导数与函数的极值、最值（2大考点+6大题型）-2026年新高考数学一轮复习（讲义+专练）原卷版

3.3导数与函数的极值、最值

目录

01课标要求........................................................................2

02落实主干知识....................................................................3

一、函数的极值....................................................................3

二、函数的最值....................................................................3

常用二级结论......................................................................3

03探究核心题型....................................................................5

题型一：根据函数图象判断极值......................................................5

题型二：求已知函数的极值..........................................................7

题型三：已知极值（点）求参数........................................................8

题型四：不含参函数的最值..........................................................9

题型五：含参函数的最值...........................................................10

题型六：极最值综合问题...........................................................12

04好题赏析（一题多解）..........................................................15

05数学思想方法...................................................................16

①数形结合.......................................................................16

②转化与化归.....................................................................16

③分类讨论.......................................................................17

06课时精练（真题、模拟题）......................................................18

基础过关篇........................................................................18

能力拓展篇.......................................................................20

1/23

01课标要求

1、借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.

2、会用导数求函数的极大值、极小值.

3、掌握利用导数研究函数最值的方法.

4、会用导数研究生活中的最优化问题.

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02落实主干知面］|

一、函数的极值

极小值：若函数y=/(x)在点x=。的函数值/(。)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，/(。)=0,

而且在点x=a附近的左侧/")<0,右侧/'(x)>0,则把点a叫做函数y=/(x)的极小值点，/⑷叫做

函数>=/(')的极小值.

极大值：若函数y=/(x)在点x=6的函数值f(b)比它在点x=8附近其他点的函数值都大，

/'(〃)=(),而且在点x=6附近的左侧/'(x)>(),右侧/'(x)<0,则把点8叫做函数y=/(x)的极大值点，

/(。)叫做函数)，=/(x)的极大值.

极小值点、极大值点统称为极值点(x的值，不是坐标)，极小值、极大值统称为极值.

二、函数的最值

1、函数/(X)在区间上有最值的条件：

如果在区间［出切上函数N=/'(X)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

2、一般地，求函数y=/(x)在区间［。，可上的最大值和最小值的步骤如下：

⑴求函数y=/(x)在区间(a,6)上的极值；

⑵将函数y=/(x)的各极值与端点处的函数值/(〃)，/仅)比较，其中最大的一个是最大值，其中最小

的一个是最小值.

常用二级结论

1、一般地.求函数)，=/(x)的极值的方法是：解方程r(x)=0.当r(x0)=0时：

⑴如果在与附近的左侧广(与)>0,右侧/"(/)<0,那么/(%)是极大值：

⑵如果在与附近的左侧/(/)<(),右侧八/)>0,那么"x0)是极小值.

2、利用导数研究函数极值的步骤

第一步：确定函数/“)的定义域

第二步：求/'(工)，并可适当整理；尽量将/(x)整理成(》-为)。-超)，…，(x-乙)之积商的形式

第三步：解出方程/(x)=0在定义域内的所有实数根

3/23

第四步：将函数/'(x)，/(X)随X的变化情况分段标注在数轴上

第五步:确定/(X)的极值.

3、函数y=/(x)在(内方)有最值o/(x)在(46)有极值o/'(x)=0在(a,b)有解.

4、函数/(x)关于直线x=a对称，则必有((0)=0；连续函数/(x)关于点®与对称，则必有

/⑺=6♦

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03探究核心题型

题型一：根据函数图象判断极值

【典例1・1】（2025•广东•一模）已知函数y=/（x）的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（)

A./一）在区间（1,4）上单调递增B.x=7是y=/（x）的极大值点

C.当4Vxe7时，/(x)>0D./（x）在区间3+8）上单调递减

【典例1-2】（2025-安徽马鞍山-模拟预测）已知函数/（X）的导函数/'（X）的部分图象如图，则下列说法

正确的是（）

A.70）＞/（3）B./（-1）＜/（2）

C./（x）有三个零点D./（x）有三个极值点

【解题总结】

原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零.这个零点必须穿

越轴，否则不是极值点.判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x轴的交点）；上坡低头找

极小，下坡抬头找极大.

【变式1・1】（2025•广西河池•二模）已知函数/（x）=x，lnM“£R）,则以下最不可能是其图像的是

（）

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【变式1-2】函数/(x)的定义域为开区间(。力),导函数/'(力在(a,b)内的图象如图所示,则函数/“)在

【变式1・3】函数/")的定义域为R,它的导函数N=/'(x)的部分图象如图所示，则下列结论错误的是

()

A.函数/(x)在(1,2)上单调递增

B.函数/(》)在(3,4)上单调递减

C.函数/6)在(1,3)上有极大值

D.x=3是函数/(x)的极小值点

【变式14](2025-上海青浦-二模)如图，已知直线『=履+"与函数y=/(x),xe(0,+8)的图象相切于

两点，则函数y=/(x)-&有().

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y=kx+m

至

\尸㈤。I

A.2个极大值点，1个极小值点B.3个极大值点，2个极小值点

C.2个极大俏点，无极小值点D.3个极大俏点，无极小侑点

题型二：求已知函数的极值

【典例2-1】(2025•陕西安康•模拟预测)已知函数/(x)=(lnx-af.

⑴若a=0,求曲线歹=/(力在点(e,/(e))处的切线方程；

(2)若。=2,求函数/(x)的极值；

(3)若函数g(x)=M(x)在［1,e)上单调递增,求实数。的取值范围.

【典例2-2】已知函数/1")=/一

丫一

⑴若/(x)>0,求x的取值范围;

(2)求/(x)的极小值.

【解题总结】

利用导数研究函数极值的步骤

第一步：确定函数/(》)的定义域

第二步：求/'(力，并可适当整理；尽量将/(X)整理成±),…G-X”)之积商的形式

第三步：解出方程/'(x)=0在定义域内的所有实数根

第四步：将函数/'(X),随工的变化情况分段标注在数轴上

第五步：确定/G)的极值.

7/23

【变式2・1]已知函数/(幻=(〃二一2工+1)。'+X—1.

⑴若〃?=1,当工€[2,y)时，/(x)Mx-l),求，的取值范围;

(2)若〃?=0,求/(x)的极值；

(3)若x=0是/(x)的极小值点，求m的取值范围.

[变式2-2]已知函数/(X)=aex(x-3)(〃工0).

(1)若/(x)在x=1处的切线斜率为2,求切线方程.

⑵求/(x)的单调区间；

(3)当1=-1时，求函数g(x)=/(x)+--4x的极值.

【变式2・3](2025•山东青岛•模拟预测)已知函数/(x)=e2'+e'—ax

⑴当。=2时，求/(x)单调区间

(2)讨论/(x)极值点的个数.

【变式23]已知函数/(')=已飞山工一0¥,工€[-11].当0<4<(；时，证明：/(X)有唯一极值点.

题型三：已知极值(点)求参数

【典例3・1】(2025•浙江嘉兴•二模)己知函数/。)=1一。/的极小值是_4,则实数。=()

A.1B.2C.3D.4

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【典例3-2】（2025•重庆♦三模）已知函数/（x）=x|x-a|的一个极小值点为x=。，则实数〃的取值范围

是（）

A.（0,+co）B.[0,+co）C.（e,0）D.（一8,0]

【解题总结】

根据函数的极值（点）求参数的两个要领

（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.

（2）验证；求解后验证根的合理性.

【变式3・1】（2025•河南安阳•三模）已知函数/（x）=/-3x+a的极小值为6,则实数。的值为（）

A.8B.6C.4D.2

【变式3・2】（2025•重庆沙坪坝•模拟预测）已知函数/（x）=ln（x+l）-ad有两个极值点，则实数。的取

值范围为（）

A.（f,-2）B.（一8，一；）C.卜8,一；u（0,+<x>）D.（一；，+8）

【变式3・3】（2025•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知x=l是函数/（、）=（尔+3..3阳的极值点，则函数

/（工）的极小值为（）

A.-3B.-eC.0D.e

【变式3-4]（2025•江西•模拟预测）已知函数/（x）=e3+aP恰有两个极值点，则实数。的取值范围是

（）

A.（一叫一e）B.（-g,-2e）C.（-2e,0）D.（-2e）U（0,+oo）

【变式3-5]（2025•甘肃•模拟预测）已知x=1是函数=Inx-^+x的极值点，则。)

A.2B.-2C.1D.-1

【变式3・6】已知函数/（幻=卜-叫（x_]）2在户1处取得极小值，则实数。的取值范围为（）

A.-1<67<1B.或Q>1C.-1<6T<0D.0<fl<1

题型四：不含参函数的最值

【典例4・1】（2025-陕西安康-三模）函数的最小值为.

【典例4・2】（2025•甘肃兰州・一模）函数/（力=；/―/-31+2在卜2,0]上的最小值为一.

【解题总结】

求函数/（》）在闭区间心向上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值/（〃），/他）

9/23

与"x)的各极值进行比较得到函数的最值.

【变式4-1】函数/(x)=；x+sinx在工€[0,2冗]上的最大值是,最小值是.

【变式4・2】函数/(用=代、的值域是____.

【变式4・3】函数f(x)=；."sini在[。仁上的最大值为一.

【变式44】(2025•甘肃白银•二模)若曲线y=xe，-lnx-1恒在直线卜=公的上方，则实数。的取值范围

是—•

【变式4-5](2025-山东聊城・三模)函数/(力=1+3|+2«+2|+心的最小值为一.

题型五：含参函数的最值

【典例5・1】(2025•辽宁•三模)已知函数/(幻=。。+1”(。^0).

(1)当”=1时，判断过点(-1,0)且与曲线/(x)相切的直线有几条，并求出切线方程;

(2)求/⑺的最值.

【典例5-2】(2025•广东中山•模拟预测)悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工

程.通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数4卜)二等二的图象，类比三角函数的三种性质：

①平方关系：①sin2%+cos2x=l，②和角公式：cos(x+^)=cosA-cosy-siarsinj^,③导数：

(sm?=cosx,定义双曲正弦函数M(X)二七匚

(1)直接写出M(X),M(X)具有的类似①、②、③的三种性质(穴需要证明)：

⑵若当%>0时，版(x)>双恒成立，求实数a的取值范围：

⑶求/(X)=M(X)-COSX-/的最小值.

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【解题总结】

求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性,

从而得到函数,几0的最值.

【变式5・1】已知函数/")=a-2ax+ex,

(1)当。=2时，求曲线歹二/(x)在x=1处的切线方程：

(2)若函数/(x)有最小值，且/W的最小值大于4/+4,求实数4的取值范围.

【变式5・2】已知函数/(x)=a・lnx.

(1)当。=1时,求曲线y=/(x)在点(ej(e))处的切线方程;

⑵设函数/(x)的最小值是2,求实数。的值.

【变式5-3］己知函数/(“=+(a-|)x-ln.v.

(1)讨论/(x)的单调性：

(2)当。>0时,求函数/(•¥)在口,2］的最小值g(a).

【变式54】已知函数++

⑴当a=l时，求曲线V=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)当“>()时，函数/(X)在区间［Le］上的最小值为-2,求〃的取值范围;

【变式5-5】已知函数g(x)=ahu+/_(4+2)x(〃eR).

(1)若。=1,求g(x)在区间口同上的最大值；

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(2)求g(4)在区间[1,e]±的最小值%(。).

题型六：极最值综合问题

【典例6・1】(2025•河南许昌•三模)己知函数/(工卜尔+①-2)x-Inx.

⑴若a=1

①求/(4)的极小值；

②证明：当x>0时，/(4)>震~；

⑵若/3的图象与直线y=&i切于点传“]]，求k的值.

\N\.乙)\

【典例6・2】(2025•湖南益阳•三模)已知函数/(x)=e勺nx,其中。>0.

⑴若尸/")在点(L0)处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为逅，求。的值:

2

(2)若x=，%是f{x}的极小值点，试比较/(%)与-e的大小.

【解题总结】

分类讨论、数形结合的数学思想方法.

【变式6-1](2025,江苏苏州•模拟预测)已知函数/(》)=41政+》-。，8(》)=©"7"叫〃£11).

(1)若。=一；，求/(x)的极值；

(2)证明：对于满足不等式g(%)</(x。)的任意小,均有

12/23

【变式6-2](2025•四川成都・模拟预测)Bftj/(x)=efa+e-*(^＞0).

⑴若x=0是/(幻的极值点，求左的值,并判断x=0是/CD的极大值点还是极小值点;

(2)设fix)的最小值为g(%).

(i)求g(A)的解析式;

(ii)证明:g⑻的最大值为2.

【变式6-3](2025-上海杨浦-模拟预测)设“22.已知

/(x)=\^,xeR,g(M«+©•

(1)若。=2,求函数J=g(x),xw(a,+8)的值域；

(2)若关于％的方程/(、)=占有且仅有三个实数解，求实数〃的取值范围;

2x—I

(3)若。＞2且函数y=g(x)有最小值，求。的取值范围.

【变式64](2025•陕西汉中•三模)己知函数/(x)=e、+aln(x+b).

⑴当。=〃=1时，求曲线)，=/(》)在点(OJ(O))处的切线方程；

⑵当。=7时，若函数/(')的最小值为1,求实数b的值.

【变式6-5](2025•北京•二模)已知函数/(x)="x-l)e*-lnx,其中。＞0.

编若曲线n=/")在点(1,/(1))处的切线经过点(2,2),求4的值；

(2)证明：函数/(X)存在极小值；

(3)记函数/(x)的最小值为g(。),求g(。)的最大值.

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【变式6・6】(2025•广东广州•三模)已知函数/(x)=ln(x+l)—d

⑴当。=4时，求曲线/(4)在(OJ(O))处的切线方程;

(2)付论函数/(X)的单调性.

(3)若〃x)存在极大值，且极大值不大于-3-出2,求实数。的取值范围.

【变式6-7](2025•北京朝阳・二模)已知函数.人力二——(a>0).

e

⑴若a=0,求函数/'%)在区间[I,y)上的最大值；

(2)若/(x)在区间(0,1)上存在单调递减区间，求，的取值范围；

(3)若/(x)存在极值点工,且/⑸=1,求。的值.

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041好题赏析（一题多解）

1.（多选题）（2024年新课标全国n卷数学真题）设函数〃x）=2F—3ad+l,则（）

A.当。＞1时，/（x）有三个零点

B.当时，x=0是“X）的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=/（x）的对称轴

D.存在小使得点（1,/（1））为曲线y=/a）的对称中心

2.（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知x=N和x=W分别是函数〃x）=2优-=2（。＞0且。工1）

的极小值点和极大值点.若用＜七，则。的取值范围是.

3.（2024年新课标全国II卷数学真题）已知函数/（x）=e'-ax-d.

（1）当〃=1时，求曲线y=/（x）在点（1J0））处的切线方程；

（2）若/。）有极小值，且极小值小于0,求。的取值范围.

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①数形结合

1.已知函数/(幻=/+611+如-1在区间(1,2)上有极值，则实数。的取值范围是()

A.[-8,-4我B.(-8,-4扬C.[-7,-4扬D.(-8,-7)

2.已知函数/(x)=xlnx-3(〃7+1).一一工有两个极值点，则实数的取值范围为

A.(--,0)B.(-1,--1)C.(-oo,l-l)D.(一L+8)

eee

3.在同一平面直角坐标系内，函数y=/(x)及其导函数y=的图象如图所示，已知两图象有且仅有

一个公共点，其坐标为贝卜)

A.函数y=/(x)+x的最大值为1B.函数y=的最小值为1

f(x)

C.函数卜=外对4的最大值为1D.函数丁二绰的最小值为1

e

②转化与化归

4.已知正四棱锥的侧棱长为3行，当该棱锥的体积最大时，它的高为()

A.1B.百C.2D.3

则上土最大值为()

5.己知函数〃x)=xe'-QX-加'+ab(a>0),若/(x)f6,

a

A.IB.(?-'C.eD./

6.已知关于x的方程“/_1)+2版-3/+1)-1=0在[0,而可上有解，则/+/的最小值为()

3口24

A.B.c.4D.—

e-le-\e~e~

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③分类讨论

7.已知x=jq和x=%分别是函数/*)=2炉-02伍＞。且"])的极小值点和极大值点，若王＜七，

则〃的取值范围是

8.函数/(x)=|2x-l|-2lnx的最小值为.

9.已知函数/(x)=xlnx+；〃L/有两个极值点，则实数〃?的取值范围为.

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基础过关篇

1.(2025•河北-模拟预测)函数/3=5g-2$出卜+皆在区间(0.2兀)卜所有极值点的和为()

A.2兀B.3兀C.47tD.5兀

2.(2025•陕西汉中•一模)在等比数列｛q｝中，生，%是函数/⑺:3：底+”―1的极值点，则

%=()

A.-4B.3C.±3D.-3

3.(2025•黑龙江齐齐哈尔•模拟预测)已知函数/3=//+力向在x=i处有最小值，最小值小于6+1,

则向的取值范围是()

A.(0,+8)B.(0,1)C,\［，°)D.(f,0)

4.(2022年高考全国乙卷数学(文)真题)函数/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间［0,2句的最小值、最大

值分别为()

兀兀3n7(7171c3兀兀c

A.—，-B.---->—C.—»—H2D.---->—h2

22222222

5.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)当x=l时，函数〃x)=4nx+2取得最大值_2,则/'(2)=

x

()

A.—1B.--C.1D.1

22

6.(多选题)(2024年新课标全国I卷数学真题)设函数/(X)=(X-1)2(X-4),则()

A.x=3是/(x)的极小值点B.当0<x<l时，/*)</，)

C.当l<x<2时，-4</(2x-l)<0D.当一l<x<0时，f(2-x)>f(x)

7.(多选题)(2023年新课标全国I卷数学真题)己知函数/'(X)的定义域为R,/(xy)=V/(x)+//(j，),

则().

A./(0)=0B./(1)=0

C./(x)是偶函数D.x=0为/(X)的极小值点

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8.（多选题）（2023年新课标全国n卷数学真题）若函数〃x）=alnx+±+?（"0）既有极大值也有极小

XX

值，则（）.

A.be>0B.ab>0C.b~+8«c>0D.ac<0

9.（2025•江西•模拟预测）函数/a）=xsin（fx+m]在区间（62028）上的极值点个数为（）

A.675B.676C.2027D.2028

10.（2025•甘肃白银•模拟预测）已知函数/（x）=cos（5+e）（o>0）的图象关于原点对称，且在0。上单

6

调，在x=m处取得极值，则0=（）

A.1B.-C.2D.3

2

JC'_3x+2X>4

,‘■的值域为m+8）,则实数。的取值范围

{-ax+i,x<a

是（）

A.[0,1]B.[-1,0]C.[0,1）D.（-1,0]

12.（2025•海南•模拟预测）已知当x>0时，/山-2川曲24’亘成立，则实数〃的取值范围为（）

A.（-=o,l]B.（-8,2-21n2]

C.（—8,2ln2]D.（-%2+21n2]

13.（2025•四川绵阳•模拟预测）正实数《满足=21汕-4H4,RiJlog/=（）

A.-2B.-1C.0D.1

14.（多选题）（2025•海南海口•模拟预测）己知函数/"）=皮-则下列说法中正确的

是（）

A.当。=0时，/（x）在（一1,+8）上单调递增

B.当。<（）时，/（x）min=1

e

C.当。>0时，〃X）有一个零点

D./*）最多有两个不同的零点

15.（多选题）（2025•江苏南通・模拟预测）已知函数/（力=/+。/+员+1（。>0,/）£口）有极值，且导函

数/（X）的极值点与是/（x）的零点，则（）

A,2/3nc

A.b=----1—B•a>3

9a

C.忙的最小值为gD.r（x0）<0

a3

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16.(多选题)(2025•陕西咸阳•模拟预测)已知函数/(力=父+。/7-3的图象关于点(-1,0)对称，则

()

A./(1)=0

B.x=T是/(%)的极小值点

C.当一IcxvO时，

D.若/(x)在(」,〃?)上有最小值，则〃?>2\-3

17.(多选题)(2025-江苏苏州・三模)已知/(司=奴2+2丘一则下列说法正确的是()

A.时，/(》)有唯一的零点B.。<0时，/(“存在极小值

C.〃<0时，/(%)存在极大值D.若/(x)<0,则。的范围为」<。<0

e

18.(2025年高考全国二卷数学真题)若x=2是函数/(1)=(工一1)。一2)。一。)的极值点，则/(0)=

19.(2025•辽宁盘锦•三模)已知函数/(x)=e'-2在x=0处的切线与直线x-y=O垂直，则/(x)

的极小值为—.

20.(2025•河北邢台•三模)已知函数/(x)的定义域为(0,xo),/(X)为/(x)的导函数，且

2/(X)+#CV)=4>/(D=0,则/*)的极大值为—.若左</(1)恰有2个整数解，则实数A的取值范围

厂

为一.

能力拓展篇

21.(2025•江苏徐州•模拟预测)若函数/(x)=/e，3G+2sinx-l在x=0处取得极小值，则”的值

为.

22.(2025•四川成都•模拟预测)若函数/(x)=ae'-；V存在唯一极值点，则实数”的取值范围为

23.(2025•北京西城•模拟预测)已知函数/a)=(」+a|ex,aeR.

k-vJ

(i)当4=0时，求曲线y=/W在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)当a=1时,求函数/*)的单调递减区间；

⑶若函数/(x)在区间(0,1)上只有一个极值点，求"的取值范围.

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24.(2025•江苏盐城•模拟预测)已知函数/。)二权-0-213.

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(1)当。=2时，求函数/(X)的图象在(1,/。))处的切线与坐标轴所围绕成三角形的面积.

⑵若函数/(x)在区间(g,e)内有两个极值点，实数。的取值范围.

25.英国数学家泰勒发现了如下公式：e，=l+x+E+《+…+二+…其中〃!=1X2X3X4X…x〃,e为自然

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