第17章 因式分解（5大易错+易错训练）（知识清单）（解析版）-人教版(2024)八上

第十七章因式分解知识点01因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。需注意分解对象是多项式，结果必须是积的形式且因式为整式，是恒等变形，还要分解到每个因式都不能再分解为止，它与整式乘法是互逆变形。知识点02因式分解的方法1.提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)。确定公因式时，系数取多项式各项系数的最大公约数，字母取各项中都含有的相同字母，相同字母的指数取各项中最小的一个。2.公式法：平方差公式为a2-b2=(a+b)(a-b)，适用于两项、符号相反、均为平方形式的多项式；完全平方公式为a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2，适用于三项、含两个平方项、中间项为两倍乘积的多项式。3.十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)。知识点03因式分解的步骤可概括为“一提、二套、三查”。首先看多项式的各项是否有公因式，若有则先提取公因式；然后在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数，两项式可尝试运用平方差公式分解因式，三项式可尝试运用完全平方公式或十字相乘法分解因式，四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；最后检查分解是否彻底，必须分解到每一个因式都不能再分解为止。知识点04因式分解的应用因式分解在简化运算、代数式求值、实际问题建模等方面有重要应用，例如在计算一些复杂的数值时，通过因式分解可以将式子化简，从而更方便地进行计算。易错一、已知因式分解的结果求参数易错点总结1.

符号问题：忽略括号内的负号，导致平方差或完全平方公式应用错误。2.

漏项：提取公因式后，括号内漏掉了系数为1或-1的项。3.

公因式提取不彻底：只提取了字母部分，忘记系数的最大公约数。4.

公式混淆：完全平方公式与平方差公式混用，特别是中间项的处理。解题技巧1.

待定系数法：设出原式，展开后与已知多项式比较系数，建立方程求解参数。2.

赋值法：给字母赋一个简单值（如0或1），代入等式两边求解参数。3.

利用恒等变形：利用因式分解与整式乘法的互逆关系，将分解结果乘开，再对比原式系数。例题1．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为，得，则解得：∴另一个因式为，m的值为．问题：仿照以上方法解答下面问题：(1)若，则______；(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值．(3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．【答案】(1)(2)，另一个因式是(3)，另一个因式是【分析】本题考查了因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算．（1）将，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解，（2）设另一个因式为，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解，（3）设另一个因式是，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解．【详解】（1）解：，，，，故答案为：；（2）解：设另一个因式为，则，，解得，，另一个因式是；（3）解：设另一个因式是，则，则，解得，，另一个因式是．易错二、因式分解要彻底分解易错点总结1.

提取公因式不彻底：只提取了字母部分，忽略了系数的最大公约数。2.

分解后括号内仍可分解：分解结果中的某个因式本身还能继续分解。3.

混淆分解终点：误以为只要用了公式就分解彻底了，没有进行最终检查。解题技巧1.

"一提再提"：提取公因式后，立即检查括号内的多项式是否还有公因式。2.

优先提公因式：无论后续使用什么公式，都先检查并提取所有项的公因式。3.

养成检查习惯：分解完成后，逐项检查每个因式是否还能继续分解。例题2．因式分解(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查了因式分解，利用了平方差公式，完全平方公式，结合提公因式法求解；（1）提公因式法结合平方差公式，可分解因式；（2）根据完全平方公式，可分解因式．【详解】（1）解：（2）解：．易错三、十字相乘法因式分解易错点总结1.

符号处理不当：当常数项为负数时，容易把两个因数的符号搞混。2.

漏看系数：只分解常数项，忽略了二次项系数不是1的情况。3.

验证步骤缺失：凑出数字后，忘记交叉相乘再相加来验证是否等于一次项系数。解题技巧1.

先提后叉：先检查多项式各项是否有公因式，如有先提取，再用十字相乘法。2.

列表尝试：将常数项分解成两个因数，列出所有可能组合，再逐一验证。3.

二次项系数分解：当二次项系数不为1时，将其也分解，然后交叉组合尝试。例题3．等式是数学学习中常见的代数模型．(1)利用多项式的乘法法则推导这个等式；(2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）；(3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．例如：分解因式2．．《十字相乘法分解因式》先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图）这样，我们也可以得到．请根据上述方法，将多项式分解因式．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，因式分解．（1）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可；（2）画出图形，根据面积的不同求法证明即可；（3）仿照题中给出的方法分解因式即可．【详解】（1）解：根据多项式的乘法：；（2）解：如图所示为所画的图形，大长方形的面积有两种表示方法：一种整体表示为：长宽，另一种是四块小长方形面积之和：，即；（3）解：如图，∴．易错四、分组分解法因式分解易错点总结1.

分组无目的：盲目分组，未考虑分组后能提取公因式或用公式。2.

符号错误：分组后去括号时，忽略括号前的负号，导致项的符号出错。3.

分解不彻底：分组分解出部分因式后，未检查整体是否还能继续分解。解题技巧1.

目标导向分组：按“能提公因式”或“能用公式”的原则分组（如二二分组、一三分组）。2.

符号预处理：分组前若有负项，先提取负号，再调整项的顺序后分组。3.

分步检查：每一步分解后，检查所有因式是否还能进一步分解。例题4．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答，同学们经过小组活动交流，得到了如下答案：（1）（分成两组）（提公因式）（提公因式）（2）（分成两组）（运用公式）（运用公式）请在她们的解法启发下解答下面各题：(1)因式分解：；(2)若，求的值；(3)若的三边，，满足，则是什么三角形？【答案】(1)(2)(3)等腰三角形【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分组分解法，是解题的关键：（1）利用分组分解法，进行因式分解即可；（2）利用分组分解法，进行因式分解，整体代入法求值即可；（3）利用分组分解法，进行因式分解，得到，进而得到，即可得出结论．【详解】（1）解：；（2）解：；当时：原式；（3）解：、、为的三边即；为等腰三角形．易错五、因式分解的应用易错点总结1.

思路僵化：遇到化简、求值或证明题时，想不到可以用因式分解来解决。2.

公式用错：在应用中，因为紧张或不熟练，导致因式分解的公式用错，比如符号出错。3.

分解不彻底：在解题过程中，因式分解没有进行到最后一步，导致结果出错。解题技巧1.

观察特征：看到多项式求值、整除问题或复杂的分数化简时，优先考虑因式分解。2.

先分解再代入：对于代数式求值，先将式子因式分解，再代入数值计算，会更简便。3.

利用整除性：在解决整除或余数问题时，可通过因式分解，将式子表示成要求的因数形式。例题5．阅读材料：若，求m、n的值．解：∵，∴，，∴且，∴．根据你的观察，探究下面的问题：(1)，则_____，______；(2)已知，求的值；(3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长．【答案】(1)1，0(2)4(3)11【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，三角形三边关系，根据三角形三边的关系得到的范围，熟练掌握是解题的关键．（1）根据配方法和非负数的性质求解；（2）根据配方法和非负数的性质求出，代入代数式求值即可；（3）根据配方法和非负数的性质求出：，，根据三角形三边的关系得到c的范围，根据c是正整数得到c的值，从而得到周长的值．【详解】（1）解：∵，，∴，，∴，，故答案为：1，0；（2）解：∵，，即，则，，解得，；（3）解：∵，，，则，，解得，，∵，即，且c是正整数，∴，即三角形三边分别为1，5，5，∴的周长为．一、单选题1．分解因式的结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据因式分解排除选项．【详解】解：；故选：D．2．多项式因式分解的正确结果是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了因式分解的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．将二次三项式因式分解，需找到两个数使其积为常数项，和为一次项系数，逐项验证即可．【详解】解：分解条件：设分解形式为，需满足：，，寻找整数解：可能的因数组合为：和（和为，积为），验证选项：选项B：，展开得，与原式一致，其他选项均不符合条件，故选：B．3．已知多项式可因式分解为，则的值为（

）．A．3 B．2 C．1 D．【答案】A【分析】本题考查了因式分解以及多项式乘法法则，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．将多项式分解后的形式展开，与原式比较对应项的系数，解方程确定m的值即可．【详解】解：，多项式可因式分解为，，，，故选：A．4．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别表示枣、爱、我、庄、丽、美．现分解因式，结果呈现的密码信息可能是（

）A．我爱美丽 B．美丽枣庄 C．我爱枣庄 D．枣庄美丽【答案】C【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．先进行因式分解，找出依次表示的字，即可求解．【详解】解：原式，依次呈现的字是：我、爱、庄、枣，结果呈现的密码信息可能是：我爱枣庄，故选：C．二、填空题5．分解因式：．【答案】【分析】本题考查了因式分解，综合利用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：．故答案为：．6．若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则的值为．【答案】【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当时，的值也为0，则，解之即可得到答案．【详解】解：∵多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，∴当时，的值也为0，∴当时，的值也为0，∴，∴，故答案为：．7．已知的三边长分别为，，；试判断是数（填“正”或“负”）．【答案】负【分析】此题主要考查因式分解的应用及三角形的三边关系．把代数式因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．【详解】解：，因为为三角形三边长，所以，，所以，即原式为负．故答案为：负．8．分解因式：．【答案】【分析】本题考查因式分解，先分组，再运用完全平方公式与平方差公式相结合求解即可．【详解】解：．故答案为：．三、解答题9．分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式，熟练掌握十字乘法分解因式是解决本题的关键．（1）直接利用十字乘法分解因式即可；（2）直接利用十字乘法分解因式即可．【详解】（1）解：；（2）解：．10．把下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．（1）直接利用平方差公式进行分解即可；（2）先提公因式，再利用平方差公式进行分解即可；（3）利用平方差公式进行分解即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．11．两个差为2的正整数的积与1的和总是一个正整数的平方．(1)是正整数______的平方；(2)设较小的一个正整数为，写出这两个正整数的积与1的和，并说明它是一个正整数的平方；(3)两个差为12的正偶数，设较小的数为（为正整数），若它们的积与常数的和是一个正整数的平方，求的值．【答案】(1)3(2)见解析(3)【分析】本题主要考查的是完全平方式的应用，把所求代数式合并成完全平方式的形式是解答此题的关键．（1）根据有理数的混合运算进行计算即可求解；（2）用代数式把连续的正整数表示出来，按照题中给出的关系列出式子，进行验证，只要会把最后形式写成一个完全平方式的形式就能证明此结论；（3）可根据此结果是平方数求出常数的值．【详解】（1）解：∵；∴是3的平方；（2）解：设较小的正整数为，则另一个正整数为，这两个数的积与1的和为，∴，∴原式为正整数的平方．（3）解：设较小的正偶数为，则另一个正偶数为，它们的积与常数a的和为，∴，由配方法可知，∴，原式．综上：．12．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）．第一步：二次项；第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；

第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项．即．像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．运用结论：(1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________；(2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值．【答案】(1)(2)图见解析，，，，16【分析】（1）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可；（2）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可．【详解】（1）解：，常数项，，，故答案为：；（2）解：，常数项，画“十字图”如下：

，，，16．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键．13．因式分解：解：令．(解题过程将“”看成整体的“整体思想”是数学学习中常见的一种思想方法．)则原式将代入得：原式(1)仿照上述方法因式分解：(2)若为正整数，说明代数式的值为一个整数的平方．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是根据示例的整体思想解决问题．（1）令，代入式子得；（2），令，原式，据此证明．【详解】（1）解：令，；（2），令，原式，所以代数式的值为一个整数的平方．14．仔细阅读下面例题，并解答问题．例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值．解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为．(1)若二次三项式可分解为，则______；(2)若二次三项式可分解为，则______；(3)依照以上方法解答