数字信号处理 第2版 课件 第7章 随机信号的功率谱估计

第七章随机信号的功率谱估计7.1随机信号及其特征描述7.2平稳随机信号的功率谱7.3经典谱估计7.4现代谱估计§7.1随机信号及其特征描述随机信号随机信号的数字特征平稳随机信号的各态遍历性重点：平稳随机信号的自相关函数一、随机信号图

运放电路的零飘电压一、随机信号

如果将对零漂电压的观测看作随机试验，那么对应随机变量的每一次观测，都可以得到一个信号样本。样本的集合描述了完整的随机过程，记作随机信号是依赖于时间的随机变量。一、随机信号抓住变化中的不变量找出随机中的确定量二、随机信号的数字特征(1)均值：(2)方差：时间的函数(3)均方(4)自相关函数二、随机信号的数字特征自相关函数描述了随机信号X(n)在n1和n2时刻的关系，是随机信号分析中最重要的统计量。

1.宽平稳（wide-sensestationary，WSS）信号,又称广义平稳信号。是指满足下述三个条件的随机信号：宽平稳信号的均值和时间无关，为常数；自相关函数和时间的起点无关，只和两点的时间差有关。注意：三、平稳随机信号的各态遍历性三、平稳随机信号的各态遍历性2.平稳随机信号的各态遍历性

对平稳随机信号，如果它的所有样本函数在某一固定时刻的一阶和二阶统计特性和单一样本函数在长时间内的统计特性相同，则称为各态遍历信号。对各态遍历信号来说，用一阶和二阶的集平均等于相应的时间平均，即

三、平稳随机信号的各态遍历性式中，是的一个单一样本函数。小结：随机信号的自相关函数各态遍历的平稳随机信号，可以用单一样本函数的时间平均代表该信号所有样本函数的一阶和二阶的集平均平稳随机信号的自相关函数自相关函数和时间的起点无关，只和时间差有关。随机信号：依赖于时间的随机变量。§7.2平稳随机信号的功率谱随机信号的频域分析随机信号的功率谱平稳随机信号通过线性系统重点：随机信号的功率谱一、随机信号的频域分析随机信号是一类持续时间无限长，具有无限能量的功率信号，虽然不满足Fourier变换存在的条件，但由于其任一样本函数功率有限，所以功率谱PSD（PowerSpectrumDensity)就成为在频域描述随机信号统计规律的重要特征参数。频谱分析确定信号随机信号？的一个样本；二、随机信号的功率谱时域功率频域功率功率谱原始定义，包含了求均值和求极限两个运算，即：既要求时间平均，又要求集总平均。功率谱定义1：二、随机信号的功率谱信号X(n)的功率谱是多个样本X(n,i)的功率谱的集总平均。维纳—辛钦定理功率谱定义2：定理成立条件：二、随机信号的功率谱对功率谱，有如下性质：性质1 是ω的实函数；性质2对所有的ω都是非负的；性质3若是实信号，则是关于ω的偶函数；

二、随机信号的功率谱三、平稳随机信号通过线性系统图

平稳随机信号通过线性系统对于线性系统，其输出和输入信号之间满足：三、平稳随机信号通过线性系统

为讨论方便起见，现假定x(n)是实信号，这样，y(n)也是实的。x(n)和y(n)的自相关信号满足：

进一步得到：[解](1)[例]所以：(2)由差分方程，有用平稳随机信号X(n)单一样本的N个观测值可以准确求得该随机信号的功率谱？思考题§7.3经典功率谱估计周期图法自相关法直接法和间接法的关系改进的经典功率谱估计重点：经典功率谱的基本原理平稳随机信号功率谱的两个定义：随机信号的单个样本求均值运算求极限运算两者等效理想的功率谱中，两个定义都要求：样本无穷多，时间无限长，即需要集总平均。功率谱估计：古老而又年轻的话题！实际工作中，我们往往能得到的是：

1.单一的样本；

2.单一样本的有限长数据；关键：如何用单一样本的有限长数据去估计随机信号真实的功率谱？平稳随机信号功率谱的两个定义：请抓住并搞清楚如下三个问题：功率谱为什么要估计？如何估计？如不理想，如何改进？已知数据：估计：两种方法:间接法：先估计

，再估计直接法：直接求平稳随机信号功率谱的两个定义：功率谱定义1：功率谱定义2：一、周期图法思路：其中简化：仅为有限长数据，缺少对时间的取极限运算，2)仅使用随机信号的单一样本，缺少取均值运算。一、周期图法求均值：单一样本的功率谱不能收敛到所有样本的功率谱，因此必须有求均值运算，此即如下定义的来历：各态遍历信号也是如此。增大数据长度N，能否改善周期图法的性能？一、周期图法增大数据长度N，无法改善周期图法的性能利用周期图法进行平稳高斯白噪声的谱估计。随机生成30组N点均值为零，方差为1的平稳高斯白噪声，分别计算N=64，128，256，512时的功率谱估计值，并分析谱估计质量。二、自相关法因为先要估计自相关函数，所以又称间接法。与此相对应，周期图法又称直接法。Step1Step2三、直接法和间接法的关系：需要考虑两种情况：数据的范围自相关函数的范围（一）

M=N-1（二）M<N-1相当于只用了部分自相关函数所以：:加在自相关函数上。目的是将其截短。第二次加窗。M<N-1三、直接法和间接法的关系：解：对x(n)进行离散时间傅里叶变换(DTFT)功率谱为：【例】已知实平稳随机序列X(n)单一样本的N个观测值为x(n)={1,0，-1}，试求取其功率谱。解：x(n)的自相关函数值为对进行傅里叶变换得X(n)的功率谱【例】已知实平稳随机序列X(n)单一样本的N个观测值为x(n)={1,0，-1}，试求取其功率谱。四、改进的经典功率谱估计目标：主要是改进方差的性能方法：平滑与平均；任务：改进对估计的性能；用对的加窗来实现平滑1.平滑（Smoothing)

缺点：降低了频率分辨率

优点：波动比小

理论依据:L个独立同分布随机变量和的分布，方差减小L倍，即：将一个较长的信号分成若干段，对每一段求功率谱，每一段的功率谱都是随机变量，然后平均之。类似相干平均，用以弥补经典谱估计中缺少的求均值运算。注意：信号应是平稳的，且每一段的统计特性基本一样。2.平均（Average）Bartlett平均将x(n)分成L段，每段M点，即N=LM在数据上加了数据窗宽度是M每一段谱平均后谱Bartlett平均时域数据窗等效为频域功率谱卷积运算：统计性能分析：

（1）分辨率进一步下降；

（2）方差减小，但是到不了L倍！！！Welch平均平均周期图法优点：减小方差缺点：增加估计的偏差，降低了谱的分辨率原因：分段即加窗，段越多，数据长度越短解决方法：将各段数据有一定程度的重叠Welch平均特点：交叠分段若重叠一半，段数变大Welch平均是常用的经典谱估计方法，MATLAB中有相应的命令：不一定是矩形窗，如Hamming窗Welch平均假定1：是慢变谱，在的主瓣内近似为一个常数）Welch平均法的方差比Barttlett方法有明显的减小，而偏差几乎没有减小例：利用Welch法进行平稳高斯白噪声的谱估计产生30组512点均值为零，方差为1的平稳高斯白噪声，利用Welch法按照50%重叠分别将其分成L=3，7，15，31段，计算功率谱估计值，并分析谱估计质量。分析：

(1)对每组512点数据按各段数据重叠50%的方式分成3段256点序列，7段128点序列，15段64点序列，31段32点序列。(2)求出每段数据的周期图(3)再取平均即得各组数据的功率谱估计,即44平稳高斯白噪声功率谱估计结果(Welch法)随着分段数L的增加，谱估计越来越平滑，方差明显减小。Welch法的谱估计结果比周期图法的谱估计结果有显著改善，更接近理论分析(0dB)。经典功率谱估计的特点1.经典功率谱估计物理概念明确，可用FFT快速算法。所以是最常用的谱估计方法；2.对周期图法，分辨率受到样本数据长度N的限制；对自相关法，分辨率受到数据窗长度的限制；3.经典功率谱估计方差性能不好，而且增加数据长度时，谱曲线反而起伏加剧；4.改进方法是“平滑”与“平均”，改进的目的是减小方差，但牺牲了分辨率；§7.4现代谱估计问题提出参数模型法的基本思想平稳随机信号的参数模型模型选择AR模型的正则方程重点：AR模型及其正则方程一、问题提出

经典法存在问题:1.方差性能不好，谱估计结果偏差较大。2.平滑周期图和平均周期图改善了周期图的方差性能，但却降低了谱分辨率和增大了偏差。3.可能使短序列的功率谱估计出现错误的结果。

出现问题的原因:将观测数据以外的数据一律视为零，与实际不符。二、参数模型法的基本思想一个规则的宽平稳随机信号x(n)，总可以由方差为

2的白噪声u(n)通过系统函数为H(z)的最小相位系统获得。

根据所研究信号的先验知识，对观测数据以外的数据作出某种比较合理的假设。二、参数模型法的基本思想

方法：(1)选择一个好的模型，在输入是冲激函数或白噪声的情况下，使其输出等于所研究的信号，至少也是对该信号的一个良好近似。(2)利用已知的自相关函数或数据求模型的参数。(3)利用求出的模型参数或数据估计该信号的功率谱。二、参数模型法的基本思想好的选择意味着成功一半三、平稳随机信号的参数模型1.AR（Auto-Regressive）模型全极点模型则：若：并假定：

2.MA（Moving-Average）模型全零点模型若：则：四、模型选择选择模型的依据是根据信号的一些先验知识，模型选择原则：（1）考虑模型能够表示谱峰、谱谷的能力。具有尖峰的谱，应该选用具有极点的模型，如AR和ARMA模型；具有平坦谱峰和深谷的信号，可以选用MA模型；既有极点又有零点的谱，应选用ARMA模型（2）尽量减少模型参数，这与模型选择是否合适有关。结论：在选择模型合适的基础上，尽量减少模型的参数。(1)AR模型的参数计算是线性方程，比较简便；(2)适合窄带信号的频估计；(3)谱估计时由于具有递推特性所需的数据较短。四、模型选择AR模型用得最普遍而MA模型对窄带信号进行谱估计时，一般需要数量很多的参数。ARMA模型所需的参数数量最少，但参数估计的算法是非线性方程组，其运算远比AR模型复杂。例：不同的参数模型对建模难度和运算量的影响例：不同的参数模型对建模难度和运算量的影响目标：找到已知参数和未知参数的关系，以便求解未知参数：已知参数：求解方法：由下面的差分方程入手：两边同乘，求均值:未知参数：五、AR模型的正则方程和的互相关五、AR模型的正则方程因果系统卷积关系五、AR模型的正则方程结果1：结果2：结合起来正则方程（NormalEq.）五、AR模型的正则方程6262Toeplitz自相关阵又称Yule