人教A版高二数学选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 测试·提升卷（解析版）

2025-2026学年高二数学上学期单元检测卷

第一章空间向量与立体几何•能力提升

建议用时：120分钟，满分：150分

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知”=(一325)为=(1,5,-1),贝lj(a+力)•(〃―/?)=()

A.11B.-13C.45D.3

【答案】A

【分析】先根据空间向量的线性运算得出，再应用数量积公式计算求解.

【详解】因为a=(—3,2,5)/=(1,5,—1),

所以,+b=(-Z7,4),d-6=(-4,-3,6),

所以a〃=8—21+24=11.

故选：A.

2.已知正四面体OA8c的棱长为1,点M在OA上，且OM=|。4,点N为中点，则MN用基底|。4。注。。｝

表示为()

A.-OA--OB+-OC

322

B.-OA+-OB--OC

322

C.-OA--OB+-OC

322

D.--OA+-OB+-OC

322

【答案】D

【分析】根据空间向量基本定理进行求解即可.

【详解】因为N为13C的中点，则3N=NC，所以，ON-OB=OC-ON，

则ON=LO8+」OC,因此，MN=ON-OM=--OA+-OB+-OC.

22322

故选：D

o

3.已知空间中有A（l,2,3）,8（T2,2）,C（2,0,l）三点，则点A到直线8C的距离为（）

A3屈R3历

147

r2而

D

7-7

【答案】A

【分析】根据空间中点到直线距离的向量方法，构造方向向量，根据公式，求出点到直线的距离即可.

【详解】由题意得AB=（—2,0,—1）,BC=（3,-2-l）,

故选:A.

4.已知在直三棱柱ABC-4AG中，NABC=135。，人8=&，BC=\,BB1=2,则异面直线A瓦与8G所

成角的余弦值为（）

A.叵B.好L・----D.

653

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求两异面直线夹角的余弦值.

【详解】在直三棱柱中以8为顶点，84为4轴，在平面ABC内过点8作垂直于AB的直线为）轴，为z

轴建立空间直角坐标系如图所示:

A(x/2,0,0),8(0,0.0),C(-—,0),A(血，。，2),4(0,0,2),C,(--.—,2),

2222

y

Al\=(-72,0,2),BC\=一率=2

设异面直线AB1与8G所成角为0,

m।幻/.t}\人印•BC}5-730

则cos。=cos{AB.,BC.)=।---p；-=—j==----.

'/卜利对V306

故选:A

5.在四棱锥尸-ABC。中，平面平面ABC。-RIB为正三角形，ABCD为梯形,AD//BC,AB1BC,

AD=1,AB=2,8C=3,则直线始与平面PCO所成角的正弦值为()

A>/3RV30「历n3x/26

2202126

【答案】B

【分析】取AB的中点0,连接0P,可得PO_L平面ABCD,建立如图所示的直角坐标系，求出平面PCD的

法向量，利用向量法求解.

【详解】取AB的中点0,连接OP,

因为AP48为正三角形，所以PO_LA8,

乂平面。48_L平面A3c。，平面PABc平面A3C£>=A4,POu平面丛8，

.•.尸0_1_平面八^6,

建立如图所示的直角坐标系，

则A(l,0,0),0(1,1,。)，C(-l,3,0),网0,0网，OP=(--1网，8=(2,-2,0).

设平面PCD的法向展为〃一(为y,z),

DPn=0-x-y+Gz=0

则

CDn=()2x—2y=0

令z=2,得平面PCQ的一个法向量为〃=(73,75,2).

又AP=(-1,0,73),设处与平面PCD所成角为e,

所以sin0=cos

故选：B.

p

6.在三棱锥P—A3c中，PA,PR,PC两两垂直，旦PA=PB=PC=4,。为AC的中点，E为4c的中

点，若M为该三棱锥外接球上的一点，则MZ)・ME的最大值为()

A.12+46B.14+2白C,10+276D.12+4指

【答案】D

【分析】由题意设N为OE为中点，=故问题转换为求|MN|的最大值即可.

【详解】

设三棱锥P-AAC的外接球的球心为。，

•;FA，PB,PC两两垂直，且P4=P8=尸C=4,则A8=4C=8C=4夜：

三棱锥夕一A3c的外接球的半径为342+4?+4?=26

•.•。为AC的中点，七为6C的中点，・•.OEugABuZ应，设N为DE为中点，则

ON=&，OD=2：.ON=doif-DN。=叵，

.•./WO.ME=(MN+NO).(MN+NE)

=\MN--DE\\MN^-DE\=MN'--DE=MN2-2

I2JI2J4

=|MN1-2

要使取到最大值，则|M"|必须达到最大，则M、。、N三点要共线，

且满足.叫=|例0卜］。叫=26+拉，故MD-ME=(2场+可-2=12+4指

故选：D.

7.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，尸为其内一点，A(1,1,2),B(2,1,0),平面AW_1_平面。仍，则

平面RS的一个法向量可以为：().

A.(-5,24,21)B.(-6,10.9)C.(-7,11,13)D.(-8,13,12)

【答案】D

【分析】设OQ=4OA+〃O8,。。为平面E4A的法向量，由面面垂直的性质定理得。列式求出人〃

得解.

【详解】设。为空间内•点,且。。=%3+〃03=(2-2〃乂+12孙

由「平面P43_L平面。48,所以平面的法向量垂直4B且平行平面。48(或在平面。48内部)，

故不妨取OQ为其法向量，则OCUAB,48=(-3,0,-2),

所以OQA8=On64=7/l,取％=6,〃=7代入。。得到OQ=(—8/3』2),故D正确.

故选：D.

8.己知正三棱锥S—48c的侧棱长为2,。为线段觉•上一点，SO=2DC,SA_L3O.设三楂锥S—A8c外

接球为球O,过。点作球。的截面夕，则截面。面积的最小值为()

A.也B.胆C.也D.[

9933

【答案】B

【分析】如图以点〃为原点，8C的平行线为“轴，MN、MS为2z轴，建立空间直角坐标系，由SAJ.8O,

利用坐标运算求得正三楂锥底面边长和高，从而可得外接球半径，又过。点作球。的截面。，当OD_La时，

截面a面积的最小，可得解.

【详解】如图在正三棱锥S-ABC中，SM_L平面A3C,且例为VABC的中心，4N为中线，

如图以点M为原点，3。的平行线为x轴，“MMS为八n釉，建立空间直角坐标系，

设MS=/7,AB=a,则力2+J=4,

\3Z

所以A0,~a,0,S(0,0,/?),3

\3/\26/I\26

由于SZ)=2£>C,所以CO=；CS,则O-?叫a,g,

\37xoIo3z

因为SAIRD,则AS.5D=0x-----]++—-=0

16J3118J3

解得a=2应、h=♦

3

设O（0,0M）,则OA=QS,则居了=/T，得％=—当，

所以R=空+兄=6

33

过力点作球0的截面。，当时，截面a面积的最小，

0/）=4归+且+（-立一4]=巫，所以截面圆半径为JR?—。】=汉

丫927（33133

则血积为年.

故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知空间向量a=（L2,l）,b=（3,-2,l）,c=（T,4,T）,则（）

A.\a\=＞/6B.他力t｝可以为空间的一组基底

C.albD.（4+〃）d=10

【答案】AC

【分析】A选项，利用空间向量模长的坐标计算出A正确；B选项，求出£=35+2°，所以a，b，2共面，

B错误；C选项，计算出6功=3-4+1=0,C正确；D选项，利用空间向量数量积运算法则得到D错误.

[详解】对于A,|a|=Vl2+22+12=巫＞,故A项正确；

1—3tn—4〃

对于B,设〃=〃?/?+〃c，即＜2=-2〃?+4〃，解得〃?=3,n=2,

\=in-n

即q=3b+2c，所以a，b，c共面，｛“仇力不能作为空间的一组基底，B错误；

对于C,〃/=3-4+1=0，所以《1人，故C项正确；

对于D,（。+8）-。=（4,0,2）,（-4,4,-1）=-18=10,故D错误.

故选:AC.

10.如图，在棱长为2的正方体4BCO-4与0。中，M,N,P分别是/V\,CG，GR的中点，。是线段。人

上的动点，R是线段BN上的动点，则（）

A.存在点Q,使PQ//平面MANB.MN与P8为异面直线

C.线段QA的最小值是2D.经过M,B,C,N四点的球的表面积为9兀

【答案】ABD

【分析】对A,。为AR的中点，根据PQ//ACJ/MN以及线面平行判定定理可得；对B,通过A8//PN,

而=B可得：对C,建系，求解线段QR的长度；对D，建系，求得球心的坐标，然后根据球的表

面积公式计算即可.

【详解】对A,存在，当。为44的中点时，PQ〃平面M/3N,如图，连接PRAG，

由M,N,。分别是A'CC,CQ的中点，所以PQ//ACJ/MN,

由PQcZ平面M8N,MNu平面MBN,所以P。//平面M8N,正确:

对B,如图，连接A8

由A8//PN,而A8cM3=3,M氏呐分别在两个平行的平面内，所以为异面直线，正确;

对C,建立如图所示的空间直角坐标系，

所以A（2,0,2），A（0,0,2）,8（2,2,0）,C（020）,N（021）,M（2,0,1）,

设点。（2x,0,2）,BR=2BN，fiiJO<x<l,0W&W1,BR=（-24,（U）,

所以点R的坐标为（2-2%2,%）,

所以|Q/?|=y]（2-2A-2x）2+4+（A-2）2,

所以当x=l-/l=0,2=1时，出时取最小值，最小值为石，C错误；

对D,设经过M,B,C,N四点的球的球心O坐标为（a,〃,c）,

22222

OB=OC(«-2)+(^-2)+c=tr+(Z7-2)4-ca=1

所以OM=W=>U«-2)2+/?2+(c-l)2=t/24-(/?-2)2+(c-l)2=]

222222

°B=OM(^a_2)+(b-2)+c=(a-2)+b+(c-1)C=1

2

所以球的半径为=—2）2+（1-2>+（33

2

所以球的表面积为47rx[I）=9兀，正确.

故选:ABD

II.在棱长为2的正方体44CO—A4G2中，点尸满足4P=4%?+〃34,且OK4W1,OK〃K1,则下列说

法正确的是（）

B.若4+〃=1,则4P_L8G

C.若2=/，=；,则尸到平面ABD的距离为:6

D.若谷M2时，直线/“与平面AB。所成角为6,则sinOw性用

【答案】ACD

【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A,建系后写出相关点的坐标，对于B,利用向量的数量积

的坐标公式计算即可判断；对于C,利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D,由条件求得

P（-2,0,2〃），利用线面角的向量求法得到sin0=*•产借助于函数的单调性即可求得sin。的范

围.

【详解】连结AC，A4，4C,由丸+〃=1可知，点。在线段8c上，

因为AG〃AC,ACu平面AC81,AG（Z平面AC4，所以AG"平面AC4，

同理A。//平面AC&,且4GCAO=A，且AG，AOu平面AG。，

所以平面八CBJ/平面4G。，APu平面入。4，所以A"〃平面4CQ，故A正确;

如图以3为原点建立空间直角坐标系，则

B（0,0,0）,B,（0,0,2）,A（0,-2,0）,（0,-2,2）,C（-2,0,0）,C.（-2,0,2）,D（-2,-2,0）,D,（-2,-2,2）,

对于A,BD、=（-2,-2,2）,BC=（-2,0.0）,=（0,0,2）,

则BP=2BC+〃BB[=（—240,2〃）,得产（一2九0,2〃），则幺=（24-2,-2〃），

AC=（-2,2,0）,A正确：

对于B,由A分析可得加=（-2/22〃）,6G=（-2,0,2）,"熊=42+4〃=4工0,

故AP不与BG垂直，故B错误;

对干C,A=〃=g时，P（—1,0,1）,又3=（0,-2,2）,8。=（一2,-2,0）,

/、BA,n=-2y.+2z.=0

设平面A3。的法向量为*=XQ[,ZJ,则“?，'

=-2%-2%=0

故可取〃又BP=（—1,0,1）,

\BP-n\2

则P到平面ABD的距离为L_*=_L=±e,故C正确：

同63

对于D,当/l=l,OW〃Wl时，P(-2,0,2//),则OP=(0,2,2〃),

又由C已得平面ABO的法向量为〃=(TJI),

则0DP,n\===：=—•

sin=1Icos1\DF\\n\27产3.卷71773JV"1"+"+丝

当〃=0,sin。=,

因f（x）=x+」在（0』上单调递减，则〃+，N2,则有°<1

则正<sin9V立.垃=渔，则当0<〃<1时，鼠sE6W叵故D正确.

33333

故选:ACD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在四面体ABC。中，AB=2a+3c^CO=-4a+8Z?—2c，棱4C，8。的中点分别为E,F,若

FE=a-4b+kc贝九攵=.

【答案】-；

【分析】根据向量线性运算规则，用向量AB,CD表示出£尸，求出参数的值.

【详解】

D

B

在四面体ABC。中，棱AC,8。的中点分别为E,F,取BC的中点G,所以PG=gDC=—：CD,

22

GE=-BA=--AB,

22

所以尸石=尸6+6石=-58—/48=—5(-44+88一23)—5(24+30)=力一4人一53,

又因为FE=a—4Z?+&c，所以左二一］.

2

故答案为：

13.已知空间向量〃二(11,㈤，》=(-2,2-万,4_6),若的夹角为钝角，则实数4的取值范围为

【答案】(0,2)U(2,s)

【分析】依题意＜0且，与人不共线(反向)，结合数量积的坐标表示得到不等式，解得即可.

【详解】因为4=(1,1,义)，(=(-2,2-储,4-6)且@,：的夹角为钝角,

所以＜0且a与〃不共线(反向)，

由〃・〃＜(),则一2+2-分+2(4—6)＜0,解得义＞0,

-2=t

当a与〃共线时，b=M，则|2-抬=/,解得J：

X=2

2-6=

综上可得实数4的取值范围为(0,2)D(2,+。).

故答案为:(O,2)u(2,+8)

14.如图，在棱长为1的正方体48CD-A4CQI中，P，E分别为线段8口，八8上的动点，M为线段八口的

①三棱锥E-COG的体枳为定值:

②尸C+PM的最小值为我:

6

③不存在点£使得AE与所成的角为45。；

④ZXA。尸面积的取值范围为

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【分析】对①，根据高和底面均为定值可判断；对②，转化到同一个平面，利用余弦定理计算；对③，建

系，利用夹角公式进行判断；对④，表示出点〃到直线。A的距离，然后用面积公式计算判断

【详解】对①，点E到平面C3G的距离是定值，SCM为定值，所以三棱锥E-COG的体枳为定值，正确:

对②，将平面8RC沿着CA旋转到平面A5R,如图:

AB=BC=1、AD产D、C=五,MD、=专,AB1AD^BC±DtCt则4A=G，

所以NBD©=NBQA,sinZfiD.C=sin/BD】A=专=*,

所以cosZAD,C=cos2NBD©=1-2sin2NBDg=1,

CM2=CD,2+MD2-2CDMD、cos/AD。=—=—，正确;

}66

对③，建立空间直角坐标系:

A(I,O,I),A(IJO),A(0,0,1),设E(I,/，,O)(O工人MI),

所以AE=(0,仇—1),AA=(—1,T1),

A.EBD,-b-\

若AE与3。1所成的角为45。，则cos45==b2-4b+l=0=b=2(I)=2-^3

|A4忸同扬+1・6

舍)，

所以存在点E,使得从七与6。所成的角为45。，错误；

对④，设AP=4A8(0W2W1),DA,=(1,O,I),Z)P=DD】+DF=/)/%+2/)乃=(2,2,1-2),

所以,4卜&,点P到直线DM勺距离为〃=

由owg当人?时,有心邛；当行1时，有d皿邛.

所以△入0？面积S=,正确.

262

故答案为：①②®

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)

如图，在长方体A3CD-A4GR中，AB=AD=2,⑨=2&，M为棱。。的中点.

(1)证明：平面A。。；

(2)求直线BDi与平面A.CD所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵如

3

【分析】（1）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明人M-LA。，AM1CD,再根

据线面垂直的判定即可证明；

（2）由（1）得人例是平面A.CD的一个法向量,设直线BD.与平面A.CD所成的角为8,则sin^=|cos^W,fiD.|,

代入计算即可.

【详解】（1）如图，以点A为坐标原点，以AB,AD,4A所在直线分别为x轴、），轴、z轴，建立空间

则A（0,0,0）,M（0,2,夜），虫0,0.2&）,C（2,2,0）,£>（0,2,0）,〃（0,2,2血），3（2,0,0）,

AM=（0,2词，4。=仅2-2匈，CD=（-2,0,0）.

因为AMAZ）=0+4_4=0,AMCD=0+0+0=0>

所以AM_LA。，AMLCD.

因为A。，COu平面A。。，AiD^\CD=D,

所以A"_L平面A。。.

（2）由（1）得AM是平面AC。的一个法向量，BDX=（-2,2,2X/2）.

设直线BR与平面\CD所成的角为e,

I.\AM-BD\|4+4|限

贝“cosAM，叫=T；_=/J----:,

।1,74-2x।74+4+83

故sin。=k°sAM,,

则直线BR与平面\CD所成角的正弦值为xe.

3

16.（15分）

如图，在以A,B,CZ）,改尸为顶点的五面体中，四边形八BCO与四边形CZ）EF均为等腰梯形,

ABUCD,CDUEF、AB=DE=EF=CF=2,CO=4,AO=4C=质,A£=26，M为CO的中点.

（1）证明：平面48cos平面CDEF；

⑵设点N是zM/W内一动点，NDNM3当线段AN的长最小时，求直线EN与直线M所成角的余弦

值.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）取/加的中点为0,连接QAOE,即证4O_LOE,AO_LOM,EO_LOM,利用面面垂直的判

断定理即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，由向量的数量积为0,确定N的轨迹，再由最小值确定其位置，得其坐标，最

后由利用夹角公式即可求解.

【详解】（1）取。M的中点为0,连接OAOE,

由是边长为2的等边三角形，△AZW是以AQ=AM=&?=的等腰三角形，

所以OE_LOM,QA_L£>M,OD=-DM=\DE=2,

2t

所以OA=JW-CD2=3,OE=ylDE2-OD2=x/3»所以AO?+。石2=人石?，

所以OA_LOEQEcDM=O,OEu平面COEEDMu平面CDEF,

所以OA_L平面COE/L又OAu平面ABC。，所以平面A8C£U平面COE/；

（2）以。为坐标原点，分别以OE,OCOA为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

所以从(0,0,3),网后0,0),“(0,1,0),5(0,2,3),尸(布,2,0),

当点N是内一动点，且NDNM=0,则点N在以0M为直径的圆上,

当线段AN的长最小时，点N在AO与圆的交点处，所以N(0,0,l),

所以EN=(-x/3,0,1),BF=(6,0,-3),

设直线硒与直线所所成角为。，

ENBF73

所以COSOTCOSEMB/7=

EN^BF~2

所以直线EN与直线叱所成角的余弦值为巫.

2

17.（15分）

如图，在四棱锥E-ABCD中，E4_L平面ABC。，AD//BC,ZABC=90°,4）=2,EA=AB=BC=\.

(1)证明：平面E4C_L平面E8；

(2)若点尸在侧棱EC上，EF=2FC,求平面廉与平面E4O夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(I)利用线面垂直的判定定理即可得到结果.

(2)利用面面夹角的向量求法即端求得结果.

【详解】(1)

取AD中点例，连接CM,可得四边形人ACM是边长为I的正方形,

则AC=&，CD=4i，又AC2+CQ2=A。，故CD_LAC，

因为E4_L平面A3CO,CDu平面4?C。，所以CQ_L£4,

又因为CQ_LAC,EAC\AC=A,£4u平面以C,ACu平面E4C,

所以C£)_L平面E4C,

乂CDu平面ECO,所以平面K4C_L平面ECZ)

(2)

z.

Dy

C

x

分别以ARARA石所在的直线为X,y,z轴，建立空间直角坐标系人-町，z,

221)

则A(0,0,0),4(1,0,0),0(020),£(0,0,1),由叱_2“c得，F3'3'3J

（221、

在平面上44中，人尸=，A8=（l,0,0）,设平面上44的法向量为％=（x,y,z）,

\D33/

221

Abit=—x+—y+—z=0

则有•333,令)，=1,解得x=0,y=\,z=-2

ABn}=x+Oy+Oz=0

故平面/<44的一个法向量为％=（0,1,-2）,

(221}（2411

同理A/=，FD=卜设平面aw的一个法向量为%=e/,c）,

、JJD,

?91

AFn^=—x+—y+—z=O

则有《'll，令x=l，则产0，z=-2,故%=(1,0,—2),

FDriy=——x+—y——z=0

-333

设平面行$与平面£4。的夹角为0,则cos®=cos}?1,%）44

岳X加5'

4

综上，平面与平面E4D的夹角的余弦值为二

18.（17分）

如图I,V/WC是底边为2的等腰三角形，且BA=BC=百,△D4C为等腰直角三角形，ZCDA=90°,将

△ZMC沿AC翻折到.24C的位置，且点P不在平面/WC内（如图2）,点r为线段总的中点.

⑵当平面E4CJ•平面AC3时，求直线心与平面Ab所成角的余弦值;

（3）若直线尸C与A8所成角的余弦值为巫时，设平面24c与平面ABC的夹角为。，求cosa的值.

4

【答案】（1）证明见解析；

⑵争

⑶今.

【分析】（1）取中点为E，连接PE,BE，易得FE_LAC,BELAC,再由线面垂直的判定和性质，

即可证；

（2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，求出直线所与平面ACF的方向向量和法向量，最后应用向量

法求夹角余弦值；

（3）构建合适的空间直角坐标系，设/8牡=。，则P（0，cos6,sin。），应用异面直线夹角的向量求法及J知

列方程求得cos。=-也，即可得.

4

【详解】（1）取AC中点为E,连接BE,

vPA=PC,AB=BC,

APELAC,BEA,AC,

乂PEcBE=E,PE、3Eu平面P昭，

4c_L平面PBE,又PBu平面PBE,

ACLPB.

（2）;平面A4C_L平面474,平面PAC。平面4cA=AC,PE±AC,庄u平面上AC,

1.PE_L平面ACB,易知E4,EP,EB两两互相垂直，

以E为原点，以｛E4,E8.EP｝为基底，建立空间直角坐标系，

CA•m=2^=0

设平面ACF的法向量为〃?=（百,M，zJ,则.72I

CF-/K=X,+—^+-2,=0

取：力=-1,得6=（0,T应）,

­〃=2々=平*一

|尸司.网73x733，

设直线/孙与平面心所成角为"则吟多又咱吟,

・・,直线依与平面ACE所成角的余弦值为坐

建立空间直带坐标系,

EP=\,则A(LO,O),8(0,0,0),C(-I,O,O),

设NBEP=9,则尸(0,cosasin6),则PC=(-l,-cos<9,-sin<9),A8=(-l,近,0),

PCAB1->/2cos0展

故cosPC.AB\=\pc|网”72x75

""亡h'彳'

/.cos^=_^n£cos6>=—(舍)，乂ae[0?]，

442

cosa=|cos®|=¥.

19.(17分)

如图，圆台。U的一个轴截面为等腰梯形AAC'C；,