直角三角形全等的判定-2024湘教版八年级数学上册同步练习（含答案解析）

5.3直角三角形全等的判定湘教版（2024）初中数学八年级上册同步

练习

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.如图，CD148,BELAC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点。.如果=AC,那么图中全等的直

角三角形的对数是（）

A.1B.2C.3D.4

2.如图，在RtzxABC中，48=90。，点E在边AB上，DE=CD,。尸1力C于点入BE=C尸.若A8=12,

BD=4,△48C的面积是54,则线段AC的长为

3.下列判断一定正确的是（）

A.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

B.有一个角和一边对应相等的两个直角三角形全等

C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

D.有两边对应相等，且有一个角为30。的两个等腰三角形全等

4.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）

A.两个锐角对应相等B.一条斜边和一个锐角对应相等

C.两条直角边对应相等D.一条直角边和一条斜边对应相等

5.下列说法中，正确的有（）

①都含有70。的两个直角三角形一定全等；

②都含有100。的两个等腰三角形一定全等；

③底边相等的两个等腰三角形一定全等；

④力长都为10cm的两个等边三角形一定全等；

⑤如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一-腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全

等.

A.0个B.1个C.2个D.3个

6.如图已知力B_LBO,CD1BD,AD=BC,则判定Rt△ABD^Rt△CD8全等的依据是（）

A.AASB.SASC.ASAD.HL

7.如图所示，矩形A8C。中4B=3,BC=4,连接47,按下列方法作图：以点。为圆心，适当长为半径画

弧，分别交。4,CD于点E,F；分别以点E,『为圆心，大于2£F的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线

CG交AD于点、H,则DH的长度为（）

A,1B.33C.1D.3^

LT,L

8.如图，在的斜边8C上截取CO=C4,过点。作。E_L8C,交48于点E,则下列结论一定正确的

C.AE=BDD.乙BCE=Z.ACE

9.如图，在四边形4BCO中，8。平分心力/?。，且40=CO,若乙CBD=a,则々ADC一定等于（）

A.3aB.90。+2aC.135°—2aD.180°—2a

10.如图，在△ABC中，AB=AC,。是8c的中点，AC的垂直平分线分别交4C,AD,AB于点E,0,F,

则图中的全等三角形有（）

B.2对C.3对D.4对

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

11.如图，已知垂足为B,=若直接应用“HL”判定△力8cg△则需要添加的•个

条件是

12.如图，AB=AC,40是边的高，BD=BE,AE1BE,垂足为E.若BE〃4C,则

/.ABC=

13.如图，点E,C在BF上,BE=CF,LA=LD=90°,若要根据“HL”

判定Rt△ABC^Rt△DFE,则需添加的一个条件可以是一（写出一个即可

).

14.如图，CA1AB,垂足为点4AB=12cm,AC=6cm,射线BM148,垂足为点8,一动点E从力点

出发以2厘米/秒沿射线力N运动，点。为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，目始终保持ED=CB,当

点E经过____秒时，团DEB与同B&4全等.

三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题8分）

己知线段a,b,按下列要求用直尺和圆规作直角三角形.（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）

(1)作自48C,使NA=90°,BC=a,AB=b.

(2)作用OEF,使乙。=90°,EF=a,DE-DF=b.

16.体小题8分)

如图，团ABC中，AB=BC.^ABC=90°,广为48延长线上一点，点E在8c上，且4E=C尸.

(2)若4G4E=30°,求心EFC的度数.

17.（本小题8分）

如图，B、E、F、C在同一条直线上，AFJ.BC于点F,DE1BC于点E,AB=DC,BE=CF,求证：AB/

/CD.

D

18.（本小题8分）

在UMBC中，AB=CB,^ABC=90°,尸为4B延长线上一点，点E在BC上，且AE=6.

(2)若4G4E=30",求乙尸的度数.

19.(本小题8分)

如图，在△/1BC中，ZC=90°,Z.B+Z.AFD=180°,点尸在4c上，BD=DF.

⑴求证：4。平分"4C;

(2)求证：AB=AF+2BE.

20.(本小题8分)

如图，在△4BC中，乙B4c=90°,AB=AC,EC1AC,垂足为C,4E交线段BC于F，。是AC边上一点,

连接8D,且80=4E.

(1)求证：CE=AD；

(2)8。与4E有怎样的位置关系？证明你的结论:

⑶当乙CFE="DB时，求证：8D平分"BC.

答案和解析

1.【答案】C

【4铝斤】略

2.【答案】B

【解析】【分析】

此题考查了直角三角形全等的判定及性质，三角形的面积等知识点，

△BDE^Rt△FDC(HL),求出。尸=BO=4,求出5沙9=24,再利用SM℃=SM8C-SMBD=54-

24=30,求出三角形AOC的面积，然后利用面积公式求出4c即可，

【解答】

解；•••/)/1力C,乙8=90°,

乙B=乙DFC=90°,

在At△BDE与Rt△FDC

(DE=CD

iBE=CF

Rt△BDEgRt△FDC(HL)

DF=BD=4,

SUDR=|>lfi-DF=|xl2x4=24,

S&ADC=SAABC一SAABD=54-24=30»

AS“DC=；4c•。尸=|xACx4=30,

AC=15,

3.【答案】A

【解析】解：力、有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，符合/MS,正确，故本选项符合

题意；

8、当两三角形的直角边和斜边相等时，就不全等，故本选项不符合题意；

。、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等(SS4)天符合全等三角形的判定定理，故本选项不

符合题意：

力、30。角没有对应关系，不能成立，错误，故本选项不符合题意；

故选:A.

根据三角形全等的判定方法：SSS、SAS.4s力、力力S、逐个判断即可.

此题主要考查了三角形全等的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法，注意力/U、SS4不能判

定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边

的夹角.

4.【答案】A

【解析】【分析】

直角三角形全等的判定方法：HL,S4S,ASA,SSS,A4S,做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一

验证.本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA.

A4S、HL.注意:444、SS4不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两

边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

【解答】

解：4全等三角形的判定必须有功的参与，故本诜项符合题章：

8.符合判定AS/1或/MS,故本选项正确，不符合题意；

C符合判定4s4故本选项不符合题意；

D符合判定HL,故本选项不符合题意.

故选A.

5.【答案】C

【解析】解：①都含有70。的两个直角三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以①错误；

②都含有100。的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以②错误：

③底边相等的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应知相等，所以③错误；

④辿长都为10cm的两个等边三角形一定全等，因为根据SSS或44S或S4s或ASA可以判定两个三角形全

等，所以④正确：

⑤如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全

等，因为根据条件可以得出两个等腰三角形的底角，顶角对应相等，再根据S4S或HAS或AS4可以判定两个

三角形全等，所以⑤正确；

所以正确的有④⑤这2个.

故选：C.

根据全等三角形的判定定理求解判断即可得解.

此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键.

6【答案】D

【解析】•:AB工BD,CD1BD,

Z.ABD=乙CDB=90°.

在武△7180和RMCD8中，点二噜

IBD=Db,

•••Rt△ABDSCDB(HL).故选D.

7.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、勾股定理、直角三角形的全等判定与性质等知识，熟练掌握角

平分线的性质是解答本题的关键.过点H作垂足为M,由作法可知为41CO的角平分线，所以

DH=HM,然后由勾股定理求得AC的长度，再由直角三角形全等求得4M的长度，最后通过勾股定理求得

的长度.

【解答】

解：过“点作HM1AC十M,如图所示，由作法得CH平分Z4CD.

vHM1AC,HD1CD,

:.HM=HD,

vAB=3,BC=4,

•••在R£△力8c中，AC=7AB2+BU=V32+42=5，

易得Rt△CHD三RtACHM(HL),

•••CD=CM=3,

AM=AC-CM=5-3=2,

设DH=3则4H=4-3HM=t,

在AMAHM中,产+2-=(4—)2,解得£=,

故选。.

8.【答案】0

【解析】【分析】

本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等，直角三角形全等的判定定

理有S4S,AS4AAS,SSS,HL.cA=tCDE=900,根据HL推出Rt△S4E三/?£△CUE,根据全等三角

形的性质即可得到正确选项.

【解答】

解：•••DE1BC,Z,A=90°,

:.Z.A=乙CDE=90°,

在RMSE和RMCDE中，

(CE=CE

lCA=CD'

Rt&CAE三RtACDE(HL),

AZ.BCE=Z-ACE,

故选：D.

9.【答案】D

【解析】【分析】

此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和等于360。等知识，正确地作出

所需要的辅助线是解的关键作DF_LBC于点心0E_L48交的廷长线于点E,因为80平分乙WC,所以

DE=DF,£.ABD=^CBD=a,可根据直角三角形全等的判定定理证明Rt△4DE三At△CD凡

得iADE=4CDF,再推导出41DC=NEDF=180°-2a,于是得到问题的答案.

【解答】

解：作。F1BC于点尸，DE1A8交8A的延长线于点E,则乙E=匕3/。=乙。尸。=90°,

•••8。平分乙力BC,

:.DE=DF,Z.ABD=乙CBD=a1

在/?£△ADE^Rt△CDF1j1»

(AD=CD

=DF

ARt△ADE三RtACDF(HL),

Z.ADE=乙CDF,

:.乙ADC=乙CDF+Z.ADF=Z.ADE4-Z.ADF=乙EDF,

•:乙EDF=360°一4E—乙BFD-LABC=180°-2a,

/.ADC=180°-2a,

故选：D.

10.【答案】D

【解析】【分析】

此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质.注意垂直平分线上

任意一点，到线段两端点的距离相等.由力8=AC,。是8c的中点，易得4。是BC的垂直平分线，则可证

^LACD^^ABD,△OCD空△05。，△AOC丝AA08,又由EF是AC的垂直平分线，证得△。。£出4

OAE.

【解答】

解：•.•48=4。，。是BC的中点，

:.Z.CAD=Z.BAD,AD1BC,

GC=OB,

在么ACD和△力8D中，

AC=AB

Z.CAD=乙BAD,

AD=AD

：.^ACD^^ABD(SASy

同理：XCOD2&BOD,

在A40C和A/lOB中，

(OA=OA

\0C=OB,

[AC=AB

••△OACgAOAB(SSS)；

••・£/是AC的垂直平分线，

OA=OC,Z-OEA=乙OEC=90。，

在Rt△。4E和RCAOCE中，

(OA=OC

(OE=OE

:.RtAOAE"RtAOCE(HL).

故选。.

11.【答案】AC=DE

【解析】【分析】

本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，主要考查学生的推理能力，注意：判定两直角三角形全等的

方法有S4S,ASA,AAS,SSS,HL.

先求出4/l8C=々ORE=90。，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可.【解答】

解：AC=DE,

理由是：•••481DC,

••・/.ABC=乙DBE=90°,

在RtAABC和Rt/kOBE中,

(AC=DE

iBE=BC'

:.Rt△ABC^Rt△DBE(HL).

故答案为=DE.

12.【答案】60°

【解析】【分析】

此题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形全等的判定及全等三角形的性质和平行线的性质，先证明

/.ABE=/-ABC=LACB,再根据8E//AC得到，ABE+乙48C+乙ACB=180°,进而求解

【解答】

W-：''AB=AC,AO是8c边的高，

AD1BC,Z.ACB=Z.ABC

乂4E1BE,

AZF=Z.ADB=90°,

vAB=AB,BD=BE,

RtAABE三RtAABD(HL),

•••乙ABE=/.ABC,

:.Z.ABE=/.ABC=Z.ACB,

vBE//AC,

ALABE+/-ABC+Z.ACB=180%

3/-ABC=180°,

••・/.ABC=60°.

13.【答案】OE=4c(答案不唯一)

【解析】解：添加DE=AC,=CF,

:.BE+EC=CF+EC,

即EF=CB,

在汶△48C与R£z\O/^中，

(DE=AC

UF=CB'

:.Rt△ABC^Rt△DFE(HL).

故答案为：DE=4。(答案不唯一).

根据直角三角形的判定方法解答即可.

此题考查直角三角形的判定，关键是根据HLi止明Rt△ABC^Rt△DFE解答.

14.【答案】0,3,9,12

【脩析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当E在线段48上，力。=8£时，回力。8三团

BED(HL)；当E在8N上，4。=BE时，目力C8三目BED(HL)；当E在线段48上，48=EB时，目/C8三团

BDE(HL)；当E在BN上,4B=EB时,ACB^05DF(HL)；分别利用三角形全等的性质进行求解即可,

熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键.

【详解】解：•••CA1AB,8M14B,

:.LA=乙DBE=90°

①当E在线段48上，AC=BEH'i，

,:BC=DE,

：，^ACB三国BED(HL),

BE=AC=6cm,

AE=AB-BE=12-6=6(cm),

•••点E的运动时间为6+2=3(秒)；

②当E在BN上，AC=MHt,^ACB^BED(HL),

则BE=6cm,

AC=AB+BE=12+6=18(cm),

点E的运动时间为184-2=9(秒)；

③当E在线段AB上，48=EB时，

•••BC=DE,

^ACB三团BDE(HA),

这时E在力点未动，因此时间为0秒；

④当E在BN上，AB=EB时，0ACB三团BDE(HL),

则E8=12cm,

:.AE=AB+BE=24cm,

点E的运动时间为24+2=12(秒).

综上所述，当点E经过0秒，或3秒，9秒，12秒时，团DEB与团EC4全等.

故答案为：0,3,9,12.

6【答案】【小题1】

解:如图,团43c即为所求;

解：如图，团DEF即为所求.

【解析】1.

本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

作ZMAN=90。，在射线4N上截取线段AB,使得=以8为圆心，a为半径作弧交于点C,ABC

即为所求；

2.

作/MON=45。，在。N的反向延长线上截取线段OE,使得OE=b,E为圆心，Q为半径作弧交OM于点F,

过点尸作尸0_LON于点国OE尸即为所求；

16.【答案】【小题1】

证明：•••N48C=90°,

：・“BF=90°,

在和R£团C8F中

(AB=BC

lAE=CF'

Rt0ABE三Rt团CBF(HL),即ABECBF；

【小题2】

•••4ABe=90°,AB=BC,

ALBAC=Z.BCA=45°,

•.♦/CAE=30°,

/BAE=LBAC-LCAE=45°-30°=15°,

'：Rt^ABE^Rt^CBF,

:.BE=BF/BAE=乙BCF=15°,

.•./BEF=45°,

/.EFC=Z.BEF-Z-BCF=45°-15°=30q.

【解析】1.

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是选择合适的全等三

角形判定方法.

用直角三角的判断方法，HL直接判定即可；

2.

先根据等腰三角形的性质，求出/8力。的度数，再求出N84E的度数，由(1)的全等求出N84E=N8CF=

15\由(1)的全等和等腰三角形的性质求出，BEr=45。，最后根据外角的性质，即可得出答案.

17.【答案】证明：尸_L8C,DE1BC,

:.乙AFB=乙DEC=90°,

vBE=CF,

：.BE+EF=CF+EF,

：.BF=CE,在Rt△AFB和RtADEC中,I咒=%,

^AB=DC

Rt△AFB^Rt△DEC(HL),

:.乙B=乙C,

AB//CD.

【解析】由已知得出乙4尸B=4D£C=90。，推出Br=CE,由HL证得Rt△2FB丝/^△。£1。得出々8=

“，即可得出结论.

本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.

18.【答案】证明：(1)vLABC=90°,

Z.CBF=乙ABE=90°,

在和RMCW中,

(AE=CF

=BC'

:•Rt△ABEZRtACBF(HL)；

(2)-AB=BC,4ABe=90°,

:.£CAB=ZLACB=45°,

•••LBAE=乙CAB-/,CAE=45°-30°=15%

vRt△ABE^Rt△CBF,

Z.BCF=Z.BAE=15°,

Z.ACF=Z-BCF+LACB=15°4-45°=60°.

【解析】本题考查的是直角三角形全等的判定，全等三角形的性质有关知识.

(1)由24BC=90。可得NCBF=/ABE=90。，再由4E=C凡AB=8C即可证得结论；

(2)由力8=C8,448c=90。，即可求得/TAB与44CB的度数，即可得ZJME的度数，又由RtA

ABEgRtACBF,即可求得48CF的度数，则由44CF=48CF+4ACB即可求得答案.

19.【答案】证明：(1)・・・OEJ.4B,

:./.BED=LAED=90°,

•:乙CFD+LAFD