2025版高考数学总复习第十章统计与统计案例概率第1节抽样方法教案文含解析北师大版

第1节抽样方法

最新考纲L理解随机抽样的必要性和重要性；2.会用简洁随机抽样方法从总体中抽取样

本；了解分层抽样和系统抽样方法.会用随机抽样的基本方法解决一些简洁的实际问题.

知识衍化体监回顾教材，夯实基础

知识梳理

1.简洁随机抽样

(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取〃个个体作为样本假

如每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相笔，就把这种抽样方法叫做简洁随机抽

样.

(2)最常用的简洁随机抽样的方法：抽签法和随机数法.

(3)应用范围：总体中的个体数较少.

2.系统抽样

(1)定义：系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组,在第一组中依据简洁随机抽样

抽取第一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本.这种抽样方法有时也叫等

距抽样或机械抽样.

(2)系统抽样的操作步骤

假设要从容量为的总体中抽取容量为〃的样本.

①先将总体的N个个体编号；

②确定分段间隔k,对编号进行分段，当;;(〃是样本容量)是整数时，取女=:

③在第1段用简洁随机抽样确定第一个个体编号/(/WA)；

④依据肯定的规则抽取样本，通常是将1加上间隔k得到第2个个体编号(/+A),再加k

得到第3个个体编号(，+2田,依次进行下去，直到获得整个样本.

(3)应用范围：总体中的个体数较多.

3.分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层),然后在每个类型中

依据所占比例随机抽取肯定的样本,这种抽样方法叫作分层抽样，有时也称为类型抽样.

(2)应用范围：当总体是由差异明显的若干类型组成时,往往选用分层抽样.

［微点提不］

1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.

2.系统抽样一般也称为等亚抽样，入样个体的编号相差分段间隔%的整数倍.

3.分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.

基础自测

疑误辨析

1.推断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

(1)简洁随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.()

(2)系统抽样在起始部分拍样时采纳简洁随机抽样.()

(3)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.()

(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，须要剔除2个学生，

这样对被剔除者不公允.()

答案⑴X(2)V(3)X(4)X

教材衍化

2.(必修3P5讲解引申改编)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读

时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，

5000名居民的阅读时间的全体是()

A.总体B.个体

C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本

解析由题目条件知，5000名居民的阅读时间的仝体是总体；其中每1名居民的阅读时间

是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的

一个样本，样本容量是200.

答案A

3.(必修3P12例3改编)一个公司共有M名员工，下设一些部门，要采纳等比例分层抽样的

方法从全体员工中抽取样本容量为〃的样本，已知某部门有m名员工，那么从该部门抽取的

员工人数是_______.

解析每个个体被抽到的概率是£

JI

设这个部门抽取了X个员工，

nitl

答FG案H

考题体验

4.（2024•商洛模拟）现从已编号（1〜50）的5（）位同学中随机抽取5位以了解他们的数学学习

状况，用选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5位同学的编号可能是（）

A.5,10,15,20,25B.3,13,23,33,43

C.1,2,3,4,5D.2,10,18,26,34

5（）

解析抽样间隔为七=10,只有选项B合题意.

D

答案B

5.（2024•全国［II卷）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为

了解客户的评价，该公司打算进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简洁随机抽样、分层抽

样和系统抽样，则最合适的抽样方法是.

解析因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，

才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价.

答案分层抽样

6.（2024•宜春月考改编）将参与英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002,

999,从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，假如第一组编号为000,

001,002,…，019,且第一组随机抽取的编号为015,则抽取的第35个样本编号为.

解析由题意可知，第一组随机抽取的编号为015,分段间隔数攵="=^^=20,由题意

noU

知抽出的这些号码是以15为首项，20为公差的等差数列，则抽取的第35个样本编号为15

+（35-1）X20=695.

答案695

I考点聚焦突则分类讲练，以例求法

考点一简洁随机抽样及其应用

【例1】（D下列抽取样本的方式属于简洁随机抽样的个数为（）

①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.

②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中随意拿出一

个零件进行质鼠检验后再把它放回盒子里.

③从20件玩具中一次性拍取3件进行质量检验.

④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参与学校组织的篮球赛.

A.0B.1C.2D.3

（2）总体由编号为01,02,…，19,2。的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个

429966027954

If

解析（D从N个个体中拍取V个个体，则每个个体被抽到的概率都等于工，

A

（2）由随机数表知,前4个样本的个体编号分别是331,572,455,068.

答案（DC（2）068

考点二系统抽样及其应用

【例2】（1）（2024•安徽皖北联考）某学校采纳系统抽样方法，从该校高一年级全体8D0名

学生中抽50名学生做视力检查.现将800名学生从1到800进行编号.已知从33〜48这16

个数中抽到的数是39,则在第1小组1〜16中随机抽到的数是（）

A.5B.7C.11D.13

（2）（2024•长沙雅礼中学质检）在一次马拉松竞赛中，3s名运动员的成果（单位：分钟）的茎

叶图如图所示：

1300345668889

1411122233445556678

150122333

若将运动员按成果由好到差编为1〜35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成果在

区间［139,151］上的运动员人数是.

解析（1）把800名学生分成50组，每组16人，各小组独到的数构成一个公差为16的等差

数列，39在第3组.

所以第1组抽到的数为39-32=7.

（2）依题意，可将编号为1〜35号的35个数据分成7组，每组有5个数据，从每组中抽取一

人.

成果在区间［139,151］上共有20个数据，分在4个小组内，每组抽取1人，共抽取4人.

答案（DB（2）4

规律方法1.假如总体容量川能被样本容量〃整除，则抽样间隔为否则，可随机地

n

从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样，特殊留意，每个个体被抽到的机会均是£

/V

2.系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的

号码,公差为间隔数,依据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.

【训练2】（2024•郑州模拟）为规范学校办学，某省教化厅督察组对某所中学进行了抽样

调查.抽到的班级一共有E2名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容

量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应

是（）

A.13B.19C.20D.51

解析由系统抽样的原理知，抽样的间隔为52+4=13,故抽取的样本的编号分别为7,7

+13,7+13X2,7+13X3,即7号，2（）号，33号，46号.

・♦•样本中还有一位同学的编号为20.

答案C

考点三分层抽样及其应用.•…a多维探究

角度1求某层入样的个体数

【例3—1]（2024•江苏卷）某工厂牛产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产最分别为

200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上全部的产品中抽

取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件.

解析因为样本容量〃=£0,样本总体.¥=2004-400+300+100=1000,所以抽取比例为£=

60_3

1000=为

因此应从丙种型号的产品中抽取300X玲=18（件）.

答案18

角度2求总体或样本容量

【例3—2】⑴（2024•安庆一中、太原五中联考）某中学有中学生960人，初中生480人,

为了了解学牛•的身体状况，采纳分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为〃的样本，其中

中学生有24人，那么〃等于（）

A.12B.18C.24D.36

（2）（2024•唐山调研）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采纳分层抽样的方法

从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设

备生产的产品总数为件.

n24

解析（1）依据分层抽样方法知麻工7^=黄，解得〃=36.

yoU-r4oUybU

«01

（2）由题设，抽样比为丁丽=而.

V

设甲设备生产的产品为X件，则/=50,・・.x=3000.

bU

故乙设备生产的产品总数为4800-3000=1800.

答案(1)1)(2)1800

规律方法1.分层抽样中分多少层，如何分层要视详细状况而定，总的原则是：层内样本的

差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.

2.进行分层抽样的相关计算时，常用到的两个关系

门、样本容量〃该层抽取的个体数

⑴总体的个数该层的个体数：

(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.

【训练3］(1)某学校三个爱好小组的学生人数分布如下表(每名同学只参与一个小组)(单

位：人).

篮球组书画组乐器组

高一4530a

高二151020

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参与这三个爱好

小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为.

(2)一个社会调查机构就某地居民的月收入调杳了100()0人，并依据所得数据画出了如图所

示的频率分布直方图，现要从这10000人中用分层抽样的方法抽取100人作进一步调查,

则月收入在［2500,3000)(元)内应抽取人.

解析

(2)由频率分布直方图可得在［2500,3000)收入段共有10000X0.0005X500=

2500人，按分层抽样应抽出2500义而%=25人.

答案(1)30(2)25

⑥反思与感悟

［思维升华］

1.三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现

了这三种抽样方法的客观性和公允性.若样本容量为〃，总体容量为此每个个体被抽到的概

率是今

2.系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列.

3.分层抽样适用于总体由差异叨显的几部分组成的状况：分层后，在每一层抽样时可采纳筒

洁随机抽样或系统抽样.

［易错防范］

1.简洁随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样.

2.系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当'不是整数时，留意剔除，剔除

的个体是随机的.

3.分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的.

I分层限时训练分层训练，提升能力

基础巩固题组

（建议用时：35分钟）

一、选择题

1.（2024・长春一模）完成卜.列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家

庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买实力的某项指标；②从某中学的15名艺

术特长生中选出3名调查学习负担状况.宜采纳的抽样方法依次是（）

A.①简洁随机抽样，②系统抽样

B.①分层抽样，②简洁随机抽样

C.①系统抽样，②分层抽样

D.@@都用分层抽样

答案B

2.在一个容量为N的总体中抽取容量为〃的样本，当选取简洁随机抽样、系统抽样和分层抽

样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为R,R,R,贝卜）

A.pi=pi<p?.B.pz=p^<p\

C.P\=PiD.Pi=Pz=Pi

解析由随机抽样的学问知，二种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选D.

答案【）

3.（2024•西安质检）为了解1000名学生的学习状况，采纳系统抽样的方法，从中抽取容量

为40的样本，则分段的间隔为（）

A.50B.40C.25D.20

解析依据系统抽样的特点分段间隔为L^=25.

答案C

4.（一题多解）（2024•长沙一中测试）某中学有中学生3500人，初中生1500人，为了解学

生的学习状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为〃的样本，已知从中学生中

抽取70人,则〃为（）

A.10（）B.150C.200D.250

解析法一由题意可得一%=谷累，解得〃=10（）.

n~15U0

701

法二由题意，抽样比为工、=不，总体容量为35004-1500=5000,故〃=

3oUUJU

5000X^=100.

00

答案A

5.某校老年、中年和青年老师的人数见下表，采纳分层抽样的方法调查老师的身体状况，在

抽取的样本中，青年老师有320人，则该样本中的老年老师人数为（）

类别人数

老年老师900

中年老师1800

青年老师1600

合计4300

A.90B.100C.180D.300

解析设该样本中的老年老师人数为x,由题意及分层抽样的特点得导=看/故^=180.

答案C

6.用简洁随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个

体&“第一次被抽到”的可能性与“其次次被抽到”的可能性分别是（）

1131

八♦而而5

c13n33

c——n——

5110-10,10

解析在抽样过程中，个体石每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10,故个体

a”第一次被抽到”的可能性与“其次次被抽到”的可能性均为卷，故选A.

答案A

7.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓状况，对甲、乙、丙、

丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为A；其中甲社区有驾驶员96人.

若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾

驶员的总人数出为（）

A.101B.808C.1212D.2012

12I

解析甲社区每个个体被抽到的概率为族=鼻，样本容量为12+21+25+43=101,所以四

yoo

个社区中驾驶员的总人数八『半=808.

8

答案B

8.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534

石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）

A.134石B.169石

C.338石D.1365石

28

解析由随机抽样的含义，该批米内夹谷约为彳yXl534%169（右）.

答案B

二、填空题

9.从300名学生（其中男生180人，女生120人）中按性别用分层抽样的方法抽取50人参与

竞赛，则应当抽取男生人数为.

解析因为男生与女生的比例为180：120=3:2,所以应当抽取男生人数为50X-^—=30.

JI/

答案30

10.某班的数学老师要对该班一模考试的数学成果进行分析，利用随机数法抽取样本时，先

将该班70名同学按00,01,02,…，69进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数起先

向右读，则选出的10个样本中第8个样本的编号是_______.

（注：以下是随机数表的第8行和第9行）

第8行：63()1637859169555671998105071751286735807443952

3879

第9行：3321123429786456078252420744381551001342996602

7954

解析由随机数表知选出的10个样本依次是29,64,56,07,52,42,44,38,15,51,

第8个样本编号是38.

答案38

11.(2024•南京联合体学校调研)为检验某校高一年级学生的身高状况，现采纳先分层抽样

后简洁随机抽样的方法，抽取一个容量为210的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.3,

且男女生的比是4：3,则该校高一年级女生的人数是______.

解析抽取的高一年级女生的人数为210X,=90,则该校高一年级女生的人数为90・0.3

=300.

答案300

12.(2024•湖北重点中学模拟)某校高三年级共有30个班，学校心理询问室为了了解同学们

的心理状况，将每个班编号，依次为1到30,现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，

若抽到的编号之和为75,则抽到的最小的编号为.

解析系统抽样的抽取间隔为w=6.设抽到的最小编号为x,则x+(6+x)+(12+x)+(18

□

+*)+(24+>)=75,所以>=3.

答案3

实力提升题组

(建议用时：15分钟)

13.从一群嬉戏的小孩中拍出女人，一人一个苹果，让他们返回接着嬉戏，一段时间后，再

从中任取/〃人，发觉其中有〃人曾分过苹果，则可估计这群小孩共有()

A.4•"人B.4•四人

mn

C.(4+加一〃)人D.(4+/»+;?)人

knkm

解析设这群小孩共有X人，则解得x=一.

xmn

答案B

14.(2024•郑州模拟)一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方

2

法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是亍则男运动员应抽取（）

A.18人B.16人

C.14人D.12人

解析..•田径队共有运动员98人，其中女运动员有42人，，男运动员有56人，

2

•・•每名运动员被抽到的概率都是全

2

，男运动员应抽取56X不=16（人），故选B.

答案B

15.某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，