函数模型的应用（2大考点+7大题型）-2026年新高考数学一轮复习（讲义+专练）原卷版

2.10函数模型的应用

目录

01课标要求........................................................................2

02落实主干知识....................................................................3

一、函数模型......................................................................3

二、函数增长快慢..................................................................3

常用二级结论......................................................................3

03探究核心题型....................................................................4

题型一：函数的增长差异............................................................4

题型二：用函数图象刻画变化过程....................................................5

题型三：依实情构建函数模型........................................................7

题型四：据实际构造函数模型........................................................8

题型五：指数、对数函数模型的应用.................................................9

题型六：幕函数模型的应用.........................................................11

题型七：分段函数模型的应用.......................................................12

04好题赏析（一题多解）..........................................................14

05数学思想方法...................................................................15

①数形结合.......................................................................15

②转化与化归.....................................................................16

③分类讨论.......................................................................16

06课时精练（真题、模拟题）......................................................18

基础过关篇........................................................................18

能力拓展篇.......................................................................21

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01课标要求

1、了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.

2、理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义

3、能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.

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02落实主干知面］|

一、函数模型

一次函数y=ax+h(a^0)

二次函数y=ax2+bx+c(a^0)

指数函数y=a"(a>0且〃H1)

指数型函数yd(a>0且。01)

对数函数y=!og&x(a>0且1)

对数型函数

y=k-logax(a>0且a/1)

哥函数y=xn(ne;V'J

箱函数型

二、函数增长快慢

函数

y=av(a>1)y=xa[a>0)

性质

在(0,+8)上的增减性单调递增单调递增单调递增

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表隙X的增大逐渐表

图象的变化随a值的变化而各有不同

现为与y轴平行现为与X轴平行

常用二级结论

(1)理解三个术语：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增

加，常用“指数爆炸''来形容；"对数增长''先快后慢，其增长速度缓慢.

(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.

(3)解题时，易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问

题的合理性.

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03探究核心题型

题型一：函数的增长差异

【例1】下面关于函数/(x)=log]x,g(x)与力(x)=x肾在区间(°，十⑼上的递减情况说法正确的是()

A./")递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,“X)递减速度越来越慢

B./(X)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,“X)递减速度越来越快

C./(X)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,“X)递减速度越来越慢

D./(X)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,“X)递减速度越来越快

【解题总结】

r（A.v）>K（logox）

常见函数图象

,且

A.x{>x2>x3B.Xj>x3>x.C.X3>x2>X]D.x3>X]>x2

【变式1・2】图(1)(2)(3)分别是函数歹=3、和y=5工在不同范围内的图象，则下列说法正确的是()

4/23

A.由图（1）可知函数y=5x的图象增长得越来越快

B.由图（3）可知函数y=3'的图象增长得越来越快

C.在（0,2）范围内函数y=3'的图象比y=5x的图象增长得慢

D.以上均错误

【变式1-31下列四个函数中增长速率最快的是（）

A.y=2024xB.y=log2024x

C.y=x2024D.y=2024*

题型二：用函数图象刻画变化过程

【例2】（多选题）（2025・广西•模拟预测）环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，

设备对污染物的动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值S（x）=":"、,XG[0,1],

。〉0.其中x表示污染物浓度，。为设备灵敏度参数m越大，灵敏度越高），则（）

（11\

A.S（x）过定点

B.S（x）在污染物浓度区间[0』上单调递增

C.S（x）关于，.万对称

D.取定x的值（0<x<^，灵敏度越高，监测值越大

【解题总结】

判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

（1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函

数图象.

（2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是

否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.

5/23

【变式2・1］（多选题）某药物在人体内的血药浓度与时间有关，血药浓度C（单位：mg/L）与时间，

（小时）的变化规律可近似表述为：C（r）=Coe-\其中C。为初始血药浓度，女为代谢速率常数，。⑺图

B.每小时血药浓度降低的数值相等

C.服药后6小时，血药浓度降至初始值的上

64

D.服药后，人体内的血药浓度随着时间的增加而降低

【变式2・2］（多选题）（2025河南南阳模拟预测）Cobb-Douglas生产函数是宏观经济学和微观经济学中最

常用的生产函数之一，函数的数学形式为其中丫是总产

出，K是资本存量，L是劳动力,A是技术参数，以夕是资本和劳动的产出弹性.当A不变时，下列说法正

确的是（）

A.若K与L均变为原来的加（〃〉0）倍，且a+夕=1,则丫变为原来的机倍

B.若K与A均变为原来的〃?W>1）倍，且的=；则丫最少可变为原来的〃?倍

C.若K与乙均变为原来的机倍，且则丫最少可变为原来的〃?倍

D.若a,尸］均不变，则函数y=的增长速度越来越慢

【变式2・3］（多选题）某医药研究机构研发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物,

注射后每毫升血液中的含药量y（单位：微克）随时间/（单位：小时）变化的图象近似符合如图所示的曲

线.据进一步测定，当每亳升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则下列说法正确的是

B.按规定注射一次该药物，治疗该病的有效时长为6小时

6/23

C.注射该药物5小时后每亳升血液中的含药量为0.5微克

O

191

D.按规定注射一次该药物，治疗该病的有效时长为皆小时

32

题型三：依实情构建函数模型

【例3】（2025•云南昆明•模拟预测）根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积义单位：〃力与时间X单位:

月）的关系近似表示为如图所示函数关系，已知第1个月时，浮萍面积为2〃尸，第5个月时，浮萍面积就

会超过30〃/,下列函数模型：①八山+耳。〉。），@y=bt2+\（b>0）,@y=c,（c>0,cwl）,

©y=log（/（/+l）+l（J>0,申，最符合浮萍面枳y与时间/关系的模型是—（填写序号）：若浮萍蔓

延到3m2,所经过的时间t=___.

【解题总结】

已知函数模型解决实际问题的关键

（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

⑵根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

（3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.

【变式3-1］（2025•黑龙江哈尔滨三模）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象潮汐.一般地,

早潮叫潮，晚潮叫汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋.下表

是某港口某天的时刻与水深关系的预报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深歹与时间x之

间的关系，该函数的表达式为.已知一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，

安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船可以在此港口停留卸货的时间最

长为小时（保留整数）.

时刻水深m时刻水深m时刻水深m

0：()05.09：182.518：365.0

3：067.512：245.021：422.5

7/23

6：125.015：307.524：004.0

【变式3-2】为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的“员工激励计戈新的计划有以下几点需

求：①奖金随着销售业绩的提高而提高：②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升；③必须和原来

的计划接轨：销售业绩在10万元或以内时奖金为（），超过10万元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时

奖金为1千元.设业绩为x（10<x<300）万元时奖金为/（x）千元，下面给出三个函数模型：

①小）=hx+b；@/（x）=Arlog2x+h;③/⑶=女i+b.其中片>0/wR.请选择合适的函数模型，并

计算：业绩为100万元时奖金为千元.

【变式3・3】（2025•高三•湖北襄际•期中）某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产

量平稳增长.记2014年为第1年，且前4年中，第x年与年产量"X）（单位：万件）之间的关系如下表所

示：

X1234

/")4.005.617.008.87

若f（x）近似符合以下三种函数模型之一：①/*）=6+"②/㈤=2'+〃，③/（x）=logr+a.则你认

为最适合的函数模型的序号为—.

【变式34］（2025•高三・北京•期天）将初始温度为0。。的物体放在室温恒定为30。。的实验室里，现等时间

间隔测量物体温度，将第〃次测量得到的物体温度记为。，已知乙=0℃.已知物体温度的变化与实验室和

物体温度差成正比（比例系数为A）.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型

为：（填写模型对应的序号）

①②3，”=A（30T”）；③/=%（30—„）.

在上述模型下，设物体温度从5%:升到10。。所需时间为amin,从10。。上升到15。。所需时间为〃min,从

15。。上升到20。。所需时间为Cmin,那么?与的大小关系是_（用“>”，"=”或“〈”号填空）

bc

题型四：据实际构造函数模型

【例4】（2025•广东广州•二模）声强级乙（单位：dB）由公式<=1给出，其中/为声强（单位:

W/m2）.轻柔音乐的声强一般在10.~10-6亚/］矛之间，则轻柔音乐的声强级范围是（）

A.0~20dBB.20-40dB

C.40-60dBD.60~80dB

【解题总结】

8/23

构建函数模型解决实际问题的步骤

（1）建模：抽象出实际问题的数学模型.

（2）推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解.

（3）评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得

到实际问题的解.

【变式4-1]（2025•新疆乌鲁木齐•三模）溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为pH=-lg[H+],

其中口「]表示溶液中氢离子的浓度（单位：mol/L）.某强酸溶液加水稀释后pH值增加2,则稀释后溶

液中氢离子的浓度与稀释前溶液中氢离子的浓度比值为（）

A.2B.yC.100D.—

【变式4-2]（2025・四川成都•二模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮

度为标准，天体的星等机与亮度/满足-'1^/，已知北极星的星等为2,牛郎星的星等为0.X,则

北极星与牛郎星的亮度之比为（）

52c旦艮

AD

-102B.]o"C.I05-io25

【变式4・3】（2025•甘肃天水・三模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡

眠成「严重影响生活的问题.经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率/（单位：心跳次数.min」）与体重印

（单位：Kg）的;次方成反比.若4、8为两个睡眠中的恒温动物，力的体重为2Kg、脉搏率为210次

•min1，8的脉搏率是70次.min'，则8的体重为（）

A.6KgB.8KgC.18KgD.54Kg

题型五：指数、对数函数模型的应用

【例5】（2025•福建莆田•模拟预测）点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰

减量刈（单位：dB）与传播距离，•（单位：m）的关系式为AA=1（Mg（口）+左，其中％为常数.当传播距

离为4时，衰减量为AA；当传播距离为G时，衰减量为若&=2小则ALz-AL约为（）（参考数据:

lg2«0.3）

A.6dBB.4dBC.3dBD.2dB

【解题总结】

9/23

在解决指数型函数、对数型函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式,

然后再借助函数图像求解最值问题.

【变式在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间7=左142、（单位:

小时），其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从1（）6个单位增加।到［.024x1（）9个单位时，训练时

间增加20小时；当训练数据量N从1.024x1（）9个单位增加到4.096x1（）9个单位时,训练时间增加（单位:

小时）（）

A.2B.4C.20D.40

【变式5-2］（2025•江西•二模）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述「人类大脑对新

事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到

其记忆率V（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间x（单位：小时）的函数关系

式为歹=1-0.5X°°6,当记住的单词仅剩25个时，则离初次记忆经过了（）（参考数据：

lg2«0.30,lg3*0.48）

A.100小时B.300小时C.1000小时D.3000小时

【变式5・3】（2025•陕西咸阳・模拟预测）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声

音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成洞泉.声音越大，涌起

的泉水越高.已知听到的声强加与标准声强人（叫约为10山，单位：w/m?）之比的常用对数称作声强的

声强级，记作L（贝尔），即乙二律二，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉’’

的声音响度，（分贝）与喷出的泉水高度4（米）满足关系式），=40x,现知A同学用喇叭大喝一声激起的

涌泉最高高度为2米，若A同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则A同

学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（）

A.1.75米B.1.5米C.1.25米D.1米

【变式54］（2025•河北邯郸•模拟预测）某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为

=其中「为年收益率，，为投资时间（单位：年），。为自然对数的底数，《为初始资金，P（Z）

为1年后的资金，已知某产品年收益率〃=5%,则使初始资金翻倍至少需要（参考数据：ln2=0.6931）

（）

A.12年B.13年C.14年D.15年

【变式5・5】2025年1月25日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场

点火发射，约1（）分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道.已知火箭的最大速度-（单

位：km/s）与燃料质量"（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量〃7（单位：kg）的函数关系为

v=2ln^l+^l.若已知火箭的质量为3100kg,火箭的最大速度为Ukm/s,则火箭需要加注的燃料质量为

（）（参考数值：ln2，0.69,ln244.69a5.50,结果精确到=1000kg）

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A.890.23tB.755.44tC.244.69tD.243.69t

【变式5-6］（2025•广西北海•模拟预测）DeepSeek是一款人工智能助手，其用户满意度评分S（f）随时间/

（单位：月）的变化满足对数型函数模型：S（/）=«ln（/+l）4-50,其中。是常数.若DeepSeek在经过3个

月后评分增长到70,则满意度评分5（1）为（）

A.60B.61C.62D.63

题型六：幕函数模型的应用

【例6】某厂前3年产量的增长率分别为2夕，厂，设这3年的平均增长率为x,则（）.

A.B.c.D.

3333

【解题总结】

在解决帚函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，然后再借助函数

图像求解最值问题.

【变式6・1】科学家在研究物体的热辐射能力时定义了一个理想模型叫“黑体”，即一种能完全吸收照在其

表面的电磁波（光）的物体.然后，黑体根据其本身特性再向周边辐射电磁波，科学研究发现单位面积的

黑体向空间辐射的电磁波的功率占与该黑体的绝对温度7的4次方成正比，即8=oT4，为玻尔兹曼常

数.而我们在做实验数据处理的过程中，往往不用基础变量作为横纵坐标，以本实验结果为例，8为纵坐

标，以"为横坐标，则能够近似得到一（曲线形状），那么如臭继续研究该实验，若实验结果的曲线如图

所示，试写出其可能的横纵坐标的变量形式—.

【变式6-2］（2025・高三•上海虹口•期中）1798年，人口学家马尔萨斯假设：①人口数》。）是随着时间，连

续变化的函数；②人口增长率「为常数，且单位时间内的人口增长量£（/）与成正比，进而建立了人口

增长模型.19世纪中叶的生物学家们发现由于人类生存条件的限制，「不是常数，因此改进了马尔萨斯的假

设②，并添加了I条假设：②，,是随着时间l连续变化的函数，存在人口最大瞬时增长率为,使

尸二"-左乂。仕＞0）,且x（）仅与，•和x"）有关；③存在最大人口数N,当人口数达到N时，1=0.那么

在这些假设下建立的人口增长模型£（，）=_.（用含有％（/）、为、N的式子表示）

【变式6・3】研究发现：汽车在高速公路上行驶，发现紧急情况需要刹车时，刹车距离=反应距离4+制动

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距离其中反应距离4与汽车行驶速度y成正比，比例系数为。；制动距离人与汽车行驶速度一的平方

成正比，比例系数为夕.下表是通过试验观测得到的八4、4的对应关系:

V4a乩P

5611.90.21316.00.00510

6413.40.20921.90.00535

7215.20.21128.20.00544

8016.70.20936.00.00563

8918.60.20945.30.00572

9720.10.20755.50.00590

10521.90.20967.20.00610

用表中比例系数。与6的平均数作为参数a、/的估计值.那么根据上表数据，估计v=120时，刹车距离

约为.（结果精确到0.1）

题型七：分段函数模型的应用

【例7】某公司实施了“客户买的数量越多，所花的钱越多，但是平均买到单件商品的价格越低”的促销策

,xax+b,0<x<9,xeN

略，已知某客户购买工件该公司的促销商品，所支付的总金额为V万元，其中广，

\lx,x>9,xeN

则正数a的取值范围为.

【解题总结】

分段函数因各段自变量变化规律有别，解题时可拆分处理。先针对不同区间，分别探究

其对应的变化规律，确定每段函数表达式，再将各段整合。过程中需精准界定各段自变量范

围，尤其要关注端点值是否符合要求。

【变式7・1】（2025•上海•模拟预测）如图所示，正方形48CO是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示

是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线MN为以4。为对称轴的勉物线的一部分，DM=DN=3.工人师

傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料80PR,当其面积有最大值时，力。的长为.

12/23

【变式7-2］某医院开展某种病毒的检测工作，第〃天时每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗

时《〃）（单位：小时），“〃）=（加乂为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时,

第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时为一小时.（精确

到I小时）

【变式7-3】某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按

每立方米〃?元收费：用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2〃?元收费.利用该单位职工每月应缴

水费与实际用水量x满足的函数关系式计算：若某职工某月缴水费16”?元，则该职工这个月实际用水量

为一立方米.

13/23

041好题赏析（一题多解）

1.2020年新冠疫情期间，口罩作为重要的防护物资，曾经一罩难求.为了扩大口罩产能，满足广大医护

人员和普通民众的防护要求，很多企业纷纷“转战”口罩生产，共同抗击疫情••已知某工厂有5D名工人，接

受了生产100台口罩机的任务，每台口罩机由4个甲型装苦和9个乙型装皆配套组成，每个工人每小时能

加工完成1个甲型装置或1个乙型装置.现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置.设加工甲型装置的

工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为4小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为L小时.设

f（x）=tl+t2.

⑴求/（X）的解析式，并写出其定义域；

（2）如何分配工人使得/（用取得最小值.

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①数形结合

1.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率P

与加工时间«单位：分钟）满足函数关系p=+是常数），如图记录了三次实验的数据，

根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）

4P

6S

7

"T

3

♦

O.—

A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟

2.某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：

X1.02.04.08.0

y0.010.992.023

现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，则下列模拟函数合适的是（）

A.y=log,xB.y=2xC.y=x2+2x-3D.y=2x-3

3.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，

再等到茶水温度降至60（时饮用.可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳II感茶水所需时间，某研究人

员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分右情况，下列

哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律（）

B.y=niax+n(m>0,0<a<1)

15/23

C.y="?“'+〃(/〃>0,4>1)D.y=mlog“x+口>0,a>0,a1)

②转化与化归

4.在一定条件下，大气压强P（单位：百帕）随海拔高度〃（单位：米）的变化满足如下函数关系式：

P=〃°e""（Po,〃为正常数）•已知海拔高度。米处的大气压强为1000百帕，海拔高度10000米处的大气压强

为250百帕，那么，若大气压强增加1倍，则海拔高度降低（）

4100米B.2500米C.5000米D.7500米

5.基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，

世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：/。）=/描述

累计感染病例数/（，）随时间/（单位：天）的变化规律，指数增长率「与凡、7近似满足q=1+";有学者

基卜已有数据估计出4=3.28,7=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时

间约为（In2=669）（）

A.1.8天B.2.4天C.3.0天D.3.6天

6.奋进新征程，建功新时代.某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管

2

理费用为0.15万元，已知使用x年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（）

12

A.4B.5C.6D.7

③分类讨论

7.某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入口外

x3

----+400v09x#390

元与年产量X的关系是H（x）=900''则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（）

90090,x>390,

A.150B.200C.250D.300

8.把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是夕。C，空气的温度是"C,则fmin后该物体的温度

满足6=4+（"_必））；若6），夕不变，在《min,qmin后该物体的温度分别为e；C,ac,且

a>a，则下列结论正确的是（）

A.r,>t2

B.<t2

c.若夕>4,则4>4；若夕<4,则u

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D.若夕＞4,则］々2；若夕＜4,则

9.“空气质量指数（/。/）”是定量描述空气质量状况的指数.当力0/大于200时，表示空气重度污染，不

宜开展户外活动.某地某天0〜24时的空气质量指数歹随时间/变化的趋势由函数

-10,+290,0・f・12

y=c一描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（）

56V/-24,12＜z*24

A.5小时B.6小时C.7小时D.8小时

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06课时精练（真题、模拟翘）［

基础过关篇

1.（2025•山东淄博・三模）随着人工智能技术的快速发展，训练深度学习模型所需的计算量也在急剧增长.

某公司现有新一代AI芯片4B两套研发方案，若力设计方案中初始计算量为$,每年增长50%：B

设计方案中初始计算量为％（乂=3乂）,每年增长20%.如此预计至少几年后力设计方案计算量更

高?（参考数据：出2=0.301,lg3=0.477）（）

A.4B.5C.6D.7

2.（2025•河南南阳•模拟预测）在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=（。为常数），其

中工表示每一轮优化时使用的学习率，4表示初始学习率，。表示衰减系数，〃表示训练迭代轮数，G。表

示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型中G。=20,当〃=10时，学习率为0.25：当〃=30时，学习

率为0.0625,则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（）（已知电2=0.3）

A.31B.32C.33D.34

3.（2025・浙江・二模）尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，

例加，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级”之间的关系为：lgE=4.8+l5W.若记

2025年1月7日西藏日喀则发生旦氏6.8级地震释放出来的能量为片,2022年5月20日四川雅安发生里

氏4.8级地震释放出来的能量为E,则条=（）

Ey

A.100B.200C.1000D.2000

4.（2025•内蒙古呼和浩特•二模）如图，梯形CM8C是上底为“，下底为3啦，高为G的等腰梯形，记

梯形049C位于直线x=«/>0）左侧的阴影部分的面积为/'⑺，则y=/（/）的大致图象是（）

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5.（2025•北京海淀•二模）中华人民共和国国家标准（G8115332011）中的《标准对数视力表》采用的是

kd

五分视力记录方式（缪氏记录法）：£=5-1g音，其中，心为袖测试眼睹的视力倩，d为该眼揩能分辨清

楚的最低一行“E”形视标的笔划宽度（单位：亳米），。为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示，

%是与乙。无关的常量.图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处

进行检测，能分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分.因条件所限，小明在距禽该视力表3米处进行检

测，若此时他的右眼能分辨的最低彳J：视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右

眼的实际视力值最接近的为（）（参考数据：怆2。0.30,怛3。0.48）

UJ3UJmE4.7

3mE3LUm4.8

in3EmEmUJ4.9

图1图2部分标准视力表示意图

A.4.5B.4.6C.4.8D.5.0

6.（2025•甘肃平凉・模拟预测）我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减

为原来的一半），即经过，年后，碳14的含量N=N0（g产（N。为碳14的初始含量，攵为常数），则碳14含

量由原来的80%衰减为60%大约需要经过（）

（参考数据：ln2«0.7,In3«l.l）

A.2292年B.2456年C.2674年D.2838年

7.（2025・广东汕头•模拟预测）某食品保鲜时间N（单位：小时）与储藏温度x（单位：。0满足函数关

系y=（k,6为常数）若该食品在0C的保鲜时间是168小时，在20℃的保鲜时间是42小时，则该

食品在30C的保鲜时间是（）

A.21小时B.22小时C.23小时D.24小时

8.（2025•河北秦皇岛•二模）科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量E

（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg£=4.8+L5M.2025年1月7日西藏日喀则市发生里氏

6.8级地震，释放出来的能量为耳，2025年1月10日山西临汾市发生里氏4.1级地震，释放出来的能量为

员，则：=（）

E2

A.10B.4.05C.10°05D.IO405

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9.（2025•费州•模拟预测）2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算

力需求为lOOOPctaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）.根据技术规划，DccpScck的算力每年增长50%.截止

至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS,并计划继续保持这一增长率.问：DeepSeek的算力预计在

哪一年首次突破7500PetaFLOPS?（）

（参考数据：lg2«0.301,Ig3«0.477,lg5«0.699）

A.2026年B.2027年

C.2028年D.2029年

10.（2025•北京房山一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁

殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合

模型：N（t）=NW，其中乂为种群起始个体数量，，•为增长系数，N"）为/时刻的种群个体数量.当y3

时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若N（4）=150,则N（IO）=（）

A.300B.450C.600D.750

11.（2025・云南昆明•模拟预测）已知某种水果的保鲜时间V（单位：小时）与温度x（单位：，c）近似满

足函数关系为常数，e为自然对数底数），若该品种水果在4C时的保鲜时间为192小时，在

17,C时的保鲜时间为96小时，则在30'C时，该种水果的保鲜时间约为（）

A.12小时B.24小时C.36小时D.48小时

12.（2025•北京石景山一模）经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数S=ac"（〃，A为常数）来

描述，其中S（单位：克）代表，分钟末未溶解糖块的质量.现洛一块质量为7克的糖块放入到一定量的水

中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则★=（）

A.-B.—C.In2D.In3

55

13.（2025・广东深圳•模拟预测）为了给地球减负，提高资源利用率,2025年全国掀起了垃圾分类的热潮,

垃圾分类已经成为新时尚。某市2025年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的

资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（）（参考数据：

lgl.2»0.079,Ig2«0.301）

A.2028年B.2029年C.2030年D.2031年

14.（2025•甘肃•一模）某班研究性小组的同学为了研究活性碳对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一

种活性碳污水净化装置.现污水中该种污染物含量为%（单位：詈），测得污水通过长度为/1单位：血）

1—/

的净化装置后污染物的含量%如下表：

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