高考数学一轮复习（新高考版）利用导数研究恒（能）成立问题

§3.5利用导数研究恒(能)成立问题

【考试要求】恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及

其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考杳学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压

轴题出现，试题难度略大.

题型一分离参数求参数范围

例1已知函数儿6=e'一如一1.

(I)当4=1时，求人幻的单调区间与极值；

(2)若在［0,+8)二有解，求实数。的取值范围.

解(1)当a=\时，flx)=e-x-1,

所以/'(X)=e'—1,

当.v<0时，/(x)<0；

当A>0时，f(x)>0,

所以人工)在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所以当K=o时，函数/(x)有极小值人0)=0,无极大值.

即7U)的单调递减区间为(一8,0),单调递增区间为(0,+8),极小值为0,无极大值.

(2)因为兀r)Wd在［0,+8)上有解，

所以8一/一以一1W0在［0,+8)上有解，

当x=0时，不等式成立，此时

当x>0时，不等式等价于。>?一G+3在(0,+8)上有解，

令四)=§-G+9，

则g，―中(宁)=(1叱”+1”

由(1)知当。=1时，y(x)>A0)=o,

即ex-(x+l)>0,

所以当0y<1时，g(A)<D；

当人>1时，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以当.1=1时，g(X)min=e-2,

所以a2e—2,

综上可知，实数。的取值布围是仁一2,十8).

思维升华分离参数法解决恒(能)成立问题的策略

(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

(2)42/(x)恒成立至儿。皿；

ClW/U)恒成立<=>〃q/(X)min：

a2fix)能成立2/(X)min：

a&Rx)能成立㈡45心)语.

跟踪训练1(2023•苏州质检)已知函数/U)=£M-e'(“WR),£人)=乎.

⑴当4=1时,求函数凡6的极值；

(2)若存在x£(0,+8),使不等式yU)Wg(x)—F成立，求实数。的取值范围.

解(1)当《=1时，j[x}=x-c\

则/'(x)=l—

当x<0时，/(x)>0,当.v>0时，f(x)<0,

所以函数人X)在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，

所以函数/U)的极大值为次))=-1,无极小值.

(2)若存在x£(o,+8),使不等式yu)Wg(x)—e"成立，

则aW号(x>0),即fl<^r(.r>0),

则问题转化为1axB>0)，

令/?(%)=¥，Q0,

人

.X-2rlnx1-21nx

/*)=一^=-

当0<x<#时，h'(x)>0,当心M时，h'(x)<0,

所以函数双x)在(0,#)上单调递增，在(加，+8)上单调递臧，

所以h(x)111ax=/?(#)==,所以

题型二等价转化求参数范围

例2(2023•柳州模拟)已知函数(<)=4〃一川A.

(1)讨论函数7U)的单调性；

(2)若x=l为函数用:)的极值点,当x£[e,+8)时，不等式干伏力-x+l]W/n(e一1)恒成立,

求实数，〃的取值范围.

内1ar—1

解(1^(x)=«--=——(x>0),

①当aWO时，/。)<0恒成立，

，«¥)在(0,+8)上单调递减；

②当。>0时，令/(x)>0,得心+，令/(x)<0,得0<C，

・・J(x)在+8)上单调递增，在(0,5)上单调递减.

综上，当aWO时,九0在(0,+8)上单调递减；当。>0时，曲:)在+8)上单调递增，在(0，十)

上单调递减.

(2)Vx=l为函数外)的极值点,：./(1)=0,

••a=\.

1/(x)=x—Inx,x[/(x)—x+l]=x(l—Inx),

当x£[e,+8)时，不等式犬伏处一x+1]W机(e—x)0x(l-Inx)W/”(c—x),

即x(l—Inx)一〃?(e—x)W0：令g(x)=x(l—Inx)—/〃(e—x),g(e)=O,

g'(x)=m—Inx,x£[e,-F00),

若加Wl,g'(x)W0在[e,+8)上恒成立，

则g(x)在[e,+8)上单调递减,

，g(x)Wg(e)=O满足题意.

若〃?>1,由g'(%)>0,可得eWx<eT则g(x)在[e,”)上单调递增，

・•・在[e,记)上存在XQ使得g(xo)>g(e)=0,与题意不符，

综上，实数m的取值范围为MWL

思维升华根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借

助函数单调性求解.

跟踪训练2(2023・宝鸡模拟)已知函数&)=b+43(一工)+1,/(#是其导函数，其中aWR.

(1)若_/U)在(一8,0)上单调递减，求。的取值范围;

(2)若不等式凡r)W/'(x)对VX£(—8,0)恒成立，求。的取值范围.

解(i»'

因为y(x)在(一8,0)上单调递减，

所以/(x)=e，+£wo在(-8,0)上恒成立，

即。2—在(一8,0)上恒成立，

令g(x)=—x-e'(x<0),

则g'(x)=—ev—xe'=—(x+1)e\

当xv—1时，g'(x)>0,

当一1令<0时，g1(x)<0,

所以函数g(x)在(一8,一I)上单调递增，在(一|,0)上单调递减，

所以g(X)max=g(—1)=1

V3/7G1,亨)使火的2g(工)恒成立,

e_.

:.flxlnx——5恒成立，

当x=l时，有一12一，成立，・・・a£R,

e

A-2

当仲1,e］时，心面,

/-5jinx-工十］

令G(x)=芯,则G'。)=(…？，

则(工)=最一1,

且加‘仔)=。,

当时，m'(x)>(),当，<r<c时，m'(x)<0,

・•・加(x)在(1,?上单调递增，在e，e)上单调递减，

///(!)=-1+，>0,〃［倒=，ln|>0,/n(c)=O,

・•・当x£(l,e］时，m(x)>0,即G'。)20,G(x)在(1,e］上单调递增，

当x=e时，G(x)有最大值，且G(e)==

综上所述，。的取值范围是

思维升华“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行

等价变换，常见的等价转换有

(l)Vxi,也^。，yUl)>g(X2)<="(X)min>g(X)max.

(2)VX|£。1,三X2£。2,外1)>g(X2)9/(X)min>g(X)min.

(3)三Xi£。］,TX2£。2,人工|)>ga2)<=VU)max>g(X)max.

跟踪训练3已知函数7U)—虱勺二D(X£R),。为正实数.

(1)求函数人幻的单调区间；

(2)若Vxi,%2n0,4］,不等式仪制)一段2)|<1恒成立，求实数a的取值范围.

解⑴因为以尸吟三%£对，

所以/。)=二^匚之―

因为。>0,所以令ra)>0,得0<x<3；

令，(x)〈0,得MO或x>3.

所以风。的单调递增区间为(0,3),单调递减区间为(一8,0)和(3,+8).

(2)由⑴知,7U)在(0,3)上单调递增，在(3,4)上单调递减，

所以於)在［0,4］上的最大值是心)=苦.

又<。)=一。<0,/(4)=ll«e_4>0,

所以30)勺(4),

所以人幻在［0,4］上的最小值为/())=-a.

若Vxi,.HW［0,4］,不等式［/UI)—/(X2)|vl恒成立，

则需於Mx-/U)min<l在工目0,4］上恒成立，

即人3)一40)<1,即当+。<1,解得。<焉£,

e3

又。>0,所以Ovav耳I，

故实数〃的取值范围为(0,暴)

课时精练

q基础保分练

1.已知函数fix)=(x—2)er.

(1)求«r)在［-1,3］上的最值；

⑵若不等式〃(》)+2⑺2加对工£［2,+8)恒成立，求实数。的取值范围.

解⑴依题意(x)=(x—l)ev,

令/'(X)=0,解得x=l,

当XVI时，/(x)<0；当x>l时，f'(x)>0,

，贝力在［-1,1)上单调递减,在(1,3］上单调递增，

而41)=一e,/3)=e3,

.\/U)在［―1,3］上的最小值为一e,最大值为e3.

(2)依题意，2。一2把'+2曲•2加在［2,+8)上恒成立.

当x=2时，4a24a,，a£R；

当x>2时，原不等式化为。W笔三老=亳，

人2d小，2(x-l)e'

令8。)=二-，则g(x)=--2---,

•・3>2,・・・g'a)>0,・・・g(x)在(2,+8)上单调递增，

，g(x)>g(2)=c2,/.£7<e2,

综上，实数〃的取值范围是(-8,e2].

2.(2023•镇江模拟)已知函数/(x)=alnx-x3£R).

(1)求函数/U)的单调区间；

(2)当。〉0时，设g(x)=x—Inx—1,若对于任意1],X20。，+°°)»均有«n)<g(X2)，求。的

取值范围.

解⑴函数於)=411工一”。£1<)的定义域为(0,+°°),.*./(x)=7-1=-

①当“W0时，/(此<0恒成立，，函数的单调递减区间为(0,4-00)；

②当。>0时，由/(x)=0,解得x=a；

当x£(0,a)时，f(x)>0,

当+8)时，/(x)<0,

・•・函数_/U)的单调递增区间为(0,a),单调递减区间为3,+8).

综上可得，当aWO时，.穴X)的单调递减区间为(0,+8)；当。乂)时，_/U)的单调递增区间为(0,

4),单调递减区间为(〃，+°°).

(2)由已知，转化为"t)max<g(X)min.

由(1)知，当。X)时，函数/U)的单调递增区间为(0,。)，单调递减区间为(〃，+8).

故/U)的极大值即为最大傕，J(x)max=fia)

=dna-a,

1x—)

*：g(x)=x-\nx-\则«=]_；=、一,当时，g'当心时，

tg'人人0y<1(x)<0,>1g'Q)>0,

・•・函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

故g(x)的极小值即为最小值，

，g(X)min=g(l)=。，

:.6/1na—a<0,即1na—1<0,解得0<〃<e.

二。的取值范围为(0,e).

C综合提升练

3.(2023・福州模拟)已知函数y(x)=xlnx.

(1)求曲线)，=危)在点(1,贯1))处的切线方程；

2

(2)当文21时，yUjWar—0,求a的取值范围.

解(\)f(x)=lnx+l,/(1)=1,

又XD=0,

故./U)在点(1,0)处的切线方程为y=x~\.

(2)当时，令g(x)=xlnx—a(『一l),

得g(l)=O,g1(x)=lnx+l—2or,

令/?(%)=Inx+I-lax,

,11—2ax

则M

h(x)=人--2a=-人--

①若aWO,得〃'(工)>0,

则g'(幻在［1,+8)上单调递增，

故g'(x)2g‘(1)=1-2a20,

所以观幻在［1,+8)上单调递增，

所以g(x)》g(l)=O

从而xlnx一〃(『一1)20,不符合题意；

②若。>0,令若(x)=0,得x=五.

(i)若0<悬，则方>1，

当x£(l,力时，h'(x)>0,

g'(x)在(1,力上单调递增，

从而g'a)>g‘(i)=i—2eo,

所以观幻在［i,上单调递增，

此时g(x)2g(1)=0,不符合题意；

(ii)若〃矣,

则。喘W1,/?'(x)WO在［1,+8)上恒成立，

所以g'(%)在［1,+8)上单调递减,g，(x)Wg'(l)=l-2〃W0,

从而g(x)在［1,+8)上单调递减，

所以g(x)Wg(l)=O,

所以川nx—“(X2—1)WO恒成立.

综上所述，。的取值范围是+8)

立拓展冲刺练

4.已知函数yU)=e21一如(。£R),e为自然对数的底数.

(1)求函数_/U)的极值；

⑵若关于X的不等式a(lnx—X+%«Y)恒成立，求实数a的取值范围.

解⑴:/(刀)=视一ox,

・•・/(x)=2elr-d,

当aWO时，/(A-)>0,7U)单调递增，函数/U)无极值.

当4>0时，令/(A-)=0,得2样一。=0,

得A—|ln

易知当x《一8