勾股定理及其逆定理-2024华东师大版八年级数学上册同步练习（含答案解析）

13.1勾股定理及其逆定理华东师大版（2024）初中数学八年级上册同

步练习

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知在△A8C中，a、b、c分别是〃、乙B、NC的对边，则下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是

A.匕力+=Z.CB.Z.A:Z.B:乙C=3:4:5

C.a=1,b=7-3,c=2D.a:b:c=3:4:5

2.下列各组数中是勾股数的是()

A.4,5,6B.0.3,0.4,0.5C.1,2,3D.5,12,13

3.用反证法证明“若劭=0,则a,b中至少有一个为0”时，第一步应假设()

A.a=0»b=0B.Q00,b工0C.a00,b=0D.a=0»bH0

4若.13ABe的三边a,b,c满足(a-b)2+|Q2+/一〃|=0,则由484是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

5.若3,4,Q为勾股数，则a的值为（）

A.77B.5C.5或7D.5或，7

6.在△力BC中，乙4,乙B,NC的对边分别为a,b,c.若a?=炉+c2,贝ij（）

A.LA=90°B.Z-B=90°C.zC=90°D.zC=+乙B

7.如图，每个小正方形的边长为1,则△力BC的三边a,b,c的大小关系是（）.

a<b<cC.c<a<bD.c<b<a

8.若一个直角三角形的两直角边的长为12和5,则第三边的长为（)

A.13或，B.13或15C.13D.15

9.一直角三角形的两直角边长分别为9,12,则斜边长为（）

A.13B.14C.15D.20

10.如图，在正方形4BCD和正方形CEFG中，B,C,G三点在同一条直线上，点0在边CE上.若A8=2,

CE=5,连接4F,P是力广的中点：连接CP,则CP的长是（）

C

A./58B./TOC.亭D.2/17

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

II.如图，若乙BAD=4DBC=90°,AB=3,AD=4,BC=12,则CD=

12.如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点4B,P是网格线的

交点，则4APB二

13.如图，在单位为1的正方形网格中，有三条线段a,b,c（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能

否组成一个直角三角形？答：.（填“能”或“不能”）

14.如图，△48C中，AB=6,BC=8,AC=10,把△沿4P折

叠，使边力B与AC重合，点B落在AC边上的夕处，则折痕AP2等亍_

三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题8分)

如图，在3x3网格中，每个小正方形的边长都为1,△力BC的顶点均在网格的格点(网格线的交点)上.

(1)填空：AC=,AB=,BC=..

(2)△48C是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由.

16.(本小题8分)

如图，在△/18C中，的垂直平分线0E分别交/W,BC于点D,E,^BD2-DA2=AC2.

(1)求证：△/8c是直角三角形；

(2)若BC=2E，ADtBD=3：4,求力。的长.

17.(本小题8分)

为了美化城市，洒水车需要在一条长为500m的重要路段AB段以50米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时

会播放音乐进行提醒.如图，学校位于点C位置，洒水车由4向B移动，学校与路段48上的两个路口A、8的

距离分别为4?=3007九，BC=400m,经测量，发现在2607n及以内的会受到音乐的影响.判断学校是否会

受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响.

18.(本小题8分)

解答：

(1)在Rt国48c中，ZC=90°,AC=2,BC=3,求48的长.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】略

2.【答案】D

【解析】52十42中62,.•.这组数不是勾股数：&虽然0.32+OS?=0.52,但是。3,0.4,0.5不是正整

数，这组数不是勾股数；C.•••仔+22,32,.•.这组数不是勾股数：D.v52+122=132,.•.这组数是勾

股数.故选。.答案D

3.【答案】B

【解析】略

4.【答案】C

【解析】略

5.【答案】B

【解析】:？，4,Q为勾股数，二当a最大时，a="32+42=5；当4最大时，。=我一¥3,不能

构成勾股数.故选比

6.【答案】A

【解析】略

7.【答案】C

【解析】略

8.【答案】C

【解析】略

9.【答案】C

【解析】略

10.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助

线.连接力。、CF,延长210交尸G于点M,根据正方形的性质得乙4CD=45。，Z.FCG=45°,GM=2,

AM=BE=BC+CG=2+5=7,再利用勾股定理计算出AF=，死，然后根据尸是AF的中点，计算CP

的长即可.

【解答】

解：连接力C、CF,延长AD交FG于点M,如图,

叩边形和四边形CEFG为正方形，

Z.DAB=乙8=4G=90°,Z-ACD=乙ECF=45°,

£ACF=^ACD+Z.ECF=90°,

•••匹边形A8EM为矩形，

GM=AB=2,AM=BE=BC+CG=2+5=7,

:.AF=y/AM2+FM2=V72+32=

v尸是4F的中点，

•••CP=-i4F=—•

11.【答案】13

【解析】略

12.【答案】135

【解析】解：延长力P交格点于。，连接8D,

则PZ)2=BD2=I2+22=5,PB2=l2+32=10,

:•PD?+DB2=PB2,

xPDB=900,

:•乙DPB=乙PBD=45°,

；."PB=180°-乙DPB=180°-45°=135°.

故答案为：135.

延长4P交格点于D，连接BD,根据勾股定理和逆定理证明NPDB=90。，根据三角形外角的性质即可得到

结论.

本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地

作出辅助线是解题的关键.

13.【答案】能

【解析】略

14.【答案】45

【解析】解：vAB=6,BC=8,AC=10,

AB2+BC2=AC2,

，乙B=90°,

•••△APB'是由△4P8翻折而来，

:.ABr=AB=6,PB'=PB,乙AB'P=乙PB'C=LB=90°.

设P夕=PB=x,

在中，-CB1=AC-AB=4,PC=8-x,PB，2+BrC2=PC2,

:.x24-42=(8-x)2,

解得无=3,

：.”2=AB2+PB2=62+32=45.

故答案为：45.

证明乙B=90。是解题的关键，属于中考常考题型.首先证明=90。，设PB'=PB=x,在Rt△PB'C

中，利用勾股定理求出4,再在收△「a4中利用勾股定理表示出4P2即可求解.

本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、翻折不变性等知识，掌握其相关知识点是解题的关键.

15.【答案】/22AA2710

【解析】解：(1)由网格得，AC=Vl2+12=72,AB=V22+22=272,BC=VI2+32=><10,

故答案为：/2,2/2,/W；

(2)△力8c是直角三角形，理由如下：

由(1)知，AC=<2,AB=2/2,BC=710,

2222

•••AC+AB=(/2)+(2心/=I。，BC2=(/io)=10,

AC24-AB2=BC2,

•・・△48C是直角三角形.

(1)利用勾股定理计算即可；

(2)利用勾股定理的逆定理判断即可；

本题考查了勾股定理及具逆定埋，掌握以上知识是解题的关键.

16.【答案】证明：连接CD,

•.♦CE是BC的垂直平分线，

：•CD—DB9

•••BD2-DA2=AC2,

：.CD2-DA2=AC2,

ACD2=AD2+AC2,

是直角三角形，且乙4=90°；

••.△ABC是直角三角形；

AC=y[7

【解析】（1）证明：连接C。，

•••OE是8C的垂直平分线，

:.CD=DB,

vBD2-DA2=AC2,

：.CD2-DA2=AC2,

ACD2=AD2+AC2,

••.△AC。是直角三角形，且乙4=90°；

.•.△ABC是直角三角形；

(2)解：设40=3x,BD=4x,fflCD=BD=4x,AB=AD+DB=7x,

在山△4CD中，AC=CD2-AD2=V16x2-9x2=

在At△ABC中，AC2+AB2=BC2,

(/7x)2+(7x)2=(2/14)2.

解得：X=±1(负值舍去)，

x=1,

•••AC=y/~7x1=A/-7.

(1)连接CD,利用线段垂直平分线的性质可得CD=BD,然后利用勾股定理逆定理可得结论;

(2)设力。=3%,BD=4x,则CD=8。=4%,AB=AD+DB=7%,首先确定AC的长，在Rt△48c中,

AC2+AB2=BC2,根据勾股定理建立方程，解方■程，即可求解.

本题主要考杳勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理,熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂

直平分线的性质定理是解题的关键.

17.【答案】学校会受到影响，受4分钟影响.

【解析】解：在△48。中，AB=500m,AC=300/n,BC=

400m,

73002+4002=250000,5002=250000,

:.3002+4002=5002,

222

AAC+BC=AB.

Z.ACB=90°.

过点C作CD148于点。，如图所示,

•••S”8c=。•BC,

CD=ACBC300x400=240(m),

AB500

•••240<260,

•••学校会受到影响.

设直线上点E,尸到点C的距离为260m,连接CE,CF,

在出ACDE中，CD=240m,CE=260m,

DE=\/CE2-CD2=V2602-2402=100(m),

同理：DF=100m,

EF=DE+DF=100+100=200(m),

.••200+50=4(分钟).

答：学校会受到影响，受4分钟影响.

在△ABC中，由力(72+8。2=力82,可得出N4C8=90。，过点C作。)14B于点。，利用面积法，可求出

C。的长，由该值小于260,学校会受到影响，设直线上点E,尸到点C的距离为260m,连接CE,CF,利

用勾股定理，可求出DE,。尸的长，结合E"=0£+。户，可求出EF的长，再利用时间=路程+速度，即可

求出学校受影响的时长.

本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及三角形的面积，利用勾股定理，求出学校会受到影响区域（线

段的长度是解题的关键.

18.【答案】【小题1】

解：•••Rt团A8C中，Z-C=90°,AC=2,BC=3,

:.AB=y/AC2+BC2=V224-32=/13；

【小题2】

解：13/18C是直角三角形，理由：

vAC=<7,BC=/2,AB=3,

•••AC2+BC2=（x<7）2+（/2）2=9,

4*32=%

AC2+BC2=AB2,

.•.团RBC是百角三角形.

【解析】1.

本题考查了勾股定理及逆定理，掌握勾股定理和逆定理是解题的关键.

根据勾股定理直接