大一高数知识点总结

大一高数知识点总结大一高等数学（简称“高数”）是理工科、经济学等专业的核心基础课程，主要涵盖函数、极限、微积分、微分方程等核心内容，构建了高等数学的基础理论框架。本总结以主流教材（如同济版《高等数学》）为依据，按“知识模块—核心知识点—定理公式—应用要点”的逻辑展开，兼顾理论理解与解题实践，适配日常学习、习题演练及期末复习需求，助力夯实高数基础。第一模块函数、极限与连续性本模块是高等数学的基石，函数是研究对象，极限是核心工具，连续性是函数的基本性质，三者共同为后续微积分的学习奠定基础。第一章函数1.1函数的基本概念（1）定义：设非空数集D⊆R，若对任意x∈D，按照确定的法则f，都有唯一确定的y∈R与之对应，则称f：D→R为定义在D上的函数，记为y=f(x)。其中D为定义域，{y|y=f(x),x∈D}为值域。（2）核心要素：定义域、对应法则，二者确定则函数唯一；值域由定义域和对应法则共同决定。（3）定义域求解原则：①分式分母不为零；②偶次根式被开方数非负；③对数函数真数大于零；④三角函数（如tanx定义域x≠kπ+π/2，k∈Z；arcsinx定义域[-1,1]）；⑤复合函数定义域需满足内层函数值域落在外层函数定义域内。1.2函数的特性（1）单调性：设函数f(x)在区间I上有定义，若对任意x₁<x₂∈I，恒有f(x₁)<f(x₂)（递增）或f(x₁)>f(x₂)（递减），则称f(x)在I上单调。可通过导数符号判断（后续重点）。（2）奇偶性：设函数定义域关于原点对称，若f(-x)=f(x)则为偶函数（图像关于y轴对称）；若f(-x)=-f(x)则为奇函数（图像关于原点对称）。常见结论：奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇；奇函数在x=0处有定义则f(0)=0。（3）周期性：设存在T≠0，对任意x∈定义域，f(x+T)=f(x)，则称T为周期。最小的正数T为最小正周期（如sinx周期2π，tanx周期π）。（4）有界性：设存在M>0，对任意x∈I，|f(x)|≤M，则称f(x)在I上有界。如sinx、cosx在R上有界（M=1），而x、1/x在(0,+∞)上无界。1.3复合函数与初等函数（1）复合函数：设y=f(u)，u=g(x)，若g(x)的值域与f(u)的定义域交集非空，则y=f[g(x)]为复合函数，u为中间变量。如y=sin(x²)由y=sinu和u=x²复合而成。（2）初等函数：由基本初等函数（幂函数xᵃ、指数函数aˣ、对数函数logₐx、三角函数sinx/cosx/tanx、反三角函数arcsinx/arccosx/arctanx）经有限次四则运算或复合运算得到的函数。如y=2ˣ+sin√x为初等函数。第二章极限2.1数列的极限（1）定义（ε-N语言）：对任意ε>0，存在正整数N，当n>N时，|aₙ-A|<ε，则称数列{aₙ}的极限为A，记为limₙ→∞aₙ=A。核心：n足够大时，aₙ无限趋近于A。（2）收敛与发散：若极限存在（为有限数）则数列收敛；否则发散（如aₙ=n发散，aₙ=(-1)ⁿ震荡发散）。（3）重要极限：limₙ→∞(1+1/n)ⁿ=e；limₙ→∞(1+k/n)ⁿ=eᵏ（k为常数）；limₙ→∞sin(1/n)/(1/n)=1。（4）收敛数列性质：①唯一性：收敛数列极限唯一；②有界性：收敛数列必有界（反之不成立，如aₙ=(-1)ⁿ有界但发散）；③保号性：若limₙ→∞aₙ=A>0，则存在N，当n>N时aₙ>0。2.2函数的极限（1）自变量趋于有限值（x→x₀）的极限：对任意ε>0，存在δ>0，当0<|x-x₀|<δ时，|f(x)-A|<ε，则limₓ→ₓ₀f(x)=A。注：0<|x-x₀|表示x≠x₀，极限与f(x₀)无关。（2）左右极限：左极限limₓ→ₓ₀⁻f(x)=A（x从左侧趋近x₀），右极限limₓ→ₓ₀⁺f(x)=A（x从右侧趋近x₀）；极限存在的充要条件：左右极限都存在且相等。如limₓ→0|x|/x不存在（左极限-1，右极限1）。（3）自变量趋于无穷大（x→∞）的极限：对任意ε>0，存在X>0，当|x|>X时，|f(x)-A|<ε，则limₓ→∞f(x)=A。同理有x→+∞（x>X）和x→-∞（x<-X）的极限。（4）重要极限：①limₓ→0sinx/x=1（核心：x→0时sinx~x，等价无穷小）；②limₓ→∞(1+1/x)ˣ=e或limₜ→0(1+t)¹/ᵗ=e；③limₓ→0(1-cosx)/x²=1/2，limₓ→0eˣ-1/x=1，limₓ→0ln(1+x)/x=1（常见等价无穷小推导基础）。（5）极限运算法则：若limf(x)=A，limg(x)=B，则①lim[f(x)±g(x)]=A±B；②lim[f(x)·g(x)]=A·B（特别地，lim[cf(x)]=cA，c为常数）；③lim[f(x)/g(x)]=A/B（B≠0）。2.3无穷小与无穷大（1）无穷小：limf(x)=0，则称f(x)为该极限过程中的无穷小量（简称无穷小）。注：无穷小是变量，非绝对值很小的数；0是唯一的常数无穷小。（2）无穷大：limf(x)=∞（或+∞、-∞），则称f(x)为该极限过程中的无穷大量（简称无穷大）。无穷大与无穷小的关系：在同一极限过程中，若f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小（f(x)≠0）；反之，若f(x)为非零无穷小，则1/f(x)为无穷大。（3）等价无穷小：设α、β为同一极限过程中的无穷小，若limα/β=1，则称α与β等价，记为α~β。（4）常见等价无穷小（x→0时）：sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，1-cosx~(1/2)x²，eˣ-1~x，ln(1+x)~x，(1+x)ᵃ-1~ax（a为常数）。（5）等价无穷小替换定理：若α~α'，β~β'，且limα'/β'存在，则limα/β=limα'/β'。注：仅适用于乘除运算，加减运算不可随意替换。第三章函数的连续性3.1连续性的定义（1）在x₀处连续：满足三个条件①f(x₀)有定义；②limₓ→ₓ₀f(x)存在；③limₓ→ₓ₀f(x)=f(x₀)。若不满足，则x₀为间断点。（2）区间连续：若f(x)在(a,b)内每一点都连续，且在x=a处右连续（limₓ→ₐ⁺f(x)=f(a)）、x=b处左连续（limₓ→ᵦ⁻f(x)=f(b)），则f(x)在[a,b]上连续。（3）间断点分类：①第一类间断点：左右极限都存在，包括可去间断点（limₓ→ₓ₀f(x)≠f(x₀)或f(x₀)无定义，如f(x)=(x²-1)/(x-1)在x=1处）和跳跃间断点（左右极限不相等，如f(x)=|x|/x在x=0处）；②第二类间断点：左右极限至少一个不存在，如无穷间断点（f(x)=1/x在x=0处）、震荡间断点（f(x)=sin(1/x)在x=0处）。3.2连续函数的性质（1）四则运算：若f(x)、g(x)在x₀处连续，则f(x)±g(x)、f(x)·g(x)、f(x)/g(x)（g(x₀)≠0）在x₀处也连续。（2）复合函数连续性：若u=g(x)在x₀处连续，y=f(u)在u₀=g(x₀)处连续，则复合函数y=f[g(x)]在x₀处连续，且limₓ→ₓ₀f[g(x)]=f[limₓ→ₓ₀g(x)]=f[g(x₀)]。（3）初等函数连续性：所有初等函数在其定义区间内都连续。3.3闭区间上连续函数的性质（1）有界性定理：若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界。（2）最大值最小值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必存在最大值M和最小值m（至少各取到一次）。（3）介值定理：若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，则对任意介于f(a)与f(b)之间的数C，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=C。（4）零点定理（介值定理推论）：若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0（两端点函数值异号），则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0（即方程f(x)=0在(a,b)内有实根）。第二模块导数与微分导数刻画函数的变化率，微分是导数的线性近似，二者是微积分的核心工具，广泛应用于函数单调性、极值、最值等问题的分析。第四章导数的概念与运算4.1导数的定义（1）函数在x₀处的导数：设f(x)在x₀的某邻域内有定义，若极限limₖ→₀[f(x₀+h)-f(x₀)]/h存在，则称f(x)在x₀处可导，该极限值为f(x)在x₀处的导数，记为f’(x₀)或dy/dx|ₓ=ₓ₀。（2）左右导数：左导数f’₋(x₀)=limₕ→₀⁻[f(x₀+h)-f(x₀)]/h，右导数f’₊(x₀)=limₕ→₀⁺[f(x₀+h)-f(x₀)]/h；可导的充要条件：左右导数都存在且相等。（3）导数的几何意义：f’(x₀)是曲线y=f(x)在点(x₀,f(x₀))处的切线斜率，切线方程为y-f(x₀)=f’(x₀)(x-x₀)；若f’(x₀)=∞，则切线垂直于x轴（方程x=x₀）。（4）可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。如f(x)=|x|在x=0处连续但不可导（左右导数分别为-1和1）。4.2基本求导公式（1）常数函数：(C)’=0（C为常数）；（2）幂函数：(xᵃ)’=axᵃ⁻¹（a为常数，如(x²)’=2x，(√x)’=1/(2√x)，(1/x)’=-1/x²）；（3）指数函数：(aˣ)’=aˣlna（特别地，(eˣ)’=eˣ）；（4）对数函数：(logₐx)’=1/(xlna)（特别地，(lnx)’=1/x）；（5）三角函数：(sinx)’=cosx，(cosx)’=-sinx，(tanx)’=sec²x，(cotx)’=-csc²x，(secx)’=secxtanx，(cscx)’=-cscxcotx；（6）反三角函数：(arcsinx)’=1/√(1-x²)，(arccosx)’=-1/√(1-x²)，(arctanx)’=1/(1+x²)，(arccotx)’=-1/(1+x²)。4.3求导法则（1）四则运算法则：设u=u(x)、v=v(x)可导，则①(u±v)’=u’±v’；②(uv)’=u’v+uv’（特别地，(Cu)’=Cu’，C为常数）；③(u/v)’=(u’v-uv’)/v²（v≠0）。（2）复合函数求导（链式法则）：设y=f(u)，u=g(x)可导，则y=f[g(x)]可导，且dy/dx=dy/du·du/dx=f’(u)·g’(x)。如y=sin(x²)，dy/dx=cos(x²)·2x=2xcos(x²)。（3）隐函数求导：对F(x,y)=0两边同时对x求导，将y视为x的函数（含y的项需用链式法则），解出dy/dx。如x²+y²=1，求导得2x+2y·dy/dx=0，故dy/dx=-x/y（y≠0）。（4）参数方程求导：若x=φ(t)，y=ψ(t)可导且φ’(t)≠0，则dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=ψ’(t)/φ’(t)。如x=sint，y=cost，dy/dx=(-sint)/cost=-tant。（5）高阶导数：二阶及以上导数称为高阶导数，记为f''(x)、f'''(x)或d²y/dx²、d³y/dx³。如f(x)=sinx，f''(x)=-sinx，f'''(x)=-cosx，f⁽⁴⁾(x)=sinx（周期为4）。第五章微分5.1微分的定义（1）定义：设f(x)在x₀处可导，若函数增量Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀)可表示为Δy=AΔx+o(Δx)（其中A与Δx无关，o(Δx)是Δx→0时的高阶无穷小），则称f(x)在x₀处可微，AΔx为f(x)在x₀处的微分，记为dy=AΔx。（2）可微与可导的关系：函数在某点可微的充要条件是在该点可导，且A=f’(x₀)，即dy=f’(x₀)Δx；令Δx=dx（自变量微分），则dy=f’(x₀)dx，故f’(x₀)=dy/dx（导数也称为微商）。（3）几何意义：微分dy是曲线y=f(x)在点(x₀,f(x₀))处切线的增量，当Δx很小时，Δy≈dy（线性近似）。5.2微分的运算（1）基本微分公式：由导数公式直接推导，如d(xᵃ)=axᵃ⁻¹dx，d(eˣ)=eˣdx，d(sinx)=cosxdx，d(lnx)=1/xdx。（2）微分四则运算法则：d(u±v)=du±dv；d(uv)=vdu+udv；d(u/v)=(vdu-udv)/v²（v≠0）；d(Cu)=Cdu（C为常数）。（3）复合函数微分形式不变性：设y=f(u)，无论u是自变量还是中间变量（u=g(x)），都有dy=f’(u)du。如y=sin(u)，u=x²，则dy=cosudu=cos(x²)·2xdx，与直接求导结果一致。第三模块微分中值定理与导数的应用微分中值定理是连接导数与函数整体性质的桥梁，为导数的应用提供理论依据，主要用于函数单调性、极值、凹凸性及不等式证明等问题。第六章微分中值定理6.1三大中值定理（1）罗尔定理：①条件：f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)=f(b)；②结论：至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f’(ξ)=0。几何意义：连续可导曲线两端点等高，则中间必有一点切线水平。（2）拉格朗日中值定理：①条件：f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导；②结论：至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)。变形：f(b)-f(a)=f’(a+θ(b-a))(b-a)（0<θ<1），几何意义：曲线在(a,b)内必有一点切线与两端点连线平行。（3）柯西中值定理（拉格朗日定理推广）：①条件：f(x)、g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，g’(x)≠0（x∈(a,b)），g(a)≠g(b)；②结论：至少存在一点ξ∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f’(ξ)/g’(ξ)。当g(x)=x时，退化为拉格朗日中值定理。6.2洛必达法则（求极限的重要工具）（1）适用类型：主要用于求解“0/0”型或“∞/∞”型未定式极限，其他未定式（如0·∞、∞-∞、0⁰、1^∞、∞⁰）需先转化为“0/0”或“∞/∞”型。（2）法则内容：设①limf(x)=0（或∞），limg(x)=0（或∞）；②f(x)、g(x)在极限点附近可导且g’(x)≠0；③limf’(x)/g’(x)=A（或∞）；则limf(x)/g(x)=limf’(x)/g’(x)=A（或∞）。（3）注意事项：①需先判断是否为未定式，非未定式不可用；②若一次求导后仍为未定式，可多次应用，但需每次验证条件；③当limf’(x)/g’(x)不存在且非∞时，洛必达法则失效，需换用其他方法（如等价无穷小替换）。（4）示例：limₓ→0sinx/x（0/0型）=limₓ→0cosx/1=1；limₓ→+∞lnx/x（∞/∞型）=limₓ→+∞(1/x)/1=0。第七章导数的应用7.1函数的单调性与极值（1）单调性判定：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则①若对任意x∈(a,b)，f’(x)>0，则f(x)在[a,b]上单调递增；②若f’(x)<0，则单调递减；③若f’(x)=0的点只有有限个，则不影响整体单调性（如f(x)=x³，f’(0)=0，但在R上单调递增）。（2）极值的定义：设f(x)在x₀的某邻域内有定义，若对该邻域内任意x≠x₀，都有f(x)<f(x₀)（或f(x)>f(x₀)），则称f(x₀)为f(x)的极大值（或极小值），x₀为极值点。极值是局部概念，最值是全局概念。（3）极值判定定理：①必要条件：若f(x)在x₀处可导且取极值，则f’(x₀)=0（驻点）；注：驻点不一定是极值点（如f(x)=x³在x=0处），极值点也可能是不可导点（如f(x)=|x|在x=0处）。②第一充分条件：设f(x)在x₀处连续，在x₀附近可导（x₀处可导或不可导），若x从左侧到右侧经过x₀时，f’(x)由正变负，则f(x₀)为极大值；由负变正，则为极小值；符号不变，则非极值。③第二充分条件：设f(x)在x₀处二阶可导，且f’(x₀)=0，f''(x₀)≠0，则①若f''(x₀)<0，f(x₀)为极大值；②若f''(x₀)>0，f(x₀)为极小值。（4）函数的最值求解（闭区间[a,b]上）：①求出f(x)在(a,b)内的所有驻点和不可导点；②计算这些点及区间端点的函数值；③比较所有函数值，最大的为最大值，最小的为最小值。7.2函数的凹凸性与拐点（1）凹凸性定义：设f(x)在区间I上连续，若对任意x₁、x₂∈I，有f[(x₁+x₂)/2]<[f(x₁)+f(x₂)]/2，则称f(x)在I上的图形是凹的；若f[(x₁+x₂)/2]>[f(x₁)+f(x₂)]/2，则为凸的。（2）凹凸性判定：设f(x)在(a,b)内二阶可导，则①若对任意x∈(a,b)，f''(x)>0，则f(x)在(a,b)内凹；②若f''(x)<0，则凸。（3）拐点：连续曲线y=f(x)上凹与凸的分界点称为拐点，记为(x₀,f(x₀))。判定：①若f''(x₀)=0或f''(x₀)不存在，且x经过x₀时f''(x)符号改变，则(x₀,f(x₀))为拐点。如f(x)=x³，f''(x)=6x，f''(0)=0，x<0时f''(x)<0（凸），x>0时f''(x)>0（凹），故(0,0)为拐点。7.3函数图像的描绘步骤：①确定函数定义域、奇偶性、周期性（简化作图范围）；②求f’(x)，找出驻点和不可导点，确定单调性和极值点；③求f''(x)，找出f''(x)=0或不存在的点，确定凹凸性和拐点；④求函数的渐近线（水平渐近线limₓ→±∞f(x)=A，垂直渐近线limₓ→ₓ₀f(x)=∞，斜渐近线y=kx+b，其中k=limₓ→±∞f(x)/x，b=limₓ→±∞[f(x)-kx]）；⑤计算关键points（极值点、拐点、与坐标轴交点等），结合单调性、凹凸性描点作图。第四模块不定积分不定积分是导数的逆运算，核心是寻找被积函数的原函数，为后续定积分的学习奠定基础，是积分学的入门内容。第八章不定积分的概念与性质8.1原函数与不定积分的定义（1）原函数：设f(x)在区间I上有定义，若存在函数F(x)，使得对任意x∈I，F’(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，则称F(x)为f(x)在I上的一个原函数。（2）原函数的性质：①若F(x)是f(x)的原函数，则F(x)+C（C为任意常数）也是f(x)的原函数；②f(x)的任意两个原函数相差一个常数。（3）不定积分：f(x)的所有原函数的集合称为f(x)的不定积分，记为∫f(x)dx=F(x)+C，其中“∫”为积分号，f(x)为被积函数，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量，C为积分常数。8.2不定积分的性质（1）导数与积分的互逆性：①d/dx[∫f(x)dx]=f(x)；②∫F’(x)dx=F(x)+C或∫dF(x)=F(x)+C。（2）线性性质：①∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx；②∫kf(x)dx=k∫f(x)dx（k为非零常数）。第九章不定积分的计算方法9.1基本积分公式（与导数公式互逆）（1）∫0dx=C；（2）∫xᵃdx=(xᵃ⁺¹)/(a+1)+C（a≠-1，如∫x²dx=x³/3+C，∫√xdx=2x^(3/2)/3+C）；（3）∫1/xdx=ln|x|+C；（4）∫aˣdx=(aˣ)/lna+C（特别地，∫eˣdx=eˣ+C）；（5）∫sinxdx=-cosx+C；∫cosxdx=sinx+C；（6）∫sec²xdx=tanx+C；∫csc²xdx=-cotx+C；（7）∫secxtanxdx=secx+C；∫cscxcotxdx=-cscx+C；（8）∫1/(1+x²)dx=arctanx+C或-arccotx+C；（9）∫1/√(1-x²)dx=arcsinx+C或-arccosx+C。9.2换元积分法（1）第一类换元法（凑微分法）：设F’(u)=f(u)，u=φ(x)可导，则∫f[φ(x)]φ’(x)dx=∫f(u)du=F(u)+C=F[φ(x)]+C。核心：将被积表达式凑成f(u)du的形式，关键是熟悉常见的凑微分形式（如dx=1/ad(ax+b)，xdx=1/2d(x²)，eˣdx=d(eˣ)，sinxdx=-d(cosx)）。示例：∫e^(2x)dx=1/2∫e^(2x)d(2x)=1/2e^(2x)+C。（2）第二类换元法（变量代换法）：设x=ψ(t)单调可导且ψ’(t)≠0，若∫f[ψ(t)]ψ’(t)dt=G(t)+C，则∫f(x)dx=G[ψ⁻¹(x)]+C（ψ⁻¹(x)为ψ(t)的反函数）。常用于消除被积函数中的根号，如：①含√(a²-x²)，令x=asint；②含√(a²+x²)，令x=atant；③含√(x²-a²)，令x=asect。示例：∫1/√(a²-x²)dx，令x=asint，dx=acostdt，积分化为∫(acost)/(acost)dt=∫dt=t+C=arcsin(x/a)+C。9.3分部积分法（1）公式推导：由乘积求导法则(uv)’=u’v+uv’，移项得uv’=(uv)’-u’v，两边积分得∫uv’dx=uv-∫u’vdx，即∫udv=uv-∫vdu。（2）适用类型：被积函数为“多项式×指数函数”“多项式×三角函数”“多项式×对数函数”“多项式×反三角函数”等乘积形式，核心是选择合适的u和dv，原则：①u易求导，dv易积分；②∫vdu比∫udv易计算。常见选择：“反、对、幂、指、三”（优先级从高到低选u）。（3）示例：∫xeˣdx，设u=x（幂函数），dv=eˣdx（指数函数），则du=dx，v=eˣ，积分=uv-∫vdu=xeˣ-∫eˣdx=xeˣ-eˣ+C；∫xlnxdx，设u=lnx（对数函数），dv=xdx（幂函数），du=1/xdx，v=x²/2，积分=(x²/2)lnx-∫(x²/2)(1/x)dx=(x²/2)lnx-x²/4+C。第五模块定积分及其应用定积分源于曲边梯形面积的计算，通过极限思想定义，是积分学的核心内容，广泛应用于几何、物理等领域的总量计算。第十章定积分的概念与性质10.1定积分的定义（黎曼积分）（1）定义：设f(x)在[a,b]上有界，将[a,b]任意分成n个小区间[xᵢ₋₁,xᵢ]（i=1,2,…,n），记Δxᵢ=xᵢ-xᵢ₋₁，任取ξᵢ∈[xᵢ₋₁,xᵢ]，作和Sₙ=Σ₁ⁿf(ξᵢ)Δxᵢ。若当λ=max{Δxᵢ}→0时，Sₙ的极限存在且与区间分法、ξᵢ的取法无关，则称f(x)在[a,b]上可积，该极限值为f(x)在[a,b]上的定积分，记为∫ₐᵇf(x)dx=limλ→0Σ₁ⁿf(ξᵢ)Δxᵢ。其中[a,b]为积分区间，a为下限，b为上限。（2）几何意义：若f(x)≥0，∫ₐᵇf(x)dx表示由曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴围成的曲边梯形的面积；若f(x)≤0，积分值为面积的负值；若f(x)正负交替，积分值为各部分面积的代数和。（3）可积条件：①闭区间上的连续函数必可积；②闭区间上的有界函数且只有有限个间断点必可积。10.2定积分的性质（1）积分上下限性质：①∫ₐᵃf(x)dx=0；②∫ₐᵇf(x)dx=-∫ᵇₐf(x)dx。（2）线性性质：①∫ₐᵇ[f(x)±g(x)]dx=∫ₐᵇf(x)dx±∫ₐᵇg(x)dx；②∫ₐᵇkf(x)dx=k∫ₐᵇf(x)dx（k为常数）。（3）区间可加性：∫ₐᵇf(x)dx=∫ₐᶜf(x)dx+∫ᶜᵇf(x)dx（无论a、b、c的大小关系如何，只要积分存在）。（4）比较性质：①若在[a,b]上f(x)≥0，则∫ₐᵇf(x)dx≥0；②若在[a,b]上f(x)≥g(x)，则∫ₐᵇf(x)dx≥∫ₐᵇg(x)dx；③|∫ₐᵇf(x)dx|≤∫ₐᵇ|f(x)|dx（a<b）。（5）估值定理：若在[a,b]上m≤f(x)≤M（m、M为常数），则m(b-a)≤∫ₐᵇf(x)dx≤M(b-a)。（6）积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得∫ₐᵇf(x)dx=f(ξ)(b-a)。几何意义：曲边梯形面积等于以[a,b]为底、f(ξ)为高的矩形面积，f(ξ)称为f(x)在[a,b]上的平均值。第十一章定积分的计算与应用11.1微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）（1）定理内容：设f(x)在[a,b]上连续，F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则∫ₐᵇf(x)dx=F(b)-F(a)，记为F(x)|ₐᵇ=F(b)-F(a)。（2）意义：将定积分的计算转化为求原函数的差值，建立了定积分与不定积分的联系，是微积分的核心定理。（3）示例：∫₀^πsinxdx=(-cosx)|₀^π=(-cosπ)-(-cos0)=-(-1)-(-1)=2。11.2定积分的计算方法（1）换元积分法：设x=ψ(t)在[α,β]上单调可导，ψ’(t)≠0，ψ(α)=a，ψ(β)=b，f(x)在[a,b]上连续，则∫ₐᵇf(x)dx=∫α^βf[ψ(t)]ψ’(t)dt。示例：∫₀ᵃ√(a²-x²)dx，令x=asint，t∈[0,π/2]，dx=acostdt，积分=∫₀^(π/2)acost·acostdt=a²∫₀^(π/2)cos²tdt=a²·π/4（利用∫₀^(π/2)cos²tdt=π/4）。（2）分部积分法：设u(x)、v(x)在[a,b]上具有连续导数，则∫ₐᵇudv=uv|ₐᵇ-∫ₐᵇvdu。示例：∫₀¹xeˣdx=uv|₀¹-∫₀¹vdu=(xeˣ)|₀¹-∫₀¹eˣdx=(e-0)-(eˣ)|₀¹=e-(e-1)=1。（3）对称区间上的积分：若f(x)在[-a,a]上连续，则①若f(x)为偶函数，∫₋ₐᵃf(x)dx=2∫₀ᵃf(x)dx；②若f(x)为奇