高考数学二轮复习：导数的基本应用（练）解析版

第一篇热点、难点突破篇

专题04导数的基本应用（练）

【对点演练】

一、单选题

1.（2022•贵州.凯里一中高三阶段练习（文））曲线），=相在x=0点处的切线方程是-Wn2-），+l=0,则〃=（）

A.!B.2C.In—D.In—

222

【答案】A

【分析】利用导数的几何意义求解即可.

【详解】yf=ax\na,了|9=1[1。，切点为（0,1）,切线方程为xhia-y+l=0,=

故选：A.

2.（2022.新疆.伊宁县第二中学高三期中（文））设函数的导函数为/'（X）,且函数/'"）的部分图像如图所

示，则（）

-0.5j\r

~\jo134X

A.函数&r）在（T）.5,l）上单调递增B.函数/（处在x=0处取得极大值

C.函数/（x）在X=3处取得极小值D.函数/（幻在（0,4）上单调递增

【答案】D

【分析】由导函数的正负可得函数f（x）的单调性，再逐项判断可得答案.

【详解】由丁二/（力的图象可得

当xw（-0.5,0）时,r（x）＜0,函数单调递减；

当x«0,+co）时,r（x）＞0,函数单调递增;

对于A,函数/*）在（-051）先递减，再递增,故不正确:

对于B,函数/*）在x=0处取得极小值，故不正确；

对于C,函数/（外在x=3处取不到极值，故不正确；

对于D,函数/（刈在（0,4）上单调递增，故正确；

故选：D

3.(2022・湖北・枣阳一中高三期中)已知函数“力=〃疗+1111+1的图像在(1J。))处的切线过点(2,8),则，〃二

()

A.7B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】结合导数求出切线方程，将(2,8)代入即可求出参数〃L

【详解】由］(泊)=皿2+加x+］=>/'(%)=2卅+,,/r(l)=2m+l,f(］)=m+\,

.X

则函数在(1J⑴)处的切线方程为)=(2〃-1)(>1)+，〃+1,

将(2,8)代入切线方程可得〃7=2.

故选：B

4.(2022•浙江•嘉兴一中高三期中)若函数/")=，lnx+法在工=1处取得极值2,则=()

A.-4B.-2C.0D.2

【答案】A

【分析】求导，根据x=l处的极值为2,列方程解方程得到%b,即可得到。-b.

【详解】解：•••/(x)=alnx+fer,

/(x)=-+/?,

X

又函数f(X)在x=1处取得极值2,

则/'(1)=〃+力=0,且/(1)=〃=2,

所以。=-2,b=2,经检验满足要求，所以=

故选：A.

5.(2020・河南•高三阶段练习(文))函数/⑴=；V+4x2-9x+6在区间上1，2］上的最小值为()

A.竺B.型C,1D.-3

333

【答案】C

【分析】根据TV)在卜1,2］上单调性求出最值即可

【详解】由/(x)=gV+4f-9X+6,XW［T,2］可得r(x)=f+8x—9,

令八x)=(),解得x=l.

当-Ivxvl,r（x）＜0,/（X）单调递减；当I＜x＜2,r（x）＞0,/（幻单调递增，

14

所以f。）的极小值,也为最小值为f（l）=尹4-9+6=4,

JJ

故选：C

6.（2023•广西•模拟预测（文））已知函数"=lnx+or存在最大值0,贝匹的值为（）

A.-2B.--C.1D.e

e

【答案】B

【分析】讨论。与。的大小关系确定“幻的单调性，求出/（幻的最大值.

【详解】因为/'（"=』+。，x＞0,

所以当aNO时，6"）＞0恒成立，故函数“X）单调递增，不存在最大值；

当x0时，令人力=0,得出X=-），

所以当时，/^x）＞0,函数单调递增，

当KW卜5+00）时，r（x）＜0,函数单调递减，

所以fWa=/（-解得：«=-1.

故选：B.

二、多选题

7.（2022•辽宁葫芦岛•高三阶段练习）已知函数〃司=丁+履2+X+。有两个极值点为,工（用＜七）,则（）

A.须是/“）的极小值点B.百+4=_§

2

C.xxx2=-D.k＞3

【答案】BCD

【分析】求导，转化为研究二次函数即可

【详解】/'（刈=3/+2履+1

因为f。）存在两个极值点N，W（X]＜赴）,所以4k2一12＞0、即公＞3

当x）和（孙时J（x）＞0,/（x）单调递增

当工«和七）时,f（幻＜0J（x）单调潴减

【分析】根据题意，先求出函数的导数，利用导数的几何意义，求出切线方程的斜率即可求解.

【详解】因为函数/(x)=x+31nx,所以/(r)=l+±3,又因为点。,1)在函数图象上，由导数的几何意义可知：

x

切线的斜率A=/⑴=4,

所以所求切线方程为y-l=4(x-l),即4》-丁-3=0或)，=41-3,

故答案为：4x-y-3=0或y=4x-3.

10.(2022.山东烟台.高三期中)若函数/(x)=sin2x-2cosx,则/'(x)的最小值是_____.

【答案】卫

2

【分析】因为三角函数具有周期性，令xw[0,2句，对函数求导数，研究导函数在区间内的符号，得到函数的单

调性，求出最小值.

【详解】不妨设%«0,2句,

//(x)=2cos2x+2sinx=2(l-2sin2xj+2sinx

=2(1-sinx)(2sinx+1)

则/(A)在[0,2句上的单调性如下表：

74①IE）1Ufll/r.1

X0（。⑤T—2乃

/⑶+0-0+

/（X）/极大极小/

.1比11万3月中小36.

J(0)=-2,/--=sin-----2cos^—=-----,因为------<-2,

\6J3622

所以函数的最小值为-逆.

2

故答案为：一述.

2

【冲刺提升】

一、单选题

1.(2022•河南•模拟预测(理))如图是函数八力的图象，则函数“X)的解析式可以为().

y

A.e'+ln|x|B.-xe,Jlx+e

-1

C.A24--D.x-\--

Xx

【答案】D

【分析】利用导数说明函数的单调性，即可判断.

【详解】解：对于A：/(x)=e'+hN定义域为｛x|xw。｝,

当x〉0时/(x)=e，+lnx,则/(%)=/+工>0,即函数在(。，y)h单调递增,故A错误;

X

对于B：/aber+e2•1定义域为R,且e-CO,e2x>0,所以〃x)=e-，+/>0,故B错误;

对「C=f+_1定义域为5次工o｝,2&X-12*f+2§x+l

rW=2x-±=^l=l——----

''xx~x~

2I/11Yo

32+23x+l=23x+—+—>0,所以当X〉2T时

X2AI2J4

当x<0或0<x<2T时r(6<°，即函数在(-8,0),0,2《上单调递减，在23+0)上单调递增，故C错误:

对于D：f(x)=x+，■定义域为｛X|XH。｝,

A

x+g.2；♦.J

工-23心+2功+2：x-r

7V—24

小)=1-不

x

所以当彳>2：或XV。时用:勾>0,当0<xv2；时

£\

即函数在(-8,0),23,内上单调递增，在0,23上单调递减，符合题意;

故选：D

2.(2007.陕西•高考真题(理))/(力是定义在(0,+8)上的非负可导函数，且满足矿(x)+/(x)S0.对任意正

数a,b,若a<b,则必有()

A.af(b)<bf{a)B.bf(a)<qf(b)

C.af(a)<f(b)D.bf(b)<f[ci)

【答案】A

【分析】构造函数g(x)=4Xx),再分类讨论即可求解.

【详解】解：令g(x)=¥3,g'3=/(x)+¥'(x)<0,

所以式工)在(0,a)上为常函数或递减，

1。若g(x)在(0,+oo)上为单调递减，所以g(a)>g如,

即4(〃)>"S)NO①，提>£>0②

①②两式相乘得：

所以岁>零="(〃)>4伍)，

2。若做外在(。，+8)上为常函数，且加:)=0,则g(a)=gS)=0,

即4(。)="3)=0③，±>±>0@,

③④两式相乘得：

所以9=零1"(。)二歹修)，

综上所述，bf(a)>af(h)

故选：A

3.(2022•湖北•高三期中)已知a=e—2,/?=l-ln2,c=ec-e2,则()

A.c>b>aB.a>b>cC.a>c>bD.c>a>b

【答案】D

【分析】构造函数/(x)=x-lTn*x>0,g(x)=e-x,结合函数的单调性分别得出a>〃，。>。，从而得出答

案.

【详解】令/(x)=x-lTnx,x>。，

则/(e)=e-l-lne=c-2=6/,/⑵=2-1-In2=1-In2=/?,

・•・当X>1时，/V)>0,人工)单调递增,

A/(e)>/(2),即a>b,

令ga)=e*-x,则g'(x)=e'_],

・•・当x>0时，g'(x)>。，g(x)单调递增，

；・g(e)>g(2),即

所以ee-e2>e-2,即

综上，c>a>b.

故选：D.

4.(2022・贵州•贵阳一中高三阶段练习(文))在给出的①H〃3<3；②e21n31；③e02Vhi3三个不等式中,

2

正确的个数为()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【分析】构造函数/("=皿，分析其单调性可判断①和②，构造函数g(x)=e'-X-1,分析其单调性可判断

X

③.

【详解】令/(X)=?,则

当0<x<e时，制可>0,当x>e时，/r(x)<0,

即/(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+oo)上单调递减,

可得/(e)>/(3),即则O=dn3v3,故①正确；

e3

r3\-

因为所以，萩</(3),即埠<苧，

V/v

所以31n%<fln3,即故②错误；

再令g(x)=e，一%一1,则g'(x)=e，-l,

当x>0时，/(力>0,即g(x)在(0,+司上单调递增，

所以g(x)>g(O)=。，则g@2)=e°2—0.2—1>0,即e°2>i.2.

又().4>Le<3,所以f(e)>/(3),即处>学，即工〉野，

ee3e3

所以0.4>限即1.2>ln3,所以e°2>1.2>ln3,We02>ln3,故③错误,

故选：B.

5.(2022•浙江•模拟预测)已知函数/(力=：。2，一；111。一111大一6-，x+l,对于任意的演、七e(O,-H»),当王工々

/Le

时，总有〃％)一/(&)>2成立,贝M的取值范围是()

玉一修

【答案】A

【分析】设%>/，可知函数g(x)=/(x)-2x为(O,y)上的增函数，可知，对任意的x>0,

心产-达巴-卜+口，利用导数求出函数/?(x)=e"-见山-(2+,]在(0,+8)上的最小值，即可得出实数左

x'ejx\ey

的取值范围.

【详解】不妨设七>/，由"\)["*)>2可得出〃苦)_/(=)>2内,

X\~X2

即/&)-2%>/(毛)-29，

I1/1\

令g(x)=/(x)_2x=-e，'――ln2x-lnx-AA-2+-x+1,其中4>0,

22kej

则g(K)>8(七)，所以,函数g(x)在(。，〜)，为增函数,

,，、暖lnx+1,(1)、八，2rlnx+11、|

则g[x)=e---------k-2+->0,则左«「'-----；——2+-|,

令力⑴小、一等一(2+J其中x>0,仆)=2©2、竽=2可：『

令〃(4)=212『'+lnx,其中x>0,所以,p\x)=4x(x+l)e2x+->0,

•X

所以，函数P(K)在(。，y)上单调递增，

2

因为“(gJnZ-Y-ivj-ivO,p(l)=2e>0,

所以，存在使得〃(f)=2*2"+hl.q=o,则2X(/=---lnx0=—In—r

IeJ即M

令〃工)=疣',其中1>o,则，'(x)=(x+l)e">0,故函数，(x)在(0,y)上为增函数,

因为。所以，0<In—<1,

IeJ%拓

由可得，(2%)=/ln‘],所以，2x°=-ln%,可得

%X•(%)\xo)xo

且当Ovxvx。时，〃'（x）＜0,此时函数MM单调递减,

当力＞为时,h,（x）＞0,此时函数用x）单调递增,

所以，/?（力.=〃&）=©2"一叫”2++1-(1-2“2+%」

ej玉keje

所以，k＜--.

e

故选:A.

【点睛】思路点睛：本题关键点在处理函数力（x）=e"-皿出的极值点时，根据零点存在定理得出其

xe/

极值点与满足=-ln-,通过利用指对同构结合函数，（力=疣'的单调性转化为2%=-加/，e?”=’,

天“％xQ

利用整体代换法可求得人的取值范围.

二、多选题

6.（2022•江苏连云港•高三期中）己知曲线/（©=；/十人2-以在点尸（牛/（、））处的切线为小则（）

A.当a=0时，/（"的极大值为:

B,若％=1,乙的斜率为2,则。=1

C.若“X）在R上单调递增，则1

D.若存在过点P的直线与曲线/（外相切于点。（占，/（工2）），则芭+2%=3

【答案】AB

【分析】当a=0时，求出函数的导数，判断函数单调性，求得极值，判断A;根据导数的几何意义可求得参数

的值，判断B；利用导数与函数单调性的关系可得不等式，求得。的范围，判断C;根据导数的几何意义，利用斜

率关系，列出相应等式，化简可得占+2々=-3,判断D.

【详解】当。=0时，/（x）=x3+x2-av,fXx）=x2+2x=x（x+2）,

J

当xv-2或x>0时，/Xx)>0,/(x)递增，当-2<x<0时，r(x)<0,/*)递减，

4

故工=-2时，取得极大值/(-2)=],A正确；

由r㈤=炉+2…可知,若」=L4的斜率为2,

则1+2-。=2,，。=I,故B正确；

若/(X)在R上单调递增，则fM=x2+2x-a>0恒成立，

即4+4〃20,「.aKT,当。=一1时/'*)=(x+4之0,/(x)在R上单调递增，

故。4一1,C错误；

若存在过点P的直线12与曲线“X)相切于点。(%，/(&))，则x?=X,,

则4的斜率为广(石)=*+2*-。，则)⑻二八引+24-〃,

工23

14，1,2

即------------------------=X；+2x,一a，

看"

2

即;(2x；-X(X2-^)+(%2-X,)=0,即：(式2—内)(2,0+%)+(占一用)=0，

故玉+29=-3,D错误，

故选：AB.

7.(2022•山东•青岛超银高级中学高三阶段练习)已知/(x)=e、,g(x)=lnx,则()

A.设“是/。)图象上的任意一点，N是以幻图象上任一点，则|MN|?近

B.f(x)-g(x)>2.\

C.〃幻与以幻的图象有且仅有两条公切线

D.1(x)-g(x)是增函数

【答案】ABC

【分析】由导数的几何意义可判断A,由得单调性可判断BD,由方程ln&=W+l有两个解可判断

k-l

C.

【详解】在同一坐标系上作出/(刈=炉,以幻=1门的图象如图所示:

易知f(刈=d和g(x)=Inx的图像关于直线y=X对称,

作与直线y=X平行且与f(x)=靖相切的直线y=X+〃,

设切点M(%,e")，.『(%)=],

所以有re"入=1+/解得Xf仁\=一0即切点为一】),

1二也

M(O,D到直线y=的距离d=

2

即曲线，—•的动点到直线…的距离的最小值为华

由对祢性可知：|MN|N2/=0,A正确；

设//(.¥)=/(X)-g(x)=e'-InX,

/f(A)=e*--,设0(x)=e，-工，d(x)=e'+[>0,

XXX

所以h'(x)=e'-'在(0,+<»)上单调递增，

X

/f(-)=7e-2<0,/f(l)=e-l>0,

所以存在/£([l)，使得〃'(/)=--?=0,

所以Kt)=e，-Inx在(0,%)上单调递减，在“。,y)上单调递增,

所以力(为2力(/)二­一In.%,而e"=’",

玉)

故a(x)之」~一lnXo,而与£(：」)，

设乂口=-1--lnx0,v\x)=--<o,

与城与

所以Mx)二，TnXo在(?』)上单调递减，

X。2

所以Mx)vyd)=2+ln2,所以力(x)N2+h】2>2.1,

2

即f(x)-g(x)>2.1,B正确,D错误.

v,

设f(x)与g(x)的公切线为y=辰+6,切点分别为P(R,e),0(x2Jnx2)

k=ex=—

x2

则有kx+b=e",

:33.⑸j1

kx2+b=Inx2

k\nk+b=k

化简得:即Ink=+l(k>0),

l+Z?=-lnk

即“0与g(x)的图象有且仅有两条公切线,C正确;

故选：ABC.

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问

题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问

题处理.

三、琪空题

Xl>v

8.(2022•江苏泰州•高三期中)若曲线y=e'在点A(x(),e)%>0处的切线也是曲线y=Inx的切线，则e«+4x0的

最小值为.

【答案】5+4&

【分析】由两条曲线的公切线斜率分别等于各曲线上切点处的导数值，以及各曲线上切点分别满足切线方程来

列方程组，得到而与V满足的关系式，将原式中的V替换，再利用基本不等式求最小值即可.

(详解J曲线y=e'在点A处的切线可写作y=/“一%)+。

设该力线在曲线)，=lnx上的切点为亿In。，

ln/=eM(f7o)+e%1

财有，消去,得八有

则e*+4xo=上?+4/=l+2+4(.0-1)+425+4及

/一1玉)T

当且仅当二7=火0-1),即/=1+立时取得该最小值.

%一12

故答案为:5+472.

9.(2022•辽宁・沈阳市第四十中学高三期中)已知等比数列｛4｝的公比，/>】，若为,%是函数

/(x)=61nx+；f_5x的极值点，则％=.

【答案】?2#7#6.75.

4

【分析】先求出函数的极值点，从而可得囚，生，再求出公比4,进而可求出%.

【详解】由/(x)=61nx+!/_5x,得/")=-_5=七四味〉0),

2xx

由r(x)=0时，X=2或X=3,

当0<工<2或x>3时，/彳M>0,当2vxv3时，/(x)<0,

所以2和3为/")的极值点，

因为夕>1,%,生是函数f(x)=6lnx+；x2-5工的极值点，

所以％=2,%=3,

a-,3

所以夕=-二3，

%2

故答案为：7

x'+cixx<a

10.(2022・北京大兴.高三期中)已知函数〃工)=仁''若/⑴的值域为R,则。的一个取值为

2x,x>a.

;若"X)是R上的增函数，则实数。的取值范围是

【答案】0(a«—(^o-2]u[0,l]

【分圻】①/'(x)的值域为R等价于g(x)=d+av(x<a)的值域包含(—,2a),即g(x)皿/勿，由导数法,对

分别讨论。20、-卜。<()下屋力的最大值即可；

②〃*)是R上的增函数,则等价于g(x)单调递增且g(〃)="+/w2a,g(x)单调递增等价于/(力=3/+。在

.1<。恒大于等于0,分别讨论a40、a>0即可

【详解]®/(A)值域为R等价于g(x)=V+ar(x<a)的值域包含(y,2a),即g(x)1raxN为，由g'(x)=3/+a,

当〃20时，g'(x)>0,g(x)单调递增，即有g(x)2=g(〃)="+/,a5+c?2>2a^>a(a-i2)(a-\)>0,

解得。=()或aNl；

当a<0时，由g'(x)=0得;v=土，|由"一卜卷得a<-g，

故当g[x)>0,g(1)单调递增，即有=屋々)="+〃，故有/+/n加="a+2)(〃-1)2

解得-2Ka；

当，Wa<0,xe-oo,时，g'(x)>。，g(X)单调递增，工€,g'(x)<0,g(x)单调递减,

故」Wav0；

3

综上，/*)的值域为R时，«e[-2.O]u[l,-KX3)

②若M是R上的增函数，等价于g(x)单调递增且g(a)=a3+片<2%解得04a41或aW—2,

由SW单调递增即g'(x)=3f”在xv。恒大于等于0得，

当a«0,g'(x)>g,a)=%2+a20,得”《一；或a=0；

当a>。，g'(x)Zg'(O)=aNO

综」0<a<\^a<-2.

故答案为：0(aw[—2,0]D[1,-K»))；(-<»,—2]kJ[0,1]

四、解答题

11.(2022•北京•北师大二附中高三期中)已知函数/■