期中综合试题（21-24章）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

期中综合试题（21-24章）2025・2026学年

初中数学人教版九年级上册

一、单选题

I.下列美丽的图案，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A.直线乙B.直线4C.直线4D.直线4

3.用配方法解方程/一64-5=0时:下列配方结果正确的是（）

A.(X-3)2=I4B.(X-3)2=5C.(X+3>=14D.(X+31=5

4.如图，中，弦A3、CQ相交于点尸，ZD=40°,/BPC=75°,则NC=（）

A.15°B.35°C.40°D.75°

5.对于二次函数y=-*-1）”+4的图象，下列说法正确的是（）

A.开口向上B.顶点坐标是（-1,4）

C.图象与y轴交点的坐标是（0,4）D.图象在X轴上截得的线段长度是4

6.如图，将VA8C绕点A顺时针旋转，使点C落在边A8上的点E处，点3落在点。处，连接8。,

若ND4C=NO8人，则24AC为（）

c

C.32°D.40°

7.如图，。0是VA3C的外接圆,AB=3近,ZAC8=45。，则.的长是（）

33

C.-nD.一K

42

8.已知点4〃?,〃）、氐〃?+1,〃）是二次函数），=/+法+。图像上的两个点，若当x«2时，y随x的增

大而减小，则小的取值范围是（）

3333

A.m>—B.m>—C.>n<-D.m<—

2222

9.若关于尤的方程以2+辰+。=0./0）的两根之和为2,两根之积为-3,则关于N的方程

〃（丁一2）2+力（y—2）+c=O的两卞艮之秒1为（）

A.-1B.1C.-5D.5

10.如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，4△为半径的弧8。上的点，连接AP,CP,将线

段CP绕点P顺时针旋转90。后得到线段PQ,连接AQ.若回=1,则的最大面积是（）

B.七正rV2-1

422D・空

二、填空题

11.在平面直角坐标系中，若点尸（2,-1）与点。（-2,加）关于原点对称，则〃?的值是.

12.如图，四边形内接于。0,点E在。。的延长线上.若NA£>£=70。，则NAOC=度.

B

AO

ED

13.如图，在VA8C中，ZABC=90°,8C=A8,P为VA8C内一点，且PA=3,尸8=2,N8PC=135。，

则VA3c的面积为

14.如图，在VA3c中，C4=CB,ZACB=90°,钻=2,。为A8的中点，以点。为圆心作圆心角

为90。的扇形。所，点C恰在弧E/上，则图中阴影部分的面积为

15.如图，抛物线犬+6与），轴交于点A,与工轴交于点8,线段CO在抛物线的对称轴上

移动（点C在点。下方），且CO=3.当AD+8C的值最小时，点。的坐标为.

16.解方程：

(1)X2-4A+2=0；

(2)4(X-1)=A(X-1).

17.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面宜角坐标系后，VABC

的顶点均在格点上.

⑴画出将V/1BC绕原点。按逆时针方向旋转90。所得的△A4G;

(2)画出VAI3C关于原点的中心对称图形△.

18.关于x的一元二次方程/+2文+3-4=0有两个不相等的实数根.

⑴求女的取值范围；

(2)若方程的两个根为4,P,且&2一诩十3A,求A:的值.

19.如图，AB.CO是。。的两条弦，AC与5。相交于点E,AB=CD.

(2)连接3C,作直线EO,求证：EO1BC.

20.如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手•，出手时球离地面Q4=g米，铅球落地点在8

处，铅球运行在运动员前4米处(即OC=4)达到最高点，最高点高为3米，已知铅球经过的路线

⑴求铅球所经过路线的函数关系式.

⑵求该运动员的铅球成绩是多少米？

21.社区利用一块矩形空地ABC。建了一个小型停车场，其布局如图所示.已知A/)=52m,/IB=28m,

阴影部分设计为停车位，要铺花破，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积为880mL

⑴求道路的宽是多少米？

⑵该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时；可全部租出：若每个车

位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金

收入为10105元，同时尽可能让利居民？

22.将一副直角三角板OOE与AOC叠放在一起，如图I,NO=90°,ZA=300,ZE=45°,OQ>OC.在

两三角板所在平面内，将三角板。OE绕点。顺时针方向旋转a（0。<2<90。）度到目位置.，使

OD}||AC,如图2.

图1图2图3

（I）求。的值；

⑵如图3,继续将三角板OOE绕点。顺时针方向旋转，使点E落在AC边上点£处，点。落在点。2

处.设段2交。2于点G,。骂交AC于点儿若点G是心&的中点，试判断四边形。”七2G的形状，

并说明理由.

23.如图，在平面直角坐标系口，抛物线、=犬+（1-〃〃交x轴于A,8两点A在点8的左边），

图1图2

⑴如图I,6=3,

①直接写出A,B,C三点的坐标；

②抛物线上存在点。，使得&皿>=25~皿，直接写出。点的坐标;

⑵如图2,设经过4,8,C三点的OM交,，轴于另外一点E,〃i=3OE,经过点M的直线>="+可人工0)

交抛物线于G,H两点,若GH的长等于0M的直径长，求心的值.

参考答案

题号12345678910

答案BAABDADBDC

1.B

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】A.是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对■称图形，符合题意：

C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误.

故选B.

【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握轴对称图形与中心对称

图形的概念.

2.A

【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，当圆心到宜线的距离大于半径时，直线与圆相离，当

圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，据

此可得答案.

【详解】解：的半径为1，圆心0到一条直线的距离为2,即1V2,

•••0。与该直线相离，

，这条直线可能是卜

故选：A.

3.A

【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，常数项移到右边，再配上一次项系数一半的平方即可.

【详解】解：VX2-6X-5=0,

"-6工=5,

贝IJ/—6X+9=5+9,即

故选：A.

4.B

【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，同弧所对的圆周侑相等，先由三角形外角的性质求出

的度数，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案.

【详解】解：VZD=40°,=

・•・ZB=ZBPC-ZD=35°,

•*AD=AD，

，NC=N8=35。，

故选：B.

5.D

【分析】根据y=-*-l)2+4得顶点坐标是(1,4),a=-l<0,判定抛物线开口向下；令x=0,得

),=7+4=3,图象与V轴交点的坐标是(0,3)；令)，=。，得一(X—1)2+4=0,求得交点坐标，后计算

距离解答即可.

本题考查了抛物线的开口，与坐标轴的交点，与x轴相交的两交点间的距离，熟练掌握性质和交点的

计算是解题的关键.

【详解】解:根据y=-(x-1)2+4得顶点坐标是(1,4),a=-l<0,

••・抛物线开口向下；

故A,B错误；

令x=0,得y=-l+4=3,

・•・图象与轴交点的坐标是(0,3)；

故C错误；

令y=0,得_。_1)2+4=0,

解得％=3,%=-1，

x,—X,=3—(—1)=4,

故D正确，

故选D.

6.A

【分析】本题主要考查了旋转的性质以，涉及三角形内角和定理.，设=依据旋转的性质，

可得N/ME=NB4C=x,ZADB=AABD=2x,再根据三角形内角和定理列方程求解即可得出相熟

记旋转前、后的图形是全等图形是解决问题的关键.

【详解】解：设N84C=x,由旋转的性质，可得

ZDAE=ZI3AC=xt

ZDAC=ZDBA=2x,

又AB=A。，

:.ZADB=ZABD=2x,

又中，+ZABD\^ADB=180°,

/.x+2x+2x=180°,

/.x=36°,BPZBAC=36°,

故选：A.

7.D

【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，勾股定理，解题的关键是熟记弧长公式.

连接OAO笈，圆周角定理得到NAO6=2/C=90。，再由勾股定理求出半径OA,然后由弧长公式求

解即可.

【详解】解：连接QAO8,

ZACB=45°,

•••ZAOB=2ZC=90°,

OA=OB,AB=3五，

•**AB=>10^+08~=y/2OA，

AOA=—AB=—x3x/2=3,

22

90^x33

的长是:-------------=—7T

1802

故选：D.

8.B

【分析】首先根据点4、8是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线x=2誓,

再根据开口向上，工《2时，），随工的增大而减小，可得r=2鲁＞2,据此即可求解.

【详解】解：•.•点4皿〃）、9加+"）是二次函数），=/+法+。图像上的两个点,

二该二次函数图象的对称轴为直线＞，且开口向上,

•.•当x42时，y随x的增大而减小,

二.该二次函数图象的对称轴为直线x=2或在其右侧,

2〃?+乜2,

2

3

解得mN],

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线x=2或在其右侧

是解决本题的关键.

9.D

【分析】本题考查了根与系数的关系：若王，W是一元二次方程以2+灰+°=0(〃工0)的两根，则

bc

xx,=--,.v=-,利用换元的思想是解决问题的关键.

1+a〜2a

把方程a(y-2『+My-2)+c=0看作关于)，-2的一元二次方程，则利用关于x的方程

(戊2+历：+0=0(々工0)的两根为不占得到y=%+2,%=七+2,然后利用根与系数的关系即可解答

本题.

【详解】解：把方程。()，-2)2+〃()，-2)十一0看作关于y2的一元二次方程，

设关于x的方程ax~+bx+c=(Xa工0)的两根为不甚，

则方程a(y-2)+b(y—2)+c=0的两根为)\=\+2,y2=x2+2,

e*,关于x的方程+bx+c=0(a*0)的两根之和为2，两根之积为一3,

x(+%,=2,XjX,=-3,

/.y%=(内+2)(x>+2)=^x,+2&+.)+4=—3+2x2+4=5.

故选：D.

10.C

【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理;过点。作QEJL4P

于点E,过点。作5_14?交延长线于点孔连接AC交弧于点4,则可得到AQPE0△「3，即可得

到后。=77"根据垂线段最短和三角形三边关系得到AP+尸产WAP+PCWAC,即可得到点P在匕时,

£Q的值最大为。[长，利川勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可.

【详解】解：过点。作QEJ_AP于点&过点C作CVJ.AP交延长线于点F,连接AC交弧于点片，

则NQ£P=NCFP=9()。，

又•・•NQPC=90。，

乙EQP+乙EPQ=ZFPC4-NEPQ=90°,

・•・/EQP=NFPC,

由旋转得PC=PQ,

・••AQPE刍APCF,

:.EQ=PF,

*/PF<PC,

EQ<PC,

/.AP+PF<AP+PC<AC,

即当点?在6时，£Q的值最大为CR长，

:"CD是正方形，

/.AD=AF\=CD=AB=\f

,AC=\IAD2+DC2=V2，

:.EQ的值最大为cq=3-i,

・••XAPQ的最大面积是lxlx(V2-l)=与1,

故选：C.

【分析】根据关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数，进行解答即可.

【详解】解：•・•点尸（2,-1）与点。（一2,〃?）关于原点对称，

m=1.

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的

两个点，横、纵坐标互为相反数.

12.140

【分析】首先根据圆内接四边形的性质得N8=/AO£=70。，再根据圆心角与圆周角的关系即可得出

24OC的度数.

【详解】解：•・•四边形4ACZ）内接于NADE=70°,

/BiZAZX?=180°,

又ZADE+ZADC=180。，

，ZB=ZADE=1(.)°,

:.ZAOC=2N8=140°.

故答案为：140.

【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角与圆周角之间的关系，熟练掌握圆内接四边形

的对角互补，理解圆心角与圆周角之间的关系是解答此题的关键.

n5+2及

2

【分析】把△P8C绕点OC逆时针旋转90。得到△8D4,根据旋转的性质可得△P8O是等腰直角三

角形，根据等腰直角三角形的性质求出。O,"DB=45°,然后判断出NP/决=90。，△%/)与勿。。

是史角三角形；在直角三角形△抬。中，根据勾股定理求出AO,在直角三角形八4。。中，根据勾股

定理求出AC,再求出A从最后艰据面积公式求出即可.

【详解】解：如图，

把△P8C绕点BC逆时针旋转90。得到△B/M，

根据旋转的性质可得APB力是等腰直角三角形,

:BD=BP=2,ZADI3=ZCP13=\35°,

PD=®PB=2>/2，NBDP=45°

/./PDA=ZADB-/BDP=135。-45°=90°

AD2=PA2-PD2=32-（2x/2）"=1,

/.AD=\

在直角三角形AADC中

AC2=AD2+DC2=l2+（2>/2+1）'=10+4&

....2=（笥）=手=5十2五

5+2应

S4ABe=-ABz

2-2-

故答案为：“2拒

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线

构造出等腰直角三角形和直角三角形是解题的关键.

兀1

14.

4-2

【分析】过点。作DW_L/3C于点M,作DNJ.AC于点N,连接CD,由题意易证矩形加CN为正

方形’即可求出八3技AD=BD=CD"从而得出。V考'S—喘=；.再

证明△MDG^^NDH（ASA）,得出S^1DC=S^Nl）H,最后根据S四边形DHCG=S正方形“心，和

S阴影=S俎物心—S园边形Q”CG求解即可.

【详解】解：如图，过点。作OM_L3c于点M,作ON2AC于点N,连接CO.

:.4DNC=4DMC=AACB，

，四边形。"CN为矩形.

为AB的中点，CA=CB,

••・。。平分/4。8,

:・DN=DM,

・•・矩形OMCN为正方形.

,/AB=2,

CA=CI3=>/2，AD=BD=CD=1,

2

.nvV2_XI_it

2划形由3604

•・•NEDF=90°=4NDM,

，/EDF-/EDM=/NDM-/EDM,即NMDG=NNDH,

・•・JWX匹A/VO”(ASA),

SaMDG~S加DH，

+=+===

***Sp|边形DHCG=S四边形DHCM'网边形ANDH‘正方形〃"0丫]'

S阴影=S侬形山犷一S四边形MCG=彳一/

故答案为：

【点睛】本题考查求不规则图形的面积，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，角平分线的判定

和性质，三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键.

15.(4,1)

【分析】在），轴上取点E（。,3）,证明四边形AECO是平行四边形，得出AO=C£,利用抛物线的对

称性得出8C=B,则=当E、C、尸三点共线时，AO+8C最小，利用待定

系数法求出直线所解析式，然后把八=4代入，即可求出。的坐标.

【详解】解：y=^x2-4.r+6=i(x-4)2-2,

・••对称轴为x=4,

如图，设抛物线与x轴另一个交点为F,

・•・4(0,6),

当)，=0时，0=lr2-4r+6,

2

解得％=2，w=6，

・♦.3(2,0),尸(6,0),

在丁轴上取点E(O,3),连接CE,CF,EF,

/.AE=3=CD,

CD//AE,

・•・四边形AECO是平行四边形，

AD=CE,

•・•抛物线对称轴为x=4,

，BC=CF,

，AD+BC=CE+CF>EF,

当E、C、尸三点共线时，AO+8C最小，

设直线E尸解析式为丁=公+"

6k+b=0

••二=3，

k=_L

解得2,

b=3

・・y=--x+3,

当x=4时，j=-lx4+3=l,

・••当AO+8C最小时，C的坐标为（41）,

故答案为：（4』）.

【点睛】本题考查了二次函数II勺性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两

点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键.

16.⑴%=2+0,x>=2->/2；

（2）菁=I，/=4.

【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解法主要包括：直接开平方法、配方法、公式法、因式分

解法.

（1）利用配方法解一元二次方程即可；

（2）利用因式分解法解一元二次方程即可.

【详解】（1）解：V—4x+2=0,

移项，得』一43=-2,

配方，得/一4%+4=—2+4,3P（x-2）2=2,

开方得K-2=>/2,X—2=—\/2，

解得内=2+及，x2=2-V2；

（2）解：4（x-l）=x（x-l）,

移项，^4(x-l)-x(x-l)=0,

因式分解，得(x—l)(4—x)=0,

于是得3-1=0,4-x=0,

解得％=L超=4.

17.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查的是图形的旋转.

(1)先找到旋转后的对应点，再进行连接即可；

(2)V4BC关于原点。对称即为旋转180。，画出对应点，再进行连接即可.

【详解】(1)解：如图，△486为所求；

⑵4=3

【分析】(1)根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出4雨〉0,把字母和数代入求出k的

取值范围：

(2)根据两根之积为：把字母和数代入求出k的值.

a

【详解】(1)解：/X-4«c=22-4xlx(3-^)=-8+4^,

•・♦有两个不相等的实数,

8I4&>0,

解得：k>2；

(2)•・•方程的两个根为。，£,

.,•3=£=3一%,

a

k2=3-女+34,

解得：勺=3,e=一1(舍去).

即:k=3.

【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握毛，%是方程以2+云+。=0

hc

的两根时，XI+X,=一一，=一.

a'a

19.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质

内容是解题的关键.

(1)根据利用弧、弦、圆心角的关系得出力〃+力〃=⑦+力〃，进而可得AC=8O；

(2)因为AB=CD所以AB=CD，即N4C4=NO4C.结合08=0C,得出£。都在8C的垂直平

分线上，即可作答.

【详解】(1)证明：•・•A8=CO,

,AB=CD，

,,AB+AD=CD+AD9

即BD=AC，

，AC=BD；

(2)证明：连接08、OC,

•:AB=CD,

••AB=CD，

・••ZACB=NDBC,

AEB=EC,

•：OB=OC,

，E、。都在8c的垂直平分线上，

/.EOA.BC.

20.(l)y=-J^(X-4)2+3

(2)10米

【分析】本题考查了二次函数的运用，解题的关键是求出解析式.

(1)设抛物线的解析式为4尸+3,运用待定系数法求出解析式即可：

(2)求出(1)中抛物线与x轴正半轴的交点坐标即可得出结论.

【详解】(I)解：由题意得：A点坐标为。点坐标为(43),且。为抛物线的顶点，

二设抛物线的解析式为＞'=4)2+3,

/.|=«(0-4)2+3,

1

・・a=----

129

.•抛物线解析式为y=-^(x-4)2+3；

(2)解:令y=0,则0=-\(工一4)2+3,

.•.0—4)2=36,

解得x=10或彳=一2,

•・•因为8点在x轴正半轴，

•••8点坐标为(10。，

\08=10,

••・铅球的落地点离运动员有10米远，

即该运动员的铅球成绩是10米.

21.⑴道路的宽为4米;

⑵每个车位的月租金上涨15元时，停车场的月租金收入为10125元.

【分析】(1)由题意知，道路的宽为x米，根据矩形的面积公式列出方程(52-2'(28-2x)=880,

解答并检验即可：

(2)设车位的月租金上涨。元，则租出的车位数量是个，根据“月租金=每个车位的月租金

X车位数”，列出方程并解答即可；

本题考查了一元二次方程的应汨，读懂题目的意思，根据题H给出的条件，找出合适的等量关系，列

出方程是解题的关键.

【详解】（1）解：根据道路的宽为x米，

根据题意得，（52-2x）（28-2x）=880,

整理得：x2-40.v+144=0,

解得：Ai=36（舍去），x2=4,

答：道路的宽为4米；

（2）解：设月租金上涨”元，停车场月租金收入为10105元，

根据题意得：（200+〃）（50-［）=10105,

整理得：42-5（）4+525=0,

解得：4=15,^=35,

•••尽可能让利居民，

・"=15,

答：每个车位的月租金上涨15元时，停车场的月租金收入为10105元.

22.（1）30°

⑵正方形，见解析

【分析】（1）确定旋转角结合。川|AC,4=30。，计算即可.

（2）先证明四边形是矩形，再利用等腰直角三角形的性质，结合一组邻边相等的矩形是正方

形证明即可.

【详解】（1）根据题意，得旋转角。=乙4。〃，

VOD}||AC,ZA=3O°,

J40。=NA=30°,

故a=30°.

（2）根据题意，得旋转角。=乙4。。，

VOD,||AC,ZA=30°,

・••乙40〃=NA=30°,

,:OE2=OD2,GE2=GD2,4E0D?=90°,

•••406=45。，N&GO=90。，OG=^E2D2=GE2=GD2

・••NE20A=15。，

•・•NEQDi=90°,NE0G=45。，

ZE20Kl=45°,

・•・NAOE】=N&O4+NE20A=45°+15°=60°,

・•・ZAHO=180°-60°-30°=90°,

・•・四边形2G是矩形，

•・,OG=GE2,

1・四边形是正方形.

【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判断，正方形的判断，等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩

形的判断，正方形的判断，等腰直角三角形的性质是解题的关键.

23.⑴①4(7,0),巩3,0),C(0,-3)；②。(2,-3),乌(-3,12)

⑵心叵.

2

【分析】(I)①当〃7=3时，该抛物线表达式为-2.3,把y=0和x=0代入，求出对应的x

和y的值，即可得出点A、8、C的坐标；

②得则=2Saco=3,连接4).CO,令4。交x轴于点F,设。9,产一2/-3)，直线

AD的函数表达式为)，=〃a+〃，用待定系数法求出直线AOH勺函数表达式为)，=(1-3)1+/-3,则

F(0j-3),根据，八8二(仁川与-乙)，列出方程求解即可；

(2)连接AEBC,得NABC=NECB,根据圆周角定理推出NAEO=NE4O,则O4=OE=1,得

出〃=23。七=3,进而得出该抛物线表达式为y=/-2x-3,求出过点加作时々_1_工轴于

点〃，连接8M,根据两点之间距离公式求出8M=6,则G”=2石，推出直线>=履+〃表达式为

2

y=kx-k-\,联立得出％—(攵+2)x+女一2=0,则x，+xc=A+2,xH-xG=k-2,yH=k-xH-k-\,

yG=k-xG-k-\,进而得到"62=(r+1)俨+12),列出方程求解即可.

【详解】(1)解：①当机=3时，该抛物线表达式为y=/—2x