特训01 解一元二次方程分类通关专练-2025-2026学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）（解析版）

特训01解一元二次方程分类通关专练【特训过关】一、直接开平方法1．解方程：【答案】，．【解答】解：，移项得：，开方得：，解得：，．2．求未知数x．（1）；（2）．【答案】（1），；（2），．【解答】（1）解：∴，；（2）解：∴，．3．解方程：（1）；（2）．【答案】（1），；（2），．【解答】（1）解：，，，，；（2）解：，，，，，．4．用直接开平方法解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），；（2），．【解答】（1）解：移项，得，∴，∴，；（2）解：移项，得，∴，∴∴，．

5．用直接开方法解方程．（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1），；（2），；（3）；（4），．【解答】（1）解：，开方得：或，解得：，；（2）解：，方程变形得：，开方得：，；（3）解：，方程变形为：，方程开方得：，解得：；（4）解：，方程变形得：，开方得：，解得：，．

二、配方法6．用配方法解方程，下列配方正确的是（

）A．；B．C．D．【答案】A．【解答】解：，故选：A．7．一元二次方程配方后是（）A．；B．C．D．【答案】C．【解答】解：，移项得，，方程两边同时加16得，，即：，故选：C．8．一元二次方程配方，得，则是．【答案】9．【解答】解：，∴，，即，∴．故答案为：9．9．已知方程，可以配方成的形式，那么a的值为．【答案】5．【解答】解：，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：5．10．用配方法解一元二次方程时，步骤如下：①；②；③；④，即，．其中，开始出现错误的步骤是（填序号）．【答案】④．【解答】解：解方程，①；②；③；④，即，．故答案为：④．11．解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），；（2），．【解答】（1）解：，∴，∴，即，∴，解得：，；（2）解：，∴，∴，即，∴，解得：，．12．用配方法解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），；（2），．【解答】（1）解：，整理，得移项，得配方，得，即两边开平方，得，解得，．（2）解：，移项，得配方，得，即．两边开平方，得．解得，．13．用配方法解方程：（1）；（2）．【答案】（1），；（2），．【解答】（1）解：或∴，．（2）解：，，配方得，∴∴∴，∴，．14．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=，b=；（2）利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：________+________；（3）若且a、m、n均为正整数，求a的值．【答案】（1），；（2）13，4，1，2；（3）14或46．【解答】（1）解：∵，∴，∴，；故答案为：，．（2）由（1）可得，，，；故答案为：13，4，1，2．（3）∵，∴，∴，，∵a、m、n均为正整数，∴，，或，，；故答案为：14或46．15．先阅读，然后解决问题：若，求m和n的值．解：等式可变形为：，即，因为，，所以，，即，．像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：（1）若的三边长a，b，c都是正整数，且满足，，则的周长是______；（2）求代数式的最小值，并指出此时a，b满足的数量关系；（3）试比较多项式与的大小．【答案】（1）9；（2）最小值3，；（3）见解析．【解答】（1）解：∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，，∴，，∵，a，b，c都是正整数，∴，∴，∴的周长是9，故答案为：9；（2）解：，∵，∴，∴代数式的最小值为3，∴此时，即；（3）解：，当时，即或时，当时，或时，，当时，时，，综上，当或时，，当或时，，当时，．三、公式法16．用公式法解下列方程：（1）；（2）；（3）．【答案】（1），；（2），；（3），．【解答】（1）解：,∵，，，∴∴，∴原方程的解为，．（2）解：，∵，，，∴∴，∴原方程的解为，．（3）解：，整理可得：，∵，，，∴，∴，∴原方程的解为，．17．用公式法解下列方程：（1）；（2）；（3）．【答案】（1），；（2），；（3），．【解答】（1）解：；∵，，，∴∴，∴，；（2）解：；将原方程化为一般形式，得，∵，∴，∴，；（3）解：．将方程整理为一般形式，得，∵，，，∴∴∴，．18．用公式法解关于x的方程：（1）；（2）．【答案】（1），；（2），．【解答】（1）解：∵，∴，∴，，，∴，∴，∴或；（2）∵，∴，，，∴，∴，∴或．19．解方程：（1）；（2）．【答案】（1），；（2），．【解答】（1）解：，，，∴，∴，解得，，；（2）解：，，，∴，∴，解得，，．20．关于x的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程只有一个根小于0，求k的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解答】（1）证明：关于x的一元二次方程，∴，，，∵，∴此方程总有两个实数根；（2）∵∵∴解得：，，∵方程只有一个根小于0，∴，解得：．21．习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程：习题1：用配方法解方程：解：移项，得，……第一步；配方，得，……第二步；∴，……第三步；由此可得，……第四步；∴，．……第五步；习题2：用公式法解方程：解：将方程化为一般形式，得，……第一步；，，，……第二步；∵，……第三步；∴，……第四步；即，．……第五步．（1）分别写出习题1，习题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的，并指出错误原因；（2）从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解答】（1）解：习题1和习题2都是从第一步开始出现错误，原因是移项时，没有变号；（2）习题1：解：，移项，得，配方，得，∴，由此可得，∴，.习题2：解：将原方程化为一般形式，得；，，，∵，∴，即，.四、因式分解法22．方程的解为．【答案】或．【解答】解：，∴，∴或，解得：或，故答案为：或．23．方程的解是．【答案】，．【解答】解：，，，，，∴或，解得：，．故答案为：，．

24．观察下列一元二次方程，并回答问题：第1个方程：；第2个方程：；第3个方程：；第4个方程：；……直接写出第n个方程为，第n个方程的解为．【答案】；，．【解答】由题意得，第n个方程为，∴，∴或，∴，，故答案为：；，．25．解一元二次方程：（1）；（2）．【答案】（1），；（2）．【解答】（1）解：，，或，解得，；（2）解：，，，．26．解方程：（1）；（2）．【答案】（1），；（2），．【解答】（1）解：，∴，则∴或，解得：，；（2）解：∴，∴，∴或，解得：，．27．用因式分解法解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），；（2），．【解答】（1）解：移项，得，分解因式，得，或，所以，．（2）解：移项，得，分解因式，得，即，所以或．所以，．28．解方程：（1）；（2）．【答案】（1），；（2），．【解答】（1）解：，或，∴，；（2）解：，或，∴，．五、用适当的方法解方程29．解方程：（1）；（2）．【答案】（1），；（2），．【解答】（1）解：，即或，∴或；（2）解：，，即或，∴或．30．用合适的方法解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），；（2），．【解答】（1）解：；∴则或∴，．（2）解：或，．31．解方程：（1）；（2）．【答案】（1），；（2），．【解答】（1）解：，，∴或，∴，；（2）原方程可化为：，，∴，∴，∴，∴，．32．解下列方程：（1）；（2）；（3）．【答案】（1），；（2），；（3），．【解答】（1）解：∴∴∴或解得：，（2）解：∴∴或解得：，（3）解：∴∴∴∴或解得：，33．用适当的方法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．【解答】（1）解：，，，∴，．（2），，，，，∴，∴，；（3），，或，∴，．（4），，，或，，．34．解方程：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．【解答】（1）解：或，；（2）解：或，；（3）解：，∴方程有两个不相等的实数根，∴，∴，；（4）解：或∴，．六、综合运用35．阅读下列材料：解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变形为，解得，，当时，，∴，当时，，∴，所以原方程有四个根：，，，．在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．（1）解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出x；（2）利用换元法解方程：．【答案】（1），，；（3），，，．【解答】（1）解：，设，∴原方程变为：，解得，，当时，，解得，；当时，，可知，无解.所以原方程的解是，；（2），设，则∴原方程可变形为：，即，解得，，当时，，解得，；当时，，解得，，经检验，所有解均是方程的根，∴，，，.

36．定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．（1）写出一元二次方程的“友好方程”________；（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________；（3）已知关于x的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根．【答案】（1）；（2），，互为倒数；（3），．【解答】（1）解：∵一元二次方程与称为一对“友好方程”，∴一元二次方程的“友好方程”为；故答案为：；（2）解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为，解，得到，解得，，观察可知，，；所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数．故答案为，，互为倒数；（3）解：已知关于x的方程的两根是，，那么的两个根分别是，，将整理为：，那么有或，即，；故答案为：，．37．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值.解：设，则原方程变为，整理得，，∴，∵，∴.上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.（1）已知实数x，y满足，求的值；（2）设a，b满足等式，求的值；（3）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.【答案】（1）3；（2）；（3）这四个连续正整数为1，2，3，4．【解答】（1）解：设，则，∴，解得：，∵，∴，∴，故答案为：，（2）解：设，则，∴，解得：或，∵，∴，∴，故答案为：，（3）解：设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，∵x为正整数，∴，解得，（舍去），故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4．38．请阅读下列材料：问题：已知方程，求一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则，所以．把代入已知方程，得化简，得故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：_______________________．（2）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一