高考数学二轮复习专项突破（全国版理）立体几何中的动态问题

微重点11立体几何中的动态问题

“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、

线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖.同时，由于“动态”的存在,

也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问

题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化.

考点一动点轨迹问题

例1(2021・新高考全国I改编)在正三棱柱A4C—A/1C中,48=441=1,点。满足加=2成?

+丽,其中4£[0,1],〃£[()1],则下列结论正确的是.

①当4=1时,尸的局长为定值;

②当4=1时，三棱锥P—A/C的体积为定值：

③当时，有且仅有一个点P,使得AiPJ_3P；

④当〃=3时，有且仅有一个点P，使得4/3_L平面4".

答案②④

解析丽=2正+//篇i(0W2W1.0W"W1).

对于①，当4=1时，点。在棱CG上运动，如图1所示，此时△A8P的周长为AS+AP+

PB|=^+、1+〃+、1+[1—〃)2=表+41+〃2+、2—2〃+",不是定值，故①错误；

对于②，当"=1时，点尸在棱B1G上运动，如图2所示,

图2

对于③，取BC的中点。，BiG的中点。连接。彷，(图略)，则当2=；时，点尸在线

段。。上运动，假设AP_L8P,则422+8〃=4序，即（坐）+（］一"）2+（；）2+*2=2,解得

4=0或4=1,所以当点尸与点。或9重合时，4P_L8P,故③错误：

方法一对于④，易知四边形为正方形，所以设4与与A出交于点K,

连接PK（图略），要使ABJ_平面ASP,需AiBLKP,所以点尸只能是棱CG的中点，故④

正确.

方法二对于④，分别取附，CG的中点E,F,连接所，则当"=g时，点P在线段瓦

上运动，以点G为原点建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz,则以0,1,1）,巴（0,1,0）,

若4B_L平面ASP,则48_LBiP,所以一彳+：=0,解得；1=1,所以只存在一个点P,使得

48_L平面ASP,此时点P与尸重合，故④正确.

规律方法解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法

（I）几何法：根据平面的性质进行判定.

（2）定义法：转化为平面抗迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算.

（3）特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.

跟踪演练1（2022.漳州质检）已知正方体ABCQ-AIBIGDI的边长为2,M为CC的中点，P

为平面BCG办上的动点，且满足AM〃平面48P,则下列结论正确的个数是（）

①AM_LSM；

②。）［〃平面44P；

③动点P的轨迹长为斗亘；

④AM与AiB\所成先的余弦值为坐.

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析如图，以B为原点建立空间直角坐标系，

则4(00,2),4(022),8(0,0,0),9(020),M2/。)，设P(x,y,0),

所以福=((),-2,-2),而=(x,y,0),赢=(2,1,-2),

由4M〃平面AiBP,

得病=〃乖+力而，a,/?GR,

0+灰=2,

即—2a+by=1,

-2a=~2,

化简可得标一2），=0,

所以动点P在直线3x—2.y=0上，

如图，在平面8CG8i上，直线31一2），=0与SG交于点Pi,则8Pl即为动点。的轨迹.

赢7=（2/，-2）,丽=（2,一1,0）,

布.丽=2X2+1X（—1）+（-2）X（）=3#0,

所以4M与BiM不垂直，①错误；

因为CDI〃AI&A18U平面AiBP,

COM平面A心P,

所以CQ〃平面A由P,②正确；

伟

易知

P12,

所以|P归|=、/停下+22+。2=2平,③正确；

病=（0,0,-2）,

cos（AM,宿）=2也2+1+（—2）2=3④错误•

考点二折叠、展开问题

例2（2022•德州模拟）如图1,在边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别在边AB,BC上

（不含端点）且4£=4E将AAEQ,△/XT分别沿QE,。广折起，使A,。两点重合于点A，

在图2,则下列结论正确的有（）

①4Q_LE尸：

=!义^^><4=斗亘，故③正确；

对于④，设点A］到平面EFD的距离为近则在△£e£）中,

Q-+Q产一KF?52+52—（啦>24

cosZEDF=2DEDF-=2X5X5=云

7

AsinZ£DF=

25,

则S"FD=gDE：/EDF

=1x5X5X_7_=7

25=V

即力=耳亘，故④正确.

规律方法画好折叠、展开前后的平面图形与立体图形，抓住两个关键点：不变的线线关系、

不变的数量关系.

跟踪演练2（2022・湖州模拟）如图，己知四边形ABC。，△4CO是以8。为斜边的等腰直角

三角形，△4BD为等边三角形，8。=2,将△AB。沿直线8D翻折到△P8D在翻折的过程中,

下列结论不正确的是（）

A.BDLPC

B.。尸与BC可能垂直

C.直线。。与平面BCD所成角的最大值是45°

D.四面体PBCO的体积的最大值是卓

答案C

解析对于A,如图所示，取4。的中点M,连接PM,CM,

•・•△BCD是以8。为斜边日勺等腰直角三角形，C.BDLCM,

•••△A8O为等边三角形，

CM,PMU平面PMC,

又CMnPM=M,

・・・8Q_L平面PMC,・.・PCU平面。MC,：,BDVPC,故A正确；

对于B,假设。P_L8C,又BC上CD,

，BC_L平面PC。，ABCIPC,

又尸8=2,BC=小,PC=pe牵-1,小+1）,故。P与8。可能垂直，故B正确；

对于C,当平面。4。_1_平面4CO时，PM_L平面3c。，NPQ6即为直线。。与平面4。。所

成角.

此时/尸。8=60。，故C错误；

对于D,当平面P8O_L平面BCD时，四面体PBCD的体积最大，此时的体积为V=^BCDPM

=!*X巾X巾Xy[j=哈,故D正确.

考点三最值、范围问题

例3（2022•梅州模拟）如图,在长方体ABCD-ABiCQ中,AB=AD=\,M=2,动点P

在体对角线8Q上（含端点），则下列结论正确的是.

①当户为8。的中点时，乙4PC为锐角：

②存在点P,使得以）J■平面APC；

③AP+PC的最小值为2小：

④顶点B到平面APC的最大距离为当.

答案①②④

解析如图，以点。为原点建立空间直角坐标系,

则41。0),8(1,1,0),C(0J,0),5(0,0,2),

帅=(-1,-L2),

设丽=).丽(0W2W1),

故丽=2丽=

(-A,-A,2Z),

则崩=4A+而=(0,1,0)+(一九一九22)

=(­A,I-X,2x),

CP=CT+BP=(L0,0)+(-A,-2,2A)

=(1一2,—z,22).

对于①，当尸为9中点文詹，J,1),

则以=&-1,_)丽=(TI,一1)，

P4,PC1

所以cosZAPC=---------=T>0,

ISHPCI'

所以NAPC为锐角，故①正确；

对于②，当8Di_L平面AT3。时，

因为AP,CPU平面APC,

所以BDiLAP,BDJCP,

丽力=2+2-1+41=0,

则仁

BDvCP=^~1+4+44=0,

解得A=1,

故存在点P,使得BOi_L平面APC,故②正确；

对于③，当BDi_L4P,BDJ_C尸时，4尸+尸。取得最小值,

由②得，此时2=:，

MAP=(4.iI).cp=(i4>3)­

所以I办1=1币1=噜，

即4P+PC的最小值为耳，故③错误；

对于④，油=(0,1,0),元=(-1,1,0),

设平面A尸。的一个法向量为〃=(x,y,z),

ZlAC=—x+)J=O,

则有，

〃•布=一忒+(1—2))，+2Az=0,

可取〃=(22,2A,22-1),

则点8到平面APC的距离为

-f\ABn\

|AB|-|cos(AB,n)|=：剜

|2z|

-^/12x2-4A+r

当2=0时，点B到平面4PC的距离为0,

当0<2Wl时，

⑷1

__________!_______L近

/+得2)「‘

当且仅当时，取等号，所以点8到平面APC的最大距离为坐，故④正确.

规律方法在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小”角的范围等问题，常用的解

题思路是

⑴直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值.

(2)函数思想：通过建系我；I入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求

目标函数的最值.

跟踪演练3(2022・黄泽质检)如图，等腰RtZ\AB£的斜边A8为正四面体A—8C。的侧棱，

AB=2,直角边AE绕斜边48旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E-8CQ体积的取值范围

解析如图，令尸为C。的中点，。为A8的中点，则点石在以O为圆心，1为半径的圆上

运动，

由图可知当凡O,£三点共线，且。在RE之间时，三棱锥£一8。。的体积最大，当运动

到臼的位置时，E-8CO的体积最小，

在RtZkBO/中，BO=l,BF=®OF=巾,

sin/86。=坐，FE=y[i+l,尸鼠=镜一1,

设E,田到平面8c。的距离分别为加，如，则

yf2-b1加+小

人尸小=3

^2-1^6-^3

/22=小=3

SABCD=2X2Xyf3=A/3,

所以三棱锥E—BC。体积的最大值为

京小小正省二

三棱锥E-BCD体积的最小值为

所以三棱锥E-BCO体积的取值范围为

专题强化练

1.（2022・佛山模拟）在棱长为3的正方体43CQ—A81Go中，”是4以的中点，N在该正方

体的棱上运动，则下列说法正确的是（）

A.存在点M使得MN〃8G

B.三棱锥M—A8G的体积等于彳

C.有且仅有两个点N,使得MN〃平面A由G

D.有且仅有三个点M使得点N到平面48G的距离为小

答案C

解析对于A,显然无法找到点N,使得MN〃3G,故A错误;

II39

=3><2X2><3><3=4,故B错误；

对于C,如图所示，设M,M分别为BiG的中点，则有MM〃平面A8G,平

面A山G,故C正确；

对于D,如图所示，设办。交平面48G与平面ACQi分别于点。1，。2,易证8|O_L平面A8G,

8|O_L平面ACDi,且8。=0。2=。2。=；8|。=小，

所以有反，A,C,小四点到平面A8G的距离为小，故D错误.

2.（2022・芜湖模拟）已知四棱锥P—ABCQ的高为小，底面A8CO为矩形，BC=3,AB=2,PC

=PD,且平面PC。_L平面A8CD现从四棱锥中挖去一个以C。为底面直径，P为顶点的半个

圆锥，得到的几何体如图所示.点N在CO上，则PN与侧面物8所成的最小角的正弦值为

()

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案A

解析如图所示，连接CD,

分别取人8,CO的中点为E,F,连接石REF与CD交于点、H.

记点N到侧面以8的距离为4,PN与侧面小3所成的先为仇由于PN的长为定值，因此当

且仅当d最小时，PN与侧面附8所成的角最小，即点N在”点处时，0=ZHPE.

由平面PCO_L平面A8CO易知。尸_1_£/，又PF=小,EF=3,HF=1,则P”=E”=2,

pFI

所以J=N"PE=NPEF,所以1@11。=行=七-,即sinJ=3

Er3z

3.（2022・湖北新高考协作体联考）如图，在直角梯形ABCD中，BC1DC,AELDC,且E为

CD的中点，M,N分别是AD,BE的中点，将aAOE沿4E折起，则下列说法不正确的是（）

A.不论。折至何位置（不在平面ABC内），都有MN〃平面OEC

B.不论。折至何位置（不在平面4BC内），都有MN_LAE

C.不论。折至何位置（不在平面4BC内），都有

D.在折起过程中，一定存在某个位置，使EC_LAO

答案C

解析由已知，在未折叠的原梯形中，AB//DE,BE//AD,

所以四边形为平行四边形，所以

折叠后如图所示，过点M作交AE于点P,

因为MPQ平面OEC,DEU平面。EC,

所以MP〃平面DEC,连接NP,

因为M,N分别是4。，BE的中点，

所以尸为4E中点，故NP〃AB〃EC,

因为N内平面QEC,£CU平面OEC,

所以NP〃平面DEC,

又MPCNP=P、MP,NPU平面MNP,

所以平面MNP〃平面DEC,

又MNU平面MNP,

所以MN〃平面。EC,故A正确；

由已知，AELED,AE±ECf

所以AELNP,

又MPCNP=P,MP,NPU平面MNP,

所以AEJ_平面MNP,

又MNU平面MNP,

所以人E_LMN,故B正确；

假设MN〃A&则MN与AB确定平面MN84,

从而8EU平面MNBA,49U平面MN8A,这与8笈和AD是异面直线矛盾，故C不正确;

当EC_LE。时，ECLAD,证明如下，

因为EC_LEA,ECLED,EACED=E,£4,EDU平面ADE,

所以ECL平面4OE,又4OU平面八。巴

所以ECJ_4O,故D正确.

4.（2022.潍坊模拟）已知四面体ABCD的4个顶点都在球0（0为球心）的球面上，如图，△A8C

为等边三角形，"为底面A8C内的动点，Ali=BD=2,ADf,且4C_L8。，则下列结论

正确的个数是（）

①平面ACDL平面ABC；

②球心O为△ABC的中心；

③直线OM与CD所成的角最小为*

④若动点M到点B的距离勺到平面ACD的距离相等，则点M的轨迹为抛物线的一部分.

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析如图，设△ABC的中心为G,取AC的中点E,连接BE,DE,GA,GC,

D

则BEVAC.

VAC±BD,BECBD=B,BE,8QU平面BQE,

・・・AC_L平面BDE,又OEU平面BDE,

则ACLDE,

又△ABC为等边三角形，

AB=BD=2,AD=®

：.AE=\,DE=\,4E=小，

；,DE2+BE2=B*HPDELBE,

又BE工AC,ACQDE=E,AC,OEU平面AOC,

・•・BE人平面ADC,又BEU平面ABC,

平面ACO_L平面ABC,故①正确；

又,.・GE=坐,G8=GA=GC=¥，

故G为四面体A6co的外接球的球心，即球心。为AA8c的中心，故②正确；

当0M〃AC时，NOCA即为直线OM与C。所成的角，由上知/。。4=：＜寸，故③错误；

由平面ACOJ_平面ABC可知，动点M到平面ACO的距离即为动点M到直线AC的距离，

由抛物线的定义可知，点M的轨迹为抛物线的一部分，故④正确.

5.如图是四棱锥户一/WC。的平面展开图，四边形A8C。是矩形，EDLDC,FD1DA,DA=

3,。。=2,/胡。=30。.在四棱锥夕一/WC。中，M为棱尸8上一点（不含端点），则下列说法

正确的是.

①。M的取值范围是［零，洞;

②存在点M,使得。M_L8C；

③四棱锥P-ABCD外接球的体积为华；

④二楂锥M-PAD的体积等于二棱锥M-PCD的体枳.

答案①④

解析把平面图形还原得到原四棱锥尸一ABC。，如图，由EO_LOC,FD1DA,

可知P/?_L/)C,PD1D4,

又QCGOA=O,。4,QCU平面48CQ,

所以尸。_L平面ABCD.

在RtZiAOP中，N%0=30°,DA=3,

故PO=3tan30。=小，

连接。8,在矩形A8CO中，OA=3,0c=2,

04=、22+32=回,

在Ri△尸。6中，

PB=q»+O82=M3+13=4,

所以点。到直线尸8的距离为小亭石=琴,

故。M的取值范围是[零，行），故①正确；

对于②，假设。M_L8C,

因为尸。_1_平面A8C£>,8CU平面A8C。，

所以PD工BC,

因为POnDM=£）,所以8CJ_平面P8。，

因为8QU平面PB。，所以8C_L8。，与已知条件矛盾，故②错误；

对于③，将此四棱锥可以补形成一个长方体，P8为长方体的一条体对角线，同时也是四棱锥

P-A8CO外接球的直径，所以半径为2,

其体积1/=专义23=争，故③错误；

工GE山一用"尸匕［一〃

对rj.于④,因为V立“益=而M,立方C"=而MP，

而VB-PAD=Vp-BAD=Vp-BCD=VB-PCD，

所以VM-PAD=V.M-PCDf故④正确.

6.（2022.德州模拟）在棱长为1的正方体ABCQ-AiBGDi中，已知E为线段B\C的中点,

点F和点P分别满足次=7万3，万？="万而，其中九〃£[0,1],则下列说法正确的是

①当寸，三棱锥尸一EFD的体积为定值:

②当〃=义时，四棱锥Pf8CO的外接球的表面积是第

③PE+PF的最小值为不；

④存在唯一的实数对（九M，使得EP_L平面夕。£

答案①②④

解析对于①，当2=3时，/为GQ的中点，如图，

又E为&C中点、,

:.EF〃BD\,

•・・EFU平面E/。，BDg平面EFD,

.•.8£)i〃平面EFD,

则当P在线段Ed上移