第二十一章 实际问题与一元二次方程 典型题型梳理 专项练-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章实际问题与一元二次方程典型题型梳理专题练

2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

归纳+训练

一、图形面积问题

1.（24-25八年级下•黑龙江哈尔滨•期中）哈尔滨第六十九中学建设的校区篮球场是一个面积为

608平方米的矩形活动场地，它的长比宽多13米，设场地的宽为x米，则可列方程为（）

A.x（x-13）=608B,2x+2（x-13）=608

C.x（x+13）=608D.2x+2（x+13）=608

2.（24-25九年级上•辽宁沈阳•期中）如图，某校为生物兴趣小组规划一块长15m,宽12m的矩

形试验田，现需在试验田中修建同样宽的两天互相垂直的小路（两条小路各与举行的一条边平行），

根据学校规划.小路分成的四块试验田的总面积为154m2,求小路的宽为多少米？若设小路的宛为

根据题意所列方程是.

3.（24-25九年级上•四川内江・期中）如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的

路，余干下部分种植草坪.要使草坪的面积为2400平方米，求道路的宽为多少米？

二、销售问题

I.（24-25九年级上•云南期中）某商场将进价为45元/件的甲商品以65元/件出售时，平均每

天能卖出30件，若每降价1元，则每天可多卖出5件，如果降价4元，每天盈利800元，那么可列

方程为（）

A.（65-X-45）（30-5x）=800B.（65-x）（30+5x）=800

C.（65-A）（30-5X）=800D.（65-X-45）（30+5X）=800

2.（2025•江苏苏州•一模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100

千克.后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的俏售量可增加10千克.商家俏售这种商品

若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为元.

3.（24-25八年级下•全国•期中）某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元

的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存枳压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162

元.

（1）已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率；

（2）聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售收入又可增加收入，且每件衬衫售

价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，售价应定为多少元？

三、图形动点问题

1.（24-25九年级上•四川绵阳•期末）如图，RtZXABC中,ZC=90°,AC=8,BC=6,点尸从

点B出发向终点C以每秒1个单位长度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度移动，

P，Q两点同时出发，一点先到达终点时P，。两点同时停止，则（）秒后，二CPQ的面积等于5.

2.（24-25九年级上•新播•阶段练习）VA4c中，?B9（）?,A/?=5cm,BC=6cm,点P从点

A开始沿边A3向终点B以lcm/s的速度移动，与此同时，点。从点B开始沿边8c向终点。以2cm/s

的速度移动.如果尸、Q分别从4、B同时出发，当点。运动到点C时，两点停止运动.当运动时间

t为时，▲心。的面积为4cm2.

3.（2025•贵州铜仁•模拟预测）如图，正方形/WC。的边长为4cm,E为A8的中点，点尸以2cm/s

的速度从点8出发，沿BC-CD向点Q运动,同时点。以lcm/s的速度从点石出发，沿石向点

C运动，当点P运动到点。时，P、Q两点同时停止运动，若在运动过程中，当S.Q=25SPQ时，BP

1.（24-25八年级下•山东烟台•期中）洪淇同学在计算正数。的平方时，误算成。与2的积，求

得的答案比正确答案小I,则正数〃的值是（）

A.V2+1B.V2-IC.1或&+1D.1或a-1

2.（24-25八年级下•安徽蚌埠•期中）已知两个相邻的偶数之积为960,若设较小的偶数为x,则

可列方程为（）

A.*+2=960B.储一2=960

C.x（x-2）=96（）D.x（.r+2）=960

3.（24-25九年级上•湖南衡阳•期中）一个两位数，个位数字与十位数字之和是5,十位数字与

个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736,这个两位数是.

4.（24-25九年级上•吉林•阶段练习）小亮改编了苏轼的诗词《念奴娇•赤壁怀古》；“大江东去

浪淘尽，千古风流人物，而立之年督东吴，早逝英才两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符.哪

位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜去世时年皓为两位数，该数的十位数字比个位数字

小3,个位的平方恰好等于该数.”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x,求周瑜去世时年龄.注：“而

立之年”指的是三十岁，两位数表示为10x（十位数字）+（人位数字）.

五、工程问题

1.（2025•山东临沂•一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗.某食品加工厂

拥有A,6两条不同的粽子生产线，A生产线每小时加工粽子4（X）个，6生产线每小时加工粽子50（）个.

（1）若生产线A,8一共加工11小时，且生产粽子总数量不少于5000个，则8生产线至少加工多

少小时？

（2）原计划A,“生产线每天均工作8小时.由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，A生产线

每小时比原计划多生产100。个（。＞0）,5生产线每小时比原计划多生产100个.若A生产线每天

比原计划少工作2a小时，8生生线每天比原计划少工作〃小时，这样一天恰好生产粽子6000个，求。

的值.

2.（24-25九年级上•四川绵阳・期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250

（3）汽车滑行20米时用了多长时间？

七、图表信息问题

1.（24-25九年级上•广东中山•阶段练习）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行匹边形框,

框出6个数字，其中最小数与最大数的枳是144,请求出最小数与最大数分别是多少.

2.（22-23九年级上•广.东阳江•期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行

动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实

写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）

影片《万里归途》的部分统计数据

发布日期10月8日10月11日10月12日

发布次数第1次第2次第3次

票房10亿元12.1亿元

（1）平均每次累计票房增长的百分率是多少？

（2）在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11口卖出多少张电影票

3.（21-22八年级下•安徽池州•期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框

圈出的四个数.

2022壬寅年五月

£13EEICH£9EQCI3

1234567

•an«=21«t

891011112|1314

…一♦-«---

1541A617I1♦8人149AI2=0♦21,

293031

E・KB・二

（l）若圈出的四个数中，最小的数为〃，则最大的数为（用含〃的代数式表示）：

⑵若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘枳为153,求这个最小数.

八、传播传染问题

1.（24-25九年级上•辽宁大连•期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有216人患了流感,

则可列方程（）

A.x+x-x=21bB.x-x(l-x)=216

C.l+x+x(l+x)=216D.1-X-(1-A)(1-X)=216

2.(25-26九年级上•全国,课后作业)化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高轼酸钾制取

氧气”的实验操作，I川到班上后第一节课手把手教会了若干名同学.第二节课会做该实验的每个同学

又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么I人每次能手把手教会

名同学.

3.(25-26九年级上•全国课后作业)某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步

趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗.假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人.若I人

患病，则经过两轮传染就共有81人患病.

(1)每轮平均1人会传染多少人？

(2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700?

九、增长率问题

1.(24-25九年级上•江苏徐州•期中)随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，该公司

2021年缴税40万，2023年缴税48.4万，该公司这两年缴税的年平均增长率是()

A.10%B.15%C.20%D.25%

2.(25-26九年级上•全国•课后作业)在“双减”政策的推动下，某校学生课后作业时长有了明显

的减少.去年上半年平均每周作业时长为小min,经过去年下半年和今年上半年两次调整后，现在平

均每周作业时长比去年上半年减少了64%.设每半年平均每周作业时长的下降率为x,则可列方程为

()

A.=64%/”B.+=64%〃？

C.=36%〃iD.(l+x)2=36%"i

3.(24-25九年级上•四川南充•阶段练习)为丰富学生课后活动，学校成立了“课外阅读社团”，

并且不断完善藏书数量，今年3月份课外阅读社团有藏书50。册，到今年5月份藏书数量增长到720

册.

(1)求课外阅读社团这两个月藏书的平均增长率.

(2)按照这样的增长方式，今年6月份课外阅读社团的藏书量是多少册？

十、循环比赛问题

1.(25-26九年级上.全国.课后作业)2023年国际篮联篮球世界杯比赛小组赛在印度尼西亚、日

本以及菲律宾同时进行.若某小组有若干支队伍参加了单循环比赛(每两支队伍都赛I场)，单循环

比赛共进行了15场，则该小组参加比赛的队伍共有()

A.7支B.6支C.5支D.4支

2.（2025九年级上•全国・专题练习）某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两

支队伍之间都赛1场），单循环比赛共进行了45场，则参加比赛的队伍有（）

A.8支B.10支C.7支D.9支

3.（2025九年级上•全国,专题练习）一次足球比赛采取双循环比赛（每两支队伍之间都进行2

场比赛）.若要比赛56场，则共有支队伍参加比赛.

4.（24-25九年级上•广东江门•期中）列方程解应用题：学校举行乒乓球比赛，有若干个队报名，

比赛采取单循环制（每两个队要比赛一场），一共比了66场，有多少个队参加了报名？

十一、握手问题

1.（24-25八年级下•黑龙江哈尔滨•期末）在一次同学聚会时，大家相互握手问候.如果每人都

和其他人握手一次，一共握了45次手，那么参加这次聚会的同学共有（）人.

A.9B.10C.45D.46

2.（24・25九年级上•贵外遵又•期中）一次会议上，每曲个参加会议的人都相互握一次手，有人

统计一共握手45次，则这次会议参加的人数是（）

A.7B.10C.12D.20

3.（24-25八年级下•黑龙江哈尔滨•期中）第33届“哈洽会”有若干家公司参加，每两家公司之间

都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同.则参加此次“哈洽会”的公司有家.

十二、树干分支问题

1.（23-24九年级上•湖北黄石•期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同

样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是57,则每个支干长出（）根小分支

A.5B.6C.7D.8

2.（2024・辽宁抚顺・二模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小

分支，主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，

那么根据题意可以列方程为（）

A.1+X+X2=91B.l+x+Ml+x）=91

C.1+X+（1+X）2=91D.I+（1+X）+（1+X）2=91

3.（26-27九年级上•全国课后作业）某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，

支根中的;又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根.主根、支根、小支根的总数

是109根，则这种植物的主根长出_________根支根.

答案

一、图形面积问题

1.C

【分析】本题考杳由实际问题抽象出一元二次方程；根据矩形的面积公式得到方程是解决本题的

基本思路.根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可.

【详解】解：设场地的宽为x米，则长为*+13)米，

根据题意得MX+13)=608,

故选：C.

2.(15-x)(12-x)=l54

【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，四块试验田可以拼为长为(15-x)m,宽为

(12-x)m的矩形，根据矩形面积公式列方程即可.

【详解】解：设小路的宽为加，

根据题意,得(15r)(12-x)=154,

故答案为：(15—x)(12—x)=154.

3.2米

【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程解决问题，找到关键描述语，找到等最关系

准确地列出方程是解决问题的关键.

设道路的宽为x米，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程(62T)(42T)=2400,解出即可.

【详解】解：设道路的宽为x米，根据题意得(62-司(42-司=2400

整理得/_|04八+204=0：

解得：再=2多=1。2(舍去)，

答：道路的宽为2米.

二、销售问题

1.D

【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题关键.由题意可知

降价x元，平均每天能卖出(53+30)件，每件盈利(65-X-45)元，即可列出方程.

【详解】解：降价x元，则可多卖出5x件，此时售价为(65-力元/件，

・•・此时平均每天能卖出(5/30)件，每件盈利(65-X-45)元，

・•・每天盈利(5x+30)(65-》-45)元，

即可歹1J方程为(5X+30)(65—X—45)=800.

故选D.

2.54

【分析】设定价为x元，利用销售量x每千克的利润=2240元列出方程求解即可.本题主要考查

了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每千克的利润，

再列出方程.

【详解】解：设定价为X元.根据题意可得，

（x-40）［100+10（60-x）］=2240

解之得：西=54,匕=56

•・•销售量尽可能大

x=54,

故答案为：54

3.（1）10%

（2）175或185元

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等最关系，正确列出一元二次方程是

解此题的关键.

（1）设每次降价的百分率为北根据题意列出关于”的一元二次方程，解方程即可得解；

（2）设售价应定为），元，则每件的销售利润为（）-150）元，每星期可卖出（420-2），）件，根据总

利润=每件利润x件数，列出关于丁的一元二次方程，解方程即可得解.

【详解】（1）解：设每次降价的百分率为乂

依题意得:200（1-x）2=162,

解得：玉=0.1=10%,9=1.9（不符合题意，舍去），

答：每次降价的百分率为10%：

（2）解：设售价应定为y元，则每件的销售利润为（）」150）元，每星期可卖出

2（）+（2（X）-y）x2=（420-2y）件,

依题意得：（），一150乂420-2），）=1750,

整理得：/-360.V+32375=0,

解得：y=175,必=185.

答：售价应定为175或185元.

三、图形动点问题

1.A

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正班列方程是解题的关键.

设移动时间为f秒，因为8+2=4秒，所以0WY4,列方程得gx2fx（67）=5,解方程即可得到

答案.

【详解】解：设移动时间为1秒,

•；8+2=4秒，

，0<r<4,

根据题意得gx2/x（6T）=5,

解得/=1或/=5（不符合题意，舍去），

1秒后，二。。的面积等于5,

故选：A.

2.1

【分析】本题考查了一元二次方程的应用.在解答时要注意所求的解使实际问题有意义.根据三

角形的面积公式建立方程就可以求出t的值.

【详解】解：由题意，得8Q=2f,PB=5-t.

列方程，得型严二4,

解得：4=1，%=4（不符合题意，舍去），

.•・当1=1时，二尸8Q的面积等于4cnf.

故答案为：1

4

3.'或8

【分析】本考查了一元一次方程，一元二次方程的应用，分两种情况讨论，0<fW2,2</<4,

根据S”°=25so。分别列出方程，解方程，即可求解.

【详解】解：如图所示，当0</W2时，点Q在线段上，P在BC上,

•・・正方形/48。。的边长为451,E为A8的中点,

；・AE=EB=2

依题意，EQ=f,QB=2-1,则AQ=2+f；BP=2t

••q_

•°APQ-2BPQ

：.^AQxPB=2x^RQxPB

：.A。=28。

/.2+r=2(2-r),

2

解得：f

4

则B尸=§

如图所示，当2<Y4时，点。在线段8c上，尸在。。上,

依题意，BQ=t-2,PC=2t-4t则2。=4一(2/-4)=8-2，，CQ=CB-BQ=4-(t-i)=6-t

,:SAPQ=2sBPQ,即S正方杉一（SAOP+SABQ+sPCQ）=2sffpQ

A4x4--x4x（8-2r）4-1x（2/-4）（6-/）4-ix4x（/-2）=2xlx（/-2）x（2/-4）

_222_2

解得：，=4或f=-2（舍去）

综上所述，1=亨或4

则BP=8

故答案为：方4或8.

四、数字问题

1.A

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，无理数的大小判断，熟练掌握

解一元二次方程的求根公式是解题关键.

根据题意，建立方程2a=1,解方程，即可求解.

【详解】解：根据题意，得：标一2〃=1,即万一2。一1二0，

2

解得：tf=2±7（-2）-4xlx（-12=i±7->

2

«=1+\/2或4=1-41，

\<近<2,

「•1-&<0，

•・Z为正数，

•••4=1+&.

故选：A.

2.D

【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为一则较大的偶数为x+2,根据题意得

出方程，即可求解.

【详解】解：设较小的偶数为％，则较大的偶数为x+2,根据题意得

x(x+2)=960

故选：D.

3.23或32

【分析】本题主要考查一元二次方程的应用.设原数的个位数字是x,则H立数字是5-x,然后

根据等量关系“个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9”列一元二次方程求解即可.

【详解】解：设原数的个位数字是工，则十位数字是5-》.

根据题意得:[10(5-x)+x][l0x+(5-x)]=736,

解得：x=2或工=3,

则5-工=3或5-x=2.

则这个两位数是23或32.

故答案为：23或32.

4.周瑜去世时年龄为36岁

【分析】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关

键.

设周瑜去世时年龄的个位数字为工，则设周瑜去世时年龄的十位数字为(X-3),然后根据个位的

平方恰好等于该数列出方程求解即可.

【详解】解：设周瑜去世时年龄的个位数字为X则设周瑜去世时年龄的十位数字为(1-3),

由题意得l()(x-3)+x=f,

解得％=5,x2=6

・•・十位数字为2或3

•・•而立之年督东吴，“而立之年”指的是三十岁，

・・・％=5应舍去，

・•・周瑜去世时年龄为36岁.

五、工程问题

1.(1*生产线至少加工6小时

(2)〃的值为2

【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一一元二次方程的应用.解决本题的关键是根据

题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解.

(1)设3生产线加工x小时，则A生产线加工(11-%)小时，根据生产线A,3一共加工11小时，

且生产粽子总数量不少于5000个，列不等式求解即可；

(2)根据一天恰好生产了6000个粽子，可列关于。的一元二次方程，解方程即可求出〃的值.

【详解】(1)解：设8生产线加工x小时，则A生产线加工(II-x)小时，

根据题意可得：500x+403(ll-x)^5000,

解得：x>6

答：“生产线至少加工6小时；

(2)解.：由题意可得：(400+1006/X8-2d)+(500+100)(8-a)=6000.

整理得：/+3〃-10=0,

解得4=2,q=-5(不符合题意，舍去)，

答：〃的值为2.

2.(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%

(2)增加4条或25条生产线

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解

即可.

(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x,根据题意列出一元二次方程进行求解；

(2)设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定

解.

【详解】(1)解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x.

依题意，得：2250(1+A)'=3240,

解得：%,=0.2=20%,X2=-2.2(不合题意，舍去).

答：该品牌头盔销售品的月增长率为20%.

(2)解：设增加x条生产线.

(900-30x)(x4-1)=3900,

解得％=4,超=25,

答；增加4条或25条七产线.

3.(I)A型设备每小时铺设的路面长度为90米

(2，"的值为10

【分析】(1)设小型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面(2x+30)米，根据

题意列出方程求解即可；

(2)根据“A型设备铺设的路面长度+6型设备铺设的路面长度=3600+750”列出方程，求解即可.

【详解】(I)解：设B型设备每小时铺设路面工米，则A型设备每小时铺设路面(2x+30)米，

根据题意得，

30A-+30(2A+30)=3600,

解得：x=30,

则2x+30=90,

答：A型设备每小时铺设的路面长度为90米：

(2)根据题意得，

30(30+m+25)+(90-35)(30+/«)=3600+750,

整理得,m2—10m=0>

解得：町=10,m2=0(舍去)，

:.m的值为10.

【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关

系并列出方程.

六、行程问题

1.C

【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程s(km)的值代入求解.

根据路程和时间之间的关系，将$=120代入求出,即可.

【详解】解：依题意得：

120=3r+18/,

整理得r+6/-40=0，

解得。=-1。(不合题意舍去)，4=4,

即行驶行0km需要4s.

故选：C.

2.A

【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用，理解题意，利用勾股定理列出方程是解题

的关键.由题意得，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形，设相遇时，甲、乙行走了X个单

位时间，利用勾股定理列出方程即可解答.

【详解】解：如图，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形：

北

设相遇时，甲、乙行走了1个单位时间，

则AB=3x,BC=7x-10,

由勾股定理得，AB2+AC2=BC2,

/.（3X）2+1O2=（7X-IO）2.

故选：A.

3.（1）15米/秒；2秒

（2）15米/秒

（3产2行秒

3

【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子.

（1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间；

（2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0,由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每

秒车速减少量=总共减少的车速+时间，由此可求得答案；

（3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了x秒，这时车速为（30-15同米/秒，，继而可表示出这

段路程内的平均车速，根据“路程=平均速度x时间”列方程并求解，即可获得答案.

【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米,

则在这段时间内的平均车速为竽=15米/秒；

从刹车到停车所用的时间是*2秒；

（2）从刹车到停车车速的减少值是30-0=30,

从刹车到停车每秒平均车速减少值是三=15米/秒；

（3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了x秒，这时车速为（3（）-15x）米/秒,

则这段路程内的平均车速为30+(：-冈=130-米/秒，

所以“30一豹=20,

整理，得一⑵+8=0,

解得王=?芋，芋(不合题意，舍去)，

答：刹车后汽年行驶到20米时用了"2遮利工

3

七、图表信息问题

1.最小数为8,最大数为18

【分析】本题考查了•元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题

的关键.设最小数为乂根据题意，得到最大数为(x+7)+l+l+l=(x+10),列出方程为X(X+I0)=I44,

解方程即可.

【详解】解：设最小数为达根据题意，得到最大数为(x+7)+l+l+l=(x+10),

Ax(x+10)=144,

解得玉=8,9=一18(舍去).

故最小数为8,最大数为18.

2.(1)10%

(2)2500000张

【分析】(1)设平均每次累计票房增长的百分率是孙利用第3次累计票房=第I次累计票房x

(1+平均每次累计票房增长的百分率)2,即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出

结论；

(2)利用数量=总结+单价,即可求出结论;

【详解】(1)解：设平均每次累计票房增长的百分率是工，

依题意得：10(1+X)2=12L

解得：x,=0.1=10%,X2=-2.I(不符合题意，舍去).

答：平均每次累计票房增长的百分率是10%.

(2)解：[1000000000x(1+10%)-1000000000]4-40

=[1100000000-10000000(X)]4-40

=1000000004-40

2500000（张）.

答：答月11日卖出2500000张电影票.

(^1000000000x10%4-40=1000000004-40=2500(W(张).)

【点睹】本题考杳了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是

解题的关键.

3.(1)77+8;

(2)9.

【分析】(1)设圈出的四个数中，最小的数为〃，根据日历上两个数之间的关系可得答案；

(2)根据最小数与最大数的乘积为105,即可得出关于〃的一元二次方程，解之取其王值即可

得出结论.

【详解】(1)解：设圈出的四个数中，最小的数为〃，则最大的数为〃+&

故答案为：〃+8

(2)设四个数中，最小数为〃，根据题意，得〃(〃+8)=153.

解得〃i=9,勺=-17(不符合题意负值舍去)

答：这个最小值为9.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

八、传播传染问题

1.C

【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程.找到关键描述语，找到等量关系准确地列

出方程是解决问题的关键，根据题意，设每轮传染中平均一个人传染了1个人，则第一轮传染了x个

人，第二轮作为传染源的是(X+1)人，则传染x(x+l)人，依题意列方程：l+x+x(l+”=216,即可.

【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了1个人，

・••第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+l)人，

l+x+x(l+x)=216,

故选：C.

2.6

【分析】本题考杳了一元二次方程的应用.

设一个人每节课手把手教会了面团名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可

列出关于团圆的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即口J得出结论.

【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学.由题意，得l+x+(x+l»=49,

解得％=6,々=-8（不合题意，舍去），

・•・1人每次能手把手教会6名同学.

故答案为：6.

3.（1）每轮平均1人会传染8人

（2）三轮传染后，患病的人数会超过700

【分析】本题考杳了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元

二次方程；（2）根据数最关系，列式计算.

（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可

得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数

x8,即可求出结论.

【详解】（1）解：由题意，得x*+D+x+l=81,解得％=8,占=-10（不合题意，舍去）.

故每轮平均1人会传染8人.

（2）解：三轮传染后的人数为81+81x8=729.

Q729>7（X）,

，三轮传染后，患病的人数会超过700.

九、增长率问题

1.（1）每轮传染中平均一个人传染8个人

（2）患病的人数会超过700人

【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染入个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传

染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）根据经过三轮传染后患病的人数;经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数

x8,即可求出结论.

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；

（2）根据数量关系，列式计算.

【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，

根据题意得：l+x+x（x+l）=81,

整理，得：X2+2X-80=0>

解得：％=8,々=-1。不合题意，舍去）•

答：每轮传染中平均一个人传染8个人.

(2)

三轮感染后，患病的人数为81+81x8=729(人

*/729>700,

患病的人数会超过700人.

答：患病的人数会超过700人

2.A

【分析】本题考查了一元二次方程的应用.熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键.

设年平均增长率是x,依题意得，40(1+X)2=48.4,计算求出满足要求的解即可.

【详解】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是q

依题意得，40(1+x)2=48.4,

解得，x=0.1或x=-2.1(舍去)，

・•・年平均增长率是率％,

故选：A.

3.C

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是

解题的关键.

设每半年平均每周作业时长的下降率为x,根据现在平均每周作业时长比去年上半年减少了64%,

列方程即可得到结论.

【详解】解；设每平年平均每周作业时长的下降率为达

由题意可得771(1-X)2=(1-64%)”2,即〃?(1一=36%/zz

故选：C.

4.(I)阅读公园这两个月藏书的平均增长率20%

(2)估算出今月6月份阅读公园的藏书量是864册

【分析】本题考杳了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

(1)设这两个月藏书的月平均增长率为x,利用该校“阅读公园”5月底的藏书铜尸该校“阅读公园”3

月的藏书量x(l+藏书的月平均增长率下，即可得出关于x的一元二次方程，解之，取其正值即可得出

结论；

(2)利用该校“阅读公园”6月的藏书量=该校“阅读公园”5月的藏书量x(l+藏书的月平均增长率),

即可求出该校“阅读公园”6月的藏书量.

【详解】(1)解：设该校这两个月藏书的月均增长率为「

根据题意，得500(1+*)2=720

解得x「20%,x2--2.2（不合题意，舍去〉

该校这两个月藏书的月均增长率为20%；

（2）解；720x（l+20%）=864（册），

所以，预测到6月该校“阅读公园”的藏书量是864册.

十、循环比赛问题

1.B

【详解】设该小组参加比赛的队伍共有x支.

根据题意，得与8=15,

解得％=6,%=-5（不合题意，舍去），

・•・该小组参加比赛的队伍共有6支.

【点睛】考察一元二次方程循环赛的应用问题，注意是单循