【北师大】初二数学下册《综合滚动练习特殊的三角形》专题试卷(附答案)

【北师大】初二数学下册《综合滚动练习特殊的三角形》专题试卷(附答案)一、选择题（每题3分，共30分）1.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A.8或10B.8C.10D.6或12答案：C解析：当腰长为2时，\(2+2=4\)，不满足三角形两边之和大于第三边，所以腰长只能为4，此时周长为\(4+4+2=10\)。2.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线长为（）A.6B.6.5C.13D.不能确定答案：B解析：根据勾股定理\(a^2+b^2=c^2\)（其中\(a\)、\(b\)为直角边，\(c\)为斜边），可得斜边\(c=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\)。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以斜边上的中线长为\(\frac{13}{2}=6.5\)。3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）A.\(\sqrt{5}1\)B.\(\frac{\sqrt{5}1}{2}\)C.\(\sqrt{5}+1\)D.\(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)答案：A解析：因为\(AB=AC\)，\(\angleA=36^{\circ}\)，所以\(\angleABC=\angleACB=72^{\circ}\)。又因为\(BD\)平分\(\angleABC\)，所以\(\angleABD=\angleDBC=36^{\circ}\)，则\(\angleBDC=72^{\circ}\)，所以\(AD=BD=BC\)。设\(AD=x\)，则\(DC=2x\)。因为\(\triangleABC\sim\triangleBDC\)，所以\(\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{DC}\)，即\(\frac{2}{x}=\frac{x}{2x}\)，整理得\(x^{2}+2x4=0\)，解得\(x=\sqrt{5}1\)或\(x=\sqrt{5}1\)（舍去），所以\(AD=\sqrt{5}1\)。4.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角为（）A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°答案：D解析：当等腰三角形为锐角三角形时，一腰上的高与另一腰的夹角为\(30^{\circ}\)，则顶角为\(60^{\circ}\)；当等腰三角形为钝角三角形时，一腰上的高与另一腰的夹角为\(30^{\circ}\)，则顶角的外角为\(60^{\circ}\)，所以顶角为\(120^{\circ}\)。5.如图，在Rt△ABC中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleB=30^{\circ}\)，AD是\(\angleBAC\)的平分线，已知\(AB=4\sqrt{3}\)，那么AD=（）A.6B.4C.\(4\sqrt{3}\)D.\(2\sqrt{3}\)答案：B解析：在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleB=30^{\circ}\)，\(AB=4\sqrt{3}\)，则\(AC=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{3}\)。因为\(AD\)是\(\angleBAC\)的平分线，\(\angleBAC=60^{\circ}\)，所以\(\angleCAD=30^{\circ}\)。在\(Rt\triangleACD\)中，\(\cos\angleCAD=\frac{AC}{AD}\)，即\(\cos30^{\circ}=\frac{2\sqrt{3}}{AD}\)，解得\(AD=4\)。6.如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4.则下列结论错误的是（）A.AE∥BCB.∠ADE=∠BDCC.△BDE是等边三角形D.△AED的周长是9答案：B解析：由旋转可知\(\triangleBCD\cong\triangleBAE\)，\(\angleDBE=60^{\circ}\)，\(BD=BE\)，所以\(\triangleBDE\)是等边三角形，C正确；因为\(\triangleABC\)是等边三角形，所以\(\angleABC=60^{\circ}\)，又因为\(\angleABE=\angleCBD\)，所以\(\angleEAB=\angleABC=60^{\circ}\)，所以\(AE\parallelBC\)，A正确；\(\triangleAED\)的周长为\(AE+AD+ED=CD+AD+BD=AC+BD=5+4=9\)，D正确；\(\angleADE+\angleBDE=\angleBDC+\angleBDA=180^{\circ}\)，\(\angleBDE=60^{\circ}\)，\(\angleBDC\)不一定等于\(60^{\circ}\)，所以\(\angleADE\)不一定等于\(\angleBDC\)，B错误。7.如图，在等腰直角三角形ABC中，\(\angleC=90^{\circ}\)，点D为AB的中点，已知扇形EAD和扇形FBD的圆心分别为点A、点B，且\(AC=2\)，则图中阴影部分的面积为（）A.\(1\frac{\pi}{4}\)B.\(2\frac{\pi}{2}\)C.\(1\frac{\pi}{2}\)D.\(2\pi\)答案：B解析：因为\(\triangleABC\)是等腰直角三角形，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=2\)，所以\(BC=2\)，\(AB=2\sqrt{2}\)，\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\times2\times2=2\)。因为点\(D\)为\(AB\)中点，所以\(AD=BD=\sqrt{2}\)。又因为扇形\(EAD\)和扇形\(FBD\)的圆心角都为\(45^{\circ}\)，半径都为\(\sqrt{2}\)，所以两个扇形面积之和\(S_{扇形}=\frac{45\pi\times(\sqrt{2})^{2}}{360}\times2=\frac{\pi}{2}\)，则阴影部分面积\(S=S_{\triangleABC}S_{扇形}=2\frac{\pi}{2}\)。8.如图，在△ABC中，\(\angleACB=90^{\circ}\)，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处.若\(\angleA=22^{\circ}\)，则\(\angleBDC\)等于（）A.44°B.60°C.67°D.77°答案：C解析：因为在\(\triangleABC\)中，\(\angleACB=90^{\circ}\)，\(\angleA=22^{\circ}\)，所以\(\angleB=68^{\circ}\)。由折叠可知\(\angleCED=\angleB=68^{\circ}\)，\(\angleBDC=\angleEDC\)，\(CE=BC\)，\(\angleECD=\angleBCD=45^{\circ}\)。在\(\triangleCDE\)中，\(\angleEDC=180^{\circ}\angleCED\angleECD=180^{\circ}68^{\circ}45^{\circ}=67^{\circ}\)，所以\(\angleBDC=67^{\circ}\)。9.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF∥BE交AD于点F，连接BF、CE.下列说法：①△ABD≌△ACD；②△BDE≌△CDF；③△ABE≌△ACE；④四边形BECF是菱形.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解析：因为\(AB=AC\)，\(AD\)是角平分线，所以\(BD=CD\)，\(\angleBAD=\angleCAD\)，又\(AD=AD\)，所以\(\triangleABD\cong\triangleACD(SAS)\)，①正确；因为\(AB=AC\)，\(\angleBAD=\angleCAD\)，\(AE=AE\)，所以\(\triangleABE\cong\triangleACE(SAS)\)，③正确；因为\(AB=AC\)，\(AD\)是角平分线，所以\(AD\perpBC\)，\(BD=CD\)。因为\(CF\parallelBE\)，所以\(\angleBED=\angleCFD\)，又\(\angleBDE=\angleCDF=90^{\circ}\)，\(BD=CD\)，所以\(\triangleBDE\cong\triangleCDF(AAS)\)，②正确；由\(\triangleBDE\cong\triangleCDF\)可得\(BE=CF\)，又\(CF\parallelBE\)，所以四边形\(BECF\)是平行四边形，但无法证明它是菱形，④错误。所以正确的有3个。10.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A.2个B.3个C.4个D.5个答案：C解析：分三种情况讨论：①当\(OA=OP\)时，以\(O\)为圆心，\(OA\)为半径画弧，与\(x\)轴有两个交点；②当\(AO=AP\)时，以\(A\)为圆心，\(AO\)为半径画弧，与\(x\)轴有一个交点（\(O\)点除外）；③当\(PO=PA\)时，作\(OA\)的垂直平分线，与\(x\)轴有一个交点。所以满足条件的点\(P\)共有4个。二、填空题（每题3分，共18分）11.已知直角三角形的两直角边分别为5和12，则它的外接圆半径R=______，内切圆半径r=______。答案：\(\frac{13}{2}\)；2解析：由勾股定理可得斜边\(c=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13\)。直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，所以\(R=\frac{13}{2}\)；根据直角三角形内切圆半径公式\(r=\frac{a+bc}{2}\)（其中\(a\)、\(b\)为直角边，\(c\)为斜边），可得\(r=\frac{5+1213}{2}=2\)。12.等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为______。答案：8cm解析：设腰长为\(x\)cm。根据题意得\((x+\frac{x}{2})(\frac{x}{2}+5)=3\)或\((\frac{x}{2}+5)(x+\frac{x}{2})=3\)。当\((x+\frac{x}{2})(\frac{x}{2}+5)=3\)时，解得\(x=8\)；当\((\frac{x}{2}+5)(x+\frac{x}{2})=3\)时，解得\(x=2\)。当\(x=2\)时，\(2+2\lt5\)，不满足三角形三边关系，舍去。所以腰长为\(8\)cm。13.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B=______度。答案：36解析：设\(\angleC=x\)，因为\(DA=DC\)，所以\(\angleC=\angleDAC=x\)，则\(\angleADB=2x\)。又因为\(BD=BA\)，所以\(\angleBDA=\angleBAD=2x\)。因为\(AB=AC\)，所以\(\angleB=\angleC=x\)。在\(\triangleABC\)中，\(\angleB+\angleBAC+\angleC=180^{\circ}\)，即\(x+(2x+x)+x=180^{\circ}\)，解得\(x=36^{\circ}\)，所以\(\angleB=36^{\circ}\)。14.如图，在Rt△ABC中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleB=30^{\circ}\)，AD平分\(\angleBAC\)交BC于点D，若CD=1，则BD=______。答案：2解析：因为\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleB=30^{\circ}\)，所以\(\angleBAC=60^{\circ}\)。又因为\(AD\)平分\(\angleBAC\)，所以\(\angleCAD=\angleBAD=30^{\circ}\)。在\(Rt\triangleACD\)中，\(\tan\angleCAD=\frac{CD}{AC}\)，即\(\tan30^{\circ}=\frac{1}{AC}\)，解得\(AC=\sqrt{3}\)。在\(Rt\triangleABC\)中，\(\tan\angleB=\frac{AC}{BC}\)，即\(\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{BC}\)，解得\(BC=3\)，所以\(BD=BCCD=31=2\)。15.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为14，BC=6，则AB的长为______。答案：8解析：因为\(DE\)是\(AB\)的垂直平分线，所以\(AE=BE\)。因为\(\triangleBCE\)的周长为\(14\)，即\(BE+EC+BC=14\)，所以\(AE+EC+BC=14\)，也就是\(AC+BC=14\)。又因为\(BC=6\)，\(AB=AC\)，所以\(AB=146=8\)。16.如图，在等边△ABC中，AB=6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，则线段DE的长为______。答案：\(3\sqrt{3}\)解析：因为\(\triangleABC\)是等边三角形，\(D\)是\(BC\)中点，所以\(AD\perpBC\)，\(\angleBAD=30^{\circ}\)，\(BD=\frac{1}{2}BC=3\)。由旋转可知\(\triangleABD\cong\triangleACE\)，\(\angleDAE=60^{\circ}\)，\(AD=AE\)，所以\(\triangleADE\)是等边三角形。在\(Rt\triangleABD\)中，\(AD=\sqrt{AB^{2}BD^{2}}=\sqrt{6^{2}3^{2}}=3\sqrt{3}\)，所以\(DE=AD=3\sqrt{3}\)。三、解答题（共52分）17.（6分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE.求证：AD=AE。证明：因为\(AB=AC\)，所以\(\angleB=\angleC\)。在\(\triangleABD\)和\(\triangleACE\)中，\(\begin{cases}AB=AC\\\angleB=\angleC\\BD=CE\end{cases}\)所以\(\triangleABD\cong\triangleACE(SAS)\)，所以\(AD=AE\)。18.（8分）如图，在△ABC中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleB=30^{\circ}\)，AD是\(\angleBAC\)的平分线，已知\(AB=4\sqrt{3}\)，求\(AD\)的长。解：在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleB=30^{\circ}\)，\(AB=4\sqrt{3}\)。因为\(\cosB=\frac{BC}{AB}\)，所以\(BC=AB\cosB=4\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=6\)。由勾股定理得\(AC=\sqrt{AB^{2}BC^{2}}=\sqrt{(4\sqrt{3})^{2}6^{2}}=\sqrt{4836}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)。因为\(AD\)是\(\angleBAC\)的平分线，\(\angleBAC=60^{\circ}\)，所以\(\angleCAD=30^{\circ}\)。在\(Rt\triangleACD\)中，\(\cos\angleCAD=\frac{AC}{AD}\)，即\(\cos30^{\circ}=\frac{2\sqrt{3}}{AD}\)，\(AD=\frac{2\sqrt{3}}{\cos30^{\circ}}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\)。19.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，CG⊥AB于点G.求证：DE+DF=CG。证明：连接\(AD\)。因为\(S_{\triangleABC}=S_{\triangleABD}+S_{\triangleACD}\)，\(S_{\triangleABD}=\frac{1}{2}AB\cdotDE\)，\(S_{\triangleACD}=\frac{1}{2}AC\cdotDF\)，\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}AB\cdotCG\)。又因为\(AB=AC\)，所以\(\frac{1}{2}AB\cdotCG=\frac{1}{2}AB\cdotDE+\frac{1}{2}AC\cdotDF=\frac{1}{2}AB\cdotDE+\frac{1}{2}AB\cdotDF=\frac{1}{2}AB(DE+DF)\)，所以\(DE+DF=CG\)。20.（10分）如图，在△ABC中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AB\)的垂直平分线交\(AB\)于点\(D\)，交\(BC\)于点\(E\)，连接\(AE\)，若\(CE=5\)，\(AC=12\)，求\(BE\)的长。解：在\(Rt\triangleACE\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(CE=5\)，\(AC=12\)。根据勾股定理\(AE=\sqrt{AC^{2}+CE^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\)。因为\(DE\)是\(AB\)的垂直平分线，所以\(AE=BE\)，所以\(BE=13\)。21.（10分）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F。（1）求证：AD=CE；（2）求\(\angleDFC\)的度数。（1）证明：因为\(\triangleABC\)是等边三角形，所以\(AB=AC\)，\(\angleB=\angleEAC=60^{\circ}\)。在\(\triangleABD\)和\(\triangleCAE\)中，\(\begin{cases}AB=AC\\\angleB=\angleEAC\\BD=AE\end{cases}\)所以\(\triangleABD\cong\triangleCAE(SAS)\)，所以\(AD=CE\)。（2）解：因为\(\triangleABD\cong\triangleCAE\)，所以\(\angleBAD=\angleACE\)。因为\(\angleDFC\)是\(\triangleAFC\)的外角，所以\(\angleDFC=\angleFAC+\angleACE\)。又因为\(\angleBAD=\angleACE\)，所以\(\angleDFC=\angleFAC+\angleBAD=\angleBAC\)。因为\(\triangleABC\)是等边三角形，\(\angleBAC=60^{\circ}\)，所以\(\angleDFC=60^{\circ}\)。22.（10分）如图，在四边形ABCD中，\(AB=AD\)，\(\angleBAD=60^{\circ}\)，\(BC=3\)，\(CD=4\)，连接\(AC\)。（1）当\(\angleB+\angleD=180^{\circ}\)时，求\(AC\)的长；（2）当\(AC\)平分\(\angleBCD\)时，求\(AC\)的长。（1）解：将\(\triangleADC\)绕点\(A\)顺时针旋转\(60^{\circ}\)得到\(\triangleABE\)，连接\(CE\)。则\(\triangleADC\cong\triangleABE\)，\(\angleDAE=60^{\circ}\)，\(AE=AC\)，\(BE=CD=4\)。所以\(\triangleACE\)是等边三角形，\(AC=CE\)。因为\(\angleB+\angleD=180^{\circ}\)，\(\angleABE=\angleADC\)，所以\(\angleABE+\angleABC=180^{\circ}\)，即\(E\)、\(B\)、\(C\)三点共线。所以\(CE=BE+BC=4+3=7\)，所以\(AC=7\)。（2）解：过点\(A\)分别作\(AE\perpBC\)于点\(E\)，\(AF\perpCD\)交\(CD\)的延长线于点\(F\)。因为\