高考新题型-数学导数及其应用多选题专项练习附答案

高考新题型——数学导数及其应用多选题专项练习附答案一、导数及其应用多选题1．已知函数，，其中，则下列说法中正确的是（）A．若只有一个零点，则B．若只有一个零点，则恒成立C．若只有两个零点，则D．若有且只有一个极值点，则恒成立【答案】ABD【分析】利用以及零点存在定理推导出当时，函数在上至少有两个零点，结合图象可知当时，函数在上有且只有一个极值点，利用导数分析函数在上的单调性，可判断A选项的正误；利用A选项中的结论可判断B选项的正误；取，解方程可判断C选项的正误；分析出当在上只有一个极值点时，，分、、三种情况讨论，结合可判断D选项的正误.【详解】构造函数，其中，则.当时，，函数单调递减；当时，，此时，函数单调递增.所以，.，且.，则.当时，，，由零点存在定理可知，函数在内至少有一个零点，所以，当时，函数在区间上至少有两个零点，所以，当函数在区间上只有一个零点时，.对于A选项，当时，.，则，，，，由零点存在定理可知，函数在区间上至少有一个极值点，令，可得，当时，，由，可得，解得，所以，函数在区间上有且只有一个极值点.作出函数与函数在区间上的图象如下图所示：由图象可知，函数与函数在区间上的图象有且只有一个交点，记该交点的横坐标为，当时，，此时；当时，，此时.所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以，，又.若函数在区间上有且只有一个零点，则.，则，所以，，解得，A选项正确；对于B选项，若函数在区间上有且只有一个零点时，由A选项可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.，，所以，对任意的，，B选项正确；对于C选项，取，则，，则，令，可得或，可得或，解得或.所以，当时，函数有两个零点，C选项错误；对于D选项，当时，若，则，且，当时，令，可得出，至少可得出或，即函数在区间上至少有两个极值点，不合乎题意，所以，.下面证明：当时，，构造函数，其中，则，所以，函数在区间上为增函数，所以，，即.分以下三种情况来证明恒成立.，可得，，由可得出，所以，.则.①当时，，则，，即成立；②当时，，则；③当时，，.综上所述，当函数只有一个极值点时，恒成立.故选：ABD.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.2．已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数存在两个不同的零点B．函数既存在极大值又存在极小值C．当时，方程有且只有两个实根D．若时，，则的最小值为【答案】ABC【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．【详解】对于A．，解得，所以A正确；对于B．，当时，，当时，或，所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．故选：ABC.【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．3．对于函数，其中，下列个命题中正确命题有（）A．该函数定有个极值 B．该函数的极小值一定不大于C．该函数一定存在零点 D．存在实数，使得该函数有个零点【答案】BD【分析】求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数．【详解】函数定义域是，由已知，，有两个不等实根，但，一正一负．由于定义域是，因此只有一个实根，只有一个极值，A错；不妨设，则时，，递减，时，，递增．所以是函数的极小值．，，＝，设，则，时，，递增，时，，递减，所以极大值＝，即，所以，B正确；由上可知当的极小值为正时，无零点．C错；的极小值也是最小值为，例如当时，，，时，，又（，所以在和上各有一个零点，D正确．故选：BD．【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．4．已知函数，，则下列结论正确的是（）A．存在唯一极值点，且B．恰有3个零点C．当时，函数与的图象有两个交点D．若且，则【答案】ACD【分析】根据导数求得函数在上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A正确；利用导数求得函数在，单调递减，进而得到函数只有2个零点，可判定B不正确；由，转化为函数和的图象的交点个数，可判定C正确；由，化简得到，结合单调性，可判定D正确.【详解】由函数，可得，则，所以在上为单调递减函数，又由，所以函数在区间内只有一个极值点，所以A正确；由函数，当时，，可得，因为，所以，函数在单调递减；又由，所以函数在上只有一个零点，当时，，可得，因为，所以，函数在单调递减；又由，所以函数在上只有一个零点，综上可得函数在定义域内只有2个零点，所以B不正确；令，即，即，设，，可得，则，所以函数单调递增，又由，可得当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，最小值为，又由，因为，则，且过原点的直线，结合图象，即可得到函数和的图象有两个交点，所以C正确；由，若时，因为，可得，即，因为在单调递减，所以，即，同理可知，若时，可得，所以D正确.故选：ACD.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.5．若直线与曲线满足下列两个条件：（i）直线在点处与曲线相切；（ii）曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.下列命题正确的是（）A．直线在点处“切过”曲线B．直线在点处“切过”曲线C．直线在点处“切过”曲线D．直线在点处“切过”曲线【答案】ACD【分析】分别求出每个选项中命题中曲线对应函数的导数，求出曲线在点处的切线方程，再由曲线在点处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii），由此可得出合适的选项.【详解】对于A选项，由，可得，则，所以，曲线在点处的切线方程为，当时，；当时，，满足曲线在点附近位于直线两侧，A选项正确；对于B选项，由，可得，则，而直线的斜率不存在，所以，直线在点处不与曲线相切，B选项错误；对于C选项，由，可得，则，所以，曲线在点处的切线方程为，设，则，所以，函数为上的增函数，当时，，即；当时，，即.满足曲线在点附近位于直线两侧，C选项正确；对于D选项，由，可得，，所以，曲线在点处的切线方程为，当时，设，则，所以，函数在上单调递减.当时，，即；当时，，即.满足曲线在点附近位于直线两侧，D选项正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.6．经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则（）A． B． C．的值可能是 D．的值可能是【答案】ABC【分析】求导得，故由题意得，，即，故.进而将问题转化为，由于，故，进而得，即，进而得ABC满足条件.【详解】由题意可得，因为，所以，所以，解得，故.因为，所以等价于.设，则，从而在上单调递增.因为，所以，即，则（当且仅当时，等号成立），从而，故.故选：ABC.【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，进而将不等式恒成立问题转化为恒成立问题，再结合得，进而得.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.7．在单位圆O：上任取一点，圆O与x轴正向的交点是A，将OA绕原点O旋转到OP所成的角记为，若x，y关于的表达式分别为，，则下列说法正确的是（）A．是偶函数，是奇函数；B．在上为减函数，在上为增函数；C．在上恒成立；D．函数的最大值为.【答案】ACD【分析】依据三角函数的基本概念可知，，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A、B；根据辅助角公式知，再利用三角函数求值域可判断C；对于D，，先对函数求导，从而可知函数的单调性，进而可得当，时，函数取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，，，对于A，函数是偶函数，是奇函数，故A正确；对于B，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数在上为减函数，函数在为增函数，在为减函数，故B错误；对于C，当时，，故C正确；对于D，函数，求导，令，则；令，则，函数在和上单调递增，在上单调递减，当即，时，函数取得极大值，又当即，时，，所以函数取得最大值，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.8．已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（）A．当时，有3个零点 B．当时，有2个零点C．当时，有4个零点 D．当时，有1个零点【答案】CD【分析】令y＝0得，利用换元法将函数分解为f（x）＝t和f（t）＝﹣1，作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令，得，设f（x）＝t，则方程等价为f（t）＝﹣1，①若k＞0，作出函数f（x）的图象如图：∵f（t）＝﹣1，∴此时方程f（t）＝﹣1有两个根其中t2＜0，0＜t1＜1，由f（x）＝t2＜0，此时x有两解，由f（x）＝t1∈（0，1）知此时x有两解，此时共有4个解，即函数y＝f[f（x）]+1有4个零点．②若k＜0，作出函数f（x）的图象如图：∵f（t）＝﹣1，∴此时方程f（t）＝﹣1有一个根t1，其中0＜t1＜1，由f（x）＝t1∈（0，1），此时x只有1个解，即函数y＝f[f（x）]+1有1个零点．故选：CD．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．9．函数、，下列命题中正确的是（）.A．不等式的解集为B．函数在上单调递增，在上单调递减C．若函数有两个极值点，则D．若时，总有恒成立，则【答案】AD【分析】对A，根据，得到，然后用导数画出其图象判断；对B，，当时，，当时，判断；对C，将函数有两个极值点，有两根判断；对D，将问题转化为恒成立，再构造函数，用导数研究单调性.【详解】对A，因为，，令，得，故在该区间上单调递增；令，得，故在该区间上单调递减.又当时，，，故的图象如下所示：数形结合可知，的解集为，故正确；对B，，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，错误；对C，若函数有两个极值点，即有两个极值点，又，要满足题意，则需有两根，也即有两根，也即直线的图象有两个交点.数形结合则，解得.故要满足题意，则，故错误；对D，若时，总有恒成立，即恒成立，构造函数，，对任意的恒成立，故单调递增，则恒成立，也即，在区间恒成立，则，故正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.10．（多选题）已知函数，函数，下列选项正确的是（）A．点是函数的零点B．，使C．函数的值域为D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是【答案】BC【分析】根据零点的定义可判断A；利用导数判断出函数在、上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B；利用导数求出函数的最值即可判断C；利用导数求出函数的最值即可判断D.【详解】对于选项A，0是函数的零点，零点不是一个点，所以A错误.对于选项B，当时，，可得，当时，单调递减；当时，单调递增；所以，当时，，