2025年高考备课教案数学第六章平面向量复数第1讲平面向量的概念及线性运算

第六章平面向量、复数

第1讲平面向量的概念及线性运算

（教师尊享•命题分析

课标要求命题点五年考情命题分析预测

1.通过对力、速度、位移等的平面向量的2022新高考卷

分析，了解平面向量的实际背有关概念IT3

景，理解平面向量的意义和两2022新高考卷

个向量相等的含义.IT3；2020全

平面向量的本讲命题热点为平面向

2.理解平面向量的几何表示和国卷IT14；

线性运算量的线性运算、共线向

基本要素.2020新高考卷

量定理的应用，一般以

3.借助实例和平面向量的几何IIT3

选择题、填空题的形式

表示，掌握平面向量加、减运

出现，难度不大.预计

算及运算规则，理解其几何意

2025年高考命题稳定，

义.

备考时注意对向量的几

4.掌握平面向量数乘运算及运共线向量定

何意义的理解和应用.

算规则，理解其几何意义.理理的应用

解两个平面向量共线的含义.

5.了解平面向量的线性运算性

质及其几何意义.

的学生用书PI12

1.平面向量的有关概念

名称定义备注

既有①大小又有②方向的

向量量；向量的大小叫做向量的长度平面向量是自由向量.

（或③模）.

零向量记作0,其方向是④任意

零向量长度为0的向量.

的.

与非零向量。共线的单位向量为⑤_

单位向量长度等于1个单位长度的向量.

白和⑥_七.

1a11«1

平行向量（共方向⑦相同或相反的非零向

。与任意向量平行（共线）.

线向量）.

长度⑧相等且方向⑨相同相等向量一定是平行向量，平行向量

相等向量

的向量.不一定是相等向量.

若a,b互为相反向量，则“二-b.

相反向量长度相等且方向相反的两个向量.

0的相反向量为0.

注意（1）0是一个向量，0是一个实数，101=0.

（2）两个向量不能比较大小，只能判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小.

2.平面向量的线性运算

向量

、—/rfr定义法则（或几何意义）运算律

运算

(\)a+b=b+a.

求两个向量和

加法(2)(a+b)+c=a+(b

的运算.三角形法则平行四边形法则

+c).

求。与白的相

反向量-b的

减法XaVa-b=a+(~b).

和的运算叫做三角形法则

。与b的差.

（1）\/M\=1A1lai.

(1)7(〃〃)==

求实数上与向（2）当7>0时，痴与。的方向

"(2a).

数乘量a的积的运⑩相同；当7<0时，施与。

(2)(4+")〃=2a+f.ia.

算.的方向⑪相反；当2=0时,

(3)x(a+/>)=/.a+/J).

za=0.

注意利用三角形法则时，两向量要首尾相连；利用平行四边形法则时，两向量要有相同

的起点.

常用结论

向量运算的常用结论

（1）若P为线段的中点，。为平面内任一点，则丽（OA+OB）.

（2）对于任意两个向量a,b,都有：①IIaI-I。IISIa±bI<IaI+II；

②Ia+2+।”_力।2=2（||2+|8|2）

注意当a,6不共线时：①式的几何意义是三角形中两边之和大于第三边，两边之差的

绝对值小于第三边；②式的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关

系.

3.共线向量定理

向量。（时0）与力共线的充要条件：存在唯——个实数，使⑫》=〃.

注意（1）只有非零向量才能表示与之共线的其他向量.（2）两向量共线包含同向共线和

反向共线两种情况.

:瓢自新

I.下列说法正确的是（D）

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.单位向量都相等

c.4与力同向，且I。I>IbI，贝I」a>力

D.两个向量平行是这两个向量相等的必'要不充分条件

2.[新高考卷II]若。为AABC的边48的中点，则而二(A)

A.2CD-CAB.2CA-CD

.♦...........・…I

C.2CD+CAD.2CA+CD

解析解法一因为。是48的中点，所以而=2而，所以而=35+通=6？+2而

+2(.CD-CA)=2CD-CA,故选A.

解法二因为。是AB的中点，所以而=：(石？+丽),2CD=CA+CB,所以而二

2CD-CAf故选A.

3.已知向量。”，若I。I=2,I》I=4,则Ia-力I的取值范围是[2,6].

解析由Ilai-|)|l<la-Z>l<lol+1^1,得20lo-Z>l<6.

4.已知。与》是两个不共线的向量，且向量a+乃与-(b-3a)共线，则2=1.

A=-k,(k=；,

解析由题意知存在A£R,使得a+，》=■-(b・3a)],所以《解得■

1=3"4=・"

3

f-----------------------:晒滴照曲旗-------------------------------

6学生用书P113

命题点1平面向量的有关概念

例1(I)下列说法正确的是(B)

A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

B.若A,8,C,。是不共线的四点，且而=觉，则四边形A88为平行四边形

C.〃=。的充要条件是I«I=II且“〃》

D.已知A,fi为实数,若/M=fib,则。与〃共线

解析A错误，两个向量是否相等只与模及方向有关，与位正无关：B正确，因为而二

DC,所以I彳后I=I沆I且同〃尻，又A,B,C,。是不共线的四点，所以四边形

4BC。为平行四边形；C错误，当a〃bd|〃|二|力|时还可能是〃=・b,所以“Ia\

=I方I旦a〃ZT是“。="，的必要不充分条件；D错误，当力=〃=0时，4与b可以为任意向

量，满足〃=曲，但。与方不一定共线.故选B.

（2）设。，力都是非零向量，下列四个条件中，使一一二:一成立的充分条件是（C）

IaIIbI

A.a=-hB.a〃b

C.a=2bD.a〃力且IaI=IbI

解析因为向量一0—的方向与向量a的方向相同，向量」一的方向与向量6的方向相同，

l«l\b\

且‘一二」一，所以向量〃与向量b的方向相同，故可排除选项A,B,D.当a=2方时，

|a||b|

—^―=2b=—,故“二2力是，一二'-成立的充分条件.

|a|\2b\\b\|a|\b\

方法技巧

向量有关概念的关注点

<1）向量定义的关键是方向和长度.

（2）非零向量的平行具有传递性.

（3）平行向量即共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.

（4）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.

（5）向量」一是与向量。同方向的单位向量.

|a|

训练I下列说法正确的是（B）

A.相反向量就是方向相反的向量

B.a,b,c为非零向量，若，5〃c,则。〃c

C.若a与b共线，则。=/>或。=-b

D.若a为平面内的某个向量，的为单位向量，则。=IaI如

解析对于A,相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，改A错误；对于C,若向量

。与〃共线，则。与〃的方向用同或相反，但长度不一定相等，故C错误；对于D,。与

1。|的的模相等，但方向不一定相同，故D错误；易知B正确.故选B.

命题点2平面向量的线性运算

角度I向量加、减法的几何意义

例2(I)［多选］。是448C仔在平面内一点，且满足\PB-PC\-IPB+PC-2PAI=

。，则△ABC不可能是(AD)

A.钝角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

解析设。为边8c的中点，^\PB+PC=2PD,由已知有I而I=I2PD-2PAI=

2|而|,所以△48C为直角三角形，故选AD.

(2)［全国卷I］设为单位向量，且|〃+6|=1,则|〃-5|=V3.

解析解法一如图，四边形O4C8为平行四边形，设万？=明而=力，

利用平行四边形法则得沆:=。+》，*.,|al=IM=la+^l=l,Y—

•••△OAC为正三角形，：,\BA\=\a-b\=2xyX|aI

解法二V/z,b为单位向量，且I“+〃I=1,二(a+/»)2=1,+I+%力=1,

:.ab--I，/.\a-b\2=(r+br-2ab=I+I-2x(-1)=3,\a-b\=V3.

方法技巧

利用向量加、减法的几何意义解决问题的思路

(1)根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解；

(2)平面几何中，如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，那么可

考虑利用向量知识来求解.

角度2向量的线性运算

例3［2022新高考卷I］在4A8C中，点。在边A3上，8。=2".记刀=/〃,CD=n,则诙

=(B)

A.3/7?-2nB.-2m+3〃

C.3m+InD.2/n+3〃

解析因为8。=2。八，所以万=3而，所以而=6？+而二石+3而二刀+3(CD-

CA)=-2不+3而=-2机+3〃.故选B.

方法技巧

向量的线性运算问题的求解策略

(1)利用三角形法则或平行四边形法则求解；

(2)利用相等向量、相反向量、共线向量以及三角形中位线等，把未知向量转化为与已知

向量有直接关系的向量进行求解.

角度3根据向量线性运算求参数

例4在4A",中，点。在线段仪:上，且加=21范，点。在线段C“上(与点C,。不重

合).若而”而+(1-x)而，则x的取值范围是(C)

A.(0,I)B.(,1)C.(0,1)D.(|,1)

解析设团=2尻，AE(1,I),则而二荏+的;而+/J?=(1-2.)A§+；.AC=xAg

+(I-x)AC,M'lx=I(0,?.故选C.

方法技巧

求参数问题可以通过向量的线性运算将向量表示出来，进行比较，构造方程(组)求解.

训练2(1)1多选］在梯形A3C。中,AB//CD,AB=2CD,AC与3。相交于点O,则下列

结论正确的是(ABD)

AM-AD=^ABB.IO7+2OCI=0

CUA=-'CD+-CB+~BC+CD+~DA=O

33

解析对于A,AC-AD=DC=^AB,故A正确.对于B,由题知”二皆=3所以刃+

2AOAB2

20?=0,故I耐+2沅I=0,故B正确.对于C,0X=1cX=1(CB-AB)=1(CF+

2CD)=|而+g而，故C错吴.对于D,AB^~BC^-CD+DA=AC+CA=0,故D正确.故

选ABD.

(2)在^A8C中，48=2,BC=3y/3,Z4«C=30°,AD为BO边上的高.若丽=2而+

‘充，则八"二g.

解析如图，:人。为8c边上的高，：.ADlBC/：AB=2tZA«C=30°,

/.BD=\[3=-BCt：.AD=AB+~BD=AB+-BC=AB+-(.AC-AB)=

萍+尔

又力。=AAB+〃AC,

命题点3共线向量定理的应用

例5(1)已知。为△A8C内一点，且而二*而+沅)，而=，若8,O,。三点

共线，则/=(B)

A.；B.lC.1D.|

解析设E是8c边的中点，则3(而+反)二而，由题意得而二而，所以彳5=］荏:

-(AB+AC)=-AB+-AD,又因为8,O,。三点共线，所以工+工=1,解得/=1.故选

444r44C3

B.

⑵［全国卷II］设向量a,力不平行，向量而+6与。+2》平行，则实数4工.

解析因为痴+》与a+2》平行，所以存在〃£R,使得加+方=〃(a+2b),即(2-//)a

+(1-2Q6=0.因为向量a,力不平行，所以2-〃=0,1-2/;=0,解得夭=〃=：.

方法技巧

利用共线向量定理解题的策略

<1)利用4〃力<=»=/£(加笫)求解.

(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即4,B,C三点共线u而，前共

线.

(3)若a与6不共线且痴=/力，则i=〃=0.

(4)OA=AOB+/1OC(』，"为实数)，若A,8,C三点共线，则1+"=1.

注意万彳=7三+〃沆中的三个向量的起点相同时，才有4,B,C三点共线T+〃=l.

训练3(1)已知e\,。2是平面内两个不共线的向量，刃=3d+2e?,而=4et+ke2tOC=

5约-4e*若A,B,C三点共线，则实数A的值为(A)

A.-1B.OC.lD.2

解析解法一因为画=3ei+2e2,OB=4ei+ke2,OC=5et-4e2t所以南二南-丽=

(4^i+ke2)-(3ei+2e2)=ei+(k-2)e?,AC=OC-OA=(5ei-4e?)-(3ei+2e?)

=2ei-6e2,又4B,。三点共线.，所以存在唯一的实数人使得而=:而，即ei+(h

(2A=1,(k=-1,

2)e2=A(2ei-6e2),所以｛解得《故选A.

[-6A=k-2,；

解法二根据懑意，设雨=x赤+(I-x)OC,5H3ei+2e2=[4x+5(1・工)期+[任・

(4x4-5(1-x)=3,

4(1-x)］e2,因为et,。2是平面内两个不共线的向量，所以《得

卜-4(1-x)=2,

x=2,

故选A.

k=-1.

(2)［2023湖北天门中学、仙桃中学等校5月联考］如图，在AABC中，A。/K

为BC边上的中线，G为A48c的重心，M,N分别为线段48,4c上的动

点，且M,N,G三点共线，若布二).通(2和),AN=AC(〃邦)，贝(U

+4"的最小值为(B)

A.：B.3C.2D.-

24

解析由题意得正=?而二4三(AB+AC)=-(,AB+AC)=-^AM+-AN),由于

33233AH

M,MG三点共线，故力白1.故入+4a=G+4")弓+分=?+费+泵1+2旧

=3,当且仅当篝二;，即2=1,":时等号成立，故2+4〃的最小值为3,故选B.

3A3HL

r----------------------)黜喻飞

0学生用书Pl15

等和线的应用

例6［全国卷川］在矩形A3CD中，4?=1,AO=2,动点P在以点。为圆心且与3D相切的

圆上若而=久而+fiAD，则2+"的最大值为(A)

A.3B.2V2C.V5D.2

解析解法一如图，过点C作CE〃8/）交直线48于点已因为而=2万

+厢,则由等和线定理可知，当等和线/与圆相切时，7+"最大，设此时/

与直线交于点尸，则易知A8=8E=E£此时％+"二竺=竺二竺士竺二之竺

*ADADAD

=3.

解法二以A为坐标原点，AB,A。所在直线分别为x轴、），轴建立如图所示的

平面直角坐标系，则A(0,0),B(I,0),C(I,2),D(0,2).可得直

线,8。的方程为2t+y-2=0,点。至直线,8。的距离d=二,所以圆C

的方程为（A--1）2+6-2）2=：.因为点P在圆C上，所以可设P（l+

笠os仇2+誓sin。).易知而=(1,0),AD=(0,2),AP=AAB+/iAD=Q,

.,2VS八i

1+-COS0—At7代/F

s厂所以2+〃=2+-^-cos9+—sin=2+sin(夕+@)<3,其

{2+.sin8=2p,55

中（P满足tan0=2.所以的最大值为3.

方法技巧

等和线定理：如图，对于平面内一组基底裾，而及任一向量而，0P=

XOA+/1OB（2,"£R）,若点。在直线48上或在平行于48的直线4出1

上，贝”.+〃=A（定值）且HI=喋二照察"为OP与AB的交点），反之也成立.我

们把直线A8以及与直线平行的直线4防称为等和线.

推导：由三点共线结论推导等和线定理，由三点共线结论可知，若而二.而彳+），而（X,

y£R）,则x+y=l,由△。48与△。4%相似，必存在一个常数2R）,使得诃=

kOF,则前二廊=心•画+幻丽，又而=/0^+〃砺（晨〃£R）,所以2+"=A（x+y）

二及.反之也成立.

训I练4在扇形4。8中，C为弧AB上的一个动点，NAOB=60。.若沆=xOA+yOB，贝！|x+

3y的取值范围是“，3].

解析解法一如图1,在0B上取一点。，使08=30/）,连接4D,与。。交于点已过

C作C”〃A。，交08于点29!'）0C=xOA+yOB=xOA+3vOD,所以X+3），=器=器.当

C,A重合时，器最小，为1：当C8更合时，器最大，为3,所以x+3y的取值范围是

[I,31.

图I图2

解法二（坐标法）设扇形AOB的半径为1,以。为原点，建立如图2所示的平面直角坐

标系,则8(1,0),A(1,争，设NBOC=8,0£展,则C(cos0,sin。)，

0C=(cos6,sinO')=x(1,争+y(I,0),

cosO=z;+y,

即\解得

sin。=­x,

L

所以x+3y=20；皿+3cos0-x^3sin0=3cos0-ysin0.

令g（9）=3cos0-^sin0（（K<9<^）,易知g（夕）在[0,上单调递减，所以

g（5=（〃）名（。）=3,

所以x+3），的取值范围是[1,3].

解法三（构造函数法）设扇形A08的半径为r,

因为历二花漆+y丽,

所以配2={^OA+yOB}2=.rOJ2+2xyI0AIIOBIcos600+rOB2,即尸=^3+

xyr+y'2!2,

琴理得关于），的方程V+xy+x2-1=0.

易知x,yG[0,)],A=4-3A2>0,

•x+[4-3x2

所以y=

-3X+3、4-3户3,4-3x2

所以x+3y=x+-----------=-^v+——.

令/(x)=+当生(*［0,11),易知/(x)在［0,1］上单调递减，所以/(I)=

l<fCr)</,(0)=3,

所以x+3y的取值范围是［1,3］.

(教师尊享•备课题组】

1」命题点1］设。"为非零向量，则"〃加'是Z与。方向相同”的(B)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析因为明。为非零向量，所以当“〃万时，”与6方向相同或相反，因此'七〃加'是、

与。方向相同”的必要不充分条件.

2」命题点3］在448c中，点尸满足而=2无，过点，的直线与48,AC所在直线分别交于

点M,N,若4M=mAB,AN=nAC(/〃>0,〃>0),则+2n的最小值为(A)

A3B.4C］D.v

33

解析如图，连接AP,易知而=而+/=丽+：(而-而)=^AB

+?配二二祠+三福.因为M,P,N三点共线，所以工+三二1,因

33m3n3m3n

为〃？>0,n>0,所以机+2〃=(/〃+2〃)(―+—)=-+

3m3n3

生+空+2但二互=3,当且仅当空二迎，即加=〃二1时等号成立.

3m3n373m3n3m3n

3.［命题点3/2023河南省重点中学测试］已知D,£分别是△八8C的边A8,八C上的点,且满

足而《荏，荏乏公/为直线/兄与直线BC的交点.若布=i而+〃而("〃为实

数)，则的值为(C)

A.IB.--C.-D.-

332

解析由题意，得而二而+诟=;而+而.因为。，E,厂三点共线，所以而二上屁二

*5

k(DA+'AE')=k(.-AC--AB),k为实数，所以而=乙而+kC-AC--AB)=

33333

H)而+孤恋.因为8,C,尸三点共线，所以0-押+至=1，即上=2,所以标二

・；而+1前,又而“而+〃公，所以/=・；，〃=：,所以〃

J，《5，《5

/---------------------------(练习帮｝练透好题精准分层---------------------------

©学生用书•练习帮P316

区基础练知识通关

1.［2024云南文山州月考］已知平面向量a,b不共线，通=4〃+6。，BC=-a+3b,CD=

。+3力，则(D)

A.A,B,。三点共线B.A,B,C三点共线

C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线

解析而=丽+而=6儿得不出肉;2前，：.AB,而不共线，，A,B,/)三点不共

线，A错误：由已知得不出方=2近，：.AB,配不共线，・・.A,B,C三点不共线，B错

误；由已知得不出近二%而，：.BC,而不共线，：.B,C,。三点不共线，C错误；AC=

而+就=3a+9b=3而，：.AC,而共线，C,。三点共线，D正确.故选D.

2.(2024河南济源市第六中学月考］设。"是两个非零向量，则下列说法正确的是

(C)

A.若Ia+h|=1。|T〃l,则“J■力

氏若a_Lb,则Ia+bI=InI-IZ>I

C.若IG+6I=IaI-IbI,则存在实数"使得”

D.若存在实数"使得〃=劝，则II=IaI・I力I

解析|0+力|二Ia|-I”成立的充要条件是向量明。方向相反，且IaI>I方|,

易知C正确.

3如图，，是线段08,4B的延长线所围成的阴影区域(含边界)内任意一点,且而二

・尤?+)丽，则(c)7^5

AA+,EIB,x+y<1

C_v+y>lD.x+y>1

解析设而与线段AB的延长线交于点E,8']OE=XO7+(1->.)OB,设罚=/〃荏，根

据题意易知,论I,当且仅当P,£重合时/〃=1.所以而=〃以耐+机(1-A)OB=.xOA+

yOB,所以x="〃，y=rn(1-2),x+y=mNl.故选C.

4.已知平面向量a,力满足IM=2,I2a-6I=1,则IGI的取值范围为(C)

A.[|,1]B.(1,3)C.[1,1]D.(2,4)

解析因为I2。・8I=1,所以I力I-I2a■力IW2IaIWI6I+I2。■%I,所以

1W21al<3,可得IaI呜1],故选C.

5.12023武汉市调研]在正六边形A4CQE”中，用而和荏表示而，则而二(B)

A・♦历+3荏B•♦冠+|荏

D.-1JC+；AE

C.-13AC+I3AE33

解析解法一如图，记正六边形的中心为。，连接8旦交AC于点

G,则点。在3E上，G为AC的中点，且G为04的中点，所以前二

^AC,CD=^GE=^(AE-AG)=；CAE-^AC)=-^AC+^AE,古攵选

2333233

B.

解法二如图，以A为坐标原点，AB,4E所在直线分别为％轴，)，轴建

立平面直角坐标系，不妨设正六边形48COE”的边长为2,则4(0,

0),C(.3,V3),D(2,2V3),E(0,2V3),所以而二(3,

V3),AE=(0,2百),CD=(-1,V3).设诙:xm+),荏,则

3x=-1

V3)=x(3,W)+>'(0,2V3)=(3x,V3.v+2>/3)'),得t

\/3x+2圾y=V3,

i

x=一_,_

解得《3所以而二-2而十三荏，故选B.

233

v=3,

6.［2024四川资阳模拟］在平行四边形A8CO中，£是48的中点，方是线段。E上的点，且

FC=^AB+^AD,KO(D)

A.FD=2EFB.EF=2FD

C.而=3EFD.EF=3FD

解析解法一由四边形ABC。是平行四边形可知而二尻，因为£为AB的中点，所以

AB=2AE,~FD=FC+CD=-AB+-AD+CD=-AD--AB=-AD--7£=-10,所以方二

8448444

3而.故选D.

解法二设而=2前，AG［O,11,因为眇=而•荏=而・］存，所以同=而+觉=

^ED+AB=X（AD-pB）+AB=（1-3）南+2而，又卮=：而+：而，所以/=

所以丽=白而，即加=3而.故选D.

4

7J2024河南信阳部分学校联考］已知向量。;（6,2）,则与。方向相反的单位向量〃的坐

标为（-鬻，-粤）.

解析解法一力二一片=（-誓，-噜）.

解法二设6=%=（6；.,22）,2<0,则（67）2+⑵）2=1,得2=-绊，故4

（X

10

8J2024天津四中月考］在等腰直角三角形A8c中，尸是斜边BC上一点，若而二普十

1血

/，则△"（?的面积为§.

IACI

解析丽=档_+4_=一^而+:二通.由题可知&p,C三点共线，所以一

\AB\|4C||4B||AC||AB\

+」一二1.又因为I而1=而I,所以I荏1=5,故△AB。的面积S=3X5X5=9.

I前I22

13能力练重难通关

9.［多选面图所示,A,B,C是圆。上的三点，线段OC与线段48交于圆内一点P,若希