第二章 函数（综合训练）-2026年高考数学一轮复习解析版

第二章函数（举一反三综合训练）

（全国通用）

（考试时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、注考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效c

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2025•广东•三模）下列函数中，既是奇函数又在（0,+8）单调递增的是（）

A.y=x3B.y=\x\+1

C.y=—%24-1D.y=2一凶

【答案】A

［解题思路】利用奇偶性及单调性逐项判断即可.

【解答过程】对于A,函数y=d是奇函数，在（0,+8）上单调递增，A是：

对于B,函数y=|x|+l是偶函数，不是奇函数，B不是；

对于C,函数y=—d+i是偶函数，不是奇函数，C不是；

对于D,函数y=2—M是偶函数，不是奇函数，D不是.

故选：A.

2.（5分）（2025•山东泰安・模拟预测）Q=0.3°,7,b=0.7°3,c=logo.70.3,则a,b,c的大小关系为（）

A.c>b>aB.c>a>b

C.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解题思路】根据对数函数与指数函数的图象与性质，分别求得a,b,c的取值范围，即可求解•.

【解答过程】由塞函数y=x07为增函数，得。=0.3°7<0.7°乙

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由指数函数y=0.7、为减函数，得0.7°，7<b=O.703<0.7°=1：

由对数函数y=logo.7%为减函数,得c=log0,70.3>log070.7=1.

所以c>b>a.

故选：A.

3.（5分）（2025•广东茂名•一模）已知函数八%）="函一6%+5在区间（Q,+8）上单调递增,则a的取值

范围为（）

A.（―co,1]B.（—co,3]C.[3,+8）D.[5,4-co）

【答案】D

【解题思路】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.

【解答过程】由、2-6%+520,可得工W1或％25,

即函数/•（%）的定义域为（—8,1]u[5,+oo）,

又因为£=x2—6x+5在[5,十8）上单调递增，在（—8,1]上单调递减，

y="在[0,+8）上单调递增，

由复合函数的单调性可知/（均=占2-6%+5在区间[5,+8）上单调递增,

a>5.

故选：D.

4.（5分）（2025•北京海淀•三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录.例如：2006年5月27日，

印月爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发

现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5，.印尼爪哇

地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（）倍.（精确到1.参考数据：馆87.5。1.942,馆88.5Q

1.947,Ig89.5«1.952,Ig90.5«1.957）

A.87B.88C.89D.90

【答案】C

【解题思路】设印尼地震的能量既，震级Mi=6.3,四川地震的能量E2,震级M2=5.0,利用对数计算1g（3

的值，根据参考数据，利用对数函数的单调性估计得到答案.

【解答过程】设印尼地震的能量均，震级Mi=6.3,四川地震的能量%，震级时2=5.0.

因为地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M,

所以电（言）=电场—电邑=1.5（M2-Mj）=1.5x1.3=1.95,

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且lg88.5«1.947<1.95<1.952«lg89.5,

所以88.5〈整<89.5,

Ei

根据精确度要求精确到1，所以詈土89,

故选：C.

5.(5分)(2025・安徽合肥・模拟预测)函数/(%)=(|4-灯一4即(4一，)的图象大致为()

【解题思路】根据函数解析式确定函数的图像性质，进而确定.

【解答过程】由已知，f(%)定义域为(-2,2),且/(t)=/(%),

所以函数/(%)为偶函数，

故/l(%)图象关于y轴对称，

又/(0)=0,排除B,D选项：

当4-2时,，/(%)>0,排除C,故A正确.

故选:A.

6.(5分)(2025•山东德州•三模)己知函数f(x)是定义在R上的增函数，且/(X+1)-2为奇函数，对任

意的。£[-3,2],不等式/(2。+£)+/(。2-1)工4恒成立，则实数t的取值范围是()

A.(-co,-5]B.(-8,0]C.[0,+co)D.[-5,+oo)

【答案】A

【解题思路】设g(x)=/Q+1)-2,把/(2a+£)+f(a2-1)<4转化成g(2a+t-1)+g(a2-2)<0,再

结合函数g(x)的奇偶性，把不等式转化成g(2a+t—l)工。(2-次)，再结合或公的单调性，得到2。+「一

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l<2-a2,分离参数，根据二次函数的性质，可求实数t的取值范围.

[解答过程]令g(x)=/(x+1)-2,则/■(》)=g(x-1)+2,

由/(2a+£)+/■(小—1)44,

可得g(2a+t-1)+2+g(a2-1-1)+2<4,

即g(2a+£—1)+g(Q2-2)<0»

又因为g(x)为奇函数，所以g(2a+t-1)<-g(a2-2)=g(2-a2).

因为/•(%)是定义在R上的增函数，所以g(x)也是定义在R上的增函数，

2

故2a+t-1W2—a?,即1<_Q2-2a+3=-(a4-l)+4恒成立.

因为aG[—3,2],所以—(a+l)2+4的最小值为-(2+l)2+4=—5,

所以£工一5,即实数珀勺取值范围是(一8,—5].

故选：A.

7.：5分)(2025•河北邢台二模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)为偶函数，/"(4+x)=-/(4-%),

则下列说法错误的是()

A./(%)的图象关于(4,0)中心对称

B./(%)的周期为8

C./(2025)=/(I)

D.当％E[0,2]时,f(x)=x2-2x,则f(7)的值为-1

【答案】D

【解题思路】根据题意推理论证周期性、奇偶性、对称性逐•求解判断各项

【解答过程】因为/(4+%)=-/(4一%),所以/⑴的图象关于(4,0)中心对称,故A正确;

因为/(%+2)为偶函数，所以/'(—x+2)=/a+2)

所以/(%)=f(4-x),又因为/(4+x)=-/(4-x),

所以/1(%)=-f(4+x),所以/(4+x)=-f(8+x),

所以/(x)=/(8+%),所以/(x)的一个周期为8,故B正确；

/(2025)=/(253X8+1)=/(I),故C正确；

由"4+x)=-/(4-x),得f(7)=/(4+3)=-/(I),

又当为6[0,2]时，/(X)=x2-2x,所以/'(1)="-2xl=-1,即/(7)=1,故D错误.

故选：D.

8.(5分)(2025•山东临沂•三模)已知函数/•(幻=[_肾”若函数y=f(fG))有8个零点，

X十CLXfX耳U

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则实数a的取值范围为()

A.a>1B.a<0C.-1<a<0D.a<-1

【答案】D

【解题思路】根据题意对实数a进行讨论，分aNO,a<0,再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求

解.

【解答过程】⑴当QZO,x<0w，f(x)=-x2+2ax,对称轴为％=Q>0,

所以/(%)在(-8,0)单调递增，函数图象如下：

TK

/\y=Jlx)

令/(%)=t,y=/'(/(%))=/(£)=0,解得£=0或c=1,

即/(%)=t=0或/(%)=t=l,根据图象/(%)=£=0有2个解，/(%)=£二1有1个解,

所以此时y=/(/'(%))有3个零点，不符合题意；

当a<0,%工0时，/(%)=—%24-2ax,对称轴为X=Q<0,

所以/1(%)在(-8,a)单调递增，在(a,0)单调递减，函数图像如下：

令/(%)=t,y=/(/(%))=/(t)=0,解得£=2a或t=0或t=1,

根据图象Ax)=t=2a<0有2个解，fW=t=0有3个解，

又产/(fCO)有8个零点，所以/(x)=£=1要有3个解，

即小亨>1，解得a—

故选：D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

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9.（6分）（2025•安徽六安•模拟预测）已知Q=log210，匕=bg3S，则（）

ab

A.ab<-6.5B.4-9=1C.--7>1D.log6=

ab85ab-b

【答案】ABD

【解题思路】利用对数式与指数式的互化，换底公式，对数的运算性质和对数函数的单调性逐一判断即可.

［解答过程】对于A,M1•=二-因lg21g3x0.301x0.477«0.1436<0.154«三,则ab<-学=-

lg2Ig3lg21g3132

65故A正确；

bb（a）2），h）2

对于B,由Q=log210,b=log3总可得2。=10,3=高则2a♦3=1,故4。-9b=2@2=（2。3=

1,故B正确：

对于C,由B项可得"lg*=-lg3,则:：=lg2+lg3=lg6<l,故C错误；

对于D,因曰二二二冷=黑=血56,故D正确.

ab-bi-l1-lgZIg5

a

故选：ABD.

10.（6分）（2025•甘肃定西•模拟预测）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体

、气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强

/（W/cm2）.但在实际生活中，常用声音的声强级。（dB）来度量，声强级O（dB）与声强/（W/cm2）的关系近似满

足。=alg/+b,经过多次测定，得到如下数据：

10-10

声强/(W/cm2)10-11m

声强级及（dB）102030

已知烟花的噪声的声强级一般在（90,100）,其声强为/】；鞭炮的噪声的声强级一般在（100,110）,其声强为6

飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在（135,145）,其声强为与，则（）

8

A.b—a=110B.m=10-

D.

C高<，24>8

【答案】ACD

【解题思路】首先代入表格数据中的前2组数据，求a,b,判断A,再根据解析式，代入。=30求m,判断B,

根据解析式，结合100<。2<110,求，2的范围，判断C,根据不等关系，结合对数运算公式，判断D.

【解答过程】由题意可得密量黑I：：•即谯=篇二解得｛―黑•所以八°="O,故人正

确;

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因为。=101g/+120,所以30=101gm+120,解得m=10-9.故B错误：

由100V10就+120V110,得击V，2V4，故C正确；

设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为。1，/)2，。3,由题意知90<小<100,100<

D2<110,135<D3<145,所以。1+。3>2。2，所以101g/i+120+1003+120>2(10图2+120),

所以lg/i+lg/3>21g，2,即他(//3)>忸氏所以/山〉/。故D正确.

故选:ACD.

11.(6分)(2025•山东泰安•模拟预测)函数/0)对于任意的x,yWR,满足/(%-y)-/(3+y)=/(%—

l)/(y-l),且f(0)=2,则()

A.、=%/(%)为偶函数B.4是函数f(x)的一个周期

C.点(2025,0)是/(%)图象的对称中心D.X警6〃i)=0

【答案】BCD

【解题思路】根据给定条件，利用赋值法，结合函数奇偶性、周期性及对称性的意义逐项判断即得.

【解答过程】由题知，fix-y)-f(x4-y)=f(x-l)/(y-1)

对干选项A：令无=y=0,得/(o)—/(o)=/(一所以/•(—i)=o,

令％=0,得/(—y)—/(、)=/(D=o,即/'(—y)=f。)，所以/(%)为偶函数，

所以函数h(x)=x/(x)为奇函数，故选项A不正确；

对于选项B：令％=1,/(I-y)-/(I+y)=/(0)/(y-1)=2f(y-1),即f(y+1)=-/("1)，

/•Q+2)=-/(y)=f(y-2),所以/(%)周期为4,故选项B正确；

对于选项C：由B中/'(y+1)=-f(y-1),即/Xy+1)+f(y-1)=0,所以f(x)关于(1,0)对称，且

/(I)=0,又/(乃周期为4,所以/*(2025)=/(1)=0,故选项C正确;

对于选项D：令％=y=l,得f(0)-f(2)=f(0)f(0),即f⑵=-2,

令x=l,y=2,得/(一1)一/(3)=2/(1),所以/(3)=0,

所以f(0)+fW+f(2)+f⑶=2+0+(—2)+0=0,

故E警6/(i)=/(2024)+/(2025)+/(2026)=/(0)+/(l)+/(2)=0,故选项D正确.

故选：BCD.

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)(2025•江西萍乡•三模)已知£=3则的+ln2=_____.

e*o3xo

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【答案】ln3

【解题思路】利用对数的运算法则计算即可求解.

【解答过程】依题意，ln^=lnx0-%0=-ln^-x0=-ln3,故&+呜=ln3.

故答案为：ln3.

13.(5分)(2025•山西朔州•模拟预测)已知函数f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若/(I)=1,则/(2)+

3/(39刃=.

【答案】-3

【解题思路】根据给定条件，利用函数的奇偶性和周期性求出函数值.

【解答过程】函数f(%)是定义在R上周期为4的奇函数，故/■(一%)=-/0)且f(%+4)=f(x),

故"-2)=-f(2)=f(2),解得f(2)=0,/"(399)=/(399-400)=/(-1),

又/⑴=1,所以/(2)+3/(399)=0+3/(-1)=-3/(1)=-3.

故答案为：一3.

14.(5分)(2025•河北秦皇岛•三模)已知函数/(乃满足对Vx€R都有/(%)+/(-幻=0成立.当xZ0

时，f(x)=x2+2x,则不等式/(,©))+/(x+l)<0的解集为.

【答案】(一8,手)

【解题思路】根据/(%)+/(-乃=0得到函数/⑺是R上的奇函数，继而求出“V0时，/(%)的解析式并判断

/•&)在R上的单调性，利用有函数和单调性结合分段函数可得两个不等式组，求解即得.

【解答过程】因为对VxeR都有/Xx)+/(-X)=0,所以/•(%)是R上的奇函数，

又xN0时，/'(%)=d+2%=(%+i)2_i,显然f(x)在(0,+8)上单调递增，

故函数/'(%)在R上单调递增，

当力V0时,—X>0,则/(一工)=X2—2x,即f(%)=-/(-x)=-x2+2x；

由/(/(%))+f(x+1)<0,可得/(/(%))<-f(x+1)=f(-x-1),

故得/CO<-x-i,

则心+2工…或｛_/+*._，

即L+富:<。或｛，.解得竽，

所以不等式/•(/(%))+/-(x+l)<0的解集为(一8,咨亘).

故答案为：(-8,3尸).

8/13

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)(24-25高一上呐蒙古鄂尔多斯•期末)已知函数f(x)=Qx+g(Q,b€R).

(1)判断/Xx)的奇偶性，并用定义进行证明；

(2)若b=2a,试讨论f(x)在(虚,+8)上的单调性.

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【解题思路】(1)分a=b=O和a,b不同时为0两种情况讨论可得结论；

(2)由已知得f(x)=QX+§=Q(X+3,分a=0和aHO两种情况讨论，当。工0时，利用强调性的定义

可得函数f(x)在(四,+8)上单调递增.

【解答过程】(1)当a=8=0时，/(%)=0。。0)既是奇函数也是偶函数：

当a,b不同时为0时，f(x)是奇函数，证明如下：

函数/(%)的定义域为{x|%H0}，对于VxW{x|xH0},都有一工€{%|无00},

且/(—x)=a(—x)+=—(ax+g)=-/(%),

故/(x)为奇函数.

综上：当a=b=O时，/(X)既是奇函数也是偶函数；当a,b不同时为0时，/(%)是奇函数.

(2)当b=2a时，/(x)=ax4-Y=a(x+1).

当a=0时，/(x)=0在(注,+8)上无单调性：

当aH0时，任取,x2e(&,+oo)，且<x2，

则/(/)-/(%2)=Q(/一%2+：—9=a(%i-%2),1777*

\X\X»X]X2

%1>%2€(鱼，+8),且与<%2»

二%1一％2<°，工1%2>2,xxx2—2>0.

若a>O则/'(不)-f(X2)=a(%L%2)•i77^<0,即f(必)<八女)，

f(X)在ZZ+8)上单调递增；

若aVO则/'(修)一八七)=a(%i-冷),出匚>0，即f(%i)>f(%2)，

X\X2

・••/(X)在(加,+8)上单调递减.

16.(15分)(2025•上海金山・三模)如图所示是函数y=F(x)的图象，由指数函数/a)=ax与箱函数

gG)=/“拼接”而成.

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(1)已知On+4)一”<(3-,求m的取值范围；

(2)若方程尸(x-2025)-t2-1t=0存在实数解，求t的取值范围.

【答案】(1)(后,|)

(2)(-co,-1]U3+8)

【解题思路】(1)将点G，3的坐标分别代入函数fO)=QX、gG)=W的解析式，求出Q、b的值，可得出函

数FQ)的解析式，然后利用函数y=的定义域、单调性结合(7几+4)-b<(3-2m)-b可得出关于m的不等

式组，由此可求得实数m的取值范围；

(2)分析可知匹+3的取值范围即为函数尸(％-2025)的值域，可得出关于t的不等式，即可解得实数t的取

值范围.

【解答过程】(1)由题意可得b，解得1r，故尸4.

因为函数y=x-b="w在(0,+8)上严格减，

由(m+4)《<(3-2m)《可得『2m>0m，解得后<血<去

因此，实数m的取值范围是(一表习.

<2)因为方程产(、一2025)-尸一1一0存在实数解，即方程尸(Y-2025)三户+“存在实数解,

则F+3的取值范围即为函数尸(％—2025)的值域，

由题图可知，函数FQ)的值域为卜+8),故函数FQ—2025)的值域为悖,+8),

所以[2+；降；，即2d+-1工0,解得鹏-1或蜂

因此,实数t的取值范围是(-8,-1]U.+8).

10/13

17.(15分)(2025•上海•三模)已知函数/'(%)=%2-二)ER,

(1)当a=-1时，解不等式/(X2-4)V/(4x+1)；

(2)已知函数/•(%)为偶函数，且函数g(x)=m-f(2x)-f(x)在区间[01og23]上有零点，求正实数m的取值范

围.

【答案】(1)(一8,-1)11(5,+8);

⑵M

【解题思路】(1)根据函数单调性的性质判断/(X)的单调性，根据单调性列出不等式即可求出原不等式解集：

(2)根据/'(%)是偶函数求出a,令亡=2*+2-巴求出t的取值范围，令g(x)=0,将原题转化为方程有解问题

即可求解.

【解答过程】(1)当。=一1时，函数/•(%)=二手，

函数是y=-2*和y=2r都是R上的减函数，所以/(%)=二"为减函数，

所以不等式/(d-4)</(4x+1)等价于好-4>4x+l,

解得x<-1或%>5,

即原不等式解集为(一8,-1)u(5,+co).

(2)由于/(%)是偶函数，则/(一%)=/(%)，

代人化简得(a-1)(2》-2-x)=0,解得a=1,

令t=2*+2T,xG[0,log23],则tw[2，T],

所以m——0在tE[2,?]上有解，m=右，

因为函数丫=%-拉[2,印上严格增，所以tfe[1，牛

解得mw辱1],故m的取值范围为厚11

18.(17分)(24-25高二下•河北保定•阶段练习)已知函数/(%)=瓮1,1])是奇函数.

⑴求匕的值.

(2)判断函数/(%)在[-1,1]上的单调性并说明理由，并求/(x)的最值：

(3)若函数/(x)满足不等式f(t-1)+f(2t)<0,求出t的范围.

【答案】(l)b=1

(2)熠函数，理由见解析，最大值为g最小值为-g

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⑶暗

【解题思路】(1)根据奇函数的定义可求得b的值;

(2)判断出函数/'(%)=品■是区间上的增函数，然后任取不、42E且与<小，作差人力)一八%2)，

因式分解后判断差值的符号，结合函数单调性的定义可得出结论；

(3)由/(£-1)+/(2£)V0变形得出/«-1)〈人一2£),结合函数/(%)的定义域、单调性可得出关于实数£

的不等式组，由此可解得实数£的取值范围.

【解答过程】(1)因为/(%)在是奇函数，则/■(-%)=-/(>)，

即言"=一%，可得2(b-1)=0,解得匕=1,故外幻=雅,

(2)/(%)=帚是区间［-1,1］上的增函数,理由如下:

任取％1、x2e［-1,1］且打<x2>

f||||_r/\_勺_*2_Xia1+l)-X2(X」+l)_，避-*2「)+(肛一X2)

v~

人」八打)-HX2)一而一所一(X?+1)(X1+1)_(币1)(—

_阳犯(*2一打)一(》2-*1)_(X2一勺)(*1*2-1)

(X1+1)(X2+1)(xI+l)(x|+l)

因为-14勺<%241所以-1V3上<1，工2-％1>0，xlx2-1<0>

所以/(修)一/(%2)<。，即f(%l)<f(%2)，

所以/⑺=帚是区间［一L1］上的增函数，

所以函数/(%)的最小值为/(-1)=一；，最大值为/U)="

(3)因为/Xx)=品是区间［-1,1］上的增函数，且是奇函数,

由/Q-1)+/(2O<0可得/'(£-1)<-f(2£)=f(-2t),

(-1Wt—1W1

所以-1<2t<1，解得0Wt<

19.(17分)(2025・上海嘉定•二模)已知函数y=/(x),其中fCOud+Qx+hmbER),定义集合S(f)=

{(x,y)|y=/(%),xG