2024年高考数学重难点突破第14讲 洛必达法则解高考导数压轴题

第14讲洛必达法则解高考导数压轴题

我们在前面的学习过程中，应该能体会到参变分离对于解决不等式恒成立问题的重要性

和快捷性，但有时候我们明明知道了函数的单调性，知道了函数会大于或者小于某一个值(这

个值被称为确界),但就是取不到，这个时候就需要用到极限来计算，在求函数的极限时，常会遇

到两个函数/(*),「")都是无穷小或都是无穷大时，求它们比值的极限，此时极限lim组

F\x)

可能存在,也可能不存在.通常把这种极限叫作未定式,并分别简称为9型或艺型.

0oo

例如,］而也就是。型的未定式而极限lim生就是差型的未定式，对于未定式的极限,

X0XTXX00

我们该如何求呢？

计算未定式的极限往往需要经过适当的变形,转化成可利用极限运算法则或重要极限的

形式进行计算.这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法.本节将用导数作

为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则，在此之前我们需要明白“确界”的概

念.

确界

如果分离参数后相应的函数不存在最值,为了能够利用分离参数思想【解析】决含参不

等式恒成立的问题，我们利用如下的函数确界的概念：

函数尸/(x)(xe。)的上确界为min{M/'(X),,£)>,记作函数y=/(x)(xw。)的下

确界为max{Ml/(x)…M.xw0，记作.于是,有如下结论：

⑴若/(工)无最大值，而有上确界，这时要使/(x)<g(〃)恒成立，只需"曰,g(a).

⑵若无最小值，而有下确界M卜.，这时要使/(x)>g(a)恒成立，只需

确界通俗地说就是，知道函数不会超过某个值(这个值其实就是确界)，但就是在定义域内

取不到这个值，举个【例】子：

在xe(l,2)/(x)=x+l>fl恒成立，求a的取值范围.「x取不到1,但/(x)为单调递皑

/./(x)>/(l)=2，即2就是/(力的下确界，于是我们可以得到”,2.

可以简单地理解为确界就是函数取不到的最值，需要用极限来逼近，下面举例子来说明.

【例1】设函数=-1-1一0^,尤.0时求。的取值范围.

分析:由/("..。对所有的x.O成立，可得

⑴当工=0时,aeR.

(2)当工>()时,④“一：一1

x

设g(x)=乙二二1.把问题转化为求w(X)的最小值或下确界.

•X

,/X-2xeX+X2+2x人，/\，Tc*•2r

g(x)=---------------------------,令〃(x)=x-e-2xe+x-+2x,

贝ji/f(x)=x2el-2e'+2x+2,x>0.

又〃(力的二阶导数h"(x)=2xex+_2/+2/z(x)的三阶导数hm(x)=ex(x2+4x)>0,

・・•/f(x)是增函数..•"(x)>/;w(0)=0.A//(x)增函数..•/*)>1(0)=0Z/(x)是增函数.

/.h(x)>A(0)=0,从而>0,于是g(x)在(0,+8)上单调递增，故g(x)无最小值.

此时，由于g(0)无意义，分析可知g(x)是有下确界的，运用极限表述为：8(«)>limg(x),关键

是这个极限值或者说确界如何求出呢?这就是本章的重点:洛必达法则.

由洛必达法则即可得limg(%)=lim-——--=lim-——-=iim—.

,

KT''XTO"x.v->o2xv-*o*22

II，「

故X>0时,-，因而一，综上知。的取值范围为.

722I2」

那什么是洛必达法则呢？

洛必达法则

(一)《型不定式

定理1设函数满足下列条件：

(1)lim/(%)=0,limF(x)=0.

⑵/(x)与产(工)在飞的某一去心邻域内可导，且r(x)*o.

⑶lim与?存在(或为无穷大)，则lim=lim.

F(X)1/r(A)XTRF(x)

【例1】计算极限lim^e1.

x

【解析】该极限属于2型不定式,于是由洛必达法则得==

0TXf1

(二)2■型不定式

00

定理2设函数/(x),2(x)满足下列条件：

(1)lim/(x)=cojimF(x)=oo.

IQI",

⑵/(.r)与F(x)在小的某一去心邻域内可导，且r(x)*0.

⑶lim与斗存在(或为无穷大)，

F(X)

l/(x)..f'(x)

则mihrm—=lim—.

F(x)-%F(x)

【例2】计算极限lin】：

Kf田

【解析】所求问题是土型不定式，连续八次实行洛必达法则，有

00

x"nxn~'1)尸m

lim—=lim=lim——-——=lim—=0.

x->4-xe*XT”e*,V-»-KOe*—

使用洛必达法则时必须注意以下几点：

(1)洛必达法则只能适用于9型和艺型的不定式，其他的不定式须先化简变形成9型或？型

0oo0co

才能运用该法则.对于8-00型与0.8型的未定式,可通过通分或者取倒数的形式化为基本形

式.对于o°型,产型与8°型的未定式，可通过取对数等手段化为°型或艺型未定式.

0oo

⑵只要条件具备，就可以连续应用洛必达法则.

(3)洛必达法则的条件是充分的，但不必要，因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在.

洛必达法则求参数取值范围

洛必达法则求参数取值范围的一般步骤和前面参变分离的解题步骤一致，只不过是最后无

法直接求解最值，只能用洛必达法则求解确界.

［例1］已知函数1)一加，当T.0时，/(%)-。，求4的取值范围.

【解析】证明第一步:分类讨论渗变分离.当x.O时,/(x)..O,即

①当x=0时,〃wR.

②当x>0时,⑷2等价于e'-L⑷，即a,上」.

第二步:构造函数，求导，并把分了•提出，再次构造函数，求导并研究出原函数单调性.

记g(x)=^^,工40,+8),则“(%)=(，1)；+1.

AX

记万(%)=(x-l)e，+l,xe(0,+oc),

则〃(x)=xe*>0,

因此〃(x)=(x—l)e'+l在(0,+8)上单调递增，且〃(力>方(0)=0,/./("=绰>0,

X

从而g(A-)-一在(0,十8)上单调递增.

第三步:利用洛必达法则求出函数下

X_1X

确界.limg(X)=lim—二=lim—=1,

x-^)\'.v-»0xx-*0I

即当％->0时,g(x)f1即有%1.

综上所述，当a剌"0时,/(x)..0成立.

【例2】设函数/3=1-"二设当x.O时,/(力”」一，求a的取值范围.

【解析】证明第一步:必要性讨论，缩小参数范围.

由题设x..O,此时/(x)..O.

①当”0.时，若x>」,贝Jx<0,/(x)„x不成立.

aat+1ar+l

②当a..0时，当x.0时，f(x),,—-—，即.1-e'弟0―--1—1—■—.

ax+lav+lax+\

若x=0,则awR.

第二步:不等式等价变化并参变分离.

xx

若x>0,则1—x等价于-1-—--d-~-”——1，即为皆xe一—^—+1.

ar+1xax+\xe-x

第三步:构造函数，并因式分解，把部分因式提出，单独构造函数，并多次求导，结合特殊值最终确

定原函数的单调性.

v2r2vv

.、.re—e'+1,,、e—xe—2e+1e'(Av2Ar\

记g(x)=——-----，则g'(R)=---=--~~7e-x-2+e-)

依r(xe、-”Gev-AV

记力(x)=e"—-2+e~r,贝ij/?*(%)=ev-2x-=ev+e-'-2>0.

因此,"(x)=e-2x-ex在(0,-boo)上单调递增，且〃'(0)=0,"(X)>0,即h(x)在

(0,+oo)上单调递增，且/?(0)=0,/.h(x)>0.

因此g'(x)=---------7xh{x}>0，

(xcx-X?

g(x)在(0,+8)上单调递增.

第四步:利用洛必达法则求出函数下确界.

vvvv

../\xe-e+l..xe..e+je'1HnsI,、八x1

InnP(X)=hm--------------=lim---------------=lim-------------=一，即当x—>0时,g(x)—>—,

A->()xrxx

i)疣「xe+xe-l-o2e+xe22

即有g5)>；,

「.4，综上所述,a的取值范围是1-8-

2I2

【例3】若不等式sinx>x-加1对于x£（0,恒成立，求a的取值范围。

【解析】第一步:参变分离.

当/e（0,5）时，原不等式等价于a>忙詈

第二步:构造函数，求导，并提取分子单独构造,多次求导结合特殊值得出原函数单调性.

记/。）=弓u,则八处=3sinx-xcosx-2x

JT

记g(x)=3sinx7cosx-2x,

则gf(x)=2cosx+xsinx-2,g〃(x)=xcosx-sinx,g(x)=-xsinx<0,

J.g〃(X)在(0,^)上单调递减，旦g〃(.Y)

・••g'(外在(o,5)上单调递减，且g'(x)<0.

因此g(x)在(o，］)上单调递减，且g。)<0

故f(x)=军<0,因此/(X)=X—；nx在(0马上单调递减.第三步:利用洛必达法则

riTIY?IJWrP93I,ri\v工—Sin工..1—COSXSinA,..COSX1

可得函数上确界.hm/(x)=hm--；—=lim------；—=lim----=lim-----=-,

10XTOx103厂…6x366

即当x-0时,g(x)->L即有/(x)<L

66

故时,不等式sinx>x-ax},对于xe恒成，立•

v

[例4]已知函数/(尤)=/+《a2+〃(+/,当。=一1时若都有/*),,e

恒成立，求〃的取值范围.

【解析】当x<0时,/一/+"+],,"恒成立，等价于屋、一一十--1恒成立.

X

令g⑶二二31,则

XX

再令h(x)=e、-2/一X一I.由h