高考数学一轮复习：圆锥曲线中的证明、范围（最值）问题

第8讲圆锥曲线的综合问题

最新考纲考向预测

圆锥曲线中的综合问题是高考命题的热

1.掌握解决直线与椭圆、

点，高考主要考查圆锥曲线中的证明、定

抛物线的位置关系的思想命题趋

点、定值、最值、范围等问题，这类问题

方法.势

考查范围广泛，命题形式新颖.一般试题

2了.解圆锥曲线的简单应

难度较大，题型以解答题为主.

用.

核心素

3理.解数形结合的思想.数学运算、逻辑推理

养

印

走进教材•自主回顾

知识梳理温故知新

1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定

（1）代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程I联立消去），，整理得到关于x

的方程以2+Z?x+c=O.

方程加+法+c=0的解/与C的交点

无解（含/是双曲线的渐近

b=G无公共点

线）

a=0有一解（含/与抛物线的对

斤0称轴平行（重合）或与双曲一个交点

线的渐近线平行）

4>()两个不相等的解两个交点

〃#0J=0两个相等的解一个交点

J<0无实数解无交点

⑵几何法：在同一直珀坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可

判定直线与圆锥曲线的位置关系.

2.直线与圆锥曲线的相交弦长问题

设斜率为2伙关（））的直线/与圆锥曲线C相交于A，B两点，4但“），B（X2,

闻，

则依8|="1+后XLX2|

=y]1+Kyj(xi+x2)2~4x\X2

1+将if

yj(JI4-^2)2-4yi)2

©常用结论

圆锥曲线以P（xo，冲）CvoWO）为中点的弦所在直线的斜率如下表:

圆锥曲线方程直线斜率

72。2刖

椭圆：浸+^=13＞力＞0）k~出

‘FV"b2xo

双曲线：/及—1（。＞0，/»0）

k—a2yo

抛物线：）J=2px（p＞（））k=E

yo

诊断自测易错清零

I.判断正误（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）直线》=息伙金0）与双曲线X2一产=1一定相交.（）

（2）与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点.（）

（3）直线与椭圆只有一个交点台直线与椭圆相切.（）

（4）过点（2，4）的直线与椭圆于+产=1只有一条切线.（）

答案：（1）X（2）7⑶J（4）X

2.过点（0，1）作直线，使它与抛物线V=41仅有一个公共点，这样的直线

有（）

A.1条B.2条

C.3条D.4条

解析：选C.结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x=0,过

点（0,1）且平行于x轴的直线以及过点（0,1）且与抛物线相切的直线（非直线人=

0）.

3.（易错题）直线/：y=x+3与双曲线］一，=1交点的个数为（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：选C.由于直线/：y=x+3过（0，3），双曲线]一，=1的渐近线y=1x

a22

的斜率另＞1，故直线/仅与双曲线方一，V=1的上支有两个交点，如图所示.故选

C.

JT

4.过点A（1，0）作倾斜角为彳的直线，与抛物线）r=2x交于M，N两点，

则|MN|=.

y=x-1»

解析：由题意可知直线方程为），=X一1，联立,整理得『-4汇+1

y=2x，

=0.设M（x\»yi），N*2，yi），则x\X2=1，XI+M=4»所以—阎=

y127（xi+r）2—4xiK2=2^/6.

答案：2^6

5.己知椭圆C：亍+]=1与动直线/：y=|x+机相交于A，B两点，则实

数〃?的取值范围为.

）'=玄+〃7，

、o得18『+12〃a+4m2—36=0，Z1=144W2-4X18（W

（居n

-36）＞0，所以一36

答案：（―»3V5）

第1课时圆锥曲线中的证明、范围（最值）问题

考点探究■题型突破

考点（I

证明问题

技法一直接法

的性质，或基本不等式求得最值.

技法二转化法

屈因已知B是抛物线上任意一点，A（0，-1），且P为线段AB

的中点.

（1）求点P的轨迹C的方程；

（2）若厂为点A关于原点。的对称点，过〃的直线交曲线C于何，N两点，

直线0M交直线），=一1于点〃，求证：|NF|=|M/］.

xo=2x，

【解】（1）设尸a，y），8ao，和），因为P为48的中点，所以彳

lyo=2y+1.

因为3为曲线y=1x2+1上任意一点，

所以川=$4+1，代入得人”=4），，

所以点P的轨迹。的方程为f=4），.

（2）证明：依题意得F（0，1），直线MN的斜率存在，其方程可设为y=kx+

1.

设M（xi»yi）»N（xi'yi）'

），=依+1，

联立，、得，一4丘一4=0，

R=4y，

则/=16尼+16>0，所以xiK2=-4.

因为直线OM的方程为），=、,H是直线OM与直线y=-1的交点，

X\

所以从寸，t）

根据抛物线的定义|NF|等于点N到准线y=-1的距离.

因为点“在准线），=一1上，所以要证明|NF|=|M7］，只需证明HN垂直准线

y=-1，即证HN//y轴.

r“•.，，E.1,~XIXI-4X\X2

因为”的横坐标_*=一存=：丁=；-=12，

y1-*IA1

I

所以HN〃y轴成立,所以|NF|=|M/］成立.

圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广，但无论证明什么，其常用方

法有直接法和转化法，对于转化法，先是对已知条件进行化简，根据化简后的情

况，将证明的问题转化为另一问题.本题证明的关键是能够利用抛物线的定义将

所证结论转化为证明HN〃丁轴.通过直线与抛物线联立得到根与系数的关系的

形式,利用根与系数的关系的结论证得“N〃y轴.

跟踪训练】（2020•北京市适应性测试）已知椭圆C的短轴的两个端点分别为

A（0，1），8（0，-1），焦距为2小.

（1）求椭圆C的方程;

（2）已知直线y=rn与椭圆C有两个不同的交点M、N、设D为直线AN上一

点，且直线5。，的斜率的积为一［，证明：点加在x轴上.

b=\，

解：（1）由题意，得，

£=小'

所以«2=Z?24-C2=4»即〃=2.

故椭圆。的方程为］+），2=1.

(2)设M(xi»m)»则N(—xi»m)»xi#=0»­1</??<!.

m—(-1)机+1

所以直线3M的斜率为

n—0

因为直线BD，BM的斜率的积为一（，

所以直线BD的斜率为

4(m+1)•

1——m

直线AN的斜率为■^―，

X\

1——m

所以直线AN的方程为v=---x+1.

・XI

直线BO的方程为y=-4（〃:3）lL

"1-in

产丁叶1'

联立得《

加x-1，

尸4(w+1)

—"P+]

解得点D的纵坐标为yD=

"2—1

J

因为点M在椭圆C上，所以号+/=1，

则冲=（）.

所以点。在工轴上.

2

范围（最值）问题

技法一定义、性质转化法

频1（2021•广东深圳模拟）已知动点M在以Fi，6为焦点的椭圆1+?=1

上，动点N在以M为圆心，为半径的圆上，则WBI的最大值为（）

A.2B.4C.8D.16

【解析】由椭圆的方程可得焦点在y轴上，长半轴长4=2.

由题意可得+=+，

当N，M，B三点共线时，|NB|取得最大值，

而|F2M+|MRI=2〃=4，所以|NB|的最大值为4，故选B.

【答案】B

陶同回

定义、性质法

求解圆锥曲线中的最值问题，即通过圆锥曲线的定义、几何性质将最值耨化，

利用平面几何中的定理、性质，结合图形的直观性求解最值问题.常用的结论有：

（1）两点间线段最短;

（2）点到直线的垂线段最短.

技法二不等关系法

?2

侧14（2021・福建龙岩调研）设双曲线C：，一方=1（。＞0，〃＞0）的左、右焦点分

别为F「尸2，|Fi园=2c，过正2作）轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A，

点。坐标为（c，当），且满足尸2。|＞尸刈，若双曲线。的右支上存在点P使得朋|

7

+『。1＜石尸也|成立，求双曲线c的离心率的取值范围.

【解】将x=c代入双曲线的方程可得y=土叭内=1=4，

2人2

由|乃。|＞旧刈，可得学。'则3层＞2护=2(/一/),

所以离心率①

7

又存在点P，使得|PFi|+1PQ|＜#Fi乃|成立，所以由双曲线的定义可得存在点

77

P，使得2a+|PF2|+|PQ|qc•成立，即(2a+|PF2|+|PQ|)minqc.

当尸2，尸，。共线且尸在第一象限时，甲22|十『。|取得最小值，最小值为|尸2。|

373

=2^'所以于＞2〃+于，

所以②

V44

由e＞\及①®可得»e的取值范围是,

侬窗窗

指构建所求式子的不等关系，通过不等式变形或不等式的求解确定范围的方

法.解决问题的关键如下：

(1)构建所求式子的不等关系，可根据已知条件中的不等式(组)建立不等关系

或根据题意建立不等关系.一般通过以下几何条件建立不等关系：三角形两边之

和大于第三边、直角三角形斜边大于直角边、点的横(纵)坐标大小比较、直线的

斜率、圆锥曲线中线段长的范围等.

(2)求范围，利用不等式的性质或解不等式求解所要求的式子的范围.

技法三目标函数法

02

JHT51(2020•河北九校第二次联考)椭圆，+方=1(◎＞比＞())的左焦点为F，短轴

长为2小，右顶点为4，上顶点为B，△/Wb的面积为岁.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过A作直线/与椭圆交于另一点M,连接MF并延长交椭圆于点N，当

△AMN的面积最大时，求直线/的方程.

【解】⑴根据短轴长知h=y13,Saw=J(a+c)•小,

则a+c=3，因为b2=a2—c2，所以a~c=1，

92

故a=2，c=l，则椭圆的标准方程为5■+1■=1.

⑵当直线MN的斜率存在时，设其方程为尸也+1)(20)，M(xi》)，N(X2，

”)，

贝S△八MN=3lAFHyi-*|

y=k(x+1)

J2工42”_；>(3+4F))，2_6h_9F=0，

[3L+4y—12=0

6k

…一

代人①式得S&AMN=~\J^^+5^2=18^(/+4^)^'

令/=3+4F'则/>3，lc=^r'

「一2L39

S&AMN=1816»2

9

当直线MN的斜率不存在时»S△八MN=5.

故当△4MN的面积最大时，MN垂直于无轴»此时直线/的斜率为±|，

则直线/的方程为y=±1(x—2).

陶窟麴

圆锥曲线的最值与范围问题中，若目标表达式与已知条件具有比较明确的关

系，则可以考虑建立目标函数，通过研究函数的亘调性、图象或基本不等式等来

解决，破解此类问题的关键如下：

(1)定变量，根据题目定变量以及变量的取值范围.

(2)定目标函数，根据题目信息确定目标函数(一般以所求式子为函数解析

式）.

（3）求最值或范围，根据目标函数解析式，借助配方、基本不等式、三角函

数的有界性、函数的亘调性（可借助导数研究）等确定目标函数的最值或取值范

围.

跟踪训练

1.（多选）抛物线E：f=4y与圆A7：1产=16交于A'8两点‘圆心

M（0，1），点尸为劣弧翕上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交

抛物线于点N，则△PWN的周长的可能取值是（）

A.8B.8.5C.9D.10

解析：选BC.如图,可得圆心M（0，1）也是抛物线的焦点，

过户作准线的垂线‘垂足为”，根据抛物线的定义，

可得=，

故△PMN的周长！=|N〃]+WP|+|MP|=|P”|+4，

『=4），，

由士（得8（243，3）.

[广+{y—1；-=16»

|P”|的取值范围为（4，6），

所以△PMN的周长|P”|+4的取值范围为（8>10），

故B，C满足条件.

2.（2020•成都市诊断性检测）已知椭圆C：曰+），2=1的右焦点为F，过点F

的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，3两点，直线/：x=2与x轴相交于

点”.求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围.

解：由题意得，，0）,设直线AB:x=/号+l（〃z£R）,A（x\»y\）‘B（xi，

"）•

jv=〃zy+l，

由，x2i消去不，得（，〃2+2）>2+2/〃）,一1=0.

y+y=l，

2nl]

则A=4nr+4（77?2+2）>0，）”+）,2=-〃岸:，）“户=一〃尸+：»

（-Z------/—；—；—7^5------------2市M—+]

所以|y|一），2|=q<y\-y2）~=y]（yi+户）--4yly2=十？•

12、历・、/62+]

所以四边形OAHB的面积5=2|0闭胃一”|=|y一”|=V〃i+2—.

令莉十皿,则/],3=雯=叫.

II1I人

-7

因为/+：22（当且仅当t=\，即〃?=（）时取等号），所以

所以四边形OAHB面积的取值范围为（0，啦].

知能提升对"飞层演练

[A级基础练]

,2

i.过椭圆C：$+£=1（A疣>0）的右顶点A且斜率为上的直线交椭圆。于另

一个点8，且点3在人轴上的射影恰好为左焦点F，若夫上与，则椭圆离心率的

取值范围为（）

一

13一&3

--

-.B9

A.344

_一

D

b2

（hr\ClCl—C12

解析：选B.由题总知闻一c，——»所以k=.=----=1—e.又下5

\a）c~\~aa43

1713

所以，解得

2.（多选）已知抛物线C）2=8x的焦点为尸，准线与x轴相交于点M，经过

M且斜率为k的直线I与抛物线相交于点A（xi，y\），B（X2,yi），且x\>X2，则卜.列

结论正确的是（）

A.-1<K1

B.），1），2=8X1X2

C.乙4列?可能为育角

D.当d=54时,AAFB的面积为16

解析：选CD.依题意知F（2，0）,历（一2’0），设直线/的方程为y=k（x+2），

y2=8x，

联立彳消去y得&2+（4&2—8）4+442=（）.因为直线/与抛物线相交于

y=k（x+2）

FHO，

A(x\»y\)»B(X2'”)两点，所以<,,、，“解得一IvAvl且ZHO,

(442—8)2-16^>0，

4后

故A选项错误；因为JIX2=~^T=4，所以=8xiX8x2=64X4=256，由于yi，

”同号，所以yiy2=16»于是yiy2=4XIX2»故B选项错误；由于项=（加一2，yi）»

FB=（X2~2，”），所以成•彷=xiX2—2（XI+X2）+乙+yi”=4-2』丁产~+4+16=

।Ai

32-p-，当好=2时，戒.元=0，ZAFB为直角，故C选项正确：XAFB的面积

S=S^MFA—S^MFB=^\MF\-\y\—=2\](yi+y2)2—4yiy2，当时》i+y2=Z(xi

+2)+忒X2+2)=A(XI+X2+4)=16攵，因此S=2yjC16D2~4X16=16，故选项D

正确.

3.（2020•高考全国卷H改编）设。为坐标原点，直线x=a与双曲线C

2

方=1（介0，比＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C

的焦距的最小值为.

解析：由题意，知双曲线C的渐近线方程为），=土务.因为D，七分别为直线

x=a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D（a，b），E（a，—b），所以S

々X|£）£|=；X“X2/?=ab=8»所以（r=a1-\-b2^2ab=16，当且仅当a

=/?=26时，等号成立，所以c24，所以2c28,所以C的焦距的最小值为8.

答案：8

4.抛物线），2=8x的焦点为F，设A3，）”）-，殍）是抛物线上的两个动

点，若加+也+4=芈质为，则NA尸B的最大值为.

解析：由抛肠线的焦半径公式可得|AF|=R+2，|6月=m+2.

又X1+X2+4=

即依阴=为-（依用+|5同），

所以cosZAFB-2\AF\\BF\

+阳Q2—[乎(\AF\-\-\BF\')2

2\AF]\BF\

ii3

用2—习AQIAfl

2\AF]\BF\

_L幽幽1]

-3>_Lx2AHnxL^l_3=_i,当且仅当欧=幽即

8秋师十|4用4^8X2V\^n\AF]42当且仅当|叼\AF]^

|AF1=|8月时，等号成立.又OV/A产BVn，所以NA用的最大值为手.

2n

答案：

5.已知抛物线C：），=/,直线/的斜率为2.

⑴若/与C相切，求直线/的方程;

⑵若I与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交C于P，。两点，求华

的取值范围.

解：⑴设直线/的方程为），=2x+b，

y=2.t+Z?,

联立直线/与抛物线C的方程，得彳9得f-Zr—QO,

/=4+4/?=0‘加以b=-1，

因此，直线/的方程为y=2x—1.

(2)设点A(xi»yi)»3(x2'yi)»P(X3»户)'。3,J4)»

y=2x+h，

联立直线与抛物线C的方程,得

I),=/,

得%*2—*2%—〃=05/=4+4Z>0»所以。>一1.

由根与系数的关系得XI+12=2，X\X2=~b.

所以|八州=木|加-X2\=2d5(h+1).

易知线段AB的中点坐标为（1，2+〃），

15

-

一2

所以，直线PQ的方程为才

15

-?-+6

--+■2

由<

得—Z方=0,

-

X2

则启+丫4=-2，0丫4=-2~^，

所以，\PQ\=^k3-X4\=4^41+16/?，

“、，\PQ\1Ml+16/?1/…251

所以‘危=豆7FT宜y16+申力'

所以'龄的取值范围是G,+8）.

|AD|）

22

6.（2020•重庆南开中学质检）已知A（0，也），8（#，1）是椭圆C：$+方=

l（〃>b>0）上的两点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设O为坐标原点，M为椭圆C上一动点，点P（3，0），线段PM的垂直

平分线交y轴于点Q，求|。。|的最小值.

2

解：（1）由题意知代入A，8两点坐标得启=1，

crb-

解得次=6，b2=l，

所以椭圆C的标准方程为2+3=1.

02

（2）设线段PM的中点为N，根据题意知直线PM，QN的斜率存在且不为0.

设点M坐标为（xo，和），

则£+3=1'即"=6—3况①

线段PM的中点八｛“；3,劳，kpM•kQN=-1，

,3—xo

即kQN=一;一，

所以直线/0N：

人八上五人不》产上,君―9yo—3—35^―3-2的

令1=()，开结合①式付W=^+R=E+F^=F^

-3—2、3

|OQI=I)，。尸

=肃+仇1力27肃・|.|=&'

3

当且仅当丽=1卯'

印州=手时取等号，

所以IOQ的最小值为a.

[B级综合练]

7.(2020•福州市质量检测)已知圆。：炉+产号，椭圆。：、+$=](4＞。＞0)

的短轴长等于圆。半径的加倍，。的离心率为乎.

(1)求。的方程；

(2)若直线/与C交于A，B两点、，且与圆。相切，证明：为直角三

角形.

解：(1)因为圆o的半径为手，

所以c：,+g=[(〃＞/»())的短轴长为%X号-=2啦，

所以28=2吸，解得b=y[2.

因为c的离心率为乎，所以(=亭，①

又cr—(r=b15所以a2—c2=2»②

联立①②，解得〃=4，

所以C的方程为]+5=L

(2)方法一：①当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=斗^或x=一

当直线/的方程为x=¥时，不妨设/¥，¥)，/¥，一明，

则所彷=g_g=O.

当直线/的方程为工=一¥时，不妨设

小唳叫,心乎’一鸣.

则次.协=3_&=(),

JJ

综上，OArOB.

所以aAOB为直角三角形.

②当直线/的斜率存在时,设其方程为y=kx-\~m»A(xi，＞,i)'B(xi，yi),

2邛_2川

因为直线/与圆。相切，所以

3yjlc+1

即3加2—43—4=0,

y=kx-\~m'

由f।得（1+2⑹x2+4k2nr—4=0»

所以/=16/cnr-8（1+23）（〃户一2）=8（4公一〃?+2）=y（4Zr+1）＞0»

4km2m2—4

且加+工2=1+23，7二=]+2~

所以为励=XlX2+w

=x\X2+(丘।+,??)(te+m)

=(1+lc)x\xi+km[x\+K)+nr

(1+F)(2〃，-4)-4标〃尸+"[(1+2F)

=1+2^

3m2—4^—4

=1+2标”

所以Q4_LOA

综上所述，。4_1。5.所以44。3为直角三角膨.

方法二：①当直线/的方程为尸学时.

不妨设A(—李明，4¥，鸣，则如丘

44

-3+3=0

所以0A_L08.所以aAOB为直角三角形.

不妨设A殍一明，

②当直线I的方程为y=一时

4一¥，一¥)，所以为•丽=一3+3=0，

所以O4J_OB,所以△408为直角三角形.

③当直线/不与x轴平行时，设其方程为x=ty-\-myA(x\»y\)，B(xi，yi)»

因为直线/与圆。相切，所以乎=笔=，即3加2—4尸一4=0.

。1

x=iy-\-ni»

由4x2\r得(P+2))2+2〃〃y+"22—4=0.

4+2=1,

所以/=4-加2—女1+2)(m2—4)=8(2»—nr+4)=

果尸+4)>0»

2tm川一4

且丁1+/=产+2，户”=於+2.

OA'OB=y\y2-^x\X2

=yi)12+((yi+"7)(/)设+机)

=(1+尸加"+tm(y\+")+nr