2026年高考数学复习难题速递之一元函数导数及其应用（2025年11月）

第54页（共54页）2026年高考数学复习难题速递之一元函数导数及其应用（2025年11月）一．选择题（共8小题）1．已知函数f（x）＝ex+（x﹣a）2﹣1，若f（x）有零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，4] C．(-∞，ln(222．设n为正整数，且n≥2，an=n10，bn＝log2n，cn＝λan+（1﹣λ）bn．若对任意的λ∈[0，1]，长为an、bn、cn的线段均能构成三角形的三边，则满足条件的A．3 B．4 C．5 D．63．若正实数a，b满足a＞b，且lna•lnb＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．logab＜0 B．a-C．2ab+1＜3a+b D．ab﹣1＜ba﹣14．已知函数f（x）＝ex+ax+b存在不小于0的极小值，其中a，b都是实数，则（）A．b的最小值为﹣e B．a﹣b的最大值为12C．ab的最大值为e D．a（a﹣b）的最小值为-5．已知函数f（x）＝a2+ax+b存在不小于0的极小值，其中a，b都是实数，则（）A．b的最小值为﹣e B．a﹣b的最大值为12C．ab的最大值为e D．a（a﹣b）的最小值为-6．已知函数f(x)=13x3+12ax2+b，x＝﹣2是fA．[-203，-43) B．(7．某生物种群数量在一个有限的环境中增长时，由于资源和空间等因素的限制，该种群数量N与时间t之间的关系可以由函数N＝f（t）=K1+(K-N0N0)e-rt刻画，其中常数N0（N0＞0）表示该种群数量的初始值，常数K（K＞N0）表示该种群环境容纳量，常数r（r＞给出下列三个结论：①函数f（t）的导函数f'（t）有最大值；②存在t0＞0，使得函数f（t）在区间（0，t0）的图象是中心对称图形；③对于任意的0＜t1＜t2＜t3，有f(其中所有正确结论的序号是（）A．① B．①② C．②③ D．①②③8．已知f（x）是定义在R上的可导偶函数，若f(54-x)=2-5A．f′（2025）＝1 B．f（2025）＝0 C．f′（2025）＝0 D．f（2025）＝﹣1二．多选题（共4小题）（多选）9．下列说法，正确的有（）A．在斜三角形ABC中，恒有tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC B．已知sinα+2sinβ＝2，则cos（α+β）的最大值为14C．已知实数x，y满足ln（4x+5y）﹣e2x+3y﹣2x﹣2y+2≥0，则x+D．已知点A，B，M是圆C：x2+y2＝1上的动点，且MA→⋅MB→=0，点P是直线y＝x﹣（多选）10．定义在（0，+∞）上的可导函数f（x）满足xf'(x)+f(xA．函数f（x）在x＝e2处取得极大值 B．f(C．过原点可以作2条直线与曲线y＝f（x）相切 D．若存在正实数x，使得f(x)+2x≥e（多选）11．已知函数f（x）＝excosx，则下列结论正确的为（）A．f（x）的图象在x＝0处的切线方程为y＝x+1 B．f（x）在区间[﹣2π，2π]上有3个极值点 C．f（x）＝2026的实数解有无穷多个 D．f（x）＞sinx在[﹣1，1]上恒成立（多选）12．已知函数f(x)=13x3+2xA．当0＜a＜4时，f（x）必有两个极值点 B．过点（2，b）可以作曲线y＝f（x）的3条不同切线，则0＜C．若f（x）有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1+x3＝2x2，则2a﹣b＝8 D．若f（x）有三个不同的零点x1，x2，x3，则1三．填空题（共4小题）13．已知使得代数式x2+(a-1)x-2a+22x2+ax-2a14．若存在实数a，使得对任意的x∈[1，4]，都有|x2+ax+b|≤2x成立，则实数b的取值范围为．15．已知A，B两点在曲线y＝ex上，C，D两点在曲线y＝lnx上，给出下列四个结论：①|AC|的最小值为2；②当AC与坐标轴平行时，|AC|最小值为2；③当四边形ABCD为正方形时，设正方形面积为S，则S＜2（e﹣1）2；④当直线AC，BD均为曲线y＝ex和y＝lnx的公切线时，线段AB的中点在y轴上．其中所有正确结论的序号是．16．已知函数f（x）＝|lnx﹣1|，0＜x1＜e＜x2＜e2，函数f（x）的图象在点M（x1，f（x1））和点N（x2，f（x2））的两条切线互相垂直，且分别与y轴交于四．解答题（共4小题）17．已知函数f(（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设函数g(x)=x+alnx，求证：当﹣1＜a＜0时，g18．已知f（x）=m2x2+2（1）若曲线f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣1＝0垂直，求m的值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）若m＝0，当0＜a≤12≤b且lna﹣lnb＝2（a﹣b）时，a+b﹣t≥019．已知函数f（x）＝aex﹣x2﹣x，a∈R，e＝2.71828⋯是自然对数的底数．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）讨论函数y＝f（x）+x的零点的个数；（3）若函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，证明：0＜a＜2e且x120．已知函数f（x）＝ex﹣2ax﹣1（a，b∈R），g（x）＝x﹣sinx．（1）当x∈[0，+∞）对，求函数g（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对x∈R恒成立，求实数a取值集合；（3）求证：对∀n∈N*，都有sin(

2026年高考数学复习难题速递之一元函数导数及其应用（2025年11月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CBDDDABC二．多选题（共4小题）题号9101112答案ABDABDACDABD一．选择题（共8小题）1．已知函数f（x）＝ex+（x﹣a）2﹣1，若f（x）有零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，4] C．(-∞，ln(22【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；运算求解．【答案】C【分析】求解函数的零点，通过a≤0与a＞0画出函数的图象，利用函数的导数，转化求解a的范围即可．【解答】解：令f（x）＝0，得ex＝﹣（x﹣a）2+1，当a≤0时，y＝ex与y＝﹣（x﹣a）2+1，显然有公共点，即f（x）有零点，当a＞0时，临界条件为曲线h（x）＝﹣（x﹣a）2+1与g（x）＝ex有一个公共点，如图，设两曲线相切于点P，切点的横坐标为，h′（x）＝﹣2（x﹣a），g'（x）＝ex，则利用导数的几何意义可知-2(x0由-e2x所以a=x0+1故选：C．【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，函数的导数的应用，是难题．2．设n为正整数，且n≥2，an=n10，bn＝log2n，cn＝λan+（1﹣λ）bn．若对任意的λ∈[0，1]，长为an、bn、cn的线段均能构成三角形的三边，则满足条件的A．3 B．4 C．5 D．6【考点】不等式恒成立的问题．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据构成三角形的条件两边之和大于第三边，列出不等式组求解，借助最值解决对任意λ都满足的问题．【解答】解：长为an、bn、cn的线段均能构成三角形，由三角形边长的性质可得：bn由bn＜an+cn，有bn＜an+λan+（1﹣λ）bn，即λbn＜（1+λ）an，所以anbn=n10log2n＞λ1+λ要使任意的λ都有n10log2n＞λ1+λ，即要n10log2由cn＜an+bn，且cn＝λan+（1﹣λ）bn，得λan+（1﹣λ）bn＜an+bn，即（λ﹣1）an＜λbn，若λ＝1，则对任意的n都成立，若λ∈[0，1），则anbn＞λλ-1=1+要使任意的λ都有n10log2n由an＜bn+cn，有an＜bn+λan+（1﹣λ）bn，即（λ﹣2）bn＜（λ﹣1）an，若λ＝1，则对任意的n都成立，若λ∈[0，1），则anbn=n10log2要使任意的λ都有n10log2n＜λ-2λ-1，即要n10综上，n∈{3，4，5，6}，所以满足条件的n有4个．故选：B．【点评】本题考查不等式恒成立问题，考查三角形三边之间的关系及应用，考查运算求解能力，是中档题．3．若正实数a，b满足a＞b，且lna•lnb＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．logab＜0 B．a-C．2ab+1＜3a+b D．ab﹣1＜ba﹣1【考点】利用导数研究函数的单调性；对数值大小的比较．【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】D【分析】因为a＞b＞0，y＝lnx为单调递增函数，故lna＞lnb，由于lna•lnb＞0，故lna＞lnb＞0，或lnb＜lna＜0．对于ABC，分lna＞lnb＞0、lnb＜lna＜0，结合对数函数的性质及作差比较法即可判断；对于D，由ab﹣1＜ba﹣1两边取自然对数得到（b﹣1）lna＜（a﹣1）lnb，即lnaa-1＜lnbb-1，构造函数f(【解答】解：当a＞b＞0时，lna＞lnb，由于lna•lnb＞0，故lna＞lnb＞0，或lnb＜lna＜0，当lnb＜lna＜0时，0＜b＜a＜1，此时logab＞0，a-1bab+1﹣（a+b）＝（a﹣1）（b﹣1）＞0，即ab+1＞a+b，得2ab+1＞2a+b，但2ab+1，3a+b的大小不确定，当lna＞lnb＞0时，a＞b＞1，此时logab＞0；a-1bab+1﹣（a+b）＝（a﹣1）（b﹣1）＞0，即ab+1＞a+b，得2ab+1＞2a+b，但2ab+1，3a+b的大小不确定，所以ABC均不正确；对于D，ab﹣1＜ba﹣1，两边同时取自然对数，可得（b﹣1）lna＜（a﹣1）lnb，因为不管a＞b＞1，还是0＜b＜a＜1，均有（a﹣1）（b﹣1）＞0，所以lnaa-1＜设f(x)=lnxx-1（x＞0令g(x)=1-1x-lnx（x＞当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；所以g（x）＜g（1）＝0，所以f′（x）＜0在x＞0且x≠1上恒成立，故f(因为a＞b，所以lnaa-1故选：D．【点评】本题考查导数在函数单调性中的应用，属于难题．4．已知函数f（x）＝ex+ax+b存在不小于0的极小值，其中a，b都是实数，则（）A．b的最小值为﹣e B．a﹣b的最大值为12C．ab的最大值为e D．a（a﹣b）的最小值为-【考点】利用导数求解函数的极值．【专题】对应思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】D【分析】根据f（x）的单调性求出极值，从而得出b≥a﹣aln（﹣a），再构造a﹣b≤aln（﹣a），ab≤a2﹣a2ln（﹣a），a（a﹣b）≥a2ln（﹣a），最后通过构造函数，逐一求其最值即可．【解答】解：由题可得f′（x）＝ex+a＝0，又f（x）存在不小于0的极小值，所以ex+a＝0有解，则a＜0，且x＝ln（﹣a），所以当x＞ln（﹣a）时，f′（x）＞0；当x＜ln（﹣a）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（ln（﹣a），+∞）上单调递增，在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，所以f（x）的极小值f（ln（﹣a））＝﹣a+aln（﹣a）+b≥0，所以b≥a﹣aln（﹣a），a﹣b≤aln（﹣a），ab≤a2﹣a2ln（﹣a），a（a﹣b）≥a2ln（﹣a），对于A，令y＝﹣x+xlnx，则y′＝﹣1+lnx+1＝lnx，则当x＞1时，y′＞0，当0＜x＜1时，y′＜0，所以函数y＝﹣x+xlnx在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，故当x＝1时，y取得最小值﹣1，即b的最小值为﹣1，故A错误；对于B，令y＝﹣xlnx，则y′＝﹣lnx﹣1，所以当x＞1e时，y′＜0，当0＜x所以y＝﹣xlnx在(0，1e所以当x=1e时，函数y＝﹣xlnx故a﹣b的最大值为1e，故B对于C，令y＝x2﹣x2lnx，则y′＝2x﹣2xlnx﹣x＝x（1﹣2lnx），所以当x＞e时，y′＜0，当0＜x＜则y＝x2﹣x2lnx在(e，+∞)所以当x=e时，y＝x2﹣x2lnx取得最大值即ab最大值为e2，故C对于D，令y＝x2lnx，则y′＝2xlnx+x＝x（2lnx+1），则当x＞1e时，y′＞0，当0＜x则y＝x2lnx在(1e，所以当x=1e时，y＝x2lnx即a（a﹣b）的最小值为-12e故选：D．【点评】本题考查了导数的综合应用，属于难题．5．已知函数f（x）＝a2+ax+b存在不小于0的极小值，其中a，b都是实数，则（）A．b的最小值为﹣e B．a﹣b的最大值为12C．ab的最大值为e D．a（a﹣b）的最小值为-【考点】利用导数求解函数的极值．【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；运算求解．【答案】D【分析】根据f（x）的单调性求出极值，从而得出b≥a﹣aln（﹣a），再构造a﹣b≤aln（﹣a），ab≤a2﹣a2ln（﹣a），（a﹣b）≥a2ln（﹣a），最后通过构造函数，逐一求其最值即可．【解答】解：因为f（x）＝ex+ax+b存在不小于0的极小值，所以f'（x）＝ex+a＝0与有解，所以a＜0，且解为x＝ln（﹣a），f（x）＞0时，x＞ln（﹣a）；f（x）＜0时，x＜ln（﹣a），所以f（x）的单调递增区间为（ln（﹣a），+∞），单调递减区间为（﹣∞，ln（﹣a）），所以f（x）的极小值f（ln（﹣a））＝﹣a+aln（﹣a）+b≥0，所以b≥a﹣aln（﹣a），a﹣b≤aln（﹣a），ab≤a2﹣a2ln（﹣a），a（a﹣b）≥a2ln（﹣a）．令y＝﹣x+xlnx，则y′＝﹣1+lnx+1＝lnx，0＜x＜1时，y′＜0，x＞1时，y＞0，所以函数y＝﹣x+xlnx在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，x=1e时，y取得最小值﹣1，所以b的最小值为﹣1，故令y＝﹣xlnx，则y′＝﹣lnx﹣1，0＜x＜1e时，y′＞0；x＞1e则y＝﹣xlhx在(0，1e)上单调递增，在(1e，故a﹣b的最大值为1e，故B令y＝x2﹣x2lnx，则y′＝2x﹣2xlnx﹣x＝x（1﹣2lnx），0＜x＜e时，y′＞0，x＞则y＝x2﹣x2lnx在(0，e)上单调递增，在（e所以x=e时，y＝x2﹣x2lnx取得最大值e2，ab最大值为e令y＝x2lnx，则y′＝2xlnx+x＝x（2lnx+1），0＜x＜1e时，y′＜0，x则y＝x2lnx在(0，1e所以x=1e时，y＝x2lnx的最小值为-12e，a（a﹣故选：D．【点评】本题考查导数的综合应用，属于难题．6．已知函数f(x)=13x3+12ax2+b，x＝﹣2是fA．[-203，-43) B．(【考点】由函数的极值求解函数或参数．【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】A【分析】根据f′（﹣2）＝4﹣2a＝0得出a，再根据f（x）的单调性以及极值即可得出．【解答】解：由题f′（x）＝x2+ax，因为x＝﹣2是f（x）的一个极值点，所以f′（﹣2）＝4﹣2a＝0，所以a＝2，f(x)=13x3+x2+b，f′（在[﹣3，2]上有f′（x）＞0得﹣3≤x＜﹣2或0＜x≤2，f′（x）＜0得﹣2＜x＜0，则f（x）在[﹣3，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增，因f(由函数f（x）在[﹣3，2]上有且仅有一个零点，则43+b解得实数b的取值范围为[-故选：A．【点评】本题考查由函数的极值求解函数或参数，属于中档题．7．某生物种群数量在一个有限的环境中增长时，由于资源和空间等因素的限制，该种群数量N与时间t之间的关系可以由函数N＝f（t）=K1+(K-N0N0)e-rt刻画，其中常数N0（N0＞0）表示该种群数量的初始值，常数K（K＞N0）表示该种群环境容纳量，常数r（r＞给出下列三个结论：①函数f（t）的导函数f'（t）有最大值；②存在t0＞0，使得函数f（t）在区间（0，t0）的图象是中心对称图形；③对于任意的0＜t1＜t2＜t3，有f(其中所有正确结论的序号是（）A．① B．①② C．②③ D．①②③【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】B【分析】求出函数的导函数，利用基本不等式判断①，令t4=1rlnK-N0N0，推导出f（t）+f（2t4﹣t）＝2【解答】解：对于①：令a=K-所以f'当且仅当ae-rt=1ae-rt即t=1rlnK-N0对于②：令t4=1所以f=K=K=K所以函数f（t）在区间（0，2t4）的图象关于（t4，f（t4））对称，故②正确；对于③：f(t2)-f(t1)t2-t1表示点（t1f(t3)-f(t1)t3-t1表示点（t1不妨令A（t1，f（t1）），B（t2，f（t2）），C（t3，f（t3）），取如下图所示三点A（t1，f（t1）），B（t2，f（t2）），C（t3，f（t3）），显然kAB＞kAC，即f(t2故选：B．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．8．已知f（x）是定义在R上的可导偶函数，若f(54-x)=2-5A．f′（2025）＝1 B．f（2025）＝0 C．f′（2025）＝0 D．f（2025）＝﹣1【考点】基本初等函数的导数；奇函数偶函数的性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】把已知等式变形，可求函数的周期，则f（2025）可求，再由奇函数的性质求解f′（2025）．【解答】解：f（x）是定义在R上的可导偶函数，由f(54所以f（﹣x-54）＝f（x+54）＝2则f（x-54）+f（x+54）＝4，即f（x）+f（x则f（x+52）+f（x+5）＝4，可得f（x+5）＝f（即f（x）是以5为周期的周期函数，则f（2025）＝f（0）＝1，又f（x）是定义在R上的可导偶函数，所以f′（x）是定义在R上的奇函数，可得f′（2025）＝f′（0）＝0．故选：C．【点评】本题考查基本初等函数的导函数，考查函数的性质，属难题．二．多选题（共4小题）（多选）9．下列说法，正确的有（）A．在斜三角形ABC中，恒有tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC B．已知sinα+2sinβ＝2，则cos（α+β）的最大值为14C．已知实数x，y满足ln（4x+5y）﹣e2x+3y﹣2x﹣2y+2≥0，则x+D．已知点A，B，M是圆C：x2+y2＝1上的动点，且MA→⋅MB→=0，点P是直线y＝x﹣【考点】利用导数研究函数的单调性；平面向量数量积的性质及其运算；运用诱导公式化简求值．【专题】对应思想；综合法；导数的综合应用；解三角形；平面向量及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】对于A：根据tanC＝﹣tan（A+B）结合两角和的正切公式分析判断；对于B：设α+β＝θ，利用辅助角公式可得5-4cosθ≥2，运算求解即可；对于C：设a＝4x+5y＞0，b＝2x+3y，整理可得na﹣a+1≥eb﹣b﹣1结合不等式ex﹣x﹣1≥0，分析可得a＝1，b＝0，即可得结果；对于D：分析可知AB为圆【解答】解：对于A，因为△ABC为斜三角形，则tanA，tanB，tanC存在，又tanC=整理可得tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，故A正确；对于B，设α+β＝θ，即α＝θ﹣β，则sinα+2sinβ＝sin（θ﹣β）+2sinβ＝（2﹣cosθ）sinβ+sinθcosβ=(2-cosθ)2+si=5-4其中tanφ=sinθ2-即5-4cosθ不妨取θ为锐角，当cosθ=14时，可知tanφ则sinβ=78所以cos（α+β）的最大值为14，故B对于C，设a＝4x+5y＞0，b＝2x+3y，可得2x+2y＝a﹣b，则ln（4x+5y）﹣e2x+3y﹣2x﹣2y+2≥0，即为lna﹣eb﹣（a﹣b）+2≥0，整理可得lna﹣a+1≥eb﹣b﹣1，构造f（x）＝ex﹣x﹣1，则f'（x）＝ex﹣1，令f′（x）＞0，解得x＞0；令f'（x）＜0，解得x＜0，可知f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，则f（x）≥f（0）＝0，即ex﹣x﹣1≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，可得eb﹣b﹣1≥0，当且仅当b＝0时，等号成立，且a﹣lna﹣1≥0，即lna﹣a+1≤0，当且仅当lna＝0，即a＝1时，等号成立，若lna﹣a+1≥eb﹣b﹣1，可得a＝1，b＝0，则2x+2y＝a﹣b＝1，所以x+y=对于选项D：圆C：x2+y2＝1的圆心为O（0，0），半径r＝1，如图，则圆心O（0，0）到直线y＝x﹣2的距离d=因为MA→⋅MB→=0，则MA⊥MB又因为PA→⋅PB→=(PO→所以PA→⋅PB→的最小值为故选：ABD．【点评】本题考查了三角函数及三角恒等变形，考查了导数的应用，平面向量的运算，属于难题．（多选）10．定义在（0，+∞）上的可导函数f（x）满足xf'(x)+f(xA．函数f（x）在x＝e2处取得极大值 B．f(C．过原点可以作2条直线与曲线y＝f（x）相切 D．若存在正实数x，使得f(x)+2x≥e【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解函数的极值．【专题】计算题；整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】根据导数的求导法则可得f(x)=lnx-1x，即可利用导数求解A，根据对数的运算性质，结合基本不等式可判断B，求切点处的切线方程，代入原点坐标，即可求解C【解答】解：由xf'(x故xf（x）＝lnx+c，其中c为常数，由于f（e）＝0，故ef（e）＝lne+c＝0，所以c＝﹣1，因此xf(x)=当x＞e2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当0＜x＜e2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）在x＝e2处取得极大值，A正确；由于log又因为log34，log45＞0，故log34＞log5＞1，32由于函数在0＜x＜e2时，f（x）单调递增，故f(3对于C，设切点为（x0，f（x0）），则切线方程为y-将（0，0）代入可得-lnx0-1x0=-2-lnx0x对于D，由存在正实数x，使得f(x)+记g(x)=e2x-lnx+1x，则由于y＝2x2，y＝e2x均为（0，+∞）上的单调递增函数，且恒为正，y＝lnx为（0，+∞）上的单调递增函数，故h（x）＝2x2e2x+lnx在（0，+∞）为递增函数，h（1）＞0，x→0，h（x）→﹣∞，故存在唯一的x0，使得h（x0）＝0，即2x当x∈（0，x0），h（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞），h（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）单调递增，故g(由2x02令x0e2故t＝1，因此x0e2x0=1，则g(故选：ABD．【点评】本题考查利用导数求解函数的单调性与求解函数的极值，属于中档题．（多选）11．已知函数f（x）＝excosx，则下列结论正确的为（）A．f（x）的图象在x＝0处的切线方程为y＝x+1 B．f（x）在区间[﹣2π，2π]上有3个极值点 C．f（x）＝2026的实数解有无穷多个 D．f（x）＞sinx在[﹣1，1]上恒成立【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．【答案】ACD【分析】利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A；在区间[﹣2π，2π]上解方程f'（x）＝0即可判断B；将方程f（x）＝2026，转化为cosx=2026ex，利用函数的性质即可判断C；区间[﹣1，0）上，利用不等式两边的正负，即可判断，区间[0，1]上，构造函数φ（x）＝excosx﹣sin【解答】解：对于A，由题可得f'（x）＝ex（cosx﹣sinx），所以在x＝0处的切线的斜率k＝f′（0）＝1，又f（0）＝1，所以切线方程为y＝x+1，故A正确；对于B，f'（x）＝ex（cosx﹣sinx），在区间[﹣2π，2π]上，令f′（x）＝0，得x=-7π4或x这4个根都是变号零点，所以有4个极值点，故B错误；对于C，f（x）＝2026，ex•cosx＝2026，即cosx=设F（x）＝cosx，g(因为F（x）＝cosx在R上是周期函数，且F（x）∈[﹣1，1]，又g(x)=2026ex在R上单调递减，当x→+∞时，所以两个函数的图象有无数个交点，即f（x）＝2026的实数解有无穷多个，故C正确；对于D项，在[﹣1，0）上，f（x）＞0，sinx＜0，原式成立；在（0，1）上，令φ（x）＝excosx﹣sinx，则φ′（x）＝（ex﹣1）cosx﹣exsinx，令h（x）＝（ex﹣1）cosx﹣exsinx，则h'（x）＝（1﹣2ex）sinx＜0恒成立，所以φ′（x）在[0，1]上单调递减，则φ′（x）＜φ′（0）＝0，所以φ（x）在[0，1]上单调递减，所以φ（x）＞φ（1）＝ecosl﹣sin1，又tan1＜tanπ3=3＜e，所以e所以ecosl﹣sin1＞0，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查了利用导数证明不等式，利用导数研究函数的零点，求在曲线上一点处的切线方程（斜率），求函数零点或方程根的个数，属于难题．（多选）12．已知函数f(x)=13x3+2xA．当0＜a＜4时，f（x）必有两个极值点 B．过点（2，b）可以作曲线y＝f（x）的3条不同切线，则0＜C．若f（x）有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1+x3＝2x2，则2a﹣b＝8 D．若f（x）有三个不同的零点x1，x2，x3，则1【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】对于A，求导，根据f（x）有两个极值点可得a＜4，进而判断即可；对于B，根据导数的几何意义转化问题为g(x)=13x3-4x与y＝a（a＞0）图象的交点个数，进而求解判断即可；对于C，由题意可得13x3+2x2+ax+b=13(x-x1)(x-x2)(x-x3)，化简得到x1+x2+x3＝﹣6，x1x2+x1x3【解答】解：已知函数f(x)=13x3+2x2+ax+b，得f故f′（x）＝0有两个不等实根，因此Δ＝16﹣4a＞0，即a＜4，因此当0＜a＜4时，f（x）必有两个极值点，故A选项正确；f′（x）＝x2+4x+a，设切点为C(因此在点C处的切线方程为y-又因为切线过点A（2，b），则b-整理得23x03-因此过点A（2，b）可以作曲线y＝f（x）切线条数可转化为y＝g（x）与y＝a（a＞0）图象的交点个数，而g′（x）＝x2﹣4，令g′（x）＞0，得x＜﹣2或x＞2，令g′（x）＜0，得﹣2＜x＜2，因此函数g（x）在（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）上单调递增，在（﹣2，2）上单调递减，又g(-2)=要使y＝g（x）与y＝a图象有3个交点，则0＜a＜由题意可得1=1则x1+x2+x3＝﹣6，x1x2+x1x3+x2x3＝3a，x1x2x3＝﹣3b，又x1+x3＝2x2，则x2＝﹣2，则3a=x2(由题意可得f(因此f'同理f'因此1=3[(x2故选：ABD．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．已知使得代数式x2+(a-1)x-2a+22x2+ax-2a有意义的实数x的取值集合为D，若对任意的x∈D，代数式x2+(【考点】不等式恒成立的问题．【专题】分类讨论；对应思想；综合法；不等式的解法及应用；不等式；运算求解．【答案】{a|﹣7＜a≤0或a＝2}．【分析】利用二次函数的判别式来进行分类讨论，然后进行二次函数的取值分析，即可求解．【解答】解：由分母不为零，对判别式进行分类讨论可知：当Δ＝a2+16a＜0，即﹣16＜a＜0时，由2x2+ax﹣2a≠0可知解集为R，此时要使得代数式x2只需要再满足Δ＝（a﹣1）2﹣4（2﹣2a）＜0⇔a2+6a﹣7＜0⇔（a+7）（a﹣1）＜0，解得﹣7＜a＜1，再结合﹣16＜a＜0，可知此时实数a的取值范围是﹣7＜a＜0；当Δ＝a2+16a＝0，即a＝0或a＝﹣16时，若a＝﹣16，由2x2+ax﹣2a＝2x2﹣16x+32＝2（x﹣4）2≠0可知解集为{x|x≠4}，此时代数式x2当x＝3时，代数式的值x2不满足恒为正数，若a＝0，由2x2+ax﹣2a＝2x2≠0可知解集为{x|x≠0}，此时代数式x2当Δ＝a2+16a＞0，即a＜﹣16或a＞0时，由2x2+ax﹣2a≠0可知解集不为R，设2x2+ax﹣2a＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则定义域为{x|x≠x1且x≠x2}，根据题意要满足代数式x2则当x＜x1或x＞x2时，由2x2+ax﹣2a＞0，则x2+（a﹣1）x﹣2a+2＞0，当x1＜x＜x2时，由2x2+ax﹣2a＜0，则x2+（a﹣1）x﹣2a+2＜0，此时方程2x2+ax﹣2a＝0与方程x2+（a﹣1）x﹣2a+2＝0同解，则满足a2综上，a的取值范围是{a|﹣7＜a≤0或a＝2}．【点评】本题考查了二次函数与二不等式的关系，考查了不等式的恒成立问题，属于难题．14．若存在实数a，使得对任意的x∈[1，4]，都有|x2+ax+b|≤2x成立，则实数b的取值范围为[-43【考点】不等式恒成立的问题．【专题】整体思想；定义法；不等式；逻辑思维．【答案】[-【分析】去掉绝对值，先把不等式转化成-2-(x+bx)≤a≤2-(x【解答】解：由题意知存在实数a，使得对任意的x∈[1，4]，都有|x2+ax+b|≤2x，即﹣2x≤x2+ax+b≤2x，即-2设f(x)=x+bx，x使得a≥-2-f(x)mina≤2-f(x)max，所以﹣2即f（x）max﹣f（x）min≤4．当b≤0时，y=x+bx则f(x)max-当b＞0时，根据对勾函数的性质，y=x+bx（ⅰ）当0＜b≤1时，f（x）在[1，4]上单调递增，f(x)max=f(4)=4+b4，f（x）由f(x)max-f(x)（ⅱ）当1＜b＜16时，f（x）在[1，b]f（x）max＝max{f（1），f（4）}，f(因为f（x）max﹣f（x）min≤4，所以f(1)解得-1≤b≤30≤b≤8（ⅲ）当b≥16时，f（x）在[1，4]上单调递减，f（x）max＝f（1）＝1+b，f(由f(x)max-f(综上所述，实数b的取值范围为[-故答案为：[-【点评】本题考查不等式恒成立问题，属于难题．15．已知A，B两点在曲线y＝ex上，C，D两点在曲线y＝lnx上，给出下列四个结论：①|AC|的最小值为2；②当AC与坐标轴平行时，|AC|最小值为2；③当四边形ABCD为正方形时，设正方形面积为S，则S＜2（e﹣1）2；④当直线AC，BD均为曲线y＝ex和y＝lnx的公切线时，线段AB的中点在y轴上．其中所有正确结论的序号是①③④．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；运算求解．【答案】①③④．【分析】由y＝ex与y＝lnx的图象关于直线y＝x对称，结合点到直线的距离和f（x）＝ex﹣x的最值，可判断①；当AC与坐标轴平行时，不妨设A（x1，ex1），C（x1，lnx1），由两点的距离公式和函数的零点存在定理，结合单调性，可判断运用正方形的性质和两点的距离公式，结合m（x）＝ex﹣x的性质，可判断③；运用导数的几何意义求得切线方程，结合方程ex=x+1x【解答】解：由于y＝ex与y＝lnx的图象关于直线y＝x对称，设P（x，ex）到直线y＝x的距离为d=|设f（x）＝ex﹣x，可得f′（x）＝ex﹣1，当x＞0时，可得f′（x）＞0，即有f（x）递增；当x＜0时，可得f′（x）＜0，即有f（x）递减，即有f（x）≥f（0）＝1，即有d的最小值为22则|AC|的最小值为2，故①正确；当AC与坐标轴平行时，不妨设A（x1，ex1），C（x1，lnx|AC|＝|ex1-lnx1|，可设h（x）＝ex﹣lnx，x＞0，h′（x）＝e可得h′（x）在（0，+∞）递增，由h′（12）=e-2＜0，h′（1）＝e﹣1即有x0∈（12，1），使得h′（x0）＝0，即ex0=1x0则h（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，h（x）min＝h（x0）=ex0-lnx0=1x0+x0但x0∈（12，1），可得|AC|的最小值大于2，故②当四边形ABCD为正方形时，设A（x1，lnx1），B（x2，lnx2），C（x3，ex3），D（x4，且0＜x1＜1＜x2，x4＜x3＜x2，可得|AB|=2|x2﹣x1|，|BC|=2|x2﹣x3由|AB|＝|BC|，可得x2﹣x1＝x2﹣x3，即x1＝x3，又x2=ex3=ex1，则|AB|设m（x）＝ex﹣x，导数为m′（x）＝ex﹣1，可得x＞0时，m（x）递增；x＜0时，m（x）递减，可得m（x）≥m（0）＝1，则S＝2（ex﹣x）2＜2（e﹣1）2，故正确；当直线AC，BD均为曲线y＝ex和y＝lnx的公切线时，可设AC与曲线y＝ex相切于A（x1，ex1），与y＝lnx相切于C（x2，lnx可得切线方程为y-ex1=ex1（x﹣x1），y﹣lnx2则ex1=1x2，即x1＝﹣lnx2，且ex1（1﹣x1）＝lnx2化为ex同理可设B（x3，ex3），D（x4，lnx即有x3＝﹣lnx4，且ex3（1﹣x3）＝lnx4﹣1＝﹣x3﹣化为ex设方程ex=x+1x-1的两个根为x由于e﹣x=-可得x1＝﹣x3，即x1+x3＝0，则AB的中点的横坐标为0，即线段AB的中点在y轴上，故④正确．故答案为：①③④．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、最值，以及函数与方程的转化，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于难题．16．已知函数f（x）＝|lnx﹣1|，0＜x1＜e＜x2＜e2，函数f（x）的图象在点M（x1，f（x1））和点N（x2，f（x2））的两条切线互相垂直，且分别与y轴交于P，【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】（6，+∞）．【分析】利用导数的几何意义可求得在M，N处的切线方程，并得到|OP|，|OQ|；根据切线互相垂直可得x1x2＝1，由此得到|OP||OQ|=2+lnx22-lnx2，令【解答】解：因为数f（x）＝|lnx﹣1|，0＜所以当0＜x＜e时，f（x）＝1﹣lnx，f'因为M（x1，1﹣lnx1），所以k1所以在M处的切线方程为y-即y=令x＝0，可得y＝2﹣lnx1，所以|OP|＝2﹣lnx1；当e＜x＜e2时，f（x）＝lnx﹣1，f'所以k2=f'(x2)=1x2，所以在N处的切线方程为：y-(ln令x＝0可得y＝﹣2+lnx2，所以|OQ|＝|lnx2﹣2|＝2﹣lnx2，又两条切线互相垂直，所以-1所以x1x2＝1，所以|OP令t＝lnx2，t∈（1，2），设g(t)=2+t2-t=因为g（t）在（1，2）上单调递增，所以g（t）∈（3，+∞），即|OP所以2|OP故答案为：（6，+∞）．【点评】本题考查函数的切线问题的求解，属中档题．四．解答题（共4小题）17．已知函数f(（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设函数g(x)=x+alnx，求证：当﹣1＜a＜0时，g【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解函数的极值；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】计算题；整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】（1）x﹣y﹣2＝0；（2）当a≥0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞），无减区间；当a＜0时，f（x）的单调递增区间是（﹣a，+∞），单调递减区间是（0，﹣a）；（3）证明：由g(x)=因为﹣1＜a＜0，由（2）得：f（x）在（﹣a，+∞）递增，又因为f（1）＝﹣a﹣1＜0，取x＝e，显然e＞1，f(∴存在x0∈（1，e）满足g'（x0）＝0，令g'（x）＞0解得：x＞x0，令g'（x）＜0，解得：1＜x＜x0，故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，∴﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）存在极小值．【分析】（1）求导，确定切线斜率即可求解；（2）求导，通过讨论a≥0和a＜0，确定导数符号，即可求解；（3）由g'(x)=f(x)(lnx)【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝lnx﹣1，f'(x)=1x，则f'（1）＝1，又所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1＝x﹣1，即x﹣y﹣2＝0；（2）由f'①a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增；②a＜0时，若x∈（﹣a，+∞）时，f'（x）＞0，若x∈（0，﹣a），则f′（x）＜0，故f（x）在（﹣a，+∞）递增，在（0，﹣a）递减；综上：当a≥0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞），无减区间；当a＜0时，f（x）的单调递增区间是（﹣a，+∞），单调递减区间是（0，﹣a）；（3）证明：由g(x)=因为﹣1＜a＜0，由（2）得：f（x）在（﹣a，+∞）递增，又因为f（1）＝﹣a﹣1＜0，取x＝e，显然e＞1，f(∴存在x0∈（1，e）满足g'（x0）＝0，令g'（x）＞0解得：x＞x0，令g'（x）＜0，解得：1＜x＜x0，故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，∴﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）存在极小值．【点评】本题考查利用导数求解函数的单调性与函数的极值，属于中档题，18．已知f（x）=m2x2+2（1）若曲线f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣1＝0垂直，求m的值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）若m＝0，当0＜a≤12≤b且lna﹣lnb＝2（a﹣b）时，a+b﹣t≥0【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】分类讨论；对应思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）m＝1；（2）当m＝0时，函数f（x）在(0，12当m≤﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当﹣1＜m＜0时，函数f（x）在(0，-1+在(-当m＞0时，函数f（x）在(0，-1+（3）(-∞，【分析】（1）求导，根据导数的几何意义及垂直条件列方程，解方程即可；（2）分情况讨论导数的零点情况及正负情况，即可得函数单调性情况；（3）由（2）可知当m＝0时，函数f（x）在(0，12)上单调递减，在(12，+∞)上单调递增，再由题意可知f（a）＝f（b），即可确定0＜a＜12＜b【解答】解：（1）因为f(x)=m2则f'则f′（1）＝m+2﹣1＝m+1，因为曲线f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣1＝0垂直，所以(m解得：m＝1；（2）由f'(x)=mx当m＝0时，f'令f'（x）＝0，解得x=所以当x∈(0，12)时，f（x）＜当x∈(12，+∞)时，f′（x）＞当m≠0时，f'(x)=当m≤﹣1时，Δ＝4+4m≤0恒成立，即函数f'（x）≤0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当﹣1＜m＜0时，令f'解得：x1=-1-m+1m，x所以当0＜x＜x1或x＞x2时，f′（x）＜0，当x1＜x＜x2时，f′（x）＞0，即函数f（x）在(0，-1+在(-当m＞0时，令f'解得：x1即当x∈(0，-1+m+1m)时，f'当x∈(-1+m+1m，+∞)时，f'综上，当m＝0时，函数f（x）在(0，12当m≤﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当﹣1＜m＜0时，函数f（x）在(0，-1+在(-当m＞0时，函数f（x）在(0，-1+（3）由（2）得，当m＝0时，函数f（x）＝2x﹣lnx在(0，12由lna﹣lnb＝2（a﹣b）可知2b﹣lnb＝2a﹣lna，即f（b）＝f（a），又0＜a≤1由lna﹣lnb＝2（a﹣b），可得lnb-因为a+b﹣t≥0，所以t≤设g(则g'设h(x)=-2则h'(x所以h(x)=-2lnx+x-1x所以当x≥2时，h（x）＞h（1）＝0，即g'所以g(x)=1+x所以g(所以t≤1+b所以t∈【点评】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，利用导数求函数（含参）的单调区间，已知切线（斜率）求参数，属于难题．19．已知函数f（x）＝aex﹣x2﹣x，a∈R，e＝2.71828⋯是自然对数的底数．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）讨论函数y＝f（x）+x的零点的个数；（3）若函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，证明：0＜a＜2e且x1【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式恒成立的问题；函数的零点与方程根的关系．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；运算求解．【答案】（1）y＝1；（2）当a＜0时，没有零点；当a＝0时，有1个零点；当0＜a＜当a=4e当a＞4e（3）证明：f'（x）＝aex﹣2x﹣1，要使f（x）由两个极值点，则f'（x）至少有两个零点，当a＝0时，f′（x）＝﹣2x﹣1只有1个零点，不符合题意；当a≠0时，f'令g(则g'当x∈(-∞，12)时，g′（x）＞当x∈(12，+∞)时，g'（x）＜则极大值g(且由指数函数与幂函数增长速度可得，当x趋于﹣∞时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于+∞时，g（x）趋于0，则作出g（x）图像如下：由图像可得，当且仅当0＜a＜2e时，g（x设其横坐标从左到右分别为x1，x2，则f'（x）有两个零点x1，x2，且当x∈（﹣∞，x1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，则f（x）极大值点为x1，极小值点为x2符合题意，由题意a=令t＝x2﹣x1＞0，则a=则ex1=x1设h（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，则h'(则h（x）单调递增，则h(即et2-所以ln2即x1【分析】（1）代入a＝1，求导，求出f（0）＝1，f′（0）＝0，由导数的几何意义得到切线方程；（2）先讨论a＜0与a＝0，再讨论a＞0时，设F(x)=x2ex，转化为F（x（3）函数f（x）的极值点个数，转化为y＝a与g(x)=2x+1ex交点个数，方法同（2），注意验证；利用差值代换t＝x2﹣x【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝ex﹣x2﹣x，f'（x）＝ex﹣2x﹣1，f（0）＝1，f′（0）＝0，故曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1．（2）y＝f（x）+x＝aex﹣x2，令aex﹣x2＝0，即a=设F(x)=当x∈（﹣∞，0）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，当x∈（0，2）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，当x∈（2，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，则极大值F(2)=4e2，极小值F（且由指数函数与幂函数增长速度可得，当x趋于﹣∞时，F（x）趋于+∞，当x趋于+∞时，F（x）趋于0，则作出F（x）图像如下：则当a＜0时，没有零点；当a＝0时，有1个零点；当0＜a＜当a=4e当a＞4e（3）证明：f'（x）＝aex﹣2x﹣1，要使f（x）由两个极值点，则f'（x）至少有两个零点，当a＝0时，f′（x）＝﹣2x﹣1只有1个零点，不符合题意；当a≠0时，f'令g(则g'当x∈(-∞，12)时，g′（x）＞当x∈(12，+∞)时，g'（x）＜则极大值g(且由指数函数与幂函数增长速度可得，当x趋于﹣∞时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于+∞时，g（x）趋于0，则作出g（x）图像如下：由图像可得，当且仅当0＜a＜2e时，g（x设其横坐标从左到右分别为x1，x2，则f'（x）有两个零点x1，x2，且当x∈（﹣∞，x1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，则f（x）极大值点为x1，极小值点为x2符合题意，由题意a=令t＝x2﹣x1＞0，则a=则ex1=x1设h（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，则h'(则h（x）单调递增，则h(即et2-所以ln2即x1【点评】本题考查导数的综合应用，以及函数零点与方程根的关系，属于难题．20．已知函数f（x）＝ex﹣2ax﹣1（a，b∈R），g（x）＝x﹣sinx．（1）当x∈[0，+∞）对，求函数g（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对x∈R恒成立，求实数a取值集合；（3）求证：对∀n∈N*，都有sin(【考点】利用导数求解函数的最值．【专题】函数思想；定义法；导数的综合应用；逻辑思维．【答案】（1）0．（2）{1（3）根据第一问可知，sin(kn+1)n+1＜(kn因此sin(因此只需证明：(1根据第二问可知，f（x）＝ex﹣x﹣1≥0，那么x+1≤ex，因此（x+1）n+1≤e（n+1）x，令x+1=kn+1=1en【分析】（1）求导，得到函数单调性，从而求出最小值；（2）先根据f（0）＝0，f'（0）＝0得到a=12，再证明出充分性成立，而a（3）由第一问结论得到sin(kn+1)n+1＜(kn+1)n+1，只需证明(1n+1)n+1【解答】解：（1）g'（x）＝1﹣cosx≥0，g（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，所以g（x）min＝g（0）＝0．（2）导函数f'（x）＝ex﹣2a，由于f（0）＝0，因此f'下证当a=12时，函数f（x）＝ex﹣x﹣1此时令f'（x）＝ex﹣1＜0，解得：x＜0，令f'（x）＝ex﹣1＞0，解得：x＞0，因此函数f（x）＝ex﹣x﹣1在x＜0上单调递减，在x＞0上单调递增，故f（x）＝ex﹣x﹣1在x＝0处取得极小值，也是最小值，且f(故f（x）≥0对x∈R恒成立；当a＞12时，f（x）＝ex﹣2ax﹣1＜ex﹣x﹣1，则f（0）＜e0﹣0﹣1当a＜12时，令f'（x）＝ex﹣2a＞0，解得：x＞ln令f'（x）＝ex﹣2a＜0，解得：x＜ln2a，其中ln2a＜0，那么函数f（x）＝ex﹣2ax﹣1在x＞ln2a上单调递增，在x＜ln2a上单调递减，又f（0）＝0，故当x∈（ln2a，0）时，f（x）＜0，不合题意，舍去；综上：实数a取值集合为{1（3）证明：根据第一问可知，sin(kn+1)n+1＜(kn因此sin(因此只需证明：(1根据第二问可知，f（x）＝ex﹣x﹣1≥0，那么x+1≤ex，因此（x+1）n+1≤e（n+1）x，令x+1=kn+1=1en【点评】本题考查利用导数求解函数最值，属于难题．

考点卡片1．奇函数偶函数的性质【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．【命题方向】题目包括判断奇偶函数，分析其对称性及应用，结合实际问题解决奇偶函数相关的问题．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2﹣x，则f（3）＝_____．解：f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2﹣x，则f（3）＝﹣f（﹣3）＝﹣[2×（﹣3）2﹣（﹣3）]＝﹣21．故答案为：﹣21．2．函数恒成立问题【知识点的认识】函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．【解题方法点拨】﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件．﹣利用恒成立条件，确定函数的行为．一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量【命题方向】题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力．关于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴∀x∈R，m＜1x∵x2+x+1＝（x+12）2∴0＜1∴m≤0．3．对数值大小的比较【知识点的认识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）4．运用诱导公式化简求值【知识点的认识】利用诱导公式化简求值的思路1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．5．函数零点的判定定理【知识点的认识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．【解题方法点拨】函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．6．函数的零点与方程根的关系【知识点的认识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解题方法点拨】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【命题方向】直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．7．基本初等函数的导数【知识点的认识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）=1xlna（a＞0且a≠1）⑧[lnx2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．【命题方向】题型一：和差积商的导数典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）为偶函数；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故选D．题型二：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′=1xC．（2sin2x）′＝2cos2xD．（sinxx）′解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；对于选项B，(lnx-2对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，(sinxx)'=故选C．8．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x（Ⅲ）求证：ln2解：（Ⅰ）f'(x当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）f'(2)=-a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣∴g(∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴g由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：g'(1)＜0g（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴0∴ln9．利用导数求解函数的单调性和单调区间【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B10．利用导数研究函数的极值【知识点的认识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．11．利用导数求解函数的极值【知识点的认识】1、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．2、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】﹣求导：计算函数的导数f'（x）．﹣零点分析：求解f'（x）＝0以找到可能的极值点．﹣极值判断：通过二阶导数或导数符号变化判断极值类型．【命题方向】常见题型包括利用导数求解函数的极值，分析函数在极值点的行为．已知函数f（x）＝﹣lnx+2x﹣2．求函数f（x）的极值．解：f（x）的定义域为（0，+∞）．令f'（x）＝0，得-1x+2=0令f'（x）＞0，得x＞12；令f'（x）＜0故f（x）在(0，12所以f（x）存在极小值为f(12．由函数的极值求解函数或参数【知识点的认识】1、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．2、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．【解题方法点拨】﹣极值分析：利用极值点和