《概率论与数理统计》教案 第5课 条件概率

课题条件概率

课时2课时(90min)

知识技能目标：

(1)理解条件M率的概念

(2)掌握条伸:概率的性质

(3)掌握乘法公式的计算

教学目标

(4)掌握全概率公式与贝叶斯公式的计算

素质目标：

(1)帮助学生树立正确看待随机现象的世界观，掌握统计估计的思想与方法

(2)训练学生的抽象思维、逻辑推理和发散思维的能力

教学重点：条件概率的概念和性质

教学重难点

教学难点：乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式的计算

教学方法讲练结合法、问答法、讨论法

敕学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程主要教学内容及步骤

【教师】布置课前任务,和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，搜集并了解条

课前任务件概率的相关知识

【学生】完成课前任务

考勤【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

【教师】提出问题：

在得到某个信息B以后(即在已知事件B发生的条件下)，求事件A发生的概率，这时由于附加了条件，

互动导入它与事件A的概率P{A)的意义是不同的，这种在已知事件B发生的条件下，求事件A发生的概率称为条件概

率，那么条彳牛概率怎么求呢？

【学生】思考、讨论、回答

【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解条件概率的相关知识

一、条件概率

条件概率是本章的重要概念.我们知道，世界万物都是互相联系、互相影响的,随机事件也不例外.在实

际问题中，常常会遇到这样的问题：在得到某个信息B以后(即在已知事件B发生的条件下)，求事件A发生

传授新知的概率，这时由于附加了条件，它与事件A的概率”4的意义是不同的，这种在已知事件B发生的条件下，

求事件A发生的概率会为条件概率，记为尸(川功.

例1掷一枚质地均匀的骰子一次，观察出现的点数.设事件A表示"掷出2点"，事件B表示"掷出偶

数点”.

(1)求掷出2点的概率；

(2)在已知掷出偶数点的情况下，求掷出2点的概率.

(解析详见教材)

【教师】提出条件解的定义

定义1设A'8是两个随机事件，且P(8)>°,称

P(AB)

P(人|4)=

P(B)

为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.

注：条件概率亦具有概率的三条基本性质：

(I)非负性对『事件B,尸⑷⑶...0；

(2)规范性P(C|B)=1；

(3)可列可加性设A'4’是两两互不相容的事件，则有

P(AJ&U…|8)=P(AI3)+P(&|8)+

因此，类!以于概率，对条件概率也可由三个基本性质导出其他一些性质.例如：

「(0|8)=0

r

P(A\B)=\-P(A\B)

t

U415)=尸(A18)+(

P(AP(A2\B)_PA&IB)

例2袋中有5个球，其中3个红球2个白球.现从袋中不放回地连取两个.已知第一次取得红球，求第二

次取得白球的概率.

......(解析看教材)

【教师】总结计算条件概率的一般方法

计算条件概率一般的方法：

(I)在缩减后的样不空间中计算概率；

(2)在原来的样本空间中，直接由公式计算概率.

98

例3据历年气象资料，某地4月份刮东风的概率为3°,既"刮东风"又"下雨"的概率为3°，问"刮

东风"与"下雨"有无密切关系？

・・・・・・(解析详见教材)

二、乘法公式.

【教师】提出乘法公式的定理

定理1(乘法公式)设A'区是两个随机事件，

若P(8)>0则P(A8)=P(8)P(A|8)；(1_2)

若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B\A)([3)

式(1-2)和式(1-3)称为乘法公式.

乘法公式容易推广至修个事件的情形.

推论设有n个随机事件4'4,则

p(A4…A)=P(A)P(4⑷P(AIA4)-P(AIA4・・・4T).(M)

例4在一批由90件正品，3件次品组成的产品中,不放回接连抽取两件产品，问第T牛取正品，第二件

取次品的概率.

解设事件A｛第一件取正品｝;事件B（第二件取次品｝.按题意,

903

P(A)P网4)=一

9392

由乘法公式

903

P(AB)=P(A)P(B\A)=^x—=0.0315

例5袋中有a个白球和b个黑球，随机地取出一个，然后放回，并同时再放进与取出的球同色的球c个，

再取第二个，如此连续地取3次，问：

（1）取出的3个球中，已知头两个是黑球，求第3个是白球的概率；

（2）取出的3个球中，头两个是黑球，第3个是白球的概率.

例6对一种产品进行三种破坏性试验，产品没通过第一种试验的概率为0.3,通过了第一种试验而未通过

第二种试验的概率为0.2,通过了前两种试验而未通过第三种试验的概率为0.1,试求产品没通过这三种试验的

畴.

……（解析详见教材）

三、全概率公式

下面先介绍样本空间的划分定义.

定义2若事件A，A，••.，A满足下面两个条件：

（1）A小，…，两两互不相容，即A4=0（1触，/〃，/*/）；

（2）AUAzUUAN,

则称A'4''4为样本空间Q的一个划分，或称其为一个完备事件组，如图wo所示.

显然，全部的基本事件构成一个完备事件组；任何事件A与4也构成完备事件组.

为了计算复杂事件的概率，经常把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，通过分别计算简

单事件的概率，来求得复杂事件的概率.

定理2（全概率公式）设'4为样本空间c的一个划分，且P（A）＞°"=1，2，，〃），

则对。中的任意一个事件B都有

P（3）=P（A）PMA）+P（&）P（N4）++P（A）P（8A）=ZP（4）P（8|4）

I=!

月u£A

证因为'4是一组两两互不相容的事件.又因为m，所以

f=1/=1

由此得

P(8)=力(A,B)=£P(A)P(8|A)

/=iJ=I

例7七人轮流抓阉，抓一张参观票，问第二人抓到的概率？

例8设有一仓库有一批产品，已知其中50%,30%,20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生

J__1__1_

产的次品率分别为10'15’20,现从这批产品中任取T牛，求取得正品的概率?

……(解析详见教材)

四、贝叶斯公式

贝叶斯(Bayes)公式与全概率公式是相反的问题，即一事件已经发生，要考察引发该事件发生的各种原因

或情况的可能性大小.

定理3(贝叶斯公式)设B是样本空间c的一个事件，A'A''4为样本空间Q的一个划分，且

尸(8)>0,尸(4)>0(』，2,・・,〃)，则在8已经发生的条件下4发生的条件概率为

尸⑷叫出".)P网A)

P(B)fp(4)p网4)

t=i(—1,2,，〃).

这个公式称为贝叶斯公式.

贝叶斯公式在理论上和应用上都十分重要，假定A'4，'凡是导致结果"B"发生的“原因"，且已知

A发生的概率大小为P(A，)，称其为先验概率.现试验中出现了事件B，它将有助于探讨引起事件B发生的“原

因”.归纳起来，贝叶斯公式是一类由“结果"找引起"结果"发生的"原因"的问题，即求P(4⑶，称此

概率为后验概率.

例9发报台分别以概率0.6和0.4发出信号"."和"一"，由于通讯系统受到干扰，当发出信号"."

时，收报台未必收到信号"."，而是分别以0.8和0.2概率收到"和"一"；同样，发出"一"时分别以

0.90.1概率收到"一"和".".如果收报台收到问它没收错的概率?

例10根据以往的记录，某种诊断肝炎的试验有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的概率为0.95；对非

肝炎病人的试验呈阴性的概率为0.95.对自然人群进行普萱的结果为：有千分之五的人患有肝炎.现有某人做

此试验，结果为阳性，问此人确有肝炎的概率为多少？

......(解析详见教材)

【学生】聆听、思考、理解、记忆

【教师】给出题目，组织学生以小组为单位进行解翘