2025年测绘工程专升本信号与系统测试卷（附答案）

2025年测绘工程专升本信号与系统测试卷（附答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题2分，共10分。请将正确选项的字母填在题后的括号内）1.下列信号中，()是功率信号。A.f(t)=e^{-at}u(t)(a>0)B.f(t)=sin(ωt)C.f(t)=e^{-t^2}D.f(t)=tu(t)2.已知信号f(t)的傅里叶变换为F(jω)，则信号g(t)=f(2t-4)的傅里叶变换为()。A.F(jω/2)e^{-j2ω}B.1/2F(jω/2)e^{-j2ω}C.2F(jω/2)e^{-j2ω}D.F(jω/2)e^{j2ω}3.系统的微分方程为y''(t)+3y'(t)+2y(t)=f(t)，该系统是()。A.线性时不变系统B.线性时变系统C.非线性时不变系统D.非线性时变系统4.若信号f(t)的傅里叶变换为F(jω)，则信号f(-t)的傅里叶变换为()。A.F(-jω)B.-F(jω)C.F(jω)D.jF(-jω)5.已知连续时间信号f(t)=u(t)-u(t-1)，其傅里叶变换的幅值谱|F(jω)|为()。A.Sinc(ω/2)B.2Sinc(ω/2)C.2Sinc^2(ω/2)D.1-Cos(ω)二、填空题（每小题2分，共10分。请将答案填在题后的横线上）6.单位冲激信号δ(t)的傅里叶变换是________。7.若信号f(t)的拉普拉斯变换为F(s)=(s+1)/(s^2+s+1)，则f(0+)=________。8.已知连续时间系统的单位阶跃响应为g(t)，则其单位冲激响应h(t)=________。9.根据奈奎斯特抽样定理，为了不产生混叠，对频率范围在(0,F_max)Hz内的连续时间信号进行均匀抽样，抽样频率fs必须________Hz。10.若z变换Z{f[n]}=F(z)=1/(1-2z^{-1})+1/(1-3z^{-1})，且|z|>3，则f[0]=________。三、计算题（共70分）11.（10分）计算下列信号的卷积f(t)*g(t)，其中f(t)=e^{-t}u(t)，g(t)=u(t)-u(t-2)。12.（10分）求信号f(t)=e^{2t}u(-t)的傅里叶变换F(jω)。13.（15分）已知信号x(t)=cos(10πt)+sin(20πt)，求其傅里叶级数展开式（复指数形式），并画出频谱图（包括幅度谱和相位谱）。14.（15分）系统函数H(s)=(s+3)/(s^2+3s+2)，求该系统的单位冲激响应h(t)。15.（20分）已知离散时间信号y[n]满足递推关系y[n]-3y[n-1]+2y[n-2]=f[n]，其中f[n]=u[n]，且初始条件y[-1]=1,y[-2]=0。求y[n]的完全响应（零输入响应加零状态响应）。---试卷答案一、选择题1.B2.C3.A4.A5.C二、填空题6.2πδ(ω)7.18.g'(t)9.≥2F_max10.4三、计算题11.解析思路：利用卷积的图解法或分配律。将g(t)分解为e^{-t}u(t)和-e^{-t}u(t-2)两个部分，分别与f(t)卷积，再求和。答案：e^{-t}u(t)+(e^{-t}-e^{-(t-2)})u(t-2)12.解析思路：利用傅里叶变换的性质。f(t)=e^{-t}u(t)的傅里叶变换为1/(jω+1)。利用频移特性，e^{2t}u(-t)可看作f(-t)左移2单位，其傅里叶变换为F(jω)e^{-j2ω}。注意f(t)是因果信号，其变换是实函数。答案：e^{-j2ω}/(jω+1)13.解析思路：利用傅里叶级数定义。将x(t)分解为直流分量和两个正弦分量。计算各分量的角频率kω_0，其中ω_0=10πrad/s。直流分量为A_0/2。各正弦分量的复指数形式为A_ke^{-jkω_0t}，其中A_k为该分量的复幅度。A_k由|C_k|e^{jφ_k}给出，|C_k|为幅度，φ_k为相位。cos(10πt)对应k=1,A_1=1/√2,φ_1=0；sin(20πt)对应k=2,A_2=1/√2,φ_2=-π/2。因此C_1=1/√2,C_2=(1/√2)j。写出C_k=C_0/2+C_1+C_2=A_0/2+A_1e^{j0}+A_2e^{j0}。答案：x(t)=1/2+(1/√2)e^{j10πt}+(1/√2)je^{-j20πt}(或x(t)=1/2+cos(10πt)+jsin(20πt))幅度谱：|C_0|=1,|C_1|=1/√2,|C_2|=1/√2。在kω_0=0,10π,20π处有峰值，分别为1,1/√2,1/√2。相位谱：φ_0=0,φ_1=0,φ_2=-π/2。在kω_0=0,10π,20π处有值，分别为0,0,-π/2。14.解析思路：求单位冲激响应h(t)等价于求系统函数H(s)的拉普拉斯反变换。首先将H(s)分解为部分分式。H(s)=(s+3)/[(s+1)(s+2)]。设H(s)=A/(s+1)+B/(s+2)。通过解方程求A和B（如令s=-1,s=-2或乘以分母再比较系数）。求出A和B后，分别对每一项进行拉普拉斯反变换，得到对应的时间函数，最后相加。答案：h(t)=e^{-t}-e^{-2t}(t≥0)15.解析思路：求完全响应y[n]=零输入响应yzi[n]+零状态响应yzs[n]。(1)零输入响应yzi[n]：令f[n]=0，求解齐次差分方程y[n]-3y[n-1]+2y[n-2]=0。求解特征方程r^2-3r+2=0，得特征根r1=1,r2=2。零输入响应形式为yzi[n]=C1(1)^n+C2(2)^n=C1+C2(2)^n。利用初始条件y[-1]=1,y[-2]=0求解C1,C2（将n=-1,-2代入方程或其变形）。(2)零状态响应yzs[n]：求齐次方程的特解。对于f[n]=u[n]，可以设特解形式为yps[n]=A。将yps[n]=A代入方程，得A-3A+2A=0，即0=0，说明A任意。通常取A=0（对应齐次解）。但更常见的是设特解形式为yps[n]=Bn，代入方程得Bn-3B(n-1)+2B(n-2)=0，解得B=0。对于f[n]=u[n]这种指数增长的输入，更合适的特解形式为yps[n]=Bn+C。代入方程(Bn+C)-3(B(n-1)+C)+2(B(n-2)+C)=0，整理得Bn+C-3Bn+3B-3C+2Bn-4B+2C=0，即(0)Bn+(3B-2B+2C-3C+C)=0，即0=0。此方法不适用。改用待定系数法设yps[n]=A。代入得0=0。改为设yps[n]=An+B。代入得An+B-3(An-1+B)+2(An-2+B)=0。令n=0,1,2代入求解A,B。或直接利用卷积和性质，求f[n]*h[n]，其中h[n]是单位响应。h[n]由H(z)=(1-3z^{-1}+2z^{-2})/(1-z^{-1}-2z^{-2})的反变换得到。H(z)=(1)/(1-z^{-1}-2z^{-2})=1/(1-(z^{-1}+2z^{-2}))。令w=z^{-1}，则H(w)=1/(1-w-2w^2)。因|z|>2,|w|<1/2。部分分式分解H(w)=1/[1-(r1w+r2w^2)]=A/(1-r1w)+B/(1-r2w)。求出A,B，再反变换得h[n]。最后yzs[n]=f[n]*h[n]=u[n]*h[n]。答案：需要先求H(z)=1/(1-3z^{-1}+2