2025版高考数学二轮复习专题五 概率与统计 第4讲 概率与统计的创新题型原卷版

H专题突破

专题五概率与统计

第4讲概率与统计的创新题型（新高考专用）

【真题自测】2

【考点突破】2

【考点一】概率和数列的综合问题2

【考点二】概率和函数的综合问题4

【C题精练】…….6

考情分析:

概率与统计问题在近几年的高考由背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，主要考查学生的阅

读理解能力和数据分析能力.要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、

各事件间的关系，建立相应的数学模型求解.

真题自测

一、解答题

1.（2023•全国•高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若

末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为

0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

⑴求第2次投篮的人是乙的概率；

⑵求第/次投篮的人是甲的概率；

，n\fi

⑶已知：若随机变量X服从两点分布，且尸（Xj=l）=l—P（X,=0）=分i=l,2,…则EZX=».记

kM）r=l

前"次（即从第1次到第〃次投篮）中甲投篮的次数为y,求日了）.

2.（2021•全国•必考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代,

经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代......，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相

同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P（X=/）=pj（/=0,l,2,3）.

（1）已知％=0.4,P]=0.3,p?=0.2,“3=。/，求E（X）；

（2）设〃表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，〃是关于x的方程：〃0+〃/+〃/2+〃亚3=]的

一个最小正实根，求证：当E（X）W1时，p=l,当E（X）>1时，〃<1；

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义.

考点突破

【考点一】概率和数列的综合问题

一、单选题

1.（2024•山东聊城三模）设正项数列应｝的前〃项和S“满足25。=d+4,£：表示从〃个不同元素中任取〃2

10

个元素的组合数，则Z&C：o=（）

t=l

A.512B.1024C.5120D.10240

2.（2024・四川成都•模拟预测）已知数列｛。“｝共有9项，％=1,%+%=2%，且满足：

d+d-w-3%+2=0（2K〃K9,〃eN），则符合条件的数列｛q｝共有（）个.

A.16B.40C.70D.80

二、多选题

3.（2024・河南信阳•模拟预测）甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一

个球交换放入另一口袋，重复进行，次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X“，恰有1个黑球的概

率为2,下列说法正确的是（）

A.沼B.P（X.=2）=1

C.数列,一|｝是等比数列D.X”的数学期望E（X”）=1

4.（2024•福建泉州•模拟预测）已知随机变量X的分布列如下：

X123・・・n

・・・

P6P262

若数列优｝是等差数列，则（）

A.若〃为奇数，则尸=LB.匕=上也

k2Jnn

C.若数列代｝单调递增，则叫<1D.E（X）=（〃+.0一叫）

6

三、填空题

5.（2024•江西-模）斐波那契数列（Fibonaccisequence）,又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契

（Leonard。Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列〃，指的是这样一个数列：1、1、2、3、

5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：

%=1,6=IM”=>2,muN"）,人=｛q,/，…，~24｝，8工A且3工0中，则8中所有元素之和为奇数

的概率为—.

四、解答题

6.（2025・广东广州•模拟预测）已知有穷数列｛4｝的通项公式为4=〃（〃wN,）,将数列｛%｝中各项重新排列

构成新数列血｝,则称数列｛〃｝是｛4｝的"重排数列";若数列他｝各项均满足2工％,则称数列也｝是｛4｝

的“完全重排数列〃，记项数为〃的数列｛4｝的“完全重排数列〃的个数为D..

⑴计算a,A,A；

⑵写出。向和2，2T(〃之2)之间的递推关系，并证明：数列论―“。7｝(〃之2)是等比数列；

⑶若从数列｛4｝及其所有“重排数列〃中随机选取一个数列｛qj,记数列｛7｝是几｝的"完全重排数歹旷的概率

IV2丫3r"

为匕，证明：当〃无穷大时，月趋近于一.(参考公式：e=\—+—+-+—+……)

e+x+2!3!加

规律方法：

榻率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型：

(1)求通项公式：关键是找出概率P”或均值七(X〃)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出

通项公式.

(2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、整项相消法求和.

(3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限.

【考点二】概率和函数的综合问题

一、单选题

1.(2024・浙江•三模)定义函数集

A=｛〃(x)|〃(x)=/(r)位〃(x),14/iy4//eN+,且iwj,其中③为加、减、乘、除四种运算｝.已知函数

l

/(x)=x,f2(x)=~,/,(x)=V2e,f4(x)=\f2\nx.若函数g(#)wA,则在g(x)为奇函数的条件下,g(x)

X

存在单调递减区间的概率为()

23八31

A.-B.-C.—D.—

38166

2.(2024•河南•三模)有以下6个函数：①公)=G—4+7？7?；②/(x)=L③/(x)=siiu；(4)

X

/(X)=COS2A-；⑤八力=?；⑥〃x)=2x+3.记事件M：从中任取1个函数是奇函数；事件N：从中

任取1个函数是偶函数，事件MW的对立事件分别为后,N,则()

A.P（M）=P（M+N）-?（N）

B.P（WV）=P（M）P（iV）

c.P（M+N）=P（A?）+P（N）

D.P（MN）=P（A7|N）

二、填空题

3.(23-24高三上•河北邢台•开学考试)欧拉是18世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都可以看到

欧拉的名字，如著名的欧拉函数.欧拉函数。(〃)的函数值等于所有不超过正整数〃，且与〃互素(两个数只有

公约数1）的正整数的个数.例如：夕⑴=1,夕（4）=2.现从祝1）,9⑵，奴3）,…，公10）中任选两个数,则这

两个数相同的概率是.

4.（23-24高二上•福建泉州•阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子〃

的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数y=b］（xeR）称为高斯函

2024"+2024A

数，其中卜］表示不超过x的最大整数.设S-X则S除以2023的余数是

(-1)*2023

三、解答题

5.（2024•辽宁沈阳•模拟预测）已知某地居民某种疾病的发病率为0.02,现想通过对血清甲胎蛋白进行检验，

筛查出该种疾病携带者.

⑴若该检测方法可能出错，具体是：患病但检测显示正常的概率为091，未患病但检测显示患病的概率为

0.05.

①求检测结果显示患有该疾病的概率；

②求检测显示患有该疾病的居民确实患病的概率.（保留四位有效数字）

⑵若该检测方法不可能出错，采用混合化验方法：随机地按A人一组分组,然后将女个人的血样混合再化验，

如果混合血样呈阴性，说明这k人全部阴性；如果混合血样呈阳性，就需要对每个人再分别化战一次（每一

小组都要按要求独M完成），k取何值时，总化验次数最少？

说明：函数/（幻=！-。.98,3>0）先减后增.

X

0.9860.9870.9880.989

0.88580.86810.85080.8337

6.（2024・广东•一模）某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒"，焊接是否成功直接导

致产品"合格〃与“不合格〃，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有

明显差异，得到如下的“不合格〃产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：

个频率/组距木频率/组距

嬲

0.004kl111r

O8090100110120指标O60708090100指标

不合格产品合格产品

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值K将该指标大于k的产品判定为“不合格”，小于或等于攵的

产品判定为“合格〃.此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为了伏)；错检率

是将“合格”产品判定为"不合格〃产品的概率，记为g(A).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作

为相应事件发生的概率.

⑴当漏检率/伙)=2.8%时，求临界值k和错检率g(k)；

(2)设函数力(A)=/(A)+g。),当々480,100］时，求〃(〃)的解析式，并求妆A)在区间［80,100］的最小值.

规律方法：

构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制.

专题精练

一、单选题

1.(2024・福建三明•三模)随机变量J~N(必/),函数〃x)=x2-没有零点的概率是;，则〃的值

为()

A.1B.2C.3D.4

2.(2024•湖南常德•一模)将三个分别标注有e，，x,的三个质地均匀的小球放入一个不透明的小盒中.

Inx

无放回的随机取出2个小球(每次取一球)，分别记录下小球的标注为/(x),g(x).若/i(x)=f(x)^(x),则

/©)在xc(O,l)上单调递减的概率为()

I212

A.-B.-C,-D.一

6933

3.(2024・四川成都•模拟预测)对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算

速度和准确度.已知M={1,3},N={1,3,5,7},若从集合M,N中各任取一个数工，户则1吧，(移)为整数的

概率为()

I214

A.—B.-C.—D.一

4525

4.(2024•安徽•模拟预测)科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，

以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量〃进制随机数据中，以〃开头的数出现的概

率为％(〃)=log〃四，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律

来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若立。（〃）=整甯（%eN'，k>4）,则A的值为

MIn2+In5

（）

A.11B.15C.19D.21

5.12024•河南•二模）单调递增数列｛&｝满足：4wN"=l.在q=8的条件下，出+/=2%的概率为（）

1321

A.-B.—C.-D.-

51052

6.（23-24高三下•云南•阶段练习）随着互联网普及和技术的飞速发展，网络游戏已成为当今社会的一种流

行文化，也是青少年学习、娱乐和社交的重要方式.但随着网络游戏的推广发展，一些青少年对其过度依赖，

甚至对心理健康产生了不可忽视的影响."预防网络游戏沉迷，关爱青少年心理健康，已成为亟需破解的现实

问题."某款网络游戏的规则如下：参与者每•局需投•枚游戏币，每局通关的概率为50%,若该局通关，参

与者可以赢得两个游戏币.遇到两种情况会自动结束游戏：•种是手中没有游戏币；•种是手中游戏币到预

期的N个.设当参与者手中有〃个（0W〃WN）游戏巾时，最终手中没有游戏币的概率为“（〃），下列说法

错误的是（）

A.*0）=1,P（N）=0

B.记乂=参与者通关的局数，在前13局中，£（X）=6.5,D（X）=3.25

C.*〃+1）="（〃）+）（〃-1）

4

D.若参与者最初手中有20个游戏币，他希望赢到100个，则他输光的概率为《

7.（24-25高三上•福建•开学考试）某城市采用摇号买车的方式，有20万人摇号，每个月摇上的人退出摇号，

没有摇上的人继续进入下月摇号，每个月都有人补充进摇号队伍，每个季度第一个月摇上的概率为第

二个月为《，第三个月为：，则平均每个人摇上需要的时间为（）个月.

9o

A.7B.8C.9D.10

8.（23-24高二下•江苏南京•阶段练习）己知A细胞有0.4的概率会变异成8细胞，0.6的概率死亡；8细胞

有0.5的概率变异成A细胞，0.5的概率死亡，细胞死亡前有可能变异数次.下列结论成立的是（）

A.一个细胞为A细胞，其死亡前是A细胞的概率为0.75

B.一个细胞为A细胞，其死亡前是8细胞的概率为0.2

C.一个细胞为8细胞，其死亡前是A细胞的概率为0.35

D.一个细胞为U细胞，其死亡前是〃细胞的概率为0.7

二、多选题

9.（2024・广西来宾•一模）甲，乙，丙，丁等4人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将

球等可能地传给另外3人中的任何1人，经过〃次传球后，球在甲手中的概率为匕（几=1,2,…），则下列结

论正确的是（）

A.经过一次传球后，球在丙中概率为:

4

2

B.经过两次传球后，球在乙手中概率为§

7

C.经过三次传球后，球在丙手中概率为彳；

27

D.经过〃次传球后，

4ID/

10.（2024•全国•模拟预测）甲、乙、丙三人做足球传球训练，规定：每次传球时，传球人将球传给另两人

中的任何一人是等可能的.假设第1次由甲将球传出，第&次传球后，球回到甲处的概率为外（kWND，

则（）

1r।1

A.p2=~B.PCP&C.A+2/?,+I=1D.p15>-

4J

11.（22・23高二下・贵州贵阳•阶段练习）甲、乙、丙、丁4人做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机

传问另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假

设传出的球都能接住.记第〃次传球之前球在甲手中的概率为乙，易知[=1，6=。.下列选项正确的是（）

A.

6

B.[2一；｝为等比数列

C.设笫〃次传球之前球在乙手中的概率为”“，&<兄2

D.第4次传球后，球落在乙手中的传球方式有20种

三、填空题

12.（2024•北京海淀•一模）一维码是一种利用黑、白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款

由个黑白方块构成的〃x〃二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒

能随机生成*个不重复的二维码：为确保一个〃x〃二维码在1分钟内被破译的概率不高于，，则〃的最小

值为.

13.（2024•江苏连云港•模拟预测）已知某公司加工一种芯片的不合格率为p,其中。若加工后的30

颗这种芯片中恰有6颗不合格的概率为了（〃），且各颗芯片是否为不合格品相互独立，则当/（〃）取最大值

时，〃=.

14.（22-23高二下•北京丰台•期末）投掷一枚质地并不均匀的硬札结果只有正面和反面两种情况，记每次

投掷结果是正面的概率为〃（。<P<1）.现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正面的

概率为了（P），则/（P）=;函数/（P）取最大值时，P=.

四、解答题

15.（2024•浙江•三模）为提高学生的思想政治觉悟，激发爱国热情，增强国防观念和国家安全意识，某校

进行军训打靶竞赛.规则如下：每人共有3次机会，击中靶心得1分，否则得0分、已知甲选手第一枪击

中靶心的概率为,，且满足：如果第〃次射击击中靶心概率为p,那么当第〃次击中靶心时，第〃+1次击中

靶心的概率也为p,否则第〃+1次击中靶心的概率为

⑴求甲选手得分X的分布列及其数学期望；

⑵芍如下定义：设X是一个随机变量，1是任意实数，函数/。）=尸（XW>）,xwR称为X的分布函数，

对于任意实数七，七（大<玉），W^1<X<X2）=P（X<^）-P（X<XI）=F（X2）-F（X1）.因此，若已知X

的分布函数，我们就知道X落在任一区间（％,9]上的概率.

（i）写出（1）中甲选手得分X的分布函数（分段函数形式〉；

（ii）靶子是半径为2的一个圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面枳成正比，假如选

手射击都能中靶，以丫表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量丫的分布函数.

16.（2024•福建龙岩•三模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个

层级，分别对应如下五组质量指标值：[45.55）,[55.65）,[65,75）,[75,85）,[85,95].根据长期检测结果，得到芯片

的质量指标值X服从正态分布并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其它产品称为8等

品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

⑴根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11,用样本平均数工作为〃的近似值，用

样本标准差S作为。的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A等品的概率(保留小数点后面

两位有效数字)；

(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若隙机变量J服从正态分布%(〃,/),则

P(z7-tr<^</74-cr)a0.6827,P(〃-2o<Jv〃+2a)«0.9545,P(〃-3crvJv//+3(T)=0.9973.)

(2)(i)从样本的质量指标值在［45.55)和［85,95］的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在［85,95］的芯

片件数为〃，求〃的分布列和数学期望；

(ii)该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一性A等品芯片

的利润是〃?(1<〃?<24)元，一件8等品芯片的利润是ln(25-/〃)元，根据⑴的计算结果，试求〃，的值，使得

每箱产品的利