高考物理一轮复习讲义：抛体运动的规律

第2讲抛体运动的规律

过姨双基关.-------------------回扣基础知识训练基础题目

一、平抛运动

1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。

2.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。

3.研究方法：运动的合成与分解

⑴水平方向：匀速直线运动。

⑵竖直方向：自由落体运动。

图1

4.基本规律

如图1,以抛出点。为坐标原点，以初速度00方向(水平方向)为x轴方向，竖直

向下为y轴方向建立平面直角坐标系。

(1)位移与时间的关系

⑵速度与时间的关系

【自测1】一个物体以初速度。。水平抛出，落地时速度为。，则运动时间为(不

计空气阻力，重力加速度为g)()

v~vov+vo

A.--------B.--------

g8

ylv2-\~vi

CgDg

答案c

二、一般的抛体运动

1.定义：将物体以初速度如斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运

动。

2.性质：斜抛运动是加速度为女的匀变速曲线运动,运动轨迹是抛物线。

3.研究方法：运动的合成与分解

(1)水平方向：匀速直线运动。

(2)竖直方向：匀变速直线运动。

(1)水平方向：Vo,v=wosg,Fftx=0o

(2)竖直方向：vov=uosin0,尸合尸〃火。

【自测2】有4、3两小球，8的质量为4的两倍，现将它们以相同速率沿同一

方向抛出，不计空气阻力，如图3所示，①为A的运动轨迹，则8的运动轨迹是

()

图3

A.©B.②

C.③D.@

答案A

解析物体做斜抛运动的轨迹只与初速度的大小和方向有关，而与物体的质量无

关，A、8两小球的初速度相同，则运动轨迹相同，故A项正确。

研透命题点细研考点和真题分析突破命题点

命题点一平抛运动基本规律的应用

基础考点•自主悟透

1.飞行时间

时间取决于下落高度力，与初速度。。无关。

2.水平射程

x=uol=vc干,即水平射程由初速度。0和下落高度〃共同决定，与其他因素无

关。

3.落地速度

v=y]v3.+洪=yjv&+2gh,以〃表示落地速度与水平正方向间的夹角，有tan。=日

=--＞落地速度与初速度次)和下落高度〃有关。

4.速度改变量

因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g,所以做平抛运动的物体在任意相

等时间间隔A/内的速度改变量2)=和是相同的，方向恒为竖直向下，如图4

所示。

图4

5.两个重要推论

⑴做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位

移的中点,如图5所示,即冲冷

图5

推导

tan9=

tan0=—=--

%小J

（2）做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有

tan0=2tana。

推导

%fit

tan___一

%%

Aftan0—2tana

ygf

tan

【例1】（2021・1月江苏新高考适应性考试，5）某生态公园的人造瀑布景观如图

6所示，水流从高处水平流出槽道，恰好落入步道边的游泳池中。现制作一个为

实际尺寸七的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度应为实际的（）

A.1

答案B

解析由题意可知，水流出后做平抛运动的水平位移和竖直位移均变为原来的士,

则有〃=上尸，得，=\呼，所以时间变为实际的;，则水流出的速度由于

水平位移变为实际的高时间变为实际的;，则水流出的速度为实际的士故选Bo

【变式I】（20217月湖南普高校招生适应性考试，2）有一圆杆形水井，井壁光

滑且竖直，过其中心轴的剖面图如图7所示。一个质量为〃2的小球以速度。从井

口边缘沿直径方向水平射入水井，小球与井壁做多次弹性碰撞（碰撞前后小球水平

方向速度大小不变、方向反向，小球竖直方向速度大小和方向都不变）。不计空气

阻力，从小球水平射入水井到落至水面的过程中，下列说法正确的是（）

A.小球下落时间与小球质量m有关

B.小球卜落时间与小球初速度。有关

C.小球下落时间与水井井口直径d有关

D.小球下落时间与水井井口到水面高度差人有关

答案D

解析根据分运动的独立性，小球在竖直方向的运动为自由落体运动，由/?=5户

知，小球下落时间仅与水井井口到水面高度差力有关，D项正确。

命题点二有约束条件的平抛运动模型

高考热点•讲透练熟

模型1对着竖直墙壁平抛

如图8所示，水平初速度如不同时，虽然落点不同，但水平位移“相同，

o%I

图8

[例2]（2020•山东滨州第二次模拟）如图9所示为一网球发球机，可以将网球

以不同的水平速度射出，打到竖直墙上。0、A、8是竖直墙上三点，。与出射点

处于同一水平线上，A、B两点分别为两次试验时击中的点，。4=用，0B=〃2,

出射点到。点的距离为L,当地重力加速度为g,空气阻力忽略不计，网球可看

作质点。下列说法正确的是（）

网球出口孔p堵

M球发球机、

水平地面

A.出射速度足够大，网球可以击中。点

B.发球间隔时间足够短，两个网球在下落过程中可相遇

C.击中A点的网球的初速度大小为怦

D.网球击中B点、时速度大小为、J察+2gh2

答案D

解析网球做平抛运动，不论出射速度多大，竖直方向的位移也不为零，所以网

球不能击中。点，故A错误；发球间隔时间足够短，但两个网球的水平位移不相

等，竖直位移不相等，所以两个网球在下落过程中不可能相遇，故B错误；对于

击中A点的网球，根据平抛运动的规律可得历=/爪解得击中A点的

网球的初速度大小为VOA=L'底,故C错误；网球击中B点时，据平抛运动的

规律可得L=。0以2,力2=衰役,解得击中B点的网球的初速度大小为O0B=LyJ^,

网球击中8点时速度大小为初?=、。苗+2g力2=、/宗+2072,故D正确。

模型2斜面上的平抛问题

1.顺着斜面平抛（如图10）

图10

方法：分解位移。

x=vot,

tan9=：,

方2uotan0

可求得z=---o

*>

2.对着斜面平抛（垂直打到斜面，如图11）

图11

方法：分解速度。

Vx=V0,

"y=gf，

£v_^0

tan0=

Vy~gf

可求得/=

gtan/

【例3】（2（）18.全国卷口147）在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以。和斜速

度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落

至斜面时速率的（）

A.2倍B.4倍

C.6倍D.8倍

答案A

解析如图所示，可知

x=vtf

xlan夕=&-

则Qv=g1=2仇an8

则落至斜面的速率。落=、。2+碇=司1+4tan2。,即。落0c甲、乙两球抛出速度

1）

为。和5,则可得落至斜面时速率之比为2：1。

ft

【变式2】（多选）（2020•河北石家庄市二模）如图12所示，倾角为30。的斜面体固

定在水平地面上，斜面底端正上方某高度处有一小球以水平速度如抛出，恰好垂

直打在斜面.L,己知重力加速度为g,不计空气阻力。下列说法正确的是（）

A.小球从抛出到落在斜面上的运动时间为学

B.小球从抛出到落在斜面上的运动时间为寒

C.小球抛出时距斜面底端的高度为当

D.小球抛出时距斜面底端的高度为工

答案AD

解析设小球恰好垂直打到斜面上的时间为7,根据几何关系可得

皿6。。=Vy*Qt

解得f=与，故A正确，B错误;

小球垂直打到斜面上，根据平抛运动规律，则有

1.

x=vot,y=2gf

小球落在斜面上，根据几何关系得

h-y

tan30。=--

X'

将，=华代入，联立解得〃=翁，故C错误，D正确。

O

模型3半圆内的平抛问题

如图13所示，半径和几何关系制约平抛运动时间建

图13

仁上尸,

R川R2—lF=voa

联立两方程可求t0

【例4】（多选）（2020•山东济宁市第一次模拟）如图14所示,在竖直平面内固定一

半圆形轨道，。为圆心，A5为水平直径，有一可视为质点的小球从4点以不同

的初速度向右水平抛出，不计空气阻力，下列说法正确的是（）

图14

A.初速度越大，小球运动时间越长

B.初速度不同，小球运动时间可能相同

C.小球落到轨道的瞬间，速度方向可能沿半径方向

D.小球落到轨道的瞬间，速度方向一定不沿半径方向

答案BD

解析平抛运动的时间由高度决定，与水平初速度无关，初速度大时，与半圆接

触时下落的距离不一定比速度小时下落的距离大，故A错误；初速度不同的小球

下落的高度可能相等，如碰撞点关于半圆过。点的竖直轴对称的两个点，运动的

时间相等，故B正确；若小球落到半圆形轨道的瞬间垂直撞击半圆形轨道，即速

度方向沿半径方向，则速度方向与水平方向的夹角是位移方向与水平方向夹角的

2倍，因为同一位置速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正

切值的两倍，两者相互矛盾，则小球的速度方向不会沿半径方向，故C错误，D

正确。

【变式3】（2020•四川宜宾市第二次诊断）如图15所示，一竖直圆弧形槽固定于

水平地面上，。为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度vi沿AB

方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点。点；若A点小球抛出的同时，在

C点以初速度。2沿84方向平抛另一相同质量的小球并也能击中。点，已知NC。。

=60。，且不计空气阻力，则（）

图15

A.两小球同时落到。点

B.两小球初速度大小之比为北:3

C.两小球落到D点时的速度方向与0。线夹角相等

D.两小球落到。点时的瞬时速率之比为啦：1

答案B

解析由于A、C两点到。点的竖直高度不同，两球在空中运动时间不同，选项

A错误；设圆弧形槽半径为R,对从A点抛出的小球，R=VMIA=7亍,则

对从C点抛出的乙、球，Rsin60°=vitc,tc=

B正确；设在。点速度方向与。。线夹角为仇竖直分速度为小,，水平分速度为

V2=y[6:3和Vy]:Vy2=tA:匕=啦：1知611

vo,则tan0=~Vy~,由v\

选项C错误；设A、C两点抛出球落到D点时的瞬时速率分别为内、vc,办=

则内：vc=®:巾，选项D错误。

命题点三平抛运动的临界和极值问题

高考热点•讲透练熟

【例5】（2020.山东青岛市一模）如图16,容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度

为力，在圆筒侧壁开一个小孔P,筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的

落点距小孔的水平距离为x,小孔。到水面的距离为以短时间内可认为筒内水位

不变，重力加速度为g,不计空气阻力，在这段时间内下列说法正确的是（）

A.水从小孔尸射出的速度大小为亚

B.y越小，则x越大

C/与小孔的位置无关

D.当），=当时，x最大，最大值为〃

答案D

解析取水面上质量为〃，的水滴，从小孔喷出时由机械能守恒定律可知，”），=；

mv2,解得。=，而，选项A错误；水从小孔P射出时做平抛运动，则

x=vt

万一）,=奶

解得小（〃一y）

可知”与小孔的位置有关，由数学知识可知，当y=/?一），，即时x最大，最

大值为力，并不是y越小工越大，选项D正确，B、C错误。

【变式4】（2020.四川内江市上学期一模）套圈游戏是一项趣味活动，如图17,某

次游戏中，一小孩从距地面高0.45m处水平抛出半径为0.1m的圆环（圆环面始终

水平），套住了距圆环前端水平距离为1.0m、高度为0.25m的竖直细圆筒。若重

力加速度大小g=10my,s2,则小孩抛出圆环的初速度可能是（）

图17

A.4.3m/sB.5.6m/s

C.6.5ni/sD.7.5m/s

答案B

解析根据加一%2=%尸得

/2(/7!-/n)/2(0.45-0.25)

ZV4二、/10s=0.2s

则平抛运动的最大速度

x+2R1.0+2X0.1.

V\="—02m/s-6.0m/s

x|0

最小速度P2=7=7rym/s=5.0m/s

则5.()m/s<u<6.0m/s。

课时限时练

（限时：40分钟）

惠逸对点练

对点练1平抛运动基本规律的应用

1.人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为冷，落地时速度为。2,不计空气

阻力，下列图中能表示出速度矢量的变化过程的是（）

解析小球做平抛运动，只受重力作用，加速度方向竖直向下，所以速度变化的

方向竖直向下，C正确。

2.在某一高度匀速飞行的战机在离目标水平距离5时投弹，可以准确命中目标，

现战机飞行高度减半，速度大小减为原来的2余要仍能命中目标，则战机投弹时离

目标的水平距离应为（不考虑空气阻力）（）

12

-

A.3

35B.

C等2^2

,3s

答案C

解析设战机原来的速度大小为P,高度为〃，根据平抛运动的规律可知炮弹在竖

直方向有〃=；8尸，解得则在水平方向s=W=1/现战机高度减

2211

半，速度大小减为原来的?要仍能命中目标，则应有/=铲r,予=少产，联立

解得s'=3S，故C正确，A、B、D错误。

3.（2020・西北狼联盟一诊联考）一个物体以初速度to水平抛出，经过一段时间t后

其速度方向与水平方向夹角为45。，若重力加速度为g,则，为（）

答案B

解析将末速度分解为水平和竖直方向的分速度，则有tan45°=2=^,解得/

—,故B正确，AC^D错误。

4.（2020•河南省实验中学砺锋培卓）如图1所示，一名运动员在参加跳远比赛，他

腾空过程中离地面的最大高度为L成绩为4小假设跳远运动员落入沙坑瞬间速

度方向与水平面的夹角为a,运动员可视为质点，不计空气阻力。则有（）

A.tana=2

D.tana=1

答案D

解析运动员从最高点到落地的过程做平抛运动，根据对称性知平抛运动的水平

位移为2L则有乙=也巴解得传。运动员通过最高点时的速度为。=牛=

2gL,则有tanad=l,故D正确，A、B、C错误。

5.（2020•黑龙江大庆实验中学开学考试）在做“研究平抛物体的运动”实验时，为

了能较准确地描绘运动轨迹，下面列出了一些操作要求：

（1）将你认为正确的选项前面的字母填在横线上。

A.通过调节使斜槽的末端保持水平

B.每次释放小球的位置必须不同

C.每次必须由静止释放小球

D.用铅笔记录小球位置时，每次必须严格地等距离下降

E.小球运动时不应与木板上的白纸（或方格纸）相触

F.将球的位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线

（2）如图2所示为一小球做平抛运动的闪光照相照片的一部分，图中背景方格的边

长均为5cm,如果取g=1（）m/s2,那么

A

B

图2

①照相机的闪光频率是Hz；

②小球经过B点时的速度大小是m/so

答案（l）ACE（2）①10②2.5

解析（1）调节使斜槽末端保持水平，是为了保证小球做平抛运动，故A正确；要

画同一运动的轨迹，必须每次释放小球的位置相同，且由静止释放，以保证获得

相同的初速度，故B错误，C正确；平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，在

相同时间里，位移越来越大，因此木条（或凹槽）下降的距离不应是等距的，故D

错误；平抛运动的物体在同一竖直面内运动，固定白纸的木板必须调节成竖直，

小球运动时不应与木板上的白纸相接触，以免有阻力的影响，故E正确；球经过

不同高度的位置记录在纸上后，取下纸，用平滑的曲线把各点连接起来，故F错

误。

（2）①从图中看出，A、B、C3个点间的水平位移均相等，x=3L,因此这3个点

是等时间间隔点。竖直方向两段相邻位移之差是个定值，即Ay=gT2=2L

2X0.05

解得T=s=0.1s

则闪光频率/=彳=不了Hz=10Hz

/xz•1

②小球运动中水平分速度的大小

小球经过B点的竖直分速度

8L8X0.05

[m/s=2m/s

乙IZU.1

则经过8点的速度

08=#3+%=<2.25+4m/s=2.5m/s

对点练2有约束条件的平抛运动模型

6.（2020.陕西渭南市教学质量检测）如图3所示，A点为倾角为30。的斜面底部，在

A点的正上方某高度尸点以初速度如平抛一小球，小球打在斜面上8点，C为

A3的中点。在P点将小球平抛的初速变为u时，小球恰好打在C点，则有（）

0=30。

V0

Af

C.vo>v>y

答案A

解析过8点作一水平线，过C点作水平线的垂线交于用点，由几何关系可知，

M点即为Q8的中点，如果平抛运动的初速度为原来的一半，则轨迹交于M点,

由于平抛运动的轨迹越往下则往竖直方向偏，所以落在斜面上C点的平抛运动轨

迹与QB交于N点，贝〔水平位移比轨迹交于M点的更小，即。＜菱，故A正确。

7.（2020•河南省六市4月联合调研）如图4所示，斜面体ABC固定在水平地面上,

斜面的高A8为2m,倾角为夕=37。，且。是斜面的中点，在A点和。点分别以

相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落

地点到C点的水平距离为（

4^2

A.-m

一4

C-4mD?m

答案A

解析设AB高为儿则从A点抛出的小球运动的时间

[2h

z,=A/7

从。点抛出的小球运动的时间，2=y|

在水平方向上两物体水平位移之差为BC距离的一半有

v（）h-v（）t2=2^0

代入数据得工=芋1口，故A正确，B、C、D错误。

8.如图5,从。点以水平初速度0、S抛出两个小球（可视为质点），最终它们分别

落在圆弧上的A点和B点，己知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成«角，

不计空气阻力，则两小球初速度之比5：。2为（）

图5

A.tanaB.cosa

C.tan(jc\jtanaD.cos6r\/tana

答案C

解析设圆弧半径为R,两小球运动时间分别为力、对球1：/?sina=v\t\,Reos

a=；gA,对球2：Reosa=02/2,Rsin联立四式可得£=tanayjtana,C

正确。

对点练3平抛运动的临界和极值问题

9.（多选）如图6所示，一网球运动员将球在边界正上方某处水平向右击出，球的初

速度垂直于球网平面，且刚好过网落在对方界内。相关数据如图，不计空气阻力，

下列说法正确是（）

图6

A.击球点高度/?i与球网高度42之间的关系为何=1.8例

B.若保持击球高度不变，球的初速度如只要不大于为薪，一定落在对方界内

C.任意降低击球高度（仍大于力）只要球的初速度合适，球一定能落在对方界内

D.任意增加击球高度，只要球的初速度合适，球一定能落在对方界内

答案AD

解析由题意可知球通过水平位移s和玄，所用的时间之比为2：3,则在竖直方

向上，根据仁知，可得看二奇解得用=1.8%2,故A正确；竖直方向上，

根据力=%尸，可得时间/='杼，若保持击球高度不变，球恰不越界时，运动时

间力=、楞，故可得球的最大初速度。。1=与=为而；球恰好过网时，运动时

间-故可得球的最小初速度加2=；六二/g,）,故球

\1gtl\j2（/21—/?2）

初速度的取值范围是八，2（力3s）（。尺3/砺,选项B错误；任意降低击

球高度（仍大于Z/2）,存在一个临界高度防，这个临界高度值满足加一比=上尸=3

g*A，加=*产=/导）2,联立得该临界高度〃0=*2,球的初速度。0=\/笨,

低于这一高度击球，球不能落在对方界内，故选项C错误；增加击球高度，只要

球的初速度合适，球一定能落到对方界内，故D正确。

1（）.如图7所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L,前场区的长度为々

网高为江在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水

平不高，运动员的击球点的高度小于某个临界值从那么无论水平击球的速度多

大，排球不是触网就是越界。设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正

对网前竖直跳起垂直网将排球水平击出，不计空气阻力，关于该种情况下临界值

”的大小，下列关系式正确的是（）

L

6

答案C

解析将排球水平击出后排球做平抛运动，排球刚好触网到达底线时，则有卷=

2(H-h)

,个十与=v（r\jT，联立解得”=挣，故选项C正确。

11.如图8所示是消防车利用云梯（未画出）进行高层灭火，消防水炮离地的最大高

度H=4（）m,出水口始终保持水平且出水方向可以水平调节，着火点在高〃=2（）m

的楼层，其水平射出的水的初速度在5m/sWooW15m/s之间，可进行调节，出水

口与着火点不能靠得太近，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2,则（）

图8

A.如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离x最大为40m

B.如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离n最小为10m

C.如果出水口与着火点的水平距离x不能小于15m,则射出水的初速度最小为5

m/s

D.若该着火点高度为40m,该消防车仍能有效灭火

答案B

解析出水口与着火点之间的高度差为M=2()m,又凶=纱,t=2s,又5

m/sWoo<15m/s,因此出水口与着火点的水平距离x的范围为10mWx<30m,

故A错误，B正确；如果出水口与着火点的水平距离不能小于15m,则最小出水

速度为7.5m/s,故C错误；如果着火点高度为40m,保持出水口水平，则水不

能到达着火点，故D错误。

12.一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图9所示。水平台面的长和宽分别为心和

心，中间球网高度为k发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右

侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为不计空气的作用，重力加

速度大小为g。若乒乓球的发射速率。在某范围内，通过选择合适的方向，就能

使乒乓球落到球网右侧台面上，则。的最大取值范围是()

（4d+G）g

C，26h<v<6h

（4LT+L2）g

^T\h<v<6/z

答案D

解析发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动。当速度。最小时,

球沿中线恰好过网，有:

3h—h=

牛=01力②

联立①②得V\=

当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有

+”=如2③

④

（4L，+G）g

联立③④得V2=6h

所以使乒乓球落到球网右侧台面上，。的最大取值范围为

（4LT4-L2）g、配ye4

T\h<v<---福-----,选项D正确。

偏倚提升练

13.（多选）（20217月广东学业水平选择考适应性测试,8）如图10所示,排球比赛

中运动员将排球从M点水平击出，排球飞到P