等腰三角形存在性问题巩固练习（提优）-2026年中考数学几何专项复习（解析版）

中考教号

等腰三角形存在性问题巩固练习

1.直线歹=g+〃交X轴于点4交歹轴于点C(0,4),抛物线歹经过点儿交歹轴于点8

(0,-2),点。为抛物线上一个动点，经过点夕作x轴的垂线PQ,过点8作4。_1_尸。于点。，连接P8,

设点尸的横坐标为〃?.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当〃?=1时，求尸。的长；

(3)是否存在点尸，使△8。尸是等腰直角三角形？若存在，请求线段PO的长；若不存在，请说明理由.

备用国

【分析】(1)先确定出点力的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；

(2)把小=1代入抛物线的解析式得到P点的纵坐标，于是得到结论；

(3)由△8。。为等腰直角三角形，判断出8。=。。，建立”的方程计算出加，从而求出尸Q.

【解答】解：(1),点C(0,4)在直线j，=g+〃上，

:./1—4>

.4

.»y=*+4,

令y=0,

・・・x=3,

：.A(3,0),

•・•抛物线y二"+加+。经过点4,交y轴于点8(0,-2).

Ac=-2,6+3力-2=0,

抛物线解析式为y=步g-2,

中考撤号

(2)当”?=］时，y=家一%-2=1--2=

—2•

：.PD=~23'

（3）存在点P,使△8QP是等腰直角三角形，

丁点P的横坐标为m,且点P在抛物线匕

.pZ24

（〃，~一

..P?-，m-om-29,

・.・PO_Lx轴，BD上PD,

二点。坐标为（m,-2）,

24

・,・|即|=|创,\PD\=\-m2--m-2+2||,

当P为等腰直角三角形时，PD=BD.

，|/川=前2-$〃-2+2|=白"号川，

・,•加2=2

•53

71

解得：W|=0（舍去），〃?2=5，〃?3=5，

••・当△8OP为等腰直角三角形时，线段PD的长为1或:.

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，等腰直角三角形

的性质，解本题的关键是构造直角三角形.

2.如图在平面平面直角系中，抛物线_^=加+云+c（a0）的图象与轴交于点4（-2,0）、B（4,0）,与

轴交于点C（（）,4）,直线/是抛物线的对称轴，与x轴交于点O,点尸是直线/上一动点.

（1）求此抛物线的表达式.

（2）当力PKP的值最小时，求点P的坐标；再以点彳为圆心，NP的长为半径作

04求证：““与。力相切.

（3）点P在直线/上运动时，是否存在等腰△彳CP?若存在，清写出所有符合条件的点尸坐标：若不存在,

请说明理由.

中考撤号

【分析】(1)利用待定系数法求二次函数的解析式：设抛物线的交点式y=a(x+2)(x-4),然后把C(0,

4)代入得4=-8a,解出。即可；

(2)先求出对称轴为直线x=l,过。作CC'U交抛物线与C',则点。与C'为对称点，连力C'交直

线工=1与点尸，连尸C，此时力0-”的值最小，C的坐标为(2,4)；利用待定系数法可求直线

AC的解析式为y=x+2,令x=l,则)，=3,确定P点坐标为(1,3)：连AP,如图，易得4)=3,DA=\

-(-2)=3,BD=4-1=3,则△尸Q8和△P8。都为等腰直角三角形，得至l]N4P8=450+45°=90°,

根据切线的判定定理即可得到BP与。力相切；

(3)分类讨论：当b=C4点尸与点力关于y轴对称，则8点坐标为(2,0)；当AP=AC=2、后,以力

圆心、/C为半径交直线x=l于尸2、尸3，连力B，4P3,利用勾股定理计算出

P2D=X，1T,于是可确定3的坐标为(1，W)，心的坐标为(1，r五)；当CP=CA=2显以。为圆心、

为半径交直线K=1丁。4、Ps，连C?4，CPS,过。作C£_L直线K=1丁E点,用同样的方法可求出「4

的坐标为(1,4+v,f19),P5的坐标为(1，47诃).

【解答】解：(1)设抛物线的解析式为(x+2)(x-4),

把C(0,4)代入得4=-8a,解得a=4，

•••此抛物线的表达式为j，=(W2)(x-4)=-#+x+4；

(2)抛物线的对称轴为直线X=-2x(_l)

•・7P+CP的值最小，ZC为定值，则过。作CU_!_/交抛物线与C',则点。与U为对称点，连4C'交

直线x=l与点、P,连尸C,

・工’的坐标为(2,4),

设直线/C'的解析式为y=6+b,把力(-2,0)和C'(2,4)代入得-2>6=0,2叶6=4,解得A=1,

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【点评】本题考查了二次函数的综合题：先利用待定系数法求函数的解析式，然后利用二次函数的性质得

到对称轴方程.同时考查了等腰直角三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用以及切线的判定方法.

3.抛物线juxjbx+c与x轴交于点力(-1,0),B(3,0)两点，过点力的直线交抛物线于点C(2,机),

交y轴于点D.

(1)求抛物线及直线4C的解析式；

(2)点P是线段/C上的一动点(点尸与点力、C不重合)，过点。作y轴的平行线交抛物线于点E,求线

段PE长度的最大值；

(3)点M(w,-3)是抛物线上一点，问在宜线4C上是否存在点尸，使△CM尸是等腰宜角三角形？如果

存在，请求出点尸的坐标；如果不存在，请说明理由.

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【分析】⑴将4、8的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式将。点横坐标代入抛物线的解析式中，

即可求出。点的坐标，再由待定系数法可求出直线力。的解析式.

(2)1的长实际是直线力。马抛物线的函数值的差，可设尸点的横坐标为x,用x分别表示出P、E的纵

坐标，即可得到关于的长、x的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得QE的最大值.

<3)根据点尸的不同位置分类讨论.

【解答】解：(1)将彳(-1,0)fB(3,0)代入地r+c,

得3=-2,c=-3；

*.y=x2-2r-3.

将C点的横坐标x=2代入y=N-lv-3,

得「=-3,AC(2,-3)；

•••直线/C的函数解析式是y=-x-1.

(2)设尸点的横坐标为x(-1WXW2),

则P、七的坐标分别为：P(x,-X-1),E(x,X2-2A--3)；

•・•尸点在E点的上方，PE=(-A-1)-(x2-2x-3)=-x2+x+2,

・•・当x=g时，尸石的最大值=*

⑶①当点尸在。点时，

将直线和抛物线的解析式组成方程组:

(y=-x-1

ly=x2—2x—3,

解得：｛;:4

，点C的坐标为(2,-3),

令;r=0,y=x2-2.v-3=-3,

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的坐标为（0,-3）

由直线的解析式可求点D的坐标为（0.-1）

，MC=2,MD=3-1=2,

,・"《〃夕釉，

：・NCMD=90°,

即△CM。是等腰直角三角形，

・•・当点尸的坐标为（・1,0）时，△CMQ是等腰直角三角形.

②当“在0点时，

当点£是顶点坐标时，可得

由抛物线的解析式可得对称轴为x=-I,

解方程组：｛；：，__解得｛；：22.

・••点。的坐标为（I,-2）

:.PC=MP=v'l2+I2=

又：MC=2,

:.PO+PM^MC1,

由勾股定理的逆定理可得：△/＞』"为等腰直角三角形.

即△KWC为等腰直角三角形.

，尸点的坐标为（1,-2）.

③当产不在。点时，设点产（x,-X-1）,

贝ijCM=CF=V（^-2）2+（-x-1+3）2=2

即（x-2）斗（-x-3+3）占4

解得：修=2+、％》2=2-\''2,

：.F（2+V12,-3-\历）或F（2-或,-3+\物）.

当F（2+、②・3-衣）时，FM=、18+2也,

・・・CM+C尸尸，不能构成直隹三角形，

同理：当尸（2-«Z-3+V2）时，也不能构成直角三角形.

综上所述，存在点尸为（1,-2）或（-1,0）时.使尸是等腰直角三角形

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【点评】此题考查了一次函数、二次函数解析式,的确定、二次函数的应用，第（3）题应将所有的情况都考

虑到，不要漏解.

4.如图1,在直角梯形/18CQ中，AB//CD,ZC=90°,4ELCD于E,DE=3,AE=4,对用线。4平分

Z.ADC.

（1）求梯形力4C。的面积；

（2）如图2,一动点尸从。点出发，以2个单位/秒的速度沿疔线。4-48匀速运动，另一动点。从E点

出发，以1个单位/秒的速度沿EC匀速运动，尸、。同时出发，当。与C重合时，P、。停止运动，在点P

的运动过程中，过户作PM_LQC于在点P、。的运动过程中，以PM、M0为两边作矩形PMQM使

矩形PMQV在直线。。上侧，直线力。右侧，设运动时间为，秒（/>0）.在整个运动过程中，设矩形PMQV

和C8。重置部分的面积为S,请直接写出S与/之间的函数关系式和相应的自变后/的取值范围；

（3）如图3,动点。从。点出发，以2个单位/秒的速度沿线段。力运动到力点后，可沿直线力4方向向左

或右匀速运动，过点。作刊力。交C8的延长线于G点，交CD于F点、,在直线/月上是否存在〃点，

使得△/GH为等腰直角三角形？若存在，求出对应的8,的值；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）先根据勾股定理得出4。的长，再证明△力。4是等腰三角形，得出44=4。，最后利用梯形面

积公式解答即可；

（2）根据力。，AB,EC的长度，以及P,。的速度分情况讨论，得出函数关系式并结合自变量的范围解答

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即可；

（3）根据全等三角形的判定和性质得出△〃丹再利用三角函数求出放'的值后可得8〃的值,

注意分情况进行分析.

【解答】解：在RtZX/。月中，AD=^DE2+AE2=5,

•:AB"CD,

J/ADB=/CBD,

•••8。平分N4OC,

NABD=NCBD,

/.NADB=NCBD,

：.AB=AD=5,

*：AB//CD.NC=90°,AE±CD,

，四边形48CE为矩形，

：・CE=AB=5,

：・DC=DE+CE=8,

S梯形488=知8+CD）-AE=26：

（2）•・•点P从。点出发，以2个单位/秒的速度沿折线D4・4£匀速运动，动点0从七点出发，以1个单

位/秒的速度沿EC匀速运动，

所以可得三种情况，当矩形在80下侧时，函数关系式为：S=此时自变量范围是（0<t<

当.

11人

当矩形在加上侧，且点尸到/点之间时，函数关系式为S=-急2+%+»此时自变量的范围是卓〈鹏

卜

2人

当点。在之间，且点E刚到达£点时，期间的函数关系式为：S=-孑2+夕+旅此时自变量的范围是

（3）存在，理由如下：

①若NG"=90°,过〃作，"于％,如图1,图2,

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FC4

=3=3,

3

・•・BH=WC=WF±CF=7或1；

图4,

:.AHFW学丛HGB,

:・HW=BH=4,

:•丛CFGWABGH,令CF=BG=3x,

:・CG=BH=4x,

.'.4v±3.r=4,

，/=5或》=7,

中考撤号

・・・BH=芋或28.

【点评】此题考查的是函数和四边形的综合题，难度比较大，关键是勾股定理和矩形的判定，注意动点运

动的各种情况，不能漏解•.

5.如图1直角梯形力4c。中，Z.45C=90°,AB//CD,AB=S,CD=3,BC=L在RtZ\EFG中，4GEF

=90°,EF=3,GE=6,将△功G与直角梯形川?CO如图（2）程放，使E与力重合，£厂与48重合，△

EFG与梯形45C。在直线力笈的同侧，现将沿射线力5向右以每秒1个单位的速度平移，当点C落

在线段P上时停止运动，在平移过程中，设△£7P与梯形/5CQ的重叠部分面积为S,运动时间为/秒

（20）.

（1）求出G尸边经过点D时的时间h

（2）若在△GEF运动过程中，设aGM与梯形力8CZ）的重叠部分面积为S,请写出S与/的函数关系式；

（3）如图3,当点。在线段G夕上时，将此时的△QG沿bG翻折，得到△H9G,将△〃9G绕点尸旋转,

在旋转过程中，设直线HG与射线4。交于点与射线AB交于点N,是否存在钝角△4V/N为等腰三角形？

【分析】（1）作垂线构建平行线，想办法求出力七的长，就是/的值；先根据三角函数值求G£的长，再利

用平行线分线段成比例得比例式求切的长，从而可以求EH的长，所以AE=4H-EH,得出结论；

（2）分三种情况讨论：①当0V/W亨时，如图2,作辅助线，构建高线，重叠部分的面积S=S4"："・Sa

的计算即可：②当?<W5时，如图3,重叠部分是五边形PENA/Q.③当5<W|时，如图4中，重

叠部分是五边形PEBGM,分别求解即可解决问题.

（3）分三种情况进行讨论，分别以力、M、N为顶角构成等腰三角形，要满足钝角三角形的有两种，分别

求出/N的长即可.

【解答】解：⑴如图1中，

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「四边形。"8C为矩形，

；・AH=AB-CD=8-3=5,

在RtZkEFG中，VEF=3,GE=6,

VDH//GE,

.DH_FH

••布一方’

.56

♦•5=市

:

:.EH=EF=FH=3-^=]

44

713

：.AE=AH-E/7=5-T4=—4,

:,当点。落在线段/G上时t=Y；

(2)①当OW/W苧时，如图2,过M作A/ML”于M过。作。HJ_48于〃,

设FN=x,则MN=2x,

<MN〃DH,

.MN_AN

•'~DH-市

2x3+t-x

•・T=k

.3+t

•.X=—,

.•仁=竺，

5t

:,PE=3,

:・S=SAAFM-S&AEP，

=AF・MN-；・AE・EP,

1/c、2(3+。11

=丁(3旬・5：・/

G

/

HENBF

1,6,9

=一时+了+不图4

②当?<zW5时，如图3中,

重叠部分是五边形尸ENMD，过N作NHLAB于H,

YMN〃EG,

,MN_NF

**7G~~EF,

.IFN

..2=—»

63

:.FN=),

4

q.25

：,CM=BN=^+(8-3)=~i,

44

；・(3i8)/L；・(8f3+：-*=-

S=S悌形ABCDS^APES悌形BCMF=

③当5V/W与时，如图4中，重控部分是五边形PEBGM,

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此时-Sa/G=；K6X3<3+/~8)X2(3+/-8)=-»十［()/一竿.

，/4q4XO

'、「就"/(0<t<-7)

综上所述S=\--t2+2t-T7叶VY5).

(-£2+io.坐

'16(5<t<y)

(3)①当4W=MN时，钝角为等腰三角形，如图5,

：./MAN=/MNA,

在Rta/TZN中，，：FH=3,

tanZMNA=tanZ.-WJN=3,

:・NH=6,

/.FN=\62+32=-745=3册,

：・4N=AB+BF+FN=8+3+34=曰+3下:

②当/N=MN时，钝角△4WN为等腰三角形，如图6,

.••/DAB=NAMN,

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*.*tanZG=tan/DAB；,

：・/G=/DAB,

：2G=/AMN,

：.AM//FG,

:2DAB=NNFG,

:・/G=4NFG,

:,GN=FN,

设FN=x,则NG=x,EN=6・x，

在RtZ\NM中，则勾股定理得：32+(6-x)2=N,

解得:彳=学,

・•・,="+"-"/v=x+:号=-

③当/M=4N时，如图7,△4MN不是钝角三角形;

图7

综上所述：当4V=曰+3&或小寸，为钝角等腰三角形.

【点评】本题是几何变换的综合题，考查了直角梯形、直角三角形的性质，以运动为主，弄清运动

的路径，从△/?/《；运动的特殊位置入手，正确画出图形，并怀相似和一:角函数相结合，表示边的长或求出

边的长；对于求重叠部分的面积，也是先分析特殊位置时的重叠部分，再分情况进行讨论，得出结论.

6.已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点力（-1,0）,B（5,0）,交y轴于点C'（0,5）,点。是该抛物线

上一点，且点。的横坐标为4,连8D,点P是线段48上一动点（不与点力重合），过P作00_1_力8交射

线,4。于点。，以P0为一边在P。的右侧作正方形尸0MN,设点尸的坐标为（/,0）.

（1）求抛物线解析式；

（2）若点。在线段力。上时，延长尸。与抛物线交于点G,求f为何值时，线段0G最长：

（3）在48上是否存在点P,使△OCM为等腰三角形？若存在，求P点坐标，若不存在，请说明理由；

中考核等

(4)设正方形PQMN与△48。重叠部分面积为s,求s与/的函数关系式.

【分析】(1)抛物线表达式可表示为：(x+l)(x-5),将点。坐标代入上式，即可求解；

(2)直线力。的表达式为y=x+\,则点G、Q的坐标分别为(x,-x2+4x+5).(x,x+1),则QG=-x2+4x+5

-X-1=-(x-1)2+章即可求解;

(3)分OC=OM、MC=OM、OC=MC三种情况求解即可；

(4)①当OVY加，正方形PQMN与重叠部分为正方形②当|＜七5时，正方形PQMN与AABD

重叠部分为长方形，即可求解.

【解答】解：(1)抛物线表达式可表示为：y=a(x+1)(A--5),

将点C坐标代入上式得：5=4(4-1)(-5),解得：a=-\,

故抛物线的表达式为：y=-(x+1)(x-5)=-x2+4x+5；

(2)如下图：

将人。的坐标代入一次函数表达式片收”得：｛仁匕"，解得：色；；，

则直线力。的表达式为：y=x+l,

设点尸的坐标为(x,0),则点G、。的坐标分别为(x,-x2+4x+5).(x,x+1),

oor

则QG=-N+4X+5-x-1=-(x--)2+—,

故：线段。G最长为2今6

(3)存在，理由：

设点P坐标为(x,()),则点。坐标为(k,x+1),点M、N的丝标分别为⑵+1,x+l)、(2x+l,0),

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②当OC=CM时，同理可得：X=2+六？

③当MC=OAm，同理可得：x=2；

故：P点坐标为（当士0）或（巴产，0）或（4,0）；

⑷设：点尸坐标为（30）,则点。坐标为"什1）,点M、N的坐标分别为（2什1,什1）、（2什1,0）,

①当OVf线时，

正方形PQMN与AABD重叠部分为正方形，

则$=产产=（z+1）2=/2+2/+1；

②当|v/W5时，

正方形PQMN与AABD重叠部分为长方形，

同理可得:s=（4-z）（/+1）=-P+3/+4,

2

0I1_p+2t+l（0<t<|）

'：-t2-|-4（|<t<5）,

+3t2

【点评】本题为二次函数综合题，涉及到一次函数、等腰二角形、正方形基本性质等，题日难度不大.

7.如图，在平面直角坐标系中，正方形48co的顶点4（0,4）,顶点8（3,0）.

（1）求点。，点。的坐标.

（2）求直线8c的解析式.

（3）在直线4C上是否存在点P,使△尸CO为等腰三角形？若存在，请直接写出点尸的坐标，若不存在,

说明理由.

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【分析】（I）过点。、点。作OM、CN垂直于x轴，C，垂直于D股,想办法证明△OHCg/\8NC,△BNC

"△AOB即可解决问题；

（2）同（1）的方法求出点。的坐标，利用待定系数法求出直线8C解析式；

（3）先判断出要使△PCQ是等腰三角形，只有PC=C。，利用中点坐标公式即可得出结论；

【解答】解：过点。、点。作DMCN垂直于x轴，CH垂直于。M,

•；ZHCB十UBCN=90°,

工NDCH=/BCN,

又；NQ〃C=NCN8,

在△Q〃C和△4NC中，

(CB=CD

I乙DCH=LBCN,

UDHC=乙CNB

:•△DHCmXBNC,

:.DH=BN,CH=CN,

同理可证△8NC04/1。?，

又,：点A(0,4),点4(3,0),

:,CH=CN=OB=3,DH=BN=OA=4,

：.C(7,3),D(4,7).

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(2)设直线8c的解析式为y=h+b,

将C(7,3)、B(3,0)代入得：｛仁［；/

(k=-

解乐「二

解析式为y=

(3)如图3中,

3q

设点尸(〃?，r4?W~74),

VC(7,3),D(4,7),

：.CD=5

•••△PC'。为等腰三角形，且N4CO=90°,

，只有尸C=C力=5,

当点P在点C左侧时，

•:BC=CD=5,

工点尸和点8重合,

：.P(3,0),

当点尸在点C右侧时，如图3,

•:PC=5,BC=5,

•••点。是点。的中点，

:.P(11,6).

即：满足条件的点。(3,0)和(11,6).

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【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质,

解本题的关键是作出辅助线求出点C,。坐标，学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考压轴题.

8.如图，把矩形。力8。放入平面直角坐标系xQy中，使CM、0c分别落在小y轴的正半轴上，对角线力。

所在直线解析式为），=-1x+15,将矩形。力8。沿着折叠，使点力落在边0C上的点。处.

（1）求点E的坐标；

（2）在y轴上是否存在点P,使△P8E为等腰三角形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说

明理由.

【分析】（1）由直线解析式求出点儿。的坐标，可由勾股定理求出CO的长，设DE=4E=x,在RtZ\QE。

中，得出x2=32+（9-x）2,解方程求出4E=5,则点E的坐标可求出：

（2）APBE为等腰三角形,可分三种情况：PB=BE或PB=EP或BE=EP,分别建立方程求解即可.

【解答】解：（1）・.NC所在直线解析式为），=-殳+15,

«3

，令x=0,y=15,令y=0.则*+15=0,解得x=9.

（9,0）,C（0,15）,B（9,15）,

••・将矩形04?。沿着折叠，使点4落在边。。上的点。处.

・••在中,BC=9,BD=AB=15,

：.CD=yj!BD2-BC2=,152-92=12,

：.0D=\5-12=3,

设DE=AE=x,

在RtAPEO中，•・•DE2=OD^OE1,

・・・/=32+（9-x）2,

，X=5,

・•・/£=5,

中考核等

：.0E=4,

:.E(4,0).

(2)设P(0,m)t

•:B(9,15),E(4,0),

：,PB2=(9-0)2+(15-w)2=w2-30w+306,5F2=52+152=250,£P2=16+w2,

•••△P8E为等腰三角形，

J①当P8=8E时，

:,PB2=BR,

：.m2-30m+306=250,

in=2或/〃=28,

：.P(0,2)或(0,28),

②当P8=E产时，

：.PB2=EP2,

ni2・306+306=16+〃?2,

・29

..m=—

•59

,29、

:・P(0,—),

③当6E=E2时，BE^EP"

J250=16+/R

in=±3\'(26,

:.P(0,3A/26)或(0,-3、碣，

综合以上可得，点尸的坐标为(0,2)或(0,28)或(0,g)或(0,3姬)或(0,-3扬).

【点评】此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间距离公式，折叠的性质，

勾股定理，等腰一角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键.

9.如图，直线人为=-x+2与x轴，y轴分别交于4,〃两点，点尸(/〃，3)为直线。上一点，另一直线

L2：yz-^x+h经过点P.

(1)求点夕坐标和〃的值：

(2)若点C是直线上与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动，设点Q

的运动时间为t秒.

中考撤号

①请写出当点。运动过程中，△，4P。的面积S与Z的函数关系式；

②求出/为何值时，△力夕。的面积等于3：

③是否存在/的值，使△4P。为等腰三角形？若存在，请直接写出/的值；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)点4、8的坐标分另!为：(2,0)、(0,2)；点P(加，3)为直线心上一点，则-m+2=3,解

得：机=7,故点。(7,3)；将点夕的坐标代入以=%+4即可求解；

%

(2)(\)S=^AQyP=^(2+7-r)=一|/+a②当S=3时，即3=-|，+:，即可求解：③分4P=40、

AQ=PQ.40=Q。三种情况，分别求解即可.

【解答】解：(1)刈=-x+2与x轴，p轴分别交于4B两点,

令X=0,则力=2,令乃=0,则x=。故点4、8的坐标分别为：(2,0)、(0,2)；

点P(〃?,3)为直线乙上一点，则■小+2=3,解得：加=・1,故点尸(7,3)；

将点Q的坐标代入”并解得：b=(,

故：点尸的坐标为：(-1,3),〃二最

(2)①S=、2•冲=gx3|(2+7-/)|=1|/-9|,

-|t+y(0<t<9)

即5=4/27'

|t-y(t>9)

②当S=3时，即3=%-9|,

解得：，=7或11；

③存在，理由：

AP=3&,

当,42=力。时，则力。=3”,

/=9-3或或9+3、回；

当,4~=尸。时，

中考核等

则点。（-4,0）,故Z=3；

当40=夕。时，设点。（〃［，0）,

则（2-w）2=（-1-w）2+9,解得：〃?=-1,

故点。（-1,0）,则f=6；

综上，/=9-3”或9+3\份或3或6.

【点评】本题考查的是一次困数综合运川，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面枳的计算等，

其中（2）③，要注意分类求解，避免遗漏.

10.如图1,己知抛物线y=QN+/+3（〃/0）与x轴交于点月（1,0）和点4（-3,0）,与y轴交于点C

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交干点请问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形？若存在，

请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点。，使得△Q4C的周长最小？若存在，求出。点的坐标；若不存在,

请说明理由.

【分析】（1）已知抛物线过力、8两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二

次函数的解析式；

（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于。是抛物线与y轴的

交点，因此C的坐标为（（），3）,根据M、C的坐标可求出C"的距离.然后分三种情况进行讨论：

①当CP=PM时，②当C'M=MP时，③当CM=C尸时，可分别得出。的坐标；

（3）根据轴对称-最短路径问题解答.

【解答】解：（1）•・•抛物线歹=五+®+3（aWO）与x轴交于点力（1,0）和点8（-3,0）,

.fa4-b+3=0

,,l9a-3d+3=0,

解律

中考撤号

2

，所求抛物线解析式为：y=-x-2x+3；

(2)存在，如图1,

•・•抛物线解析式为：y=-炉-2x+3,

:.其对称轴为x=年=-1,

•••设尸点坐标为(7,a),

图1

AC(0,3),M(-1,0),

P坪=/,C”=(-1)2+32,CP2=(-1)2+(3・4)2,

分类讨论：

(1)当PC=PM时，

(-1)2+(3-。)2=〃2,解得a=

・・・P点坐标为：P1(-1,1);

(2)当时，

(-1)斗3』屏,解得a=土耳,

••・P点坐标为：P2(—l,、历)或P3(—l,-、丽)；

(3)当CM=C尸时，

(-1)2+32=(-I)2+(3-a)2»解得”=6,4=0(舍)，

••・广点坐标为：尸4(・1，6).

综上所述存在符合条件的点P,其坐标为P(T，回)或P(-l,一回)或尸(-1,61或P(T,|

中考撤号

).图2

(3)存在，2(・1,2),

理由如下：如图2,点C(0,3)关于对称轴x=-1的对称点C'的坐标是(-2,3),连接/1C',直线

AC与对称轴的交点即为点。.

设直线/1C'函数关系式为：y=kx+t(^0).

将点4(1,0),C(-2,3)代入，得

解得｛心：『，

所以，直线力。’函数关系式为：y=-x+1.

将工=-1代入，得尸2,即0(-1,2).

【点评】本题主要考查了二次函数的综合知识，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质

和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，要注意的是(2)中，不确

定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解.

11.如图，在平面直角坐标系中，二次函数)，=⑪2+以+。交x轴于点X(-4,0)、B(2,0),交)轴于点。

(0,6),在y轴上有点£(0,-2),连接力E.

(I)求二次函数的解析式；

(2)若点。为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，设点的横坐标为〃?，的面积为S,求S关于

〃，的函数解析式，并写出〃?的取值范围；

(3)抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰二角形？若存在，请直接写出所有/，点的坐标，若不

存在，请说明理由.

中考撤号

【分析】(1)用待定系数法即可求解：

(2)由S=SLDHA+SADHE=5xDHXOA»即可求解：

(3)分PA=PE、PA=PE、旌=/七三种情况，分别求解即可.

【解答】解：(1)设抛物线的表达式为y=a(x+4)(x-2),

将点C的坐标代入上式得：6=。(0+4)(0-2),解得〃=得，

故抛物线的表达式为y=-*(x+4)(x-2),

即丫=/2告+6；

,1

(2)设直线4E的表达式为》=依+3则:解得｛:二二?公

过点。作y轴的平行线交AE于点〃，

y

•A

设点D的坐标为(〃?，),则点H(m,-2),

i]3313

则S=S&DHA+S&DHE=三义DHXOA=-(--m2--m+6+-m+2)X4=--m2-2w+16(-4<w<0)；

中考撤号

(3)存在，P点的坐标为：(-1,1),(-1,土回),(-1,-2±/9)；

由丫=/2一|%+6知，抛物线的对称轴为尸-1,

设P(-1,〃)，又E(0,-2),力(-4,0),

可求PA=^94^^,PE="+5+2)2,4E=7'T^n=2/，

当尸片=尸E时，39+M=、/1+(九+2已

解得，刀=1,此时尸(-I,1)；

当P4=PE时,、/9+n2=<16+4=2、,5,

解得，n=±、口，此时点尸坐标为(T,±、口1),

当PE=AE时，J1+(n+2尸=、：16+4=2\'5,

解得，n=-2±/9,此时点尸坐标为(-1,-2V19),

综上所述，尸点坐标为：(-1,1)或(T，±«五)或(T，-2^/19).

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，

其中(3),要注意分类求解，避免遗漏.

12.如图，在边长为2的正方形48CQ中，G是力。延长线上的一点，且OG=4O,动点M从4点出发，

以每秒1个单位的速度沿着力一C-G的路线向G点匀速运动(Z不与4G重合)，设运动时间为，秒，连

接氏W并延长4G于N.

(1)是否存在点"，使△HAM为等腰三角形？若存在，分析点用的位置；若不存在，请说明理由；

(2)当点N在力。边上时，若8N_L〃N,M7交NCQG的平分线于H,求证：BN=HN：

(3)过点历分别作力4,力。的垂线，垂足分别为，F,矩形力户与A/CG重叠部分的面积