《概率论与数理统计》综合复习资料

《概率论与数理统计》

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一、填空题

1、一个盒子中有10个球，其中有3个红球，2个黑球，5个白球，从中取球两次，每次取一

个（无放回），则：第二次取到黑球的概率为：

取到的两只球至少有一个黑球的概率为。

2、的概率密度为（），则。

3、已知随机变量且与相互独立，设随机变量Z=2X-

y+5,则£¥=；

DX=o

4、已知随机变量X的分布列为

-I0|2

0.40.2p

则：EX=；

5、设与独立同分布，且X〜N（27）,则（

P(ABC)=-P(AB)=P(BC)=P(AC)=g

6、设对于事件、有128

则、都不发生的概率为

7、批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,从中任取一件，结果不是三等品，则取到

的是二等品的概率为0

8、相互独立，且概率分布分别为

l<y<3

f(x)=5(

其它

则：E(X+Y)=：E(2X-3Y2)=

9、已知工厂生产产品的次品率分别为2%和1%,现从由工厂分别占30%和70%的

一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是3工厂的概率为。

10、设X、丫的概率分布分别为

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2

则：E(X+2Y)=；E(X-4Y)=O

二、选择题

1、设X和y相互独立，且分别服从N〃，22)和N(L〃，则。

.P[X+Y<1)=1/2.P(X+Y<0]=1/2

.P[X-Y<0]=1/2.P[X-Y<1}=1/2

2、已知P(A)=0.4P(B)=0.6P(B\A)=0.5,则P(AUB)=。

A.1B.0.7

C.0.8D.0.5

3、设某人进行射击，每次击中的概率为1/3,今独立重复射击10次，则恰好击中3次的概率

为。

4(守(§7B.3/3“铲

C.。谣八《尸D.(守

4、甲、乙两人独立的对司一目标各射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已知目亦被命中,

则它是甲射中的概率是。

()0.6()5/11()0.75()6/11

5、设事件、满足48UC,则下列结论正确的是。

()()

()()

6、设。X=4DY=1Pxy=0.6,则D(3X-2Y)=。

(A)40(B)34(O25.6(Q)17.6

7、设为来自总体X的一个样本，%为样本均值，EX未知，则总体方差QX的

无偏估计量为。

⑷匕£*区-X)2⑻/I区-X)2

©/(X「EX)2⑼为储(X「EX)2

8、设每次试验成功的概率为2/3,则在三次独立重复试验中至少失败一次的概率为.

()(2/3)3()1—(2/3尸(O(〃3)3()[一("3)3

9、设是随机变量，常数)，对任意常数，则必有.

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()E(X-C)2>E(X-H)2()

()()

三、解答题

0,x<0

1、设的分布函数为8刈=|“3,0<x<l+

1/2,1<x<2

I,x>2

（1）的概率分布;

（2）。

2、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产

1/4,又知第一、二家工厂生产的产品有2%的次品，第三家工厂生产的产品有4%的次品，现从箱

中任取一件，求：

（1）取到的是次品的概丝；

（2）若已知取到的是次品，它是第一家工厂生产的概率。

3、设随机向量（X，丫）的概率密度为

C,0<x<l,0<y<2x

其他,

（1）常数0；

（2）关于x、丫的边缘概率密度，并判断x与丫是合相互独立。

4、已知、分别服从正态分布M0,3?）和N（2,42）,且与的相关系数

，设，求：

（1）数学期望，方差：

（2）与的相关系数。

5、设乂，尤,…,X”为x的个样本,

X〜f（xN={a+〃P,0Vx<?|

其中2为未知参数，求丸的极大似然法估计量。

6、已知工厂生产产品的次品率分别为1%和2%,现从由的产品分别占60%和

40%的一批产品中随机抽取一件，求：

（I）该产品是次品的概座；

（2）若取到的是次品，那么该产品是8工厂的概率。

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—X,4—X?HX、

⑵3।6“2.

16、设随机变量（X,X）具有概率密度

f（x,y）={Ce-^,x>0,y>0\,

求（1）常数C；

（2）关于x和关于丫的边缘分布密度。

17、设X=a因-23户+”33-4元）2,其中x，石，*E是来自总体MO,Z?）的简单随机样本。

试问当。、方各为何值时，统计量X服从/分布，并指出其自由度。

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《概率论与数理统计》答案

一、填空题

1.1/517/45

2.1/2

3.05

4.0.41.84

5.52

6.13/24

7.1/3

8.3-11

9.7/13

10.3<

二、选择题

1.C

2.C

3.B

4.C

5.B

6.C

7.J

8.B

9.J

三、解答题

1、设的分布函数为

0,x<0

1/3,()<X<1

F(x)=P{X<x}='

1/2,1<x<2

、1，x>2

求：（1）的概率分布：（2）

解.：（1）的概率分布列为

012

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《概率论与数理统计》

1/31/61/2

（2）

2、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产

1/4,又知第一、二家工厂生产的产品有2%的次品，第三家工厂生产的产品有4%的次品，现从箱

中任取一件，求：（1）取到的是次品的概率；（2）已知取到的是次品，它是第一家工厂生产的概率。

解：设事件表示：“取到的产品是次品“；事件4表示：“取到的产品是第家工厂生产的“

)。则,且两两互不相容。

(1)由全概率公式得

P(4)=E：=]P(4)■一〃⑷

121214

=—x------1-—x-------1--x——=0.025

210041004100

（2）由贝叶斯公式得

12

—x-----

^0=0.4

P(Af)P(A\A00.025

理/尸⑷尸㈤”

3、设随机向量（X，丫）的概率密度为

C,0<x<1,0<y<2x

/(")=«

0,其他

求：（1）常数C；

（2）关于X、丫的边缘概率密度，并判断x与y是否相互独立。

JJ/(x,y)dxdy=1=>C=1

解：（1）利用归一性知:

⑵力（力=匚〃2）砂,

当0vxv1时，有・.3=1"（匚）'灿=

其他情况时，/'（"）=°

2x,0<x<1

0,其他

综合知

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,/、1_2,0＜歹＜2

为3=2

0,其他

同理

由于/(")丰fx(力X/；・3知X与y不相互独立。

4、已知、分别服从正态分布N(0,3?)和N(2,42),且与的相关系数

，设，求：

(1)数学期望，方差；(2)与的相关系数。

解.：(1)由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得

=里+夕=哈+吟=gx0+gx2=/

=*DX+*DY+2x^pXY＞/DXy/DY

px3-+pX^-4-2x：x：x(一)x3x4=1+4-2=3

(2)

从而有与的相关系数

5、设为X的一个样本，

X~f(xQ={〃+1)^,0<x</\

其中2>-1为未知参数，求丸的极大似然法估计量。

解：设为观测值，则构造似然函数

乙0=4+〃”(11：=卢/

InL=nln(A+1)+2军//〃勺

令

♦=一+电—=。

解的人的极大似然估计量为M

6、己知工厂生产产品的次品率分别为1%和2%,现从由的产品分别占60%和

40%的一批产品中随机抽取一件，求：(1)该产品是次品的概率；(2)若取到的是次品，那么该产

品是4工厂的概率。

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解：设。表示“取到的产品是次品”；4“取到的产品是工厂的“；

“取到的产品是8工厂的则

(1)取到的产品是次品的概率为

P(C)=P(A)P(C\A)+P(B)P(C\B)

=2x，+迫x-L=2-

10010()100I(W500

<2)若取到的是次品，那么该产品是8工厂的概率为

‘।-P(C)-P(A)P(C］A)-^P(B)P(C\B)

4。x2.

_100too_2

2Z7

500

7、设的概率分布为

，/<x<5,(非一化y>0,

©(x)=4g)={

(o,其它,I。，y<0.

求；E(X+Y)^E(2X-3Y2).

解：由于X在有限区间［1,5］上服从均匀分布，所以£¥=子=3；又由于丫服从参数为4的

指数分布，所以石丫=，。丫=/

16

因此由数学期望性质2、性质3及重要公式得

E(X+Y)=EX+EY=3+-=3-

44

E(2X-3Y2)=2E(X)-3E(Y2)=6-3(DY+(EY)2)=6-：=5：。

o8

8、一口袋中装有四只球，分别标有数字1,2,2,3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任

取一球，以X、丫分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：(I)X和丫的联合概率分布；

(2)关于X和关于丫边缘概率分布。

解：(1)(X,Y)的所有可能取值为(1,2)、(1,3)、(2,I)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、

(3,2)。由概率乘法公式得

p?2=p{x=1,y=2}=x=(

Pl3=p{x=i,丫=3}=*

同理得P2I=P22=P23=P32=J/6/3I=1/72。此外{x=/,Y=1}{X=3,Y=3}都是不可能事件，

所以〃〃=〃33=。，于是(，)的概率分布表为

YXI

I01/6M2

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21/61/61/6

31/121/60

(2)X的边缘概率分布为

X123______

〃八1/41/21/4

y的联合概率分布为

7123

1/41/21/4

9、设总体的分布列为

10

为的一个样本，求的极大似然估计。

解：设为观测值，的分布律为

()

于是似然函数

L(P)=0呼而=一切f

令，解得，因此的极大似然估计为

10、设--电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03、0.04、0.06的概率被损坏

而发生断路，求电路发生断路的概率。

解：设表示：“第个电子元件被损坏“(=1,2,3),则有P〃h)=0.03°P(A2)=

0.04P(A5)=0.06依题意所求概率为

P(A,UA2UA3)=P(At)+P(A2)+P(A3)-P(A,A2)-P(AJA3)-P(A2A3)

+P(AfA2A3)

=0.03+().04+0.06-0.03x().04-().04x().06

-().03x(),()6+().03x().04x().()6=0.124672

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11、设随机地在1,2,3中任取一值，随机地在1中任取一整数值，求：（1）

的分布律；（2）关于和的边缘分布律。

解：3）、的概率分布表为

（2）关于的边缘分布律为

关于的边缘分布律为

23

12、设％,X3…，4为X的一个样本，且X的概率分布为

其中久为未知参数.为常数.求久的极大似然估计。

解：设修，不，…，x“为X：X”…，♦观测值,构造似然函数

La）=nn）=n，孙-一讨

=询〃JE-/-n;./-/

InL=nln（ka）-A£；=/#+/〃［!；=/引一/

dlnl.

~dk

解得：—*=/¥=〃，因此的极大似然估计为

13、在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1,2,3路汽车，设每个人等车时间（单

位：分钟）均服从［（）,5］上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。

解：设X表示每个人等车时间，且X服从［0,5］上的均匀分布，其概率分布为

（1/5,0<x<5

f（x）=\0,其它

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《概率论与数理统计》

P{X<2}=ff（x）dx=f1/5dx=0.4

又设y表示等车时间不超2分钟的人数，则卜800.4），所求概率为

P{Y>2]=1-P{Y<1}

=/-4x0.6,-Cjx0.4x0.62=0.352

14、一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1,2,2o现从袋中任意取球二次，每次取一只

（有放回），以X、y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）X和y的联合概率分

布：

（2）关于X和丫边缘分箱；（3）X和丫是否相互独立？为什么？

解：⑴（X,Y）的所有可能取值为（1,1）、（1,2）、（2,1）、（2,2）o

〃〃=尸{x=/,y=/}=gx（=f为2=P{X=/,K=J}=JX|=£

P21=p1x=2,y=/}=；xg=],P22=p{x=2,Y=2）=jXj=^

于是（，）的概率分布表为

11/92/9

22/94/9

（2）关于X和丫的边缘意率分布分别为

X1212

P,-1/32/31/32/3

（3）X和丫相互独立。因为％"有Pj=P"

15、设％,X2