高考数学一轮复习：变量间的相关关系与统计案例

第2讲变量间的相关关系与统计案例

最新考纲考向预测

1.会作两个有关联变量的数据的散点两个变量线性相关的判断

图，并利用散点图认识变量间的相关关及应用，回归直线方程的

系.求法及应用，利用2X2列

2.了解最小二乘法的思想，能根据给出命题趋势联表判断两个变量的相关

的线性回归方程系数公式建立线性回关系是高考考查的热点，

归方程(线性回归方程系数公式不要求题型为选择与填空题，或

记忆).者在解答题中综合考查.

3.了解独立性检验的思想、方法，并能

初步应用独立性检验的思想方法解决

一些简单的实际问题.

核心素养数据分析、数学运算

4.通过典型案例了解回归分析的思想方

法，并能初步应用回归分析的思想、方

法解决一些简单的实际问题.

走进教材•自主回顾〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃

知识梳理温故知新

1.变量间的相关关系

常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是指差关系；与

函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.

2.两个变量的线性相关

⑴从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一

条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线.

(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种

相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系

为负相关.

n___

^xiyi-nxy

⑶回归方程为y=bx+a，其中力=三］二-

Yxr—nx2

(4)相关系数

当,>0时，表明两个变量正相差；

当,<0时，表明两个变量负相关.

一的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强•的绝对值越接近

于()，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常仍大于().75时，认为两

个变量有很强的线性相关性.

3.独立性检验

(1)2X2列联表：假设有两个分类变量X和V，它们的取值分别为｛川，r｝和

｛V，*｝，其样本频数列联表(称2X2列联表)为：

y中总计

x\aba±b

X2cdc+d

总计Q+Cb+d〃+/?+c+d

(2)心统计量

曲=(a+b)(:黑::L(b+d)(其中"="+0+c+"为样本容

量).

0常用结论

1.求解回归方程的关键是确定回归系数々，b，应充分利用回归直线过样本

中心点(x，y).

2.根据片的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若收越大，则两

分类变量有关的把握越大.

◎常见误区

1.根据回归方程计算的Q值，仅是一个预报情，不是真实发生的值.

2.注意线性回归方程中一次项系数为合，常数项为2，这与一次函数的习惯

表示不同.

3.应明确R2越接近于1，表示回归效果越好.

诊断自测易错清零

I.判断正误（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系.（）

（2）利用散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表

示.（）

（3）只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值.（）

（4）事件X，丫的关系越密切，由观测数据计算得到的K2的观测值越大.（）

（5）通过回归方程£=源+。可以估计和观测变量的取值和变化趋势.（）

答案：（1）X（2）7⑶J（4）V（5）V

2.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据

如表:

X681012

y2356

则），对x的线性回归直线方程为（）

A.y=2.3x—0.7B.y=2.3x+0.7

C.y=0.7尤一2.3D.y=0.7x+2.3

解析：选C易求7=9，歹=4，样本点的中心（9，4）代入验证，满足f=（）.7x

—2.3.

3.（易错题）两个变量〉与工的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们

的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）

A.模型1的相关指数中为0.98

B.模型2的相关指数R2为（）.8（）

C.模型3的相关指数序为0.50

D.模型4的相关指数R2为0.25

解析：选A.在两人变量y与x的回归模型中，它们的相关指数A?越接近于

1，拟合效果越好，在四个选项中A的相关指数最大，所以拟合效果最好的是模

型I.

4.下面是2X2列联表:

解析：选CD.由题中散点图知C项中的点都分布在一条直线附近，D项中的

点也分布在一条直线附近，所以C项和D项中的两个变量具有相关关系，A项

和B项中的点分布杂乱无序不具有相关关系.故选CD项.

2.下列命题中正确的为（）

A.线性相关系数厂越大，两个变量的线性相关性越强

B.线性相关系数〃越小，两个变量的线性相关性越弱

C.残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好

D.用相关指数R?来刻画回归效果，R?越小，说明模型的拟合效果越好

解析：选C.线性相关系数|r|越接近1，两个变量的线性相关性越强，所以A，

B错误；残差平方和越小的模型，模型拟合的效果就越好，C正确；相关指数

R2来刻画回归效果，R2越接近于1，说明模型的拟合效果就越好，所以D错误.

3.某公司在2020年上半年的月收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）

的统计资料如表所示:

月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份

月收入X12.314.515.()17.()19.820.6

月支出），5.635.755.825.896.116.18

根据统计资料，则（）

A.月收入的中位数是15与y有正线性相关关系

B.月收入的中位数是17,x与y有负线性相关关系

C.月收入的中位数是16,工与y有正线性相关关系

D.月收入的中位数是16,工与y有负线性相关关系

解析：选C.月收入的中位数是170=A，收入增加，支出增加，故入

与），有正线性相关关系.

陶窗窗

判定两个变量正、负相关性的方法

（1）画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从

左上角到右下角，两个变量负相关.

⑵相关系数：当，＞0时，正相关；当一＜0时，负相关.

（3）线性回归方程中：3（）时，正相关；源0时，负相关.

考点口

回归分析

角度一线性回归方程及其应用

例工（2020•湖北八校第一次联考）为落实国家扶贫攻坚政策，某社区应上级

扶贫办的要求，对本社区所有贫困户每年年底进行收入统计，下表是该社区4

贫困户从2016年至2019年的收入统计数据：（其中y为A贫困户的人均年纯收

入）

年份2016年2()17年2018年2019年

年份代码x1234

人均年纯收入），/百元25283235

（1）作出A贫困户的人均年纯收入的散点图；

AA

（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于年份代码x的线性回归方程》，=。

工+1，并估计4贫困户在2020年能否脱贫.（注：国家规定2020年的脱贫标准

为人均年纯收入不低于3800元）

〃___

八Z秒一〃xy八

（参考公式：分=1-----二一a=y-bx）

YA?—nx2

【解】（1）由表格中的数据得散点图如图:

-25+28+32+35

（2）根据表格中的数据可得工=

4-2)，=4=30，

4____

A4到-4xyA_A-5

所以/?=-4--------=3.4»a=y-bx=30—3.4X7=21.5.

,身"4/2

故y关于x的线性回归方程为y=3.4x+21.5，

当x=5时，9=38.5（百元），因为38503800，所以预测A贫困户在2020

年能脱贫.

求回归直线方程的步骤

I⑴计算出£,夕,/+d+…+以用力+孙力+…+与力的值

[⑵利用公式计算回归系数i同

|（3）写出线性回归方程一宸+；）

角度二相关系数及其应用

例2（2020・高考全国卷H节选）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改

善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积

相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，

调查得到样本数据3，y）（i=l，2，…，20），其中力和分别表示第，个样区的

2020

植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得占H=6（），£），，=1

20-320_、20__

200，£（X/—x）2=80，不（》—y）2=9000，不（XLx）•（»—y）=800.

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样

区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；

（2）求样本3，刈（，=1，2，…，20）的相关系数（精确到（）.（）1）.

n——

X（X/—x）（）Ly）

附；相关系数-------=---7---='*72^1.414.

q占aw苫（产一7）2

【解】（1）由已知得样本平均数―），=疝12£0）＞=60，从而该地区这种野生动物

数量的估计值为60X200=12000.

（2）样本8，》）。=1，2，…，20）的相关系数

『片20…__”

/年三）2艺65）23

陶窟四

回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当M越趋近于1时，两变量

的线性相关性越强.

匐跟踪训练】（2020•武汉市学习质*检测）有人收集了某10年中某城市居民

年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数

据如表：

第〃

12345678910

年

年收

入W32.031.033.036.037.038.039.043.045.0X10

亿元

商品

销售

25.030.034.037.039.041.042.044.048.0yio

额W

万元

10

且已知香工二380.0.

（1）求第10年的年收入xio；

（2）若该城市居民年收入犬与该种商品的销售额），之间满足线性回归方程£=

363,A

2541+a'

①求该种商品第10年的销售额）“o；

②若该城市居民年收入为40.0亿元，估计这种商品的销售•额是多少？（精确

到（）.01）

AAAA^.XiVi—nxy

附：①在线性回归方程中»b='i二-

2r/一〃X

A—A—

a=y-bx；

io_99

②斗君一10x2=254.0,12875.0,R.W=340.0.

io

解：（1）因为苫刘=380.0.

所以32+31+33+36+37+38+39+43+45+xio=38O，解得xio=46.

⑵①由该城市居民年收入x与该种商品的销售额y之间满足线性回归方程Q

363A363vA2孙—10xy363

A+=FPZ?==：

254^^254，^-]Q-2254

34>?10

12875+46yio-lOX^X°1Q-

即--------------254--------------=25t，

解得yio=51.

——A363八363A

②求得x=38，y=39.1，代入得39.1=^[X38+。，

”•ZJ4ZJ4

AA363

解得。比一15.21，所以,=记》一15.21，

J"I

,「363

当x=40时，)，=奇义40—15.21七41.96，

故若该城市居民年收入为40.0亿元，估计这种商品的销售额是41.96万元.

考点3

独立性检验

H31(2()20•新后考卷I)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对

某市空气质量进行调研，随机抽杳了100天空气中的PM2.5和SOz浓度(单位:

Ug/m3)»得下表:

'\^SO2

ro，50](50，150](150，4751

PM2.5

[0，35]32184

(35，75]6812

(75，115]3710

(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过

150”的概率;

(2)根据所给数据，完成下面的2X2列联表:

[0，150](150»475]

PM2.5

[0，75]

(7575]

⑶根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5

浓度与SO2浓度有关?

n(ad-be)2

附：蜉=

(。+力)(c+d)(a+c)(b+d】

P(K2^k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

.【解】(1)根据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5浓度不超过75,且

SCh浓度不超过15()的天数为32+18+6+8=64，因此，该市一天空气中PM2.5

64

浓度不超过75，且SCh浓度不超过150的概率的估计值为而=0.64.

(2)根据抽查数据，可得2X2列联表:

[0，150](150，475]

PM2.5

[0，75]6416

(75，115]1010

(3)根据(2)的列联表得

—…100X(64X10-16X10)2八

K勺儿丹值女二80X20X74X26七7.484.

由于7.484>6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SCh

浓度有关.

(1)独立性检验的一般步骤

①根据样本数据制成2X2列联表;

n(ad-be)2

②根据公式照=计算K2的观测值生

(a+Z?)(c+d)(〃+c)(Z?+d)

③查表比较心与临界值的大小关系，作出统计判断.

(2)解独立性检验的应用问题的关注点

①两个明确：(i)明确两类主体；(ii)明确研究的两个问题;

②两个准确：(i)准确画出2X2列联表；(ii)准确理解K2.

匐跟踪训练】(2020・长沙市统一模拟考试)为了解某校学生参加社区服务的

情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，已知该校共有学生960人，其中男

生560人，从全校学生中抽取了容量为〃的样本，得到一周参加社区服务时'可的

统计数据如下表:

超过1小时的人数不超过1小时的人数

男208

女12m

⑴求m»n的值;

(2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时

与性别有关?

附：

P(K22k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

n(ad-be')2

(。+8)(c+d)(a+c)(b+d),

124-!H_400

解：(1)由已知，该校有女生400人，故20+8=560得m=8，

从而〃=20+8+12+8=48.

(2)作出2X2列联表如下：

超过1小时的人数不超过1小时的人数总计

男20828

女12820

总计321648

j1c48X(160-96)224

K2的观测值k==乂“=*[°.68570.841.

ZoXZUX32Xlo33

所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时

与性别有关.

知能提升•分层演练

[A级基础练]

I.在一次对性别与说谎是否相关的调查中，得到如下数据:

说谎不说谎总计

男6713

女8917

总计141630

根据表中数据，得到如下结论正确的一项是（）

A.在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关

B.在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关

C.在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有关

D.在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关

30X(6X9—7X8)2

解析：选D.由已知得烂的观测值k='।一—"0.002<0455，

13A1/X14X10

所以在犯错误的概率不超过50%的情况下，认为说谎与性别无关，也就是说，在

此调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关.

2.（2020♦四川绵阳二诊）已知某产品的销售额），（单位：万元）与广告费用x（单

位：万元）之间的关系如下表：

M单位：万元）01234

）,（单位：万元）1015in3035

若根据表中的数据用最小二乘法求得y与X的回归直线方程为f=6.5x+9，

则下列说法中错误的是（）

A.产品的销售额与广告费用成正相关

B.该回归直线过点（2，22）

C.当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元

D.m的值是20

解析：选C.由线性回归方程f=6.5x+9中的回归系数6.5>0，可知产品的销

售额与广告费用成正相关，故A中的说法正确；

-0+1+2+3+4-10+15+加+30+3590+加

x—z=2=5二^-代入），=6.5x+9，

90+m

得一^—=6.5X2+9，解得m=20，故D中的说法正确;

90+///90+20

=22，则该回归直线过点（2，22），故B中的说法正确;

>，=­5

当x=10时，£=6.5X10+9=74,说明当广告费用为10万元时，销售额预

计为74万元，故C中的说法错误.故选C.

3.如图是从2015年到2020年六年间我国公共图书馆业机构数与对应年份

编号的散点图（为便于计算，将2015年编号为1，2016年编号为2，…，2020年

编号为6，把每年的公共图书馆业机构数作为预报变量，把年份编号作为解释变

量进行回归分析），得到回归直线方程为f=13.743x+3095.7，其相关指数R2=

0.9817，给出下列结诒，其中正确的个数是（）

添3190

滓

13180

*3170

今3160

汪3150

二3140

更3130

共3120

出3110

3100

01234567

年份编号

①公共图书馆业机构数与年份编号的正相关性较强；

②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743；

③可预测2021年公共图书馆业机构数为3192.

A.0B.1C.2D.3

解析：选D.因为数点图中各点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为

正相关，因为7?2=0.9817接近于1，所以公共图书馆业机构数与年份编号的相

关性较强，故①正确；因为回归直线的斜率为13.743，所以公共图书馆业机构数

平均每年增加13.743敝②正确；将工=7代入回归直线方程夕=13.743工+3095.7，

解得£=3191.901^3192，所以可预测2021年公共图书馆业机构数为3192，故

③正确.综上所述，正确的个数是3，故选D.

4.（多选）下列说法中错误的是（）

A.将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变

B.设有一个回归直线方程f=3—5x，变量x增加1个单位时，了平均增加5

个单位

C.设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则仍越接近于0，x和

），之间的线性相关程度越强

D.在一个2X2列联表中，由计算得Y的值，则片的值越大，判断两个变

量间有关联的把握就越大

解析：选BC.根据方差公式，可知将一组数据中的每个数据都加上或减去同

一个常数后，方差恒不变，故A正确；变量x增加一个单位时，），平均减小5个

单位，故B不正确；设具有相关关系的两个变量x，），的相关系数为广，则H越接

近于（），1和y之间的线性相关程度越弱，故C错误；在一个2X2列联表中，由

计算得K的值，则K?的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，故D正

确.故选BC.

5.经调查某地若干户家庭的年收入x（万无）和年饮食支出），（万元）具有线性

相关关系，并得到），关于x的回归直线方程£=0.245X+0.321，由回归直线方程

可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加万元.

解析：x变为x+1，£=0.245。+1）+0.321=0.245x+0.321+0.245，因此家

庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元.

答案：0.245

6.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，

具体情况如下表：

非统计专业统计专业

性别

男131()

女720

为了检验主修统计专业是否与性别有关，根据表中的数据得到片的观测值

k=（精确到0001）.若断定主修统计专业与性别有关系，这种判断出错

的可能性为.

（由临界值表知P（K223.841户0.05/（肥25.024户0.025，其中片的观测值攵

〃（ad-be）2______________

（。+〃）（c+d）（a+c）（〃+d），十台+c十4

解析：由题意，根据公式可得片的观测值4=

50X(13X20-10X7)2

一g4.844.

23X27X20X30

因为4.844>3.841，所以断定主修统计专业与性别有关系，这种判断出错的

可能性为0.05.

答案：4.8440.05

7.（2020・合肥模拟深校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类校

本选修课程的选课意向进行调查.现从高一年级学生中随机抽取180名学生，其

中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名.

（1）试问：从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为多少？

（2）根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面的2X2列联表.并判断能

否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科学类的选择与性别有关?

选择自然科学类选择社会科学类总计

男生

女生

总计

〃（ad-be）~________廿।

（。+匕）（c+d）（。+。），其中“MQ+8+c+a

尸（烂2旬0.100.050.0250.0100.0050.001

屈2.7063.8415.0246.6357.87910.828

解：（1）从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为普

1OU1N

（2）根据统计数据，可得2X2列联表如表：

选择自然科学类选择社会科学类总计

男生6045105

女生304575

总计9090180

m力m180X(60X45-30X45)236

则K?的观测值&=----1八〜r-，…，、八--------------

所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科学类的选搽与性别有

关.

8.某市春节期间7家超市广告费支出刘（万元）和销售额坂万元）数据如表:

超市ABCDEFG

广告费支出方（万元）1246111319

销售额），,（万元）19324044525354

（1）若用线性回归模型拟合y与大的关系，求），与x的线性回归方程；

（2）若用二次函数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：£=-0.17Y

+5工+20经计算，二次函数回归模型和线性回归模型的R2分别约为（）.93和0.75，

请用R?说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出为3

万元时的销售额.

参考数据：1=8'歹=42,±x»=2794'£x?=708.

n___

A^iy-nxy__

参考公式：b=E------------->aA=y-bAx.

,不需一2

7___

5个高孙—7工,，2794-7X8X42

解：⑴"==—708-7X82-=17

所以1=歹一£7=42—1.7X8=28.4.

故），关于x的线性回归方程是?=1.7x4-28.4.

（2）因为0.75<0.93，所以二次函数回归模型更合适.

当犬=3时，£=33.47.故选择二次函数回归模型更合适，并且用此模型预测

A超市广告费支出为3万元时的销售额为33.47万元.

[B级综合练]

9.（2020・高考全国卷III）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空

气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

人次

空藕NJ[0，200](200，400](400，600]

1（优）21625

2（良）51()12

3（轻度污染）678

4（中度污染）720

⑴分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间

的中点值为代表）;

(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空

气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的

2X2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼

的人次与该市当天的空气质量有关？

人次W4人人次＞400

空气质量好

空气质量不好

n(ad-be)2

(〃+Z?)(c+d)(a+c)(b+d〕

P(心》k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

.解：(1)由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计

值如表：

空气质量等级1234

概率的估计值0.430.270.210.09

(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为

击(100X20+300X35+500X45)=350.

(3)根据所给数据，可得2X2列联表：

人次W400人次＞400

空气质量好3337

空气质量不好228

根据列联表得

,100X(33X8-22X37)2

-----------------------'5820

K2=55X45X70X30

由于5.8203.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市

当天的空气质量有关.

[C级创新练]

10.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位:

千元)对年销售量z(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影