第15章 轴对称全章培优测试卷（必考点分类集训）（人教版新教材）（教师版）-人教版(2024)八上

第十五章轴对称全章培优测试卷【人教版新教材】（考试时间：120分钟试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。2．本卷聚焦全章基础考点与重难点，旨在检测所学内容掌握程度。第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（3分）博物馆是历史的见证者和收录者，是人们直观感受历史脉络，提升历史认知的重要场所．以下四个博物馆标识，其文字上方的图案不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．【解答】解：A、C、D的图案均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；B选项的图案中不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．故选：B．2．（3分）若点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），关于y轴的对称点为P2（4﹣b，b+2），则P点的坐标为（）A．（9，3） B．（﹣9，3） C．（9，﹣3） D．（﹣9，﹣3）【分析】点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），则点P的坐标是（2a+b，a﹣1），点P关于y轴的对称点为P2（4﹣b，b+2），则的P的坐标是（b﹣4，b+2），因而就得到关于a，b的方程组，从而求出a，b，得出点P的坐标．【解答】解：根据题意得：2解得：a∴P点的坐标为（﹣9，﹣3）．故选：D．3．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，若BE＝5，FC＝3，则EF长是（）A．10 B．9 C．8 D．7【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义可得∠BOE＝∠OBE，∠OCF＝∠COF，从而得到BE＝OE，CF＝OF，进而得到EF＝BE+CF．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠BOE＝∠OBC，∠COF＝∠OCB（两直线平行，内错角相等），∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBE＝∠OBC，∠OCF＝∠OCB，∴∠BOE＝∠OBE，∠OCF＝∠COF，∴BE＝OE，CF＝OF（等角对等边），∴EF＝OE+OF＝BE+CF＝5+3＝8，故选：C．4．（3分）已知：如图△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，在直线BA上找一点D，使△ACD或△BCD为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（）A．7个 B．6个 C．5个 D．4个【分析】分△ACD或△BCD为等腰三角形两种情况画出图形即可判断．【解答】解：如图：当BC＝BD时，△BCD是等腰三角形；∵∠CBA＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝BD＝CD；当BC＝BD1时，△BCD是等腰三角形；当AC＝AD2＝AD3，CA＝CD4，当CD5＝D5A时，△ACD都是等腰三角形；综上，符合条件的点D的个数有6个．故选：B．5．（3分）如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（）A．60° B．75° C．70° D．90°【分析】根据等边对等角，结合三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，进行求解即可．【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°，∴∠A＝∠ACB＝15°，∠CBD＝∠CDB，∠DCE＝∠CED，∠EDF＝∠EFD，∴∠CDB＝∠CBD＝∠A+∠BCA＝30°，∴∠DEC＝∠DCE＝∠A+∠CDA＝15°+30°＝45°，∴∠EFD＝∠EDF＝∠A+∠AED＝60°，∴∠DEF＝180°﹣∠EFD﹣∠EDF＝180°﹣60°﹣60°＝60°；故选：A．6．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（）A．5 B．6 C．8 D．10【分析】先设BD＝x，则CD＝10﹣x，根据△ABC是等边三角形得出∠B＝∠C＝60°，求出∠BDE＝30°，∠CDF＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出CF和CF，再相加即可．【解答】解：设BD＝x，则CD＝10﹣x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BDE＝30°，∠CDF＝30°，∴BE=12同理可得，CF=10-∴BE+CF=x2故选：A．7．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】过点P作PC⊥OB，如图所示，先由等腰三角形三线合一的性质可知，PC⊥OB，CM=CN=12MN=1【解答】解：过点P作PC⊥OB，∵PM＝PN，MN＝2，∴CM=在Rt△POC中，∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∵OP＝8，∴OC=∴OM＝OC﹣CM＝4﹣1＝3，故选：B．8．（3分）如图，点P是∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点是M、N，直线MN交OA、OB于点C、D，若MN＝8cm，且∠AOB＝30°，则△MON的周长是（）A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm【分析】根据轴对称的性质的得到OP＝OM，OP＝ON，∠AOP＝∠AOM，∠BOP＝∠NOB，则OM＝ON，由∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝30°，得到∠MON＝60°，则△MON是等边三角形，由此即可求解．【解答】解：如图所示，连接OP，∵点P关于OA、OB的对称点是M、N，∴OP＝OM，OP＝ON，∠AOP＝∠AOM，∠BOP＝∠NOB，∴OM＝ON，∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝30°，∴∠AOM+∠BON＝30°，∴∠MON＝60°，∴△MON是等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝8cm，∴8×3＝24（cm），即△MON的周长是24cm，故选：D．9．（3分）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，Q．若BC＝10，QP＝2，则△AQP的周长为（）A．8或14 B．12或10 C．8或10 D．10或14【分析】根据线段垂直平分线的性质可得：AP＝BP，AQ＝QC，分两种情况：点P在点Q左侧或点P在点Q的右侧，根据三角形的周长公式求解即可．【解答】解：如图所示：由线段垂直平分线性质可知AP＝BP，AQ＝QC，∴△AQP的周长＝AP+AQ+PQ＝BP+QC+PQ＝BC＝10；如图所示：由线段垂直平分线的性质可知AP＝BP，AQ＝QC，∴△AQP的周长＝AP+AQ+PQ＝BP+QC+PQ＝BP+CP+PQ+PQ＝BC+2PQ＝10+4＝14，综上所述，△AQP的周长为10或14，故选：D．10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APQ的度数为（）A．22° B．34° C．56° D．68°【分析】在BC上截取BE＝BQ，连接PE，利用SAS可证得△BQP≌△BEP，于是可得PQ＝PE，∠BPQ＝∠BPE，根据垂线段最短可知，当点A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE的值最小，即AP+PQ的值最小，然后根据各角之间的和差关系即可求出结果．【解答】解：在BC上截取BE＝BQ，连接PE，如图所示：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD在△BQP和△BEP中，BQ=∴△BQP≌△BEP（SAS），∴∠BPQ＝∠BPE，PQ＝PE，∴AP+PE＝AP+PQ∵垂线段最短，∴当点A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE的值最小，即AP+PQ的值最小，∠AEB＝90°，∵∠CBD＝34°，∴∠BPE＝90°﹣34°＝56°，∴∠BPQ＝∠BPE＝56°，∴∠APQ＝180°﹣∠BPQ﹣∠BPE＝180°﹣56°﹣56°＝68°，故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）已知点A（m+2，﹣3），B（﹣2，n﹣4）关于x轴对称，则（m+n）2＝9．【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得出m+2＝﹣2，n﹣4﹣3＝0，即可求出m、n的值，再根据有理数的乘方运算法则计算即可．【解答】解：∵点A（m+2，﹣3），B（﹣2，n﹣4）关于x轴对称，∴m+2＝﹣2，n﹣4﹣3＝0，∴m＝﹣4，n＝7，∴（m+n）2＝（﹣4+7）2＝32＝9，故答案为：9．12．（3分）如图是由两个阴影的小正方形组成的图形，请你在空白网格中补画一个阴影的小正方形，使补画后的三个阴影图形为轴对称图形，共有5种画法．【分析】根据轴对称图形的性质作出图形即可求解．【解答】解：根据轴对称图形可作如图所示：共有5种画法，故答案为：5．13．（3分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠DAC＝2∠B，CE是AD的垂直平分线．若AD＝4，AC＝6，则BC的长为10．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DC＝AC＝6，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠ADC，根据三角形的外角性质得到∠DAB＝∠B，得到BD＝AD＝4，计算即可．【解答】解：∵CE是AD的垂直平分线，∴DC＝AC＝6，∴∠DAC＝∠ADC，∵∠DAC＝2∠B，∴∠ADC＝2∠B，∵∠ADC＝∠B+∠DAB，∴∠DAB＝∠B，∴BD＝AD＝4，∴BC＝BD+DC＝4+6＝10，故答案为：10．14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于点D，若AD＝2，则BD的长度为6．【分析】利用含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°＝∠ACB，∴∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A，∵∠B＝30°，∴∠ACD＝30°，AB＝2AC，∴AC＝2AD＝4，∴AB＝8，∴BD＝AB﹣AD＝6．故答案为：6．15．（3分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，D在BC边上，且△ABD是等腰三角形，则∠ADB的度数为40°或70°或100°．【分析】先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：∠B＝∠C＝40°，然后分三种情况：当AB＝AD时；当BA＝BD时；当DB＝DA时；分别进行计算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C=180°-∠BAC分三种情况：当AB＝AD时，此时点D与点C重合，∴∠ADB＝∠ACB＝40°；当BA＝BD时，如图：∴∠BAD＝∠BDA=180°-∠B当DB＝DA时，如图：∴∠B＝∠BAD＝40°，∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝100°；综上所述：∠ADB的度数为40°或70°或100°，故答案为：40°或70°或100°．16．（3分）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形．其中正确的是①③．（填序号）【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质可得∠BAD的度数，再根据三角形内角和定理可得∠ABD的度数，再根据等腰三角形的性质可知∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，可判断①选项；根据∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∠ABO与∠DBO不一定相等，即可判断②选项；先求出∠APC+∠DCP的度数，再求出∠OPC+∠OCP的度数，即可求出∠POC的度数，再根据OP＝OC，即可判断③选项．【解答】解：①连接OB，如图1所示：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD=12∠∵∠BAC＝120°，∴∠BAD=12×120°∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°，∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故①选项正确；②由①可知，∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵点O是线段AD上一点，∴∠ABO与∠DBO不一定相等，∴∠APO与∠DCO不一定相等，故②选项不正确；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，∵∠APO+∠DCO＝30°，∴∠OPC+∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形，故③选项正确，故答案为：①③．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）在等腰三角形ABC中，AB＝22，BC＝10，AC＝2m+2．求△ABC的周长及m的值【分析】分AC＝10和22两种情况利用三角形的三边关系验证后求得等腰三角形的周长即可．【解答】解：当AC＝10时，10+10＜22，不能组成三角形；当AC＝22时，22+10＞22，可以组成三角形，可得2m+2＝22，解得m＝10，△ABC的周长为10+22+22＝54．18．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，以及与△ABC关于y轴对称的△DEF；（2）求出△ABC的面积；（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为2，求点P的坐标．【分析】（1）根据坐标先描出A，B，C三点，再顺次连接即可，再确定A，B，C关于y轴对称的对应点D，E，F，再顺次连接即可；（2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可；（3）设P点坐标为（t，0），由△ABP的面积为3，可得12【解答】解：（1）如图，△ABC和△DEF为所作；（2）S△（3）设P点坐标为（t，0），∵△ABP的面积为2，∴12解得t＝﹣2或6，∴P点坐标为（﹣2，0）或（6，0）．19．（8分）如图，已知△ABC，点P为BC上一点．（1）尺规作图：作直线EF，使得点A与点P关于直线EF对称，直线EF交直线AC于E，交直线AB于F；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接PE，AP，AP交EF于点O，若AP平分∠BAC，请在（1）的基础上说明PE＝AF．【分析】（1）连接AP，作线段AP的垂直平分线，交AC于E，交AB于F，连接EF即可；（2）由（1）中作图可知EF⊥AP，AE＝PE，再证明△AOF≌△AOE，得到AF＝AE，即可证明PE＝AF．【解答】解：（1）如图，直线EF即为所作图形；（2）∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP，由（1）可知：EF垂直平分AP，∴EF⊥AP，AE＝PE，在△AOF和△AOE中，∠OAF＝∠OAE，AO＝AO，∠AOF＝∠AOE＝90°，∴△AOF≌△AOE（ASA），∴AF＝AE，∴AF＝PE．20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，AD∥BC，连接CD．（1）求证：△ACD等腰三角形；（2）若∠BAC＝100°，求∠BDC的度数．【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明∠ABD＝∠ADB，得出AB＝AD，根据AB＝AC，得出AC＝AD，即可证明结论；（2）根据等腰三角形的性质，三角形内角和求出∠ABC＝∠ACB＝40°，根据平行线的性质得到∠CAD＝40°，根据BD平分∠ABC得到∠ABD＝∠DBC＝20°，根据等边对等角得到∠ABD＝∠ADB＝20°，∠ACD＝∠ADC＝70°，进而计算即可求出结果．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∵AB＝AC，∴AC＝AD，∴△ACD为等腰三角形．（2）解：∵∠BAC＝100°，AB＝AC，∴∠ABC∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝20°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝20°，∵AC＝AD，∴∠ACD∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝70°﹣20°＝50°．21．（8分）如图，在等边△ABC中，D为射线BA上一点，过D作DE∥BC交射线CA于点E，点F为AB边上一点，BF＝DE，过F作FH⊥CE，垂足为点H．（1）求证：DF＝BC；（2）求证：H为CE中点．【分析】（1）证明△ADE是等边三角形得DE＝AD＝AE，再根据已知得BF＝DE＝AD，由此即可得出结论；（2）连接FE，FC，证明△CFB和△FED全等得FC＝FE，然后再根据等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，∵DE∥BC，∴∠B＝∠D＝60°，∠E＝∠C＝60°，∴∠D＝∠E＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝AE，又∵BF＝DE，∴BF＝AD，∴DF＝AD+AF＝BF+AF＝AB，∵AB＝BC，∴DF＝BC；（2）连接FE，FC，如图所示：在△CFB和△FED中，BF=∴△CFB≌△FED（SAS），∴FC＝FE，∵FH⊥EC，∴CH＝EH，即H为CE中点．22．（10分）在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．（1）求证：∠BCD＝2∠CBE；（2）若△BDF是等腰三角形，请你直接写出∠A的度数．【分析】（1）设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，根据AB＝AC得∠ABC＝∠ACB＝90°﹣α，进而得∠A＝2α，由此即可得出结论；（2）由（1）知∠CBE＝α，∠BCD＝∠A＝2α，∠ABC＝∠ACB＝90°﹣α，再分别求出∠BFD＝3α，∠DBF＝90°﹣2α，∠BDF＝90°﹣α，则∠BDF＞∠DBF，因此当△BDF是等腰三角形时，有以下两种情况：①当BD＝BF时，则∠BDF＝∠BFD，进而得90°﹣α＝3α，由此解出α可得∠A的度数；②当BD＝DF时，则∠DBF＝∠BFD，进而得90°﹣2α＝3α，由此解出α可得∠A的度数，综上所述即可得出答案．【解答】（1）证明：设∠CBE＝α，∵BE⊥AC，∴∠ACB＝90°﹣α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣2α，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝2α，∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD＝2α，∴∠BCD＝2∠CBE；（2）解：由（1）知：∠CBE＝α，∠BCD＝∠A＝2α，∠ABC＝∠ACB＝90°﹣α，∵BFD是△BCF的一个外角，∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝3α，∵BE⊥AC，∠A＝2α，∴∠DBF＝90°﹣∠A＝90°﹣2α，又∵∠BDF＝180°﹣（∠ABC+∠BCD）＝180°﹣（90°﹣α+2α）＝90°﹣α，∴∠BDF＞∠DBF，∴当△BDF是等腰三角形时，有以下两种情况：①当BD＝BF时，则∠BDF＝∠BFD，∴90°﹣α＝3α，解得：α＝22.5°，∴∠A＝2α＝45°；②当BD＝DF时，则∠DBF＝∠BFD，∴90°﹣2α＝3α，解得：α＝18°，∴∠A＝2α＝36°，综上所述：∠A的度数是45°或36°．23．（10分）（1）已知△ABC，△CDE均为等边三角形．①如图1，求证：△BCD≌△ACE；②如图2，连接AE并延长至点N，使得AN＝2AE，连接BD并延长至点M，使得BM＝2BD，连接CM、CN、MN．猜想△CMN的形状，并证明；（2）如图3，等腰△ABC中，∠A＝120°，BD，CE为△ABC的中线．延长BD至M，使得BM＝2BD，延长EC至N，使得EN＝2EC，连接CM、MN．证明：CM⊥MN．【分析】（1）①可推出∠BCD＝∠ACE，AC＝BC，CE＝CD，从而得出结论；②由①知：△BCD≌△ACE，从而∠CBD＝∠CAE，BD＝AE，进而证得△ACN≌△BCM（SAS），从而∠BCM＝∠ACN，CM＝CN，从而推出∠MCN＝∠BCA＝60°，从而△CMN是等边三角形；（2）延长AC至F，使CF＝AC，连接FM，MN，延长BC交FM于点G，连接NG，可推出△ABD≌△CMD，从而CM＝AB，∠A＝∠DCM，从而CM∥AB，CM＝AC＝CF，进而证得△CFM是等边三角形，从而∠CMF＝∠CFM＝60°，FM＝CM＝CF，GM＝FG=12FM，同理可得△FCN≌△ACE，从而得出∠CFN＝∠A＝120°，FN＝AE=12AB=12AC=12CF=12FM，进而得出△GFN是等边三角形，从而得出∠FGN＝60°【解答】（1）①证明：∵△ABC，△CDE均为等边三角形．∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE（SAS）；②解：△CMN是等边三角形，理由如下：由①知，△BCD≌△ACE，∴∠CBD＝∠CAE，BD＝AE，∵AN＝2AE，BM＝2BD，∴AN＝BM，∵AC＝BC，∴△ACN≌△BCM（SAS），∴∠BCM＝∠ACN，CM＝CN，∴∠ACM﹣∠ACM＝∠ACN﹣∠ACM，∴∠MCN＝∠BCA＝60°，∴△CMN是等边三角形；（2）证明：如图，延长AC至F，使CF＝AC，连接FM，MN，延长BC交FM于点G，连接NG，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∴∠FCG＝∠ACB＝30°，∵D是AC的中点，∴AD＝CD，∵DM＝BD，∠CDM＝∠ADB，∴△ABD≌△CMD（SAS），∴CM＝AB，∠A＝∠DCM，∴CM∥AB，CM＝AC＝CF，∴∠MCG＝∠ABC＝30°，∴∠FCM＝∠MCG+∠FCG＝60°，∴△CFM是等边三角形，∴∠CMF＝∠CFM＝60°，FM＝CM＝CF，GM＝FG=12同理可得，△FCN≌△ACE，∴∠CFN＝∠A＝120°，FN＝AE=12AB∴∠MFN＝∠CFN﹣∠CFM＝60°，FN＝FG，∴△GFN是等边三角形，∴∠FGN＝60°，GN＝FG＝GM，∴∠GMN＝∠GNM，∵∠GMN+∠GNM＝∠FGN＝60°，∴∠GMN＝∠GNM＝30°，∴∠CNM＝∠CMF+∠GMN＝60°+30°＝90°，∴CM⊥MN．24．（12分）在等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点．（1）如图1，连接BE，若AD＝6，△BEC的周长为19，直接写出BC的长；（2）若AF是△ABC的中线．①如图2，AF交DE于点O，若∠BAC＝30°，求证：EC＝2OD+OE；②如图3，M是AF的中点，N是射线BF上的动点，连接MN，作等边△MNP，连接AP，若AF＝11，直接写出AP的最小值．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得：AE＝BE，AD＝BD，再由AB＝AC和三角形的周长可得BC的长；（2）①如图2，在直线DE上截取DM＝DO，连接AM，BM，BE，根据线段垂直平分线的性质可得：AM＝BM，AE＝BE，∠BDE＝90°，由等腰三角形三线合一的性质得：∠BAF＝∠CAF＝15°，再证明△BCE≌△BME（AAS）即可解答；②解法一：如图3，以FM为边向右作等边△FMK，作直线PK交AF的延长线于G，交射线BF于点Q，在QP上取一点H，在射线BF上取一点D，使PH＝ND，连接DH，先确定点P的运动轨迹是：当等边△MNP在AF的右边时，点P在射线GH上运动，当AP⊥PG时，AP的长最小，从而可以解答．