2025年统计学原理与应用考试试题及答案

2025年统计学原理与应用考试试题及答案一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.某市调查1000名居民月均可支配收入，样本均值为6800元，标准差为1200元。若将样本量扩大到4000人，则样本均值的标准误差将变为A.60元  B.30元  C.120元  D.15元答案：B解析：标准误差公式σ/√n，原标准误差1200/√1000≈37.95元；扩大后1200/√4000≈18.97元，最接近30元的是B。2.在简单线性回归y=β₀+β₁x+ε中，若解释变量x的样本方差为0，则β₁的最小二乘估计A.为0  B.不存在  C.为1  D.无法确定答案：A解析：β₁=Sxy/Sxx，Sxx=0则β₁=0。3.设随机变量X~N(μ,σ²)，则P(|X−μ|≤1.96σ)的近似值为A.0.90  B.0.95  C.0.99  D.0.50答案：B解析：1.96为双侧95%分位数。4.对同一总体进行两次独立抽样，样本量分别为n₁、n₂，若两样本均值差的方差为σ²(1/n₁+1/n₂)，则两样本A.必须同分布  B.必须正态  C.必须独立  D.必须等方差答案：C解析：独立性保证协方差为0。5.在假设检验中，若显著性水平α从0.05降到0.01，则A.第一类错误概率降低  B.第二类错误概率降低  C.检验功效增加  D.临界域扩大答案：A解析：α即第一类错误概率。6.对分类变量做χ²拟合优度检验，自由度等于A.类别数  B.类别数−1  C.样本量−1  D.样本量−类别数答案：B解析：自由度=类别数−1−估计参数个数，拟合优度无额外参数。7.若时间序列{Y_t}满足Y_t=0.8Y_{t−1}+ε_t，ε_t~WN(0,σ²)，则其自相关函数ρ_kA.指数衰减  B.截尾  C.正弦波动  D.线性衰减答案：A解析：AR(1)自相关ρ_k=0.8^{|k|}。8.在贝叶斯估计中，若先验为Beta(2,2)，似然为二项分布Bin(n=10,x=3)，则后验均值为A.0.3  B.0.4  C.0.5  D.0.6答案：B解析：后验Beta(2+3,2+7)=Beta(5,9)，均值5/14≈0.357，最接近0.4。9.对多元线性回归模型，若VIF_j=10，则A.第j变量与其他变量无共线  B.第j变量容忍度为0.1  C.R²_j=0.9  D.必须删除该变量答案：B解析：VIF=1/(1−R²_j)=10⇒R²_j=0.9，容忍度=0.1。10.在系统抽样中，若总体容量N=1000，样本量n=50，则抽样间隔k为A.10  B.20  C.25  D.50答案：B解析：k=N/n=20。二、多项选择题（每小题3分，共15分，多选少选均不得分）11.下列哪些图适合展示两个数值型变量的关系A.散点图  B.箱线图  C.热力图  D.三维曲面图  E.条形图答案：ACD解析：箱线图与条形图不直接展示两数值变量关系。12.关于t分布，正确的有A.对称  B.均值为0  C.方差>1  D.随自由度增加趋近标准正态  E.峰度小于正态答案：ABCD解析：t分布峰度>3，E错误。13.下列属于非参数检验方法A.Wilcoxon符号秩  B.Kruskal-Wallis  C.Mann-Whitney  D.符号检验  E.Friedman答案：ABCDE解析：全部为非参数方法。14.在构建置信区间时，若总体方差未知且样本量小，需满足A.样本独立  B.总体正态  C.样本量>30  D.使用t分位数  E.使用χ²分位数答案：ABD解析：小样本需正态假定，使用t分位数。15.下列哪些措施可降低问卷无回答误差A.多次回访  B.物质激励  C.缩短问卷  D.采用匿名  E.加大样本量答案：ABCD解析：E仅降低随机误差，不降低无回答偏差。三、判断题（每小题1分，共10分，正确打“√”，错误打“×”）16.若随机变量X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y)。答案：√17.在简单随机抽样中，抽样fraction越大，设计效应一定越大。答案：×解析：设计效应与群相关性有关，非单纯fraction。18.对于右偏分布，均值>中位数>众数。答案：√19.当回归模型存在异方差时，OLS估计量不再无偏。答案：×解析：仍无偏，但非有效。20.若两变量相关系数为0，则必然独立。答案：×解析：仅说明无线性相关。21.在假设检验中，p值>α时，应拒绝原假设。答案：×22.指数平滑法适用于非平稳序列。答案：√解析：一阶差分后可用。23.对数变换可缓解异方差问题。答案：√24.在贝叶斯框架下，数据一旦确定，后验分布不再更新。答案：√25.分层抽样一定比简单随机抽样精度高。答案：×解析：层内差异大时才高。四、填空题（每空2分，共20分）26.设X~Poisson(λ)，则Var(X)=________。答案：λ27.若样本偏度为0，峰度为3，则分布可近似为________分布。答案：正态28.在多元回归中，调整R²的取值范围是________。答案：[0,1]29.若随机变量X的矩母函数为M_X(t)=exp(μt+σ²t²/2)，则X服从________分布。答案：N(μ,σ²)30.对二项分布Bin(n,p)，当n→∞且p→0，np→λ时，其近似分布为________。答案：Poisson(λ)31.在控制图理论中，若过程处于稳态，点超出上控制限的概率约为________。答案：0.0013532.若时间序列模型为MA(1)，则其自相关函数在滞后________阶后截尾。答案：133.在实验设计中，若因素A有3水平，因素B有4水平，采用完全随机设计，则处理组合数为________。答案：1234.对同一总体，有放回抽样的样本均值方差________无放回抽样。答案：≥35.若置信水平为99%，则对应标准正态分布的双侧临界值为________。答案：2.576五、简答题（每小题8分，共24分）36.简述中心极限定理的内容及其在统计推断中的意义。答案：中心极限定理指出，从任意均值为μ、方差为σ²的总体中抽取容量为n的随机样本，当n足够大时，样本均值的分布近似服从N(μ,σ²/n)。该定理奠定了大样本推断的基础，使得即使总体分布未知，仍可用正态近似构造置信区间与假设检验，极大扩展了统计方法适用范围。37.说明多重共线性对回归模型估计的影响，并给出两种诊断方法及两种补救措施。答案：多重共线性导致系数估计方差膨胀，t检验失效，符号反常。诊断：①方差膨胀因子VIF>10；②条件数>30。补救：①删除或合并高度相关变量；②采用岭回归压缩估计。38.比较简单随机抽样与分层随机抽样的优缺点。答案：简单随机抽样操作简便、无需辅助信息，但精度低、样本分布可能不均。分层抽样利用层内同质性提高精度，保证层样本量，可估计层总体，但需完整抽样框与分层变量，设计复杂，成本较高。六、计算题（共41分）39.（10分）某生产线袋装食品标重500g，长期标准差σ=8g。现随机抽取25袋，测得均值498g。（1）在α=0.05下检验是否显著不足；（2）求总体均值的95%置信区间；（3）若要求估计误差不超过1g，求所需样本量。答案：（1）H₀:μ=500，H₁:μ<500，z=(498−500)/(8/5)=−1.25，临界值−1.645，−1.25>−1.645，不拒绝。（2）498±1.96×8/5→(494.864,501.136)。（3）n=(1.96×8/1)²=245.86→246。40.（10分）对某城市居民出行方式做调查，随机抽取400人，其中选择公交180人，地铁100人，其他120人。历史比例为公交45%、地铁25%、其他30%。在α=0.01下检验当前结构是否变化。答案：期望频数：公交180、地铁100、其他120，与历史一致，故χ²=0，p=1，不拒绝，无显著变化。41.（11分）某电商研究广告投入x（万元）对销售额y（万元）的影响，数据如下：x:1 2 3 4 5 6y:5 7 9 11 13 15（1）建立简单线性回归方程；（2）检验β₁显著性（α=0.05）；（3）当x=7时，求y的90%预测区间。答案：（1）x̄=3.5，ȳ=10，Sxx=17.5，Sxy=70，β₁=4，β₀=10−4×3.5=−4，方程ŷ=−4+4x。（2）SSE=0，σ²=0，t→∞，极显著。（3）预测ŷ=24，因SSE=0，区间退化为点24。42.（10分）为比较两种肥料对作物产量的影响，随机选择8块地，采用交叉设计，得差值d（A−B，kg）：2.1,0.8,−0.5,1.3,1.8,0.6,−0.2,1.1。假设差值服从正态，检验两种肥料是否差异显著（α=0.05）。答案：d̄=0.875，s_d=0.851，t=0.875/(0.851/√8)=2.91，df=7，双侧临界±2.365，|2.91|>2.365，拒绝，有显著差异。七、综合应用题（共20分）43.某连锁便利店欲评估新促销方案对客单价的影响，随机抽取20家门店，记录促销前后一周客单价（元）：门店:1 2 3 … 20前:32 28 35 … 30后:36 31 38 … 34已知差值近似正态，平均提升3.2元，标准差2.8元。（1）给出促销效果均值的95%置信区间；（2）若总部要求提升不少于2元方可全面推广，请给出统计结论；（3）若真实提升为2.5元，求检验功效（α=0.05）