.③①④②D.②③④①

A

A

BFCBL—

第2题图第3题图

3如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件___________便△ADE-AABC.

4（江西中考）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上,/ACD=NABE.

⑴求证:△ABC^AAEB:

⑵当AB=6,AC=4时，求AE的长.

E

DC

AB

知识点2直角三角形相似的判定

5（教材P36第2题改编）如图在RtAABC中,NCAB=90\AD_LBC.在图中的三角形中.两两相似的三角形的又掇为

()

第5题图第7题图

6（上海静安二模）在RQABC和RtADEF中,NC=NF=901AC=3,BC=4,DF=6,DE=8.这两个三角形（填“相似”

或不相似"）.

7（易错题攻口图、已知/ACB=NABD=9¥,AB=在,AC=2,当AD的长为时，图中两直角三角形相似.

反思：本题易错点是______________________________________________________

8（山东荷泽中考）如图在RtAABC中,NABC=9（r\E是边AC上一点且BE=BC.过点A作BE的垂线，交BE的延长

线于点D.求证：△ADE^AABC.

上

练提升

9如图，在下列四个条件：①NB=NC②NADB=NAEC,③AD:AC=AE:AB,④PE:PD=PB:PC中.随机抽取一个能使△

BPEs^CPD的概率是（）

A.0.25B.0.5C.0.75D.1

第9题图第10题图

10如图，已知RtAABC中,NC=90）NArNB,点P是边AC上一点（不与A,C重合），过P点的一条直线与aABC

的边相交，所构成的三角形与原三角形相似，这样的直线有条.

II如图，正方形ABCD中,AB=12,AE=3,点P在BC上运动（不与B,C重合），过点P作PQ_LEP,交CD于点Q,贝!JC

Q的最大值为.

E

Q

C

12（上海中考）如图所示在等腰三角形ABC中,AB=AC点E,F在线段BC上点Q在线段AB上，且CF=BE,AE2=AQA

B.求证：

(1)ZCAE=ZBAF;

(2)CFFQ=AFBQ.

练素养

13如图,△ABC和^DEF是两个全等的等腰直角三角形，ZBAC=ZEDF=90°,ADEF的顶点E与^ABC的斜边BC

的中点重合,将^DEF绕点E旋转，旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.

⑴如图1,当点Q在线段AC上，且AP=AQ时.求证:△BPE^ACQE;

（2）如图2,当点Q在线段CA的延长线上时，求证:△BPE^ACEQ;

⑶在（2）的条件下若8/FC6/求点P,Q两点间的距离（用含a的代数式表示）.

图1图2

27.2.1相似三角形的判定

第1课时平彳亍线分线段成比例的基本事实

1.D

2.A解析:•••△ABCsZkACP,，ZACB=ZAPC=65°.VZA=70°,.\/B=180°・NA-NACB=180°-70°-65°=45°.故选A.

3.70解析：设第二个三角形的最大边长为xcm,根据题意，得50：x=5：7,解得x=70.故第二个三角形的最大边

长为70cm.

解题关键点：相似三角形对应边的比等于相似比.

4.Dfi?ST：VAD//BE//CF,AAB=DEF,H）全笔解得。耳.故选D.

5.解:（（1）口/1口/2口以□蔡=隼・

DCbr

例=3麻=6"4,口江器解得EF=8.・.・EF的长为8.

⑵口MW，□黄=学

*/DE:EF=2:3,AC=25,A25-AB=［解得AB=10.

JAB的长为10.

解题关键点：成比例线段注意对应性，如上下=上

6.D解析：如图，:四边形ABCD为平行四边形，

.,.CD4AB,AD#BC,AADGM^AAGB.ADGM^ACBM.

VEF//CD,/.ADGM^AEGN,ACBM^AFBN,

•••△DGMs/XFBNs^CBMsaEGNsaAGB.故选D.

B

7.C解析:由题意得AB=AD+DB=12.：DE〃BC,；・Z\ADE口力品,□能=*=白=],口5。=[。£=8.故选C.易错点易弄

oCI，q3

错两相似三角形的相似比.

8.CVCD//OB,A△ACD^AAOB,AAC=CDB.

匚力COC52,口令《口霁=；.

VCD两点纵坐标分别为L3,ACD=3-1=2,

「六二，解得OB=6,即B点的纵坐标为6.故选C.

OD3

9.D解析:,・•."Z1C£MC=CG,□丝=与=1选项A正确「・,CD〃EF,・・・4CDGSZ\FEG,，CDEF=CG/FC.・・・AC=CG,

BGAG2

AG=「伉□尸G=2CG,□黑=尊=:£二,选项B,C正确；,.,AB〃EF,.,.BBC./C/6,*/AG=FG,ABG=EG./.BE=2BG.

EFFG2CF3

□=I,□BG=2DGy□BE=4DG,Zl辞=：、选项D错误，符合题意.故选D.

/>OZ1$匕4

10.B就:•・,班口48,□"=/=：,口爷=泞。£口8G口喘解得BD=9.故选B.

ACrC3nC3Bl)人CD!J3

11.20解析:,?点D是AC的中点,CD=2,/.AD=2,AC=2CD=4.VAABC^AADB,AB//AD,ZCB,AAB2=ADA

C=2x4=8,VAB>0,AAB=2近

12.2:3樨析:如图过点F作FE〃BD.交AC于点心.△AFEs□48。,口9=喘・口47：8斤=1：2,口芸=1,口9=1,即FE=

oCADAtiJZ>C3

:BC.DBC:CD=2:1,

口CO=：〃C.□尸Enz?。，

/.△FEN^ADCN,

璃噌=9泄FN:ND=2:3.

解题关犍点：作辅助线构造相似三角形，结合相似三角形的性质求解.

13解:(1)由题意得OB=6,OA=8,AQ=2l,BP=3l,匚AR=JOR'OAT6?+82=io,则AP=10-3t.如图1,VPQ//BO,AAPAB

4010-3/2t

二—即---,

40h108'

解得片百，:当片片s时,PQ〃BO.

⑵由（1）知OA=8QB=6,AB=10.

①如图2所示,过点P作PDJ_x轴，垂足为点D,则PD^BO.AAAPD-AABO,

*罪即*=今解得P*白

[5=；.4。口00=1口2/门（6—%）=6Z-^=-1（/-^2+5,

••.S与t之间的函数关系式为5=6/-沁0</t），当W时，S取得最大值，最大值为5.

②由①，得当s取最大值时，片;，

CPO=6一（片3,匚尸

又PD//BOJ此时PD为AOAB的中位线，则OZ>：CM=4,・・・P（4.3）.

又AQ=2t=j,DOQ=OA-AQ=y,[LQ（^^）J

依题意，得响量PQ”的坐标为（卜，0-3）,即©-3）

，当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为&，-3）.

核心素养本题综合考查相似三角形的判定及性质和二次函数最值问题，考查了运算能力及模型观念.

第2课时三边关系、边角关系判定三角形相似

1.A解析:因为寻方条=4,所以AABC与△DEF一定相似.故选A.

解题关腱点：注意“长对长，短对短\找准对应关系.

2.B解析:因为△ABC的三边长分别为6cm,7.5cm,9cm,所以三边长的比为4:5:6,而^DEF的一边长为5cm.B选项中

当另外两边长为4cm,6cm时，三边对应成比例，这两个三角形相似，A,C,D选项中的边长与5cm都不符合三

边比为4:5:6.故选B.

3.B解析：图形①的三边长分别为2,，历，&；图形②的三边长分别为3,V5,V2；图形③的三边长分别为2,

2V2,2V5;图形④的三边长分别为3,叵47□壶-赛-圣匚①与③相似，故选B.

解题关理点：当三角形在网格中时，可以通过勾股定理求得三角形的各边长，再利用三边对应成比例判断是否相似.

4.解:/B=/AED.理由如下：

由题意彳导AB=AD+BD=3+15=18,AC=AE+CE=6+3=9JU!J^=；=3,^=y=3,^=^=3,DAABC-AAE

AD3AE6DE5ADAEDE

D,AZB=ZAED.

5.D解析:由题图可知,AB=AC=6,・・・/ONB=75。,，NA=30。.选项D中的三角形与△ABC满足两边对应成比例且

夹角相等,故选D.

6.A.OJ:O5=OC:(9D=2:3,n^=^,nCJOC=ZBOD,/.AAOC^ABOD.VAA=OCD.BP黑=案,口4。8=

NCOD.JZXAOBs^cOD.故选A.

7.证明:•・•AB=4,BC=8,BD=2,7*=照=；.

CoDAL

VZABD=ZCBA..\AABD^ACBA

8.C解析:如图.使得△ADEs△ABC的格点三角形一共有6个.故选C.

9（解析：:口8。=7543=38。,口黑祟百.口口5=匚氏□□44。匚。44唬=*6,口/1。:40三.

10.1350解析:由题图可知口8]/£=135••设网格中小正方形的边长为1,则A】C1二2,BC=5,由勾股定理，得A】B

L出石《=内,口急=评票彘端目荒目,」券=器=含，•.△ABCS/SA1B1C

i,・・・NBAC=NBIAiCi=135°.

11.5或3.2解析:,・•AB是。O的直径,JNACB=90。.在RtAABC中,由勾股定理得AB=5.VI/7AB,AZACP=ZA,

△PAC与△ABC相似.分两种情况:

吟吟时，△CPAs4ABC.JPC/5=1.解得PC=5.

令喙时,△CAP<-AABC./.部。4解得PO3.2.综上可知.若△ABC与^PAC相似.则PC=5或3.2.

解题关腿点：相似三角形的对应边不明确时，应分情况讨论，切勿漏解.

12.证明:(1),/四边形ABCD是矩形.

JZBAD=ZADE=90°,/.ZABF+ZAFB=90°.

VAE1BF,/.ZDAE+ZAFB=90°,.*.ZABF=ZDAE.

又AE=BF,AAABF^ADAE(AAS),AAB=AD.

⑵匚谈=4"AO,□黑=如

由(1)可知.△ABF^ADAE,/.AF=DE,ADF=CE.

又•：AD=BC,暇嘿・

丁ZFDE=ZBCE=90°,/.△DEF<^ACEB.

解题关槌点：将等积式转化为等比式，通过等量代换得到证明三角形相似的条件.

13廨:⑴证明:□黑祭二拼条

CD_AC_AB.CD_AC_AD

LJ~—r-------r-?-LJ-：~：---------;~.

CDACAB'CDACAD

.,.△ADC^AA'D'C',/.ZA=ZA;

又ACAC=AB//,A△ABC^△A'B'C.

⑵解：相似.理由如下：

如图，过点D,D，分别作DE〃BC,DE〃BC,DE交AC于E,DE交AC于E.

丁DE//BC,J△ADEs△ABC,J△AB二DE二AE,同理方=券=分

ADAD,,DEDE,,DERC(=11mAEAE,,AC-AEAC-AEAnECEC,,ECAC,CDACRC,,CDDE

ABAB5BCBCDEBCACACACACACACECACCDACBC,CDDE

EC

EC5

△DCEs△D'C'E',，ZCED=ZC'E'D'.

•?DE//BC,I.ZCED+ZACB=180。.

同理，□C£，，D，4-D/1，C^=I8O，□口力CB=匚/'CR.

VAC/>CC-0B/Cn,A△ABC<^△A'B'C.

第3课时两角关系判定三角形相似

I.C解析:△ABC中,NA=76。,NB=34。厕NC=70。,图①,③截得的阴影三角形中，都有两个角分别与△ABC的两个

角相等，因此都与原三角形相似；图②截得的阴影三角形中,三个角分别是34%34%112%图④截得的阴影三角

形中，三个角分别是70。，70。，40。,因此都与原三角形不相似.故选C.

2.B

3.NADE=NB(答案不唯一)

4.解:(1)证明:四边形ABCD为菱形,；.ZACD=ZACB.

,/ZACD=ZABE,.\ZACB=ZABE,

VZBAC=ZEAB,AAABC^AAEB.

⑵解:由⑴得.△ABCS^AEB,u号=2

AtzAD

VAB=6,AC=4,.\-=7，AAE=9.

416

5.B解析:•・•AD_LBC,・•・NADC=NBDA=90。,・•・NBAC=NAD090。.又NC=/C,・•・△ADCs△BAC.同理△ADB^

△CAB,・・・Z\ADCs/\BDA.故选B.

解题关筵点：利用''同角的余角相等“得到证明三角形相似的条件.

6.不相似解析:在RSDEF中，・・・NF=90,DF=6,DE=8,口后尸=痴二正词彳=24噌=［移=亲=邛,□蔡声

朱・・・R2ABC和RtADEF不相似.

EF

7.3或3a解析:•・,NACB=NABD=90。,，要使△ACB和^ABD相似必须《=雾或?=*皿。=2/8=跖

AltAtJAISAiJ

［BC=UB?-心也口宗=［或得=点解得AD=3或3V2

易错点未指明两相似三角形的对应关系，应分情况讨论，易漏解.

8.证明:•••BEuBC,，ZC=ZCEB.

,/ZCEB=ZAED.AZC=ZAED.

「AD1BE,JZD=ZABC=90°,AAADE^AABC.

9.C解析:①•・•NEPB=NDPC,NB=/C