浙江省金华十校2025-2026学年高三上学期一模考试数学试题

金华十校年月高三模拟考试数学试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分分，考试时间分钟．考生注意：．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上．橡皮擦净．．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效．选择题部分（共分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则集合（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】应用集合的补运算求集合即可.【详解】由，，则.故选：D2.已知等差数列满足，则（）A.4B.6C.8D.10【答案】B【解析】【分析】应用等差中项的性质得，再由即可得出.【详解】由题设，而，所以.故选：B第1页/共19页3.（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】应用复数的乘法及除法运算求解.【详解】.故选：B.4.已知，则（）A.3B.9C.27D.81【答案】C【解析】【分析】利用换底公式转化，进行求解即可.【详解】，所以，则，解得.故选：C.5.已知随机变量，且，则的值为（）A.0.2B.0.4C.0.7D.0.35【答案】B【解析】【分析】利用正态分布曲线的对称性求概率即可.【详解】由题设，且，则，由正态分布曲线关于对称，则.故选：B6.若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（）A.B.第2页/共19页C.D.【答案】A【解析】【分析】将题干条件，结合几何知识转化为圆心到直线的距离需满足，解该不等式即可求解．【详解】当直线与圆相交时，如图所示，若A、B离直线越近时，直至与直线和圆C的两交点重合，此时，若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合，此时，所以一定存在A、B及P，使得；当直线与圆相切时，同直线与圆相交分析可知，一定存在A、B及P，使得；当直线与圆没有公共点时，对直线上的任一点P，若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合时，仍有，另一方面，若PB与圆C相切于B，PA与圆C相切于A，此时必为该P点所能达到的最大情况，如图所示，由图可知，，CP最短时，即等于圆心C到直线距离d，最大，也最大，同时最大，所以若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则必有，解得，又因为圆的半径，圆心到直线的距离，第3页/共19页所以，解得．故选：A．7.设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（）A.B.C.或D.或【答案】C【解析】即为线段结合得，即可求夹角.【详解】令，如下图示，即为线段的长度，由对任意，的最小值为，即，而，显然时，线段最短，此时，所以，又，故或.故选：C8.若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率第4页/共19页可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解．【详解】由题意得点在双曲线外部或在双曲线上，则，得，假设存在以为中点的弦，设弦与双曲线交于点，，则，，由点，在双曲线上，得，两式作差得，所以，因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点，则，也即，所以，则．故选：C．二、多选题：本题共3小题，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知圆锥的侧面展开图是半径等于2的半圆，则圆锥的（）A.底面半径为1B.表面积为C.体积为D.外接球与内切球半径比值为3【答案】AC【解析】【分析】根据已知有圆锥的母线长为2，底面周长为，进而求得底面半径，再结合圆锥的结构特征、表面积、体积的求法依次判断各项的正误.【详解】由题意，圆锥的母线长为2，底面周长为，第5页/共19页若底面半径为，则，A对，表面积为，B错，由上，圆锥的高，则圆锥体积为，C对，由上，圆锥轴截面是边长为2的等边三角形，其外接圆和内切圆半径，分别为圆锥的外接球和内切球半径，所以圆锥的外接球半径为，内切球半径为，所以外接球与内切球半径比值为2，D错.故选：AC10.已知函数在处取得极小值，为其导函数，则（）A.B.C.的解集为D.【答案】ACD【解析】A在B和到对称轴的距离即可判断；对于C，对进行因式分解即可求解；对于D，因为时，、，再结合的单调性以及、的函数值即可求解．A，A正确；对于B，由，其为二次函数，开口向上，对称轴为，则到对称轴距离为，到对称轴的距离为，结合开口向上二次函数图像特点可知，离对称轴较远的点函数值更大，也即，即，故B错误；对于C，解不等式，即，整理为，因式分解得，解得，故解集为，故C正确；第6页/共19页对于D，对于，有，当且仅当时取等号，同时，由于，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，D正确．故选：ACD．在中，若，则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据与在上的图象及已知得到，结合零点存在性定理分析得，进而有，再由、在区间上单调性，得，最后构造函数并应用导数证明，即可得.【详解】根据与在上的图象，如下图示，显然与在上有且仅有唯一交点，即在上有且仅有一个根，而，，由，所以，且，A对，第7页/共19页所以，即，B对，C错，由，则，而中，由在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，只需，可得，令且，则，对于且，则，故在上单调递增，所以，即，则，所以在上单调递增，故，即，所以，而，则，即，所以，故，即，D对.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12.的展开式中项的系数为_______．【答案】【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】的展开式中项的系数为.第8页/共19页故答案：13.的三个内角的对边分别为的面积为______．【答案】1【解析】【分析】由余弦定理结合三角形面积公式求解即可.【详解】由余弦定理可得：，又，得，解得，所以的面积为；故答案为：14.1之一移动一个单位长度，那么在6秒后，蚂蚁到原点的距离等于的概率为_____．【答案】【解析】【分析】设蚂蚁右移a次、左移b次，上移c次、下移d次，则蚂蚁终点的坐标满足，，，，再设左右移动总次数，需为整数可推mnmn可分为三种情况：、、时在每种情况中，依据分步乘法计数原理，算出每种情况下的总路径数，最后相加即可得到最终的概率．【详解】蚂蚁每一秒有4种移动方向，共移动6秒，根据分步乘法计数原理，总路径数为，若蚂蚁到原点O的距离为，原点到该点的距离满足，设蚂蚁右移a次、左移b次，则，上移c次、下移d次，则，总步数，要满足，即，由于都是非负整数，可能的组合必须满足，，此时，，，且，设左右移动总次数为，上下移动总次数为，则，第9页/共19页由于，需为整数，则m与同奇偶，所以m为奇数，同理，n也为奇数，又，可能的组合有、、，当，时，左右移动1次，满足的方式有2种，即左或右，上下移动5次，满足的方式有，或，，共种，即选3次上移，剩下2次下移，或选2次上移，剩下3次下移，其次，在6步中选1步用于左右移动，其余5步用于上下移动，种，因此，此情况的路径数为；当，时，左右移动3次，满足的方式有，或，，共种，上下移动3次，满足的方式同理，共种，此外，6步中选择3步左右移动，剩余上下移动，共种，因此，此情况的路径数为；当，时，与，对称，路径数为240；满足条件的总路径数有，概率为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，长方体中，，，，三等分．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的大小．第10页/共19页【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）根据题意，建立空间直角坐标系，通过向量的数量积为零，可证明.（2）求解出平面的法向量，再根据空间线面角公式求解即可.【小问1详解】根据题意，六面体为长方体，所以，，，如图，以为坐标原点，以，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，因为，，，为的三等分点，得各点坐标，，，，，则，，所以，即.【小问2详解】因为平面，平面，所以，因为，，所以，又因为，所以平面，所以为平面的法向量，，设直线与平面所成角为，则，因为直线与平面所成角的范围为，第11页/共19页所以直线与平面所成角为.16.2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆）年份2021202220232024年份代号1234销量336993129附：相关系数；回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，（1）试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量与年份代号的线性相关性强弱（，则认为与的线性相关性较强，，则认为与0.001）（2）建立关于的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量．【答案】（1）与具有较强的线性相关关系（2），（千辆）【解析】1）根据题干所给数据算出，，，代入相关系数计算公式计算即可；（21，再根据线性回归方程经过计算代入回归直线方程即可求解．第12页/共19页已知，，则，，则，，，所以，已知，故，又，代入相关系数公式，可得，因为，所以与具有较强的线性相关关系．【小问2详解】根据，由（1）可知，，所以，由，已知，，，则，所以关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程17.已知数列，满足()，且．（1）证明：数列与均为等比数列；第13页/共19页【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】1）根据已知得，结合等比数列的定义判断证明即可；（2）由（1）得，，进而有，根据新定义及分组求和、等比数列前n项和公式求.【小问1详解】由，可得，又，所以与均为等比数列；【小问2详解】由（1）知，，所以，则，，.18.已知函数．（1）求在处的切线方程；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，讨论在区间上零点的个数．【答案】（1）；第14页/共19页（2）；（3）3个.【解析】1）应用导数的几何意义求切线方程；（2法二：应用必要性探路，问题化为，令，再证明，时，恒成立，确保充分性成立，即可得；（3）由题设得是函数的一个零点，讨论、、，并利用导数研究函数的零点个数，即可得.【小问1详解】由，则，显然，所以切线方程为；【小问2详解】，此时，法一：分离参数法，从而，令，则，所以，，所以在单调递减，在单调递增，因此，故的取值范围为；法二：必要性探路，，令，，下证：，时，恒成立，由一次函数在上递减，则，第15页/共19页在和上恒成立，且时，所以恒成立，故的取值范围为；【小问3详解】在区间上有3个零点，理由如下：由于，所以是函数的一个零点，，当时，此时恒成立，又由（1）知恒成立，从而恒成立，所以在区间上没有零点；当时，此时，，若是的导数，则，由于恒成立，所以，即在上单调递增，从而存在使得，且，，即在区间上递减，区间上递增，从而，又，所以在有唯一零点，即在上有唯一零点；当，由于时，，所以，又，从而恒成立，第16页/共19页即在上恒成立，所以在区间上单调递增，因为，，因此在区间上有唯一零点，综上所述，函数在区间上有3个零点.19.到两点，距离的乘积为8的轨迹记为曲线，与轴交点分别记为．（1）求曲线的方程；（2）求的周长的取值范围；（3作直线分别交于两点的面积为18的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】1）设，根据已知及两点距离公式得到方程，进而整理可得；（2）令，且，，则，进而