解析几何：定值问题（复习讲义）-2026届高三数学（含解析）

解新及何,灵值同救复习饼*

目录

才点一以孩长与我段长度为背景的定值问题...................................1

考点二以面积为背景的定值问题.....................................................10

考点三以馍许角与斜率为背景的定值问题.............................................17

考点四以角度为背景的定值问题.....................................................24

才森五以向量为背景的定值问题.....................................................31

课后提升调练............37

考点一以微长与线盘长度为背景的定值问题

【知识点解析】

1•利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤:

（1）设直线方程,设交点坐标为（/1，%）、（/2，的）；

⑵联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于c（或y）的一元二次方程,必要时计算△;

⑶列出韦达定理；

⑷将所求问题或题中的关系转化为①1+工2、为•g的形式;

（5）代入韦达定理求解.

2.定值问题的解题思路是：

U）设参数；

（2）用参数来表示要求定值的式子；

（3）消参数.

3.常见的距离公式

一两点之间的距离问题：已知点/（勾,仇），6（g,g）,则线段AS的长度以6|=/（为一gy+（仇一助丫

②点到直线的距离问题；已知点P（g,yo），Z：Ar+By+。=0,点P到直线Z的距离d=

|40+即+C

、分+62.

③平行线的距离问题:已知直线IMx+坳+G=0与12:AT+坳+C2=0,直线I1到直线12的距离d

=IG-GI

-VA2+B2'

4.现场问题常见的翻译思路

方法公式

两点之间的距离公式(1)已知点A31,%)、9(^2,劭),则1力J(为-⑸?+(仇一改)2.

⑵当电=X-2，则|43|=1幼一如；当幼二阴，则\AB\=也1一叫

若点力(①1,小)、7?3，夕2)在直线u=k①+b上

22

(1)|XB|=A/H-ZCI^—x2|=V14-/c•(X[+x-if—x2

弦长公式(2)|AB|J1+k201g2I-次+£2•J⑸+''2)4幼•加

若点4(①1,姑)、B(x2,y2)在直线％=my+£上

2

(3)|=Jl+Tn?|幼一例|=Jl+皿2・J(%+y2)-4yl•y2

圆的弦长若直线，与圆。相交于A、6两点，则|43|=2〃2一42.

其中厂为圆。的半径，d为圆C的圆心到直线C的距离.

已知抛物线。于过抛物线焦点R直线，相交于4(g,纳)、6(g，劭)两点

抛物线的焦点弦问题(1)若抛物线开口向右或向左，|力8=E+g|+p.

(2)若抛物线开口向上或向下，|43|=版+统|+。.

利用相似表示边长的(1)若ZV1BC〜3,则蓝-器-器.

比(2)若A..3、。、。四点共线,则第=孙一词=什一叫

3\xc-xD\\yc-yr\

已知△ABC中角力、B、。所对的边分别为a、b、c.

勾股定理与余弦定理(1)勾股定理:若NC=。，则c2=a2+吐

表示边(2)余弦定理：a2=b2+c2-2bc-cosA；b2=a24-c2-2ac-cosB；

c2=a?+b2-2ab-cosC.

...........»

【例题分析】

1.(25—26高三上•湖南怀化,开学考试)己知A(—2,0)和3(,1)为双曲线C：三—鸟=

l(a>0,6>0)上的两点.

(1)求。的方程.

(2)过点(4,0)的直线2与双曲线。交于。，后两点(0,E不在①轴上).

(i)若。，E均在。的右支上，且|0E|=12，m,求,的方程；

(ii)直线和AE分别与直线①=-4交于M,N两点，证明：以MN为直径的圆被入轴截得的弦长为

定值.

2.(2024•湖南长沙•模拟预测)已知椭圆r：4+77=的左、右焦点分别为E，£,离心率e=[,

a-b~2

点。在椭圆上，且丽•弱=0,|函=等.

(1)求椭圆「的方程；

(2)过点E的动直线I与椭圆「交于4B两点、(不与椭圆的左、右顶点重合).

①当I的倾斜角为等时，求△/BE的面积：

②点尸为椭圆r的右顶点，直线£4、尸3分别与y轴相交于点M、N,求证以MN为直径的圆被I轴截得

的弦长为定值.

3.（25—26高三上・广东深圳・阶段练习）如图，椭圆的方程为与+短二1,左、右焦点分别为月（_1,0）,

a/

R（1,0）.设A6是椭圆.上位于出轴上方的两点，且直线在用与直线平行，力片与6月交于点P.

⑴求椭圆的方程：

⑵求证:房r点是定值:

⑶求三角形PEE的周长.

q..................

4.(2025•湖南湘潭•一模)已知椭圆T：宅+的离心率为坐，且经过点4(一2,0),

a-b-幺

6(2,0).过点斜率为MkWO)的直线与椭圆交于C,。两点，直线47,3。分别与直线必=1

交于点E,G.

(1)求椭圆T的方程;

⑵求制的值.

5.(25—26高三上•内蒙古•开学考试)已知双曲线。：写一写=1(。>0">0)的一个焦点为(5,0),点尸

a1V

(4、泛⑶在。上.

(1)求C的方程；

(2)已知点Q(4/2,—3),A(2V2,0),3为线段PQ上点，且直线46交。丁，E两点，证明：|AD|•

\BE\=\AE\•\BD\.

.........................................................................a

6.(2025•安徽芜湖•模拟预测)在平面直角坐标系iQ/中，双曲线-4=1(«>0,6>0)的左、右焦点

a~b-

分别为E，E，离心率为2,过点”(0,*(加>0)且倾斜角为45度的直线八交双曲线于43两点(4在

©轴右侧)且与7=3加，

(1)求双曲线。的方程；

(2)若直线力是过。的右支上点。的切线，且为不与，轴垂直，过后，E分别作直线勾的垂线，垂足为Z，

①求证:点7],为均在以。为圆心的定圆上，且O7]〃PE，OT2//PFC，

②求证：|EZ|・|E©是定值.

7.(2025・辽宁沈阳・三模)已知圆它(%-3)2+婿=25,抛物线64=2网(。＞0)的准线与圆N相切,过抛物

线焦点R的动直线I与抛物线交于4、白两点，线段AB的中点为M.

(1)求抛物线。的方程；

(2)gMN上x轴时,求直线I的斜率；

(3)求证：|4B|—2\MN\为定值，并求出该定值.

...........»

8.(2025•上海徐汇•二模)已知抛物线C好=4化，点9是抛物线C的焦点.

⑴求点F的坐标及点F到准线L的距离；

⑵过点尸作相互垂直的两条直线6,3。交抛物线。于点R、2，勾交抛物线。于点Qi、求证:

]为定值，并求出该定值;

IQ1Q2I

(3)过点9且斜率为V3的直线交抛物线。于力、6两点，设点P不在直线AI3上且PF为"AB的内角

平分线，求面积的最大值.

考点二以面积为背景的定值问题

【知识点解析】

类型求解方法

公式法求面积：S&的=9•d•儿

其中d为4ABe的△力的边长，九为顶点到底边的距离，可用点到直线的距离公式求

出.

三角形的面积铅垂法求面积

①过点A作c轴的垂线交6。于点。，则5.席=y•加一词•|如一珀.

②过点A作0轴的垂线交BC于点E,则Sw尸卷•|外一yc\'\xA-xE\.

正弦定理求面积

由正弦定理得S4|-ab-sinC=y-ac-sinB=-be-sinA.

6c乙乙乙

割补法求面积:连接四边形对角线，将四边形分为两个三角形，进而利用三角形的面积进

行求解.

特殊平行四边形的面积

四边形的面积

①矩形的面积=长*宽.

②菱形的面积=底X高=,对角线长度X对角线长度.

③正方形面积=边长X边长=今对角线长度X对角线长度.

对角线互相垂直的四边形，面积=看对角线长度X对角线长度.

..............即

【例题分析】

9.（25—26高三上♦重庆沙坪坝•开学考试）在圆0：〃+才=4上任取一点p，过点p作/轴的垂线段

PDQ为垂足.

（1）当点P在圆上运动时，求线段PD的中点Q的轨迹方程.（当点P经过圆与x轴的交点时，规定

点Q与点P重合）

⑵根据⑴中所得的点Q的轨迹方程,若直线I与点Q的轨迹相交于M,N两点，且kOM-kON=

~，试判断△OMN的面积是否为定值.若是,求出该定值;若不是，请说明理由.

4

10.（24-25高二下♦上海宝山•期末）已知椭圆「岑+鸟=l（Q>b>0）的图像经过点（3,0）

a-b~

（i）若椭圆r的焦距为4口,求椭圆r的方程；

（2）厂为椭圆「的右焦点，过点尸作c轴的垂线与椭圆在第一象限交于点河,点N与点时关于原点对称,

连接NM、NF,当NMN尸取得最大值时,求椭圆I'的离心率：

（3）若椭圆「经过点（0,1）,点尸是椭圆上的动点，直线，与椭圆交于4、石两点，Q为4Z?的中点，且满足

历=2的，则△以/7的面积是否为定值？若是,请求出该值;若不是，请说明理由.

.............国

11.(2025•湖南长沙•三模)已知动点M(。⑼与定点厂(32,0)的距离与它到定直线布=华的距离的比

是常数四，

(D求动点河的轨迹；

(2)过上述轨迹上一点P作轨迹的切线与两直线〃=土出分别交于A、B两点,证明:三角形49B的面积

是定值.

12.(24—25高三上♦安徽宣城•期末)已知圆4(8+2)2+才=/圆3：3-2)2+才=1,圆。与圆力、圆石都

外切,记圆心C的轨迹为E.

(1)求E的方程；

⑵过点以2,0)的直线交E于M,N两点,与直线i=J交于点T,过点T作］轴的平行线Z,直线OM,

ON与直线/分别交于S,Q两点,证明：△OST与△OQT的面积相等.

13.（25-26高二上•湖北武汉•阶段练习）过坐标原点。作圆CAx+3）2+J?=6的两条切线，切点为M,N,

直线MN恰为抛物线T-.y2=2px[p>0）的准线.

（1）求T的方程；

⑵将抛物线T向左移4个单位长度得到新抛物线抛物线「交j轴于48两点，E,Q为抛物线上不

重合的两点,AE交BQ于点Z,若直线EQ经过坐标原点,求证：△40Z的面积恒为定值.

14.（2025・山东聊城・模拟预测）已知抛物线。招=202/3>。）的焦点为9,准线与抛物线对称釉的交点为凡

P为抛物线。上的动点，当P的纵坐标为1时，图"取得最小值.

⑴求抛物线。的方程；

（2）设点。为坐标原点，过点R作直线6与曲线C交于43两点,作直线I.与曲线。交于C,。两点，E.

M分别为4B,CD的中点，直线八与12的斜率满足用的=—2.试判断△OEM与AMER的面积之比是否

为定值？若是,求出此定值;若不是，说明理由.

15.(2025・陕西汉中・二模)已知椭圆5+*=1(。＞。＞0)的离心率为等，点后(1,一竽)在该椭圆

上，43,。均为该椭圆上的动点.

(1)求该椭圆的方程：

(2)若AABE的重心是坐标原点求直线AB的方程；

(3)若△力Z?C的重心是坐标原点O,证明：A43C的面积是定值.

2

16.(2025•陕西安康•模拟预测)“如果两个椭圆的离心率相同，我们称这两个椭圆相似”.已知椭圆C：4+

a-

三=1(。>90)与椭圆后名+卫=1(9&>0)相似,£的短轴长为2,离心率为坐.

0bdr2

(1)求。的标准方程.

(2)设。为坐标原点，尸为E上的动点，过点尸且斜率为k(k40)的直线与后相切，与。交于46两点，

射线R9交C于点Q,试问：△ABQ的面积是否为定值？若为定值，求出定值;若不为定值,请说明理由.

......................................................................................................

考点三以做箭角与舒军为背景的定值问题

【知识点解析】

1.斜率公式

①经过两点后（电,"）,己（/2,优）（力|wg）的直线的斜率公式为k=

g—g

2（顷斜角a的直线的斜率公式为卜=tana;

③方向向量为万=（g,%）的直线的斜率公式为k=生.

3.利用斜率求解三点共线问题

利用斜率判断或证明点48。共线，通常是利用自小二^。

4.根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质

⑴设点尸⑺㈤是椭圆+（—>°）上一定点,点…是椭圆°上不同于尸的两点.

若左以+kpB=3则3=0时直线力3斜率为定值蚂（九六0），若，1K0,则直线人3过定点

an"

/2n2b27n\

（2）设点。（m,九）是双曲线一萼=l（Q>0,b>0）一定点，点A、8是双曲线。上不同于P的两点.

a-b-

若"+"依=九则2=°时直线皿斜率为定值一饕（合。）‘若2工°'则直线力6过定点

/的一2了TL…+,2百b2m）\’.

⑶设点P（m,n）是抛物线C：y2=2px（p>0）一定点，点A、/3是抛物线。上不同于尸的两点.

若kpA+卜相=九则a=0时直线AB斜率为定值一（⑺*0）,若4H0,则直线力3过定点

（m号f+子）.

⑷若点P在直线V=£上，证明直线PA,PI3关于y=t对称,或证明直线g=£平分乙4PS,可证明际八+kPB=0.

5,根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质

若点/、3是椭圆。:4+-^-=l（a>6>0）上关于原点对称的两点，点尸是椭圆。上与/、3不重合的

点，则MA'MB

若点是双曲线。：三一±=1（。>04>0）上关于原点对称的两点,点。是双曲线。上与力、8不重

Q」O'

合的点,则kpA,%出=与•

a2

6.判断或证明与解率有关的定值与范围问题

（1）判断或证明与斜率有关的定值问题,通常是把与斜率有关的式子用某些量来表示,然后通过化简或赋值得到

定值.

(2)求斜率有关的范围问题,通常是把与斜率有关的式子用其他量又表示,转化为求函数值域问题,或由已知条件

整理出关于斜率的不等式,通过解不等式求范围.

【例题分析】

17.(2025•福建漳州•模拟预测)己知椭圆C：4+77=的焦距为2,且过点(1,。).

(1)求。的标准方程；

(2)过点N(l,冬)作两条斜率存在且不为零的直线6，为分别交。于PQ和S,T,满足|AP||NQ|二

朋||MT|.

(i)证明：21，&的斜率之和为定值;

(必求四边形PSQT面积的最大值.

..........................................................................

18.(25—26高三上•广西桂林•开学考试)已知椭圆+鸟=l(a>6>0)的离心率为玲，且C过点

a~匕2

(2.V2).

(1)求。的方程：

(2)直线=—l)(k>0)与。交于4,8两点，过。上的点P(与4,6不重合且不在坐标轴上)作c

轴的平行线交线段于点Q(与4B不重合)，直线OP的斜率为kf(O为坐标原点)，A4PQ的面积为

S，ABPQ的面积为S?,若|AP|$=出尸|♦€，直线AP,6尸的斜率都存在，分别记为如，kBP.

(i)求证：kAP+蝙=0；

(前判断是否为定值？并说明理由.

19.(2025•广东湛江•模拟预测)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，焦点在］轴上的椭圆C的上顶点为A

(0,2),线段OA的中垂线交。于BD两点，且\BD\=6.

(1)求椭圆。的标准方程；

(2)点E为椭圆。上位于直线四上方(不与点8。重合)的动点，过点B作直线。E的平行线交椭圆。

于点尸，点以为直线EF与BD的交点、,点N为直线BE与的交点.证明:直线OM与直线DE的斜率

之积为定值；

20.(2025•江苏泰州•模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线£：三一鸟=1(Q>0力>0)

a-b'

的右顶点，”(四,75),N(2,-3)在双曲线E上.

(1)求双曲线E的方程；

(2)过点G(-：3,0)且斜率为自的直线Z与双曲线E的左支交于A,3两点，△A3。的外接圆的圆心为P,

直线OP的斜率为自，证明：自居为定值.

眇

21.(2025•甘肃白银•三模)已知双曲线E：^=1(«>0,6>0)的实轴长为2,且过点(2,—3)田为其右焦

a-b-

点.

(1)求双曲线E的标准方程.

⑵直线/经过点A(5,0),倾斜角为45°,与E交于两点(。点在AD两点之间)，若配=人％方/€

A,求」的值.

(3)已知点T(一1,0),过点R作直线m与E交于M,N两点,记直线TMTN的斜率分别为瓦向,试问：自

♦治是否为定值？若是,求出该定值;若不是，请说明理由.

22.(24—25高二下•河南漂河•期末)已知F为抛物线C：y?=2px的焦点，为。上的一点，且

|PF|=5,斜率为一。的直线2与C交于力，6两点,设直线PA,PB的斜率分别为品，k2.

(1)求抛物线。的方程；

(2)求证品+均为定值.

23.(24—25高二下・河南周口・期末)已知抛物线。4=202。＞0)的焦点为「准线Z与出轴的交点为4过

点9的动直线m与C交于M,N两点.

(1)若准线I的方程为x=-4，求。的方程；

(2)设直线AM,4N的斜率分别为3,一，证明:自+自=0.

24.(25—26高三上•河南商丘•开学考试)己知椭圆+4=1(«>^>0)的离心率为造，且。过点

a-b-2

(2.72).

(D求c的方程；

(2)直线2:y=/cQ—l)(k>0)与。交于46两点,过。上的点。(与46不重合且不在坐标轴上)作2：

轴的平行线交线段A6于点Q(与A,6不重合)，直线OP的斜率为k\O为坐标原点)，XAPQ的面积为

S，△BPQ的面积为S2,若［40|・S2=|BP|・耳,直线AP,6P的斜率都存在，分别记为题「，kBP.

①求证：kAP+kfiP=0；

②判断是否为定值？并说明理由.

考点四以角度为背景的定值问题

【知识点解析】

1•给出确定角度或者给出角度的三角函数值。

⑴若已知乙48。=与，可转化为A&反?=0,或者用48・皿=-1，或者勾股定理；

(2)若已知角a的三角函数值，可转化为正弦定理、余弦定理、或者利用坐标直接表示三角函数值；

⑶若已知a+£=兀，a、£分别为直线m、口的倾斜角，则km+院=0；

(4)若已知6■，且相邻，可转化为(1),若不相邻，可转化为三角函数值，tana=4y.

2tanp

2.已知角度相等或证明角度相等

⑴几何法：

①若a=£且关于坐标轴对称、a、B则直线m.n的倾斜角互补，krn+kn=0;

②若a=£且落在同一三角形中，可证明a、6的线段相等；

③转化为其他几何条件，如直线平行，向量平行；

⑵代数法:若。=凡则tana=tan^.

3.已知角度成倍数关系或证明角度成倍数关系

(1)几何法:若£=2a,利用内角、外角的关系进行转化，找出边的关系或斜率的关系；

⑵代数法:若£=2a。则tan2a=2tan,_tany9.

1—tarra

4.已知角平分线或者证明角平分线

⑴几何法：

①利用角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等,转化为线段的关系；

②角平分线定理：在4ABe中，4。平分ABAC,则普二弟；

③若角平分线与坐标轴平行，可转化为角的两条边所在直线M、九的倾斜角互补，则用〃+鼠,=().

(2)代数法:直接表示被平分两角的三角函数值，二者相等.：

....................................亩

【例题分析】

25.(24-25高二下•上海•阶段练习)已知椭圆「芸+鸟=l(a>b>0)的左右焦点分别为后、鸟，点T(

a-b’

-2V5,1)在椭圆「上，且|丁片|+\TF2\=10.

(1)求椭圆「的标准方程.

(2)点。、Q在椭圆「上，。为义标原点,且直线O「、OQ的斜率之积为:，求证；|。。2।QQ|2为定值;

⑶直线，过点(一1,0)且与椭圆「交于工、石两点，问在二轴上是否存在定点M,使得加•加为常数？

若存在，求出点”坐标以及此常数的值;若不存在,请说明理由.

26.(24—25高三上•广西玉林•阶段练习)已知椭圆。：与+£■=1(。＞90)的左、右焦点分别为几用,左

a-b-

顶点为人(-2,0),离心率为乎.

(1)求。的方程；

(2)若直线l-.y=kQ+l)(k#0)与。交于DE两点，线段4),4E的中点分别为P,Q.设过点R且垂

直于2轴的直线为匕若直线OP与直线，交于点S,直线OQ与直线/交于点T,求朋•KT.

27.(24—25高二下,云南昆明•期巾)已知双曲线C：匹—匕=1(。＞0,b＞0)的左、右顶点分别为4(—1,0),

a-

4(1,0)，离心率为2.

(1)求双曲线(7的方程：

(2)0为坐标原点，过点M(-2,0)且斜率不为0的宜线，交双曲线。于P,Q两点(点尸在第一象限，点

Q在第二象限)，直线OQ交双曲线。于点儿求乖•4?.

陟

28.(24—25高二上•广东广州•阶段练习)已知双曲线M：(一炉二i,点4(2,0),4(3,0)，过点4的直线

与双曲线M交于8,G，过点儿的直线与双曲线M交于5,G.分别以HG，B2G为直径的圆交于点

P,Q.

(1)求证：c轴上存在定点7,使得TB{•TC,为定值；

(2)求原点到直线PQ的最大距离.

29.(24-25高三下•安徽•阶段练习)已知双曲线。：2/-2娟=1的左、右焦点分别为凡用,点M是。上不

与顶点重合的一动点，直线分别交。于另一点为、江

⑴设加产而，诙丽，

①当4V0时,求直线AM斜率的取值范围；

②求证：N+〃=-6；

(2)0为坐标原点，问：直线与直线的斜率之积是否为定值，如果是定值，求出该定值;如果不是

定值，说明理由.

30.(2025•河南•一模)已知等轴双曲线G.C?的对称中心均为坐标原点O,焦点分别在i轴和9轴上，且焦距

均为4.设两点分别在G,G上，满足直线OAOB的斜率之积为1，点尸为G上异于人的另一点,

过P分别作平行于O4Q0的直线，交O0CM于MA4两点.

(1)求双曲线G，G的方程；

(2)证明:\OA\=\OB\；

⑶设苏=而4，丽=〃后,证明"2—〃2为定值.

眇

x2,y2

31.(24—25高二下•上海•期中)已知椭圆r：=1，过点P(—2,0)的直线I：y=m(x+2)与椭圆「交

5-----1---------

于4、石两点(4点在3点的上方)，与g轴交于点C.

⑴当m时，求|阳的长;

⑵设ex=z4反。苫=〃加，求证为定值，并求出该值；

(3)点尸和点Q关于坐标原点对称，若△为7?Q的内切圆面积等于祭，求直线，的方程.

32.（2024・辽宁・三模）己知椭圆。：M+国=1（。＞^＞0）的左右焦点分别为6£，椭圆。的短轴长为

a~b-

2♦，离心率为4.点。（g,加）为椭圆。上的一个动点，直线PR与椭圆。的另一个交点为4直线

PE与椭圆。的另一个交点为3,设两=4扇，丽=不丽.

（1）求椭圆。的方程；

（2）证明：4+不为定值；

（3）已知物＞0,用的，物表示"AB的面积SMW并求出Su的最大值.

考点五以向量为背景的定值问题

【知识点解析】

预备知识：⑴4(%小)、8(%的)，AB=(x2-Xuy2-yi)

(2)4•，=|a|•\5\-cosO

(3)a=(的加、-=(%阴)，若云〃5,则日=忒若4JL队则工的十"y2=0

(4)a=(如")、5=(电须)，则cos(a,6)==-^==^==-

L圆锥曲线中常见的向量条件及求解圆锥曲线与向量问题的策略

⑴设立为直线Z的方向向量，若云=(1庆)，则Z斜率为和若右=(m.R)(mXO),则2斜率为旦;

m

(2)月、B、C是平面内不重合的三点，若有下列条件之一，则4、3、。共线：

①翁=4词

②OC=AOA+f.tOB且4+〃=1；

③1=协+的5)/(1+为；

©AB//AC.

(3)H、Z?、C是平面内不重合的三点，若有下列条件之一，则C为线殁的中点：

①元=杀

②5S=.(52+(5S).

乙

(4)在四边形力BCD中

①若荏•N3=0,则A6J.4C;

②若|荏+超|=\AB-AD\,则AB±AD',

③若屈•冠=历・而,则4CJLRD

(5)圆锥曲线中涉及向量相等，通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化，涉及向量共线问题，通项利用非零向量d

=(如加)E=(羯3)共线。2®-①助=0转化,涉及向量的数量积.通常利用数量积的坐标运算进行转化.

2.把向量共线转化为点共线或点在直线上

此类问题通常是把刀=4射转化为点共线,或点C在直线上.

3.利用向量共线求双变量的关系式

此类问题一般是给出形如广的条件,确定关于4〃的等式,求解思路是利用两向量相等横坐标与

纵坐标分别相等(注意一般情况下横坐标相等与纵坐标相等，使用一个即可,解题时哪一个简单使用哪一个)，把

4〃用其他变量（若点的横坐标或纵坐标）表示,再利用题中条件消去其他变量.

4.利用向量加法的几何意义构造平行四边形

若点ABC。满足力疗+用=工?,则四边形是平行四边形，涉及圆锥曲线中的平行四边形要注意

对边长度相等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用.

5,把向量的数量积转化为代数式

若圆锥曲线问题有用向量数量级给出的条件，通常是利用向量数量积的坐标运算进行转化.

6.把垂直问题转化为向量的数量积为零

求解圆锥曲线中的垂直问题,通常可转化为向量的数量积为零,然后利用向量数量积的坐标运算进行转化，

这种转化可避免讨论直线的斜率是否存在.

【例题分析】

33.（25—26高三上•江西南昌•开学考试）如图，球。的半径为4,PQ是球。的一条直径，。是线段PQ上的

动点，过点C且与PQ垂直的平面与球O的球面交于。。，44…4是。。的一个内接正六边形.

⑴若。是OQ的中点.

⑴求六棱锥P—44…4的体积；

⑻求二面角的余弦值；

A-PA:{-A2

（2）设44的中点为求证：tan/MPQ・tan/MQ尸为定值.

34.(2024•河北保定•二模)三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任

意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的

一种三等分角的方法：已知角a(0<a<7c)的顶点为人在。的两边上截取\AB\=\AC\,连接8a在线

段3C上取一点O,使得=21coi，记BO的中点为D，以。为中心，为顶点作离心率为2的双

曲线以4为圆心，力3为半径作圆，与双曲线M左支交于点后(射线AE在内部)，则NZME

=4NB4C.在上述作法中，以O为原点,直线BC为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，若8(-2,0),

点力在4轴的上方.

⑴求双曲线M的方程；

⑵若过点A且与，•轴垂直的直线交I轴于点G,点E到直线AG的距离为d.

记明:①单为定值；

d

®ABAE=^-ABAC.

35.(2025♦江苏宿迁•三模)已知椭圆C：4+^-=l(a>6>0)上一点A(0,l)到两个焦点的距离之和为6.

a-b~

(1)求。的方程；

(2)已知P是。上一动点，Q(q、0),当P为。的右顶点时，|PQ|取得最小值，求q的取值范围；

(3)若动直线c=my+l与。交于点M,N,点E是c轴正半轴上异于点(1,0)的一定点,若直线EA4,

EN的倾斜角分别为+£/兀),且存在实数k使得tan(a+/?)—k(tana+tan£)=0恒成立，求点E

的坐标及k的值.

..................0

36.(25—26高三上・山东泰安・开学考试)已知椭圆64+m=1(。＞2仞的左顶点为4右焦点为「且

a-o

\AF\=4.

(1)求C的方程；

(2)过4且不与。轴重合的直线与。的另一个交点为尸，与直线~=9交于点Q,过4且平行于QR的直

线与直线尸R交于点R.

(i)若|PQ|=2|B4|，求AAFR的面积；

(ii)证明：存在定点G,使得4ARG=4FRQ.

37.(25-26高三上•湖北武汉•阶段练习)设抛物线E：峭=2p/(p>0)的焦点为凡过点尸(3,0)的动直线2

交抛物线E于A,Z?两点，点T(2,2),当直线4r垂直于I轴时，伏尸|=3.

(1)求抛物线后的标准方程；

(2)若直线/过点T,求△E46的面积；

(3)若直线尸T平分乙4RB,求直线I的斜率.

课后提升训练

38.(2025•湖南长沙•模拟预测)在平面直角坐标系cQ/中，已知椭圆。的中心为原点，焦点在坐标轴上,

P(血，2)，Q(2,l)为。上两点，为椭圆上三个动点.

(1)求椭圆。的标准方程；

(2)是否存在点使O为ZVIBD的重心？若存在，请探究的面积是否为定值;若不存在,请

说明理由.

39.(2025•甘肃平凉•模拟预测)已知椭圆F：4+《=l(a>5>0)的离心率为圣，且过点尸(一2,1).

a-b~2

(1)求后的方程；

(2)已知O为坐标原点，直线切=c+%与E交于M,N两点.

①若4OMN的面积为2,求直线/的方程；

②记△OMN外接圆的圆心为G,平面上是否存在两定点耳片，使得||GE|-|GE||为定值？若存在，求出

两定点E，E的坐标和定值;若不存在,请说明理由.

40.（24-25高二下•四川达州•期中）已知椭圆。（+《=1（。＞匕＞0）的离心率为3梁，焦点与短轴端

Q，0~1U

点围成的四边形的面积为6.

（1）求椭圆。的标准方程.

（2）已知动直线/过椭圆。的右焦点且与椭圆。分别交于P,Q两点.试问c轴上是否存在定点R,

使得旃•所为定值？若存在，求出该定值和点"的坐标;若不存在，说明理由.

41.(2025•湖北•模拟预测)已知椭圆C号+*=l(a>6>0)的焦距为2,且点在椭圆。上.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线I与椭圆C交于M,N两点、，且坐标原点O到直线，的距离为义等，则NMON的大小是否为

定值？若是，求出该定值，若不是,请说明理由.

(3)在(2)的条件下，试求三角形△MON的面积S的取值范围.

42.(2025•浙江•三模)已知双曲线E：W-^-=1(«>0,6>0)的焦距为24，右顶点为4直线Z与双曲线

a-b-

E相交于P,Q两点，且与E的一条渐近线相交于点3(2,1).

(1)求双曲线E的方程；

(2)是否存在直线2,使得与的面积相等？若存在，求出直线，的方程;若不存在，请说明理

由；

(3)若直线AP,AQ分别与y轴相交于A4,N两点,证明：|国？+京|为定值.

43.（2025•山西•三模）折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远

流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如:用圆形纸片，按如下步骤折纸.

步骤1：设圆心是R,在圆内不是圆心处取一点,标记为E；

步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点E,此时圆周上与点£重合的点标记为G；

步骤3：把纸片展开,于是就留下一条折痕，此时GR与折痕交于点P；

步骤4：不断重复步骤2和3,能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点P.

现取半径为4的圆形纸片，定点E到圆心R的距离为2,按上述方法折纸.以线段ER的中点。为原点,

线段ER所在直线为/轴，建立平面直角坐标系cOg,记动点P的轨迹为曲线r.

⑴求曲线「的标准方程；

⑵已知圆反（c一l）2+峭=10.Q为圆R上的任意一点,过Q作曲线「的两条切线,切点分别为M,N,

记直线EM,EN的斜率分别为品，的，证明：3均为定值.

..................0

44.（2025•四川宜宾•三模）已知曲线C：|g|=@点片（1,0），曲线°上一点尸】（如小乂为>/,%>0）,直线

E）E与。的另一个交点为娓.按照如下方式依次构造点以,£人«=1，2,3,…），过Ri作比轴

的垂线，垂足为垂线与G的另一个交点为己Z作直线BiJt，与。的另一个交点为2』，直线

P>kP>k+\与二轴的交点为&.记Pn（xniyn）,冗（77i〃,0）,mi=m,（n=0,1,2,3,•••）.

（1）若求77“,7712,仇3；

（2）求证:数列｛wj是等比数列，并用加表示｛私,｝的通项公式；

（3）对任意的正整数与△&T心心+1的面积之比是否为定值？若是，请用m表示该定

值:若不是,请说明理由.

45.(2025•辽宁•模拟预测)我们把下面的定义称为双曲线的第二定义：平面内到定点R(c,O)的距离与到定

直线匕①=之(。>。>0)的距离之比为常数9的点的轨迹叫做双曲线，其方程为《一上=

caa2b2

l[a>0,b>0),其中-=。2-Q2,此时l叫做该双曲线的右准线.已知双曲线。：三一三=

CT0~

l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为E(—2,0),£(2,0),直线lzx=l是。的右准线.

(1)求。的方程以及C的离心率；

(2)设，与工轴的交点为他，过点E的直线与。的右支相交于43两点，

⑴以40为其中的三个顶点作平行四边形AMNB,求平行四边形M4NZ?面积的取值范围；

(m)设直线，与直线AB的交点为P,点P在g轴上的射影为Q,直线4?,与。轴的交点分别为G,

H，则需是否为定值？若为定值,求出该定值;若不为定值,请说明理由.

解新及何,灵值同救复习饼*

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